Đang tải... (xem toàn văn)
1 Bảng ký hiệu N∗ tập các số tự nhiên dương (a) dãy các số thực Mr(a) trung bình bậc r A(a) trung bình cộng G(a) trung bình nhân 3 Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học khô[.]
1 Bảng ký hiệu N∗ tập số tự nhiên dương (a) Mr (a) dãy số thực trung bình bậc r A(a) G(a) trung bình cộng trung bình nhân Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn v.v Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến bất đẳng thức hay đề cập thường thuộc loại khó khó Các tốn ước lượng tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) tổng, tích tốn xác định giới hạn số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến tính tốn, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng Trong bất đẳng thức, thứ tự xếp đại lượng trung bình số thực dương đóng vai trị quan trọng việc so sánh giá trị đại lượng trung bình Ngồi thứ tự xếp số đại lượng trung bình thơng thường trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa v.v , người ta quan tâm đến giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Mục đích luận văn nhằm khảo sát tính chất giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Nội dung đề tài luận văn trình bày chương Chương "Một số giá trị trung bình sơ cấp": trình bày kiến thức giá trị trung bình thơng thường, định lý trung bình cộng trung bình nhân, số tính chất trung bình Các kiến thức chương viết sở tổng hợp từ tài liệu [1] [2] Chương "Giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan": trình bày tính chất đặc trưng giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Các kiến thức chương viết sở tài liệu [1], [2], [3] [4] Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy khoa Tốn - Tin thầy trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Bạch Đằng, Thủy Nguyên, Hải Phòng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hương Chương Một số giá trị trung bình sơ cấp Chương trình bày số khái niệm tính chất giá trị trung bình sơ cấp Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp Mục trình bày kiến thức về: giá trị trung bình thơng thường, định lý trung bình cộng trung bình nhân, số tính chất trung bình 1.1.1 Giá trị trung bình thơng thường Giả sử n ∈ N∗ Xét tập dãy số dương (a) := (a1 , a2 , , , , an ); (b) := (b1 , b2 , , bi , , bn ) Ký hiệu dãy khơng dãy gồm tồn số 0, nghĩa (0) := (0, 0, , 0) Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) tồn hai số α β không đồng thời cho αai = βbi (i = 1, 2, , n) Nhận xét 1.1.2 (i) Từ định nghĩa ta thấy dãy (0) tỷ lệ với dãy (a) (ii) Nếu hai dãy (a) (b) tỷ lệ hai dãy khác dãy (0) bi = = Sau định nghĩa trung bình bậc r với r 6= số thực cho trước Định nghĩa 1.1.3 Tổng Mr (a) định nghĩa bởi: Mr (a) := n 1 X n ari 1/r , (1.1) i=1 gọi trung bình bậc r, (a) := (a1 , a2 , , an ) dãy gồm n số không âm Nếu đặt A(a) := M1 (a) (1.2) H(a) := M−1 (a) (1.3) G(a) := √ n a1 a2 an , (1.4) thay tương ứng vào công thức (1.1), ta nhận trung bình cộng thơng thường n 1X A(a) = , n i=1 trung bình điều hịa H(a) = n 1 X n a−1 i −1 i=1 trung bình nhân G(a) tương ứng 1.1.2 Trung bình có trọng Giả sử pi > (i = 1, , n) (1.5) đặt n P Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = pi ari !1/r i=1 n P , (1.6) pi i=1 Mr = (r < số số a = 0) (1.7) G = G(a) = G(a, p) = ap11 ap22 apnn n 1/ P pi i=1 (1.8) Vì trung bình hàm bậc không p, nên không làm n P tính tổng quát ta giả sử pi = Khi ta viết qi thay cho pi i=1 sau: Mr (a) = Mr (a, p) = n X qi ari 1/r n X i=1 qi = (1.9) i=1 G(a) = G(a, p) = aq11 aq22 aqnn n X qi = (1.10) i=1 Định nghĩa 1.1.4 Xét số thực r khác Khi tổng Mr (a, p) xác định theo công thức (1.9) gọi trung bình bậc r theo trọng (q) Nhận xét 1.1.5 (i) Ứng với r = −1, r = r = ta nhận trung bình điều hịa, trung bình cộng trung bình bình phương (ii) Trung bình có trọng trở thành trung bình thông thường pi = với i = 1, , n 1.1.3 Một số tính chất trung bình Mr (a) Để chứng minh tính chất trung bình Mr (a), ta cần sử dụng bất đẳng thức sau Định lý 1.1.6 Giả sử (a), (b), , (l) m dãy, dãy gồm n số, α, β, , λ số dương với α + β + · · · + λ = Khi đó, n n n n X α X β X λ X α β λ bi li < bi li , i=1 i=1 i=1 i=1 trừ trường hợp (1) tất dãy (a), (b), , (l) tỷ lệ, (2) có dù dãy dãy (0) Tính chất 1.1.7 (i) Nếu < r < s Mr (a) < Ms (a), (1.11) trừ trường