MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ “tailieumontoan com” Date 1 Rút gọn phân số Phân số tối giản Phân số là số có dạng a b với a và b là những số nguyên, ≠ 0b Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của ph[.]
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ Date “tailieumontoan.com” I Bài tâp Thí dụ Tìm số ngun Rút gọn phân số Phân số tối giản a Phân số số có dạng với a b số b nguyên, b ≠ Muốn rút gọn phân số, ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác −1 ) Phân số tối giản phân số mà tử mẫu có ước chung −1 Để chứng minh phân số tối giản, ta chứng minh tử mẫu có ước chung (nguyên dương) Để tìm số nguyên n cho phân số A (n ) B (n ) phân số tối giản, ta làm sau: Giả sử A (n ) B (n ) chia hết cho số nguyên dương d Khử n để tìm d Tìm n để A (n ) B (n ) chia hết cho d Phủ định kết trên, ta giá trị n để phân số tối giản 2n + Thí dụ Chứng minh rẳng phân số 4n + phân số tối giản với moi số tự nhiên n Lời giải Giả sử 2n + vả 4n + chia hết cho số nguyên dương d Ta có 2n + 1d suy 2n ( 2n + ) − ( 2n + )d ⇒ 4n − 1d ( ) ( ) Ta lại có 4n + 1d nên 4n + − 4n − d ⇒ : d ⇒ d ∈ {1;2} Do d ước số lẻ 2n + nên d ≠ 2n + Vậy d = , tức là phân số tối giản 4n + n để phân số 2n + 3n + phân số tối giản Lời giải Giả sử 2n + 3n + chia hết cho số nguyên dương d Ta có 2n + d 3n + 7d nên ( 3n + ) − ( 2n + ) : d ⇒ : d ⇒ d ∈ {1;5} Nếu phân số 2n + rút gọn từ mẫu phải chia 3n + hết cho Ta có 2n + : ⇔ 2n + − : ⇔ 2n − : ⇔ ( n − ) : ⇔ n − : ⇔ n = 5k + ( k ∈ ) Khi 3n + 7= 15k + 10 : Do với n ≠ 5k + ( k ∈ ) phân số phân số tối giàn 2n + 3n + So sánh phân số Để so sánh hai phân số mà không quy đồng mẫu chúng, ta thường dừng cách sau: Quy đồng tử (nếu hai phân số quy đồng tử dễ dàng): Trong hai phân số có tử, tử mẫu dương, phân số có mẫu lớn phân số lớn Dùng phân số trung gian: Phân số trung gian 1 1, , , , … phân số có liên quan đến tử 3 mẫu hai phân số cần so sánh Dùng phần bù đến đơn vị (nếu hai phân số nhỏ 1): Phân số có phần bù đến đơn vị nhỏ phân số lớn Để so sánh hai phân số, có trường hợp ta cần gấp hai phân số lên số lần ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Thí dụ So sánh phân số 27 47 ; 96 50 41 17 b) ; 60 24 a) n n +1 (n ∈ ) ; n +3 n +2 15 + 12 + va d) 17 + 14 + c) 27 47 27 25 48 47 > > = = > Vậy 50 96 50 50 96 96 41 40 17 16 b) = + = + ; = + = + 60 60 60 60 24 24 24 24 1 41 17 Ta thấy nên < < 60 24 60 24 n n +1 (so sánh hai phân số mẫu) c) < n +3 n +3 n +1 n +1 (so sánh hai phân số từ, tử mẫu đểu < n +3 n +2 dương) n n +1 Vậy < n +3 n +2 15 + 17 + 16 15 + 17 ⇒ 16A =17 = d) A =17 ; +1 +1 +1 12 + 14 + 16 15 B =14 + 14 ⇒ 16B =14 = +1 +1 +1 15 15 Ta thấy 17 nên 16A < 16B < 14 +1 +1 Vậy A < B Lời giải a) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân số Khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân số, cần ý đến kiến thức sau: Nếu phân số có tử số dương phân số lớn mẫu số nguyên dương nhỏ Thí dụ Tìm số ngun n đế phân số A = 7n − a) Có giá trị lớn nhất; b) Có giá tri nhỏ Lời giải Ta có 3A= 3n − 21n − ( 3n − ) + 4 = = 7+ 3n − 3n − 3n − a) A lớn 3A lớn lớn ⇔ 3n − số 3A lớn ⇔ 3n − nguyên dương nhỏ Với 3n − = n = , không số nguyên (loại) Với 3n − = n = , A = Vậy maxA = n = b) A nhỏ ⇔ 3A nhỏ 4 nhỏ ⇔ lớn ⇔ − 3n ⇔ 3n − 1 − 3n số nguyên dương nhỏ Với − 3n = n = , A = Vậy minA = n = Các phép tính phân số Cần nắm vững quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số