ii Lời nói đầu Xét phương trình có dạng f(x1, x2, , xn) = 0 (1) với n ≥ 2 và f(x1, x2, , xn) là một đa thức nguyên một hoặc nhiều biến được gọi là phương trình nghiệm nguyên hay phương trình Diophanti[.]
ii Lời nói đầu Xét phương trình có dạng f (x1 , x2 , , xn ) = (1) với n ≥ f (x1 , x2 , , xn ) đa thức nguyên nhiều biến gọi phương trình nghiệm nguyên hay phương trình Diophantine, gọi theo tên nhà tốn học Hy Lạp kỉ thứ sau công ngun Phương trình Diophantine dạng tốn lâu đời Toán học nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Từ Euclid, Diophantus, qua Fibonacci, Pell đến Fermat, Euler, Lebesgue thời đại Gelfold, Matiasevic, Shenzel, Serpinsky Phương trình Diophantine trải qua lịch sử phát triển lâu dài Thông qua việc giải phương trình Diophantine, nhà tốn học tìm tính chất thú vị số nguyên, số hữu tỷ, số đại số Giải phương trình Diophantine đưa đến đời Liên phân số, Lý thuyết đường cong elliptic, Lý thuyết xấp xỉ Diophantine, Thặng dư bình phương, Số học modular Các tốn phương trình Diophantine khơng có quy tắc giải tổng quát, có dạng đơn giản Mỗi phương trình với dạng riêng địi hỏi cách giải đặc trưng phù hợp Chính vậy, phương trình Diophantine thường xun xuất hình thức khác ln đánh giá khó tính khơng mẫu mực Một dạng đặc biệt phương trình Diophante x2 − Dy = N quan tâm có nhiều kết xung quanh dạng phương trình Gần kết thú vị A Tekcan phương trình x2 − Dy = ±1 x2 − Dy = ±4 cơng bố Mục đích luận văn trình bày lại kết cấu trúc 2 2 nghiệm phương trình x − Dy = ±1 x − Dy = ±4 Luận văn gồm chương: Chương 1: Chúng giới thiệu kết liên phân số, giản phân cấu trúc nghiệm phương trình Diophantine x2 − Dy = ±1 Chương 2: Chúng tơi trình bày lại cấu trúc nghiệm phương trình Diophantine x2 − Dy = ±4 số ứng dụng toán phổ thơng Luận văn thực hồn thành vào tháng năm 2018 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nơng Quốc Chinh, người tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình làm việc để hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hoàn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học, khóa 05/2016 - 05/2018 động viên giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Khuyến, huyện Vĩnh Bảo, Hải Phịng gia đình bạn bè tạo điều kiện tốt cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả Vũ Phú Bình Chương Phương trình Diophantine x2 − Dy = ±1 Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết liên phân số, số cách giải phương trình Diophantine dạng x2 − Dy = ±1 ứng dụng Các kết chương viết theo tài liệu [1] [2] 1.1 1.1.1 Liên phân số giản phân Liên phân số hữu hạn giản phân ∞ Định nghĩa 1.1.1 Cho {ai }∞ i=0 {bi }i=0 dãy số thực (i) Biểu thức có dạng a0 + b0 b1 a1 + a2 + (1.1) ∞ gọi liên phân số hai dãy số {ai }∞ i=0 {bi }i=0 b0 b0 , , (ii) Dãy biểu thức u0 = a0 , u1 = a0 + , u2 = a0 + b1 a1 a1 + a2 ∞ gọi giản phân hai dãy số {ai }∞ {b } i i=0 i=0 (iii) Phần tử un xác định gọi giản phân thứ n hai dãy ∞ số {ai }∞ i=0 {bi }i=0 Chú ý 1.1.2 (i) Nếu n hữu hạn b0 = b1 = = bn = ta kí hiệu liên phân số hai dãy số {ai }ni=0 {bi }ni=0 [a0 ; a1 , , an ] (ii) Nếu a0 ∈ Z a1 , , an số nguyên dương ta nói [a0 ; a1 , , an ] liên phân số hữu hạn có độ dài n (iii) Một liên phân số hữu hạn số hữu tỷ ∞ ∞ ∞ Với hai dãy số thực {ai }∞ i=0 {bi }i=0 ta xét hai dãy số {pn }n=−1 {qn }n=−1 sau: p−1 = 1, p0 = a0 , , pn+1 = an+1 pn + bn pn−1 q−1 = 0, q0 = 1, , qn+1 = an+1 qn + bn qn−1 ∞ Khi mối quan hệ giản phân thứ n hai dãy số {ai }∞ i=0 {bi }i=0 với ∞ thương thứ n hai dãy số {pn }∞ n=−1 {qn }n=−1 thể bổ đề sau Bổ đề 1.1.3 Với kí hiệu giả thiết ta có giản phân un = n ≥ pn với qn Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức quy nạp theo n Thật vậy, với n = n = hiển nhiên kết Giả sử quy nạp pn bn cho n, nghĩa ta có un = Thay an biểu thức un an + ta thu qn an+1 un+1 Theo định nghĩa ta có pn , qn khơng phụ thuộc vào bn an+1 nên từ công thức truy hồi pn an pn−1 + bn−1 pn−2 = qn an qn−1 + bn−1 qn−2 ta có bn )pn−1 + bn−1 pn−2 an+1 bn qn−1 + bn−1 qn−2 (an + an+1 ) (an an+1 + bn )pn−1 + an+1 bn−1 pn−2 (an an+1 + bn )qn−1 + an+1 bn−1 qn−2 an+1 (an pn−1 + bn−1 pn−2 ) + bn pn−1 an+1 (an qn−1 + bn−1 qn−2 ) + bn qn−1 an+1 pn + bn pn−1 an+1 qn + bn qn−1 pn+1 qn+1 (an + un+1 = = = = = Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.1.3 cho ta cơng thức tính giản phân qua thương dãy số Mệnh đề số hữu tỷ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn biểu diễn Trước tiên ta nhắc lại thuật toán Euclid tìm ước chung lớn hai số nguyên Chú ý 1.1.4 (i) Cho số nguyên a, b ∈ Z, b > Khi biết tìm ước chung lớn a b cách thức thuật toán Euclid sau: a = a0 b + r1 , < r1 < b b = a1 r1 + r2 , < r2 < r1 , r1 = a2 r2 + r3 , < r3 < r1 , , rn−2 = an−1 rn−1 + rn , < rn < rn−1 , rn−1 = an rn , trình phải dừng sau hữu hạn bước ta có gcd(a, b) = rn (ii) Từ thuật tốn ta thu hai dãy số nguyên hữu hạn {ai }ni=0 b0 = b1 = = bn = Khi giản phân {ai }ni=0 {bi }ni=0 u0 = a0 = [a0 ], u1 = a0 + = [a0 ; a1 ], , un = = [a0 ; a1 , a2 , , an ] a1 (iii) Từ thuật toán ta thu dãy truy hồi p0 = a0 , p1 = a1 p0 + 1, , pn = an pn−1 + pn−2 q0 = 1, q1 = a1 , , qn = an qn−1 + qn−2 Ta có tính chất quan trọng số hữu tỷ thể mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.5 Mỗi số hữu tỷ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn Chứng minh Cho a/b số hữu tỷ với b > Theo thuật toán tìm ước chung lớn cơng thức giản phân ta có a = a0 + b b r1 = a0 + 1 a1 + r1 r2 = a0 + a1 + a2 + a3 + an−2 + an−1 + an Vậy số hữu tỷ a/b viết thành liên phân số hữu hạn a/b = [a0 ; a1 , , an ] Mệnh đề chứng minh Như biết biểu diễn số hữu tỷ dạng phân số không Tuy nhiên mệnh đề biểu diễn số hữu tỷ thành liên phân số Mệnh đề 1.1.6 Biểu diễn số hữu tỷ thành liên phân số hữu hạn dạng [a0 ; a1 , , an ] Chứng minh Cho a/b số hữu tỷ giả sử [a0 ; a1 , , an ] = a = [b0 ; b1 , , bm ] b Ta cần chứng minh m = n = bi , với i = 0, 1, , n Thật vậy, với n = ta có a0 = [b0 ; b1 , , bm ] Vì b0 phần nguyên a0 a0 số nguyên nên m = a0 = b0 Giả sử quy nạp cho n − 1, nghĩa kết luận cho liên phân số hữu hạn có độ dài nhỏ n Từ biểu thức [a0 ; a1 , , an ] = a = [b0 ; b1 , , bm ] b ta suy a0 = b0 , phần nguyên số hữu tỷ Khi ta có [0; a1 , , an ] = a − a0 = [0; b1 , , bn ] b