hợp tất phần tử dãy (a) (ii) Nếu < r < s < t Ms (a)s < (Mr (a)r )(t−s)/(t−r) (Mtt (a))(s−r)/(t−r) (1.12) Chứng minh (i) Đặt r = sα pas = u, p = v Khi < α < 1, v > pasα = (pas )α p1−α = uα v 1−α Sử dụng Định lý 1.1.6 ta nhận n n n X α X 1−α X α 1−α ui vi , (1.13) ui vi < i=1 i=1 i=1 trừ trường hợp ui /vi không phụ thuộc vào i, tức không phụ thuộc vào i Vì vậy, )1/sα ( P )1/s (P n n s sα p a p a i i i=1 i i P Pi=1 < n n i=1 pi i=1 pi (ii) Đặt s = rα + t(1 − α), (0 < α < 1) Khi bất đẳng thức (1.12) có dạng n n X α X 1−α X s r t qi < qi qi , i=1 i=1 i=1 đặt u = qar , v = qat ta đưa trường hợp riêng Định lý 1.1.6 Điều kiện để xảy dấu dãy (u) (v) tỷ lệ Nhận xét 1.1.8 Tính chất (1.11) trường hợp r, s thỏa mãn r < s (xem Định lý 5, Định lý [1]) 1.2 Hàm so sánh Mục trình bày kiến thức bất đẳng thức số hàm so sánh 1.2.1 Bất đẳng thức Định lý 1.2.1 Với hai dãy số thực (a) (b) ta có n X bi 2 ≤ i=1 n X a2i i=1 n X b2i (1.14) i=1 Bất đẳng thức với giá trị thực a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Ta gọi a1 , , an , b1 , bn biến bất đẳng thức Cả hai vế bất đẳng thức (1.14) hàm bậc hai (a) (b) Định lý 1.2.2 Giả sử k 6= 0, k 6= k liên hợp với k, tức 1/k + 1/k = Khi đó, n X bi < i=1 n X aki n 1/k X i=1 bki 1/k0 , k>1 (1.15) , k n X aki n 1/k X i=1 bki 1/k0 i=1 trừ trường hợp dãy (ak ) (bk ) tỷ lệ dãy (ab) dãy (0) Bất đẳng thức Cauchy Định lý 1.2.1 trường hợp riêng Định lý 1.2.2 k = k = 2, k liên hợp với Chứng minh (i) Giả sử k > 1, lúc (1.15) trường hợp riêng Định lý 1.1.6 với hai dãy α = 1/k, β = 1/k Trường hợp dạng thông thường bất ng thc Hăolder (ii) Bõy gi gi s < k < 1, k < Nếu phần tử dãy (b) không thừa số thứ hai vế phải (1.16) phải coi khơng, (1.16) dãy (ab) khác dãy (0) 10 Nếu phần tử dãy (b) dương, ta xác định l, u, v đẳng thức l= k l > 1, k = −kl0 u = (ab)k , v = b−k 0 ab = ul ak = uv, bk = v l Khi (1.16) trở (1.15) với u, v, l thay cho a, b, k (iii) Nếu k < < k < Trường hợp đưa (ii) cách đổi chỗ (a) (b), k k Cả (ii) (iii) nằm (1.16) Sau định nghĩa số tính chất tổng Sr (a) với r > số thực tùy ý Định nghĩa 1.2.3 Tổng Sr (a) xác định Sr (a) := n nX ari o1/r i=1 với r > số thực tùy ý gọi tổng bậc r số (a) Tổng bậc r số (a) có tính chất sau Tính chất 1.2.4 (i) Nếu < r < s < t (t−s)/(t−r) (s−r)/(t−r) s r t Ss (a) < Sr (a) St (a) (1.17) trừ trường hợp tất phần tử dãy (a) khác không (ii) Nếu < r < s Ss (a) < Sr (a) (1.18) trừ trường hợp có phần tử dãy (a) khác khơng Nhận xét 1.2.5 (i) Tính chất 1.2.4(i) Tính chất 1.1.7(ii) Thật vậy, Sr (a) = n1/r Mr (a), (1.19) trung bình Mr (a) thành lập với trọng đơn vị (1.17) đưa (1.12) 11 (ii) Tính dấu P (1.12) (1.17) giải thích tương ứng Tính chất 1.1.7(ii) Tính chất 1.2.4(i) Ứng với Tính chất 1.1.7 ta có Tính chất 1.2.4(ii) tổng với dấu bất đẳng thức ngược lại Do (1.18) theo (a), ta P giả sử ni=1 ari = tức Sr (a) = 12 Khi đó, ≤ với i, asi ≤ ari n X i=1 asi ≤ n X ari = i=1 Nếu có phần tử dãy (a) dương có phần tử dãy (a) nhỏ 1, ta có dấu bất đẳng thức Tính đơn điệu tổng Sr (a) nêu đinh lý Định lý 1.2.6 Với n số dương (x), tổng Sr (x) nghịch biến khoảng (−∞, 0) (0, +∞) Ngoài ra, lim Sr (x) = min{xi ; i = 1, 2, , n} r→−∞ lim Sr (x) = max{xi ; i = 1, 2, , n} r→+∞ Chứng minh Vì Sr (x) khả vi khoảng (−∞, 0) (0, +∞), nên ta kiểm tra tính đơn điệu cách tính đạo hàm xét dấu khoảng tương ứng Sử dụng đẳng thức n X r ln Sr (x) = xri i=1 để tính đạo hàm hai vế theo r, ta suy kết luận định lý Định lý 1.2.7 Với n số dương (a), hàm số f (r) := r ln Sr (a) hàm lồi theo r Chứng minh Chứng minh suy từ tính chất lồi hàm số F (r) := r ln Mr (a, α) Thật vậy, F (r) hàm khả vi, nên ta kiểm tra tính lồi trực tiếp thơng qua tính đạo hàm hàm số n X r g(r) = ln αi i=1 ... tâm đến giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Mục đích luận văn nhằm khảo sát tính chất giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Nội dung đề tài luận văn trình... từ tài liệu [1] [2] Chương "Giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan": trình bày tính chất đặc trưng giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Các kiến thức chương... trưng giá trị trung bình Mục giới thiệu giá trị trung bình xác định với hàm tùy ý Mϕ (a) với hàm ϕ cho trước, tính tương đương giá trị trung bình với hàm tùy ý, tính chất đặc trưng giá trị trung bình