vả thứ tự thực phép tính Khi tính tốn với phân số viết theo quy luật, cần ý đến cách biến đổi sau: Khi cộng, trừ phân số, cần tạo phân số đối Khi nhân, chia phân số, cần tạo phân số nghịch đảo nhau, tức tạo số bị chia số chia thừa số giống 1 1 Thí dụ Cho A= + + + + … + 50 3 3 Ching minh A < Hướng giải Ta thấy 3A A có số hạng giống Do để xuất phân số đối nhau, ta tính 3A − A 1 1 Lời giải 3A − A= + + + + + … + 49 3 3 1 1 1 − + + + + … + 50 = − 50 < 3 3 A < nên A < Thí dụ Cho dãy số viết theo quy luật: 1 1 1 , , , , ,… 14 20 a) Hãy viết tiếp vào chỗ số thứ sáu theo quy luật dãy b) Tìm số thứ 50 dãy c) Chứng minh rẳng tích 50 số dãy nhỏ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Lời giải a) Viết phần phân số số dãy 2 2 2 2 2 sau , , , , hay Phần , , , , 1.4 25 3.6 4.7 5.8 10 18 28 40 2 phân số = = Vậy số thứ sáu 6.9 54 27 dãy 27 b) Số thứ 50 dãy số + = 50.53 1325 c) Gọi A tích 50 số dãy 2 2 A = ⋅ ⋅ …1 10 18 50.53 12 20 2652 2.3 3.4 4.5 51.52 = ⋅ ⋅ … = ⋅ ⋅ ⋅… 10 18 2650 ⋅ 2.5 3.6 50.53 2.3 ⋅ …… 51 3.4 ⋅ ….52 51 = ⋅ = ⋅ < 3. 1.2 ⋅ ….50 4.5 ⋅ ….53 53 Bài toán phân số a a số M ⋅ M b b a a số A số A : b b a Tỉ số a b b Thí dụ Một ngăn sách thư viện gồm hai loại sách Toán Văn Lúc đầu, số sách Toán số sách 20 ngăn Sau thư viện cho mượn 12 sách Tốn số số sách ngăn Tính số sách Tốn ngăn sách 18 sách Tốn có lúc đầu Hướng dẫn giải Xét số sách Toán, số sách Văn, tổng số sách hai loại hai trường hợp lúc đầu lúc sau, ta thấy có số sách Văn khơng đổi hai trường hợp Do ta lấy làm đơn vị để so sánh Lời giải Số sách Toán lúc đầu số sách ngăn sách 20 số sách Văn Số sách Toán lúc sau số nên 18 11 sách ngăn sách nên số sách Văn 11 Số sách Toán lúc đầu nhiều lúc sau: − = (số 11 11 11 sách Văn) hay 12 Số sách Văn có 11 12 : = 12 ⋅ = 66 (cuốn) Số sách Toán lúc đầu có 11 66 ⋅ = 54 (cuốn) 11 Bài tập Rút gọn biểu thức (bằng cách nhanh nhất) 16.29 − 32 12.13 + 24.26 a) b) 24.26 + 48.52 16.37 + 32 So sánh phân số mà không quy đồng mẫu tử 14 n 17 n +1 a) ; b) (n ∈ ) 54 41 2n + 2n + Tìm x , biết 1 −5 a) + : x = −3 ; b) ( x + 1, ) : = 4 Khối trường có ba lớp 6 A, 6 B, 6C Số họ̣c sinh 6 A số học sinh khối Số học sinh 6B 15 số học sinh 6A Số học sinh 6C nhiều số học sinh 6B người Tính số học sinh lớp Bài tập nâng cao 2n − phân số tối giản 3n + 10 + + 12 So sánh phân số 10 −1 +7 1 1 Tính a) ; + + +…+ 3.5 5.7 7.9 97.99 Tìm số nguyên n để phân số 18 19 1 1 + + +…+ + : + + +…+ + 19 18 17 2 19 20 b) 79 , , , ⋅ < 80 9 Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất, biết 21 nhân với kết 15 36 số tự nhiên 5n + 10 Tìm số nguyên n để phân số 2n − a) Có giá trị lớn nhất; b) Có giá trị nhỏ 11 Hai máy cày làm việc cánh đồng hai máy cày 10 xong cơng việc Nhưng thực tế hai máy làm việc đầu, sau máy thứ cày nơi khác nên máy thứ hai phải làm tiếp xong công việc Hỏi máy thứ hai làm việc cày xong cánh đồng? Chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... 60 60 60 60 24 24 24 24 1 41 17 Ta thấy nên < < 60 24 60 24 n n +1 (so sánh hai phân số mẫu) c) < n +3 n +3 n +1 n +1 (so sánh hai phân số từ, tử mẫu đểu < n +3 n +2 dương) n n +1 Vậy < n... Thí dụ So sánh phân số 27 47 ; 96 50 41 17 b) ; 60 24 a) n n +1 (n ∈ ) ; n +3 n +2 15 + 12 + va d) 17... trường hợp lúc đầu lúc sau, ta thấy có số sách Văn khơng đổi hai trường hợp Do ta lấy làm đơn vị để so sánh Lời giải Số sách Toán lúc đầu số sách ngăn sách 20 số sách Văn Số sách Toán lúc sau số nên