Do [a1 ; a2 , , an ] = [b1 ; b2 , , bm ] Theo giả thiết quy nạp ta có n−1 = m−1 = bi , với i = 1, , n Ví dụ 1.1.7 Xét số hữu tỷ 187/4, ta có 187 = 46.4 + 3, = 1.3 + 1, = 3.1 Do 1.1.2 187 = [46; 1, 3] Liên phân số vô hạn Trong mục tập trung trình bày kiến thức liên phân số vơ hạn Trong chúng tơi trình bày lại tính chất tốt liên phân số vơ hạn số vơ tỷ viết dạng liên phân số vô hạn Các kết mục viết theo tài liệu [1] Định nghĩa 1.1.8 (i) Liên phân số vô hạn biểu thức có dạng q0 + (1.2) q1 + q2 + + qs đó, q0 số nguyên, qs với s = 1, 2, số nguyên dương kí hiệu [q0 ; q1 , , qs , ] (ii) Phần tử qs gọi số thương hụt hay số hạng thứ s liên phân số Chú ý 1.1.9 (i) Cho α ∈ / Q số thực Số [α] định nghĩa số nguyên cho [α] ≤ α < [α] + Đặt α0 = α = a0 + , với a0 = [α] ∈ Z, α1 > α1 Vì α ∈ / Q nên α1 khơng số ngun Khi ta có α1 = a1 + , với a1 = [α1 ] ∈ Z, α2 > α2 Tiếp tục trình đến bước thứ n + ta αn = an + αn+1 , với an = [αn ] ∈ Z, αn+1 > Vì α ∈ / Q nên αn+1 không số hữu tỷ nên q trình kéo dài vơ hạn Do α = [a0 ; a1 , , ] biểu diễn số vô tỷ qua liên phân số vô hạn Đặt πn = [a0 ; a1 , , an ], với n = 0, 1, Khi πn gọi liên phân số hữu hạn liên phân số vô hạn α (ii) Từ cách tìm số αi ta suy biểu diễn số vô tỷ α = [a0 ; a1 , , ] Từ Chú ý 1.1.9 ta suy hệ quan trọng sau: Hệ 1.1.10 Mỗi số vô tỷ biểu diễn cách dạng liên phân số vô hạn Chứng minh Theo Chú ý 1.1.9 (i) số vơ tỷ có biểu diễn thành liên phân số vô hạn Tiếp theo giả sử [a0 ; a1 , , ] = α = [b0 ; b1 , , ] hai biểu diễn số vô tỷ α Theo Chú ý 1.1.9 (ii) ta suy điều cần chứng minh √ 1 Ví dụ 1.1.11 Cho α = = + Suy a1 = √ = + Từ ta a1 a2 3−1 có a2 = √ =2+ a3 3−1 Do 1 a3 = √ =1+ a4 3−1 Một cách tương tự a2n = √ , a2n+1 = √ 3−1 2−1 √ với n ≥ Vì = [1, 1, 2, 1, 2, 1, ] Ví dụ 1.1.12 Cho α = √ 1 = + Từ ta = + Suy a1 = √ a1 a2 2−1 có 1 a2 = √ =2+ a3 2−1 √ Một cách tương tự an = √ với n ≥ Vì = [1, 2, 2, ] 2−1 Tiếp theo số tính chất liên phân số vơ hạn dùng cho phần chứng minh sau Chú ý 1.1.13 Với hai dãy số nguyên dương {ai }∞ i=0 bi = 1, i = 0, 1, ta xét dãy truy hồi sau p0 = a0 , p1 = a1 p0 + 1, pn = an pn−1 + pn−2 , q0 = 1, q1 = a1 ,n = an qn−1 + qn−2 Khi tính chất sau đúng: pi (i) πi = , với i = 0, 1, qi (ii) pn qn nguyên tố nhau, nghĩa πn phân số tối giản pn−1 αn + pn−2 , với n ≥ (iii) α = qn−1 αn + qn−2 (iv) lim πk = α k→∞ (−1)n+1 (v) πn − πn−1 = , với n ≥ qn−1 qn √ Bổ đề 1.1.14 Cho d số vơ tỉ Khi đó, tồn vơ số cặp số nguyên dương (p, q) thỏa mãn: √ √ p d − < ⇒ < q d − p < ⇒ q > q q2 q Mà √ ... pn−1 + bn−1 pn? ?2 = qn an qn−1 + bn−1 qn? ?2 ta có bn )pn−1 + bn−1 pn? ?2 an+1 bn qn−1 + bn−1 qn? ?2 (an + an+1 ) (an an+1 + bn )pn−1 + an+1 bn−1 pn? ?2 (an an+1 + bn )qn−1 + an+1 bn−1 qn? ?2 an+1 (an pn−1... = √ =1 + a4 3−1 Một cách tương tự a2n = √ , a2n+1 = √ 3−1 2? ??1 √ với n ≥ Vì = [1, 1, 2, 1, 2, 1, ] 8 Ví dụ 1.1. 12 Cho α = √ 1 = + Từ ta = + Suy a1 = √ a1 a2 2? ??1 có 1 a2 = √ =2 + a3 2? ??1 √...1 2 2 nghiệm phương trình x − Dy = ±1 x − Dy = ±4 Luận văn gồm chương: Chương 1: Chúng giới thiệu kết liên phân số, giản phân cấu trúc nghiệm phương trình Diophantine x2 − Dy = ±1 Chương 2: