SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
ĐỀ THITHỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
1
x m
y
x
(
m
là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với
2
m
.
b) Tìm tất cả các giá trị của
m
để đường thẳng
2 1
y x
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho
2 2
14
OA OB
( với
O
là gốc tọa độ).
Câu 2(1,0 điểm) Giải phương trình:
(2cos 1)sin4
2sin 2
cos sin
x x
x
x x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2 0
,
2 2
x xy x
x y
x y y y x x
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân :
4
0
cos2
(1 sin 2 ).cos( )
4
x
I dx
x x
.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang,
0
90
BAD ADC
,
3
AB a
,
2
AD CD SA a
,
( )
SA ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm
SAB
, mặt phẳng
( )
GCD
cắt
,
SA SB
lần lượt
tại
,
M N
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.
S CDMN
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
,
DM BC
.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực
, ,
a b c
không âm thay đổi thoả mãn
3
2
a b c
. Chứng minh rằng:
2 2 2
125
1 1 1
64
a b c
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a
(1,0 điểm) Trong hệ tọa độ
Oxy
cho hình bình hành
ABCD
tâm
I
, có diện tích bằng 4, phương
trình đường thẳng
: 0
BC x y
, biết
(2;1)
M
là trung điểm của
AB
. Tìm tọa độ điểm
I
.
Câu 8.a
(1,0 điểm) Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn
2 2
( ): 1 1 4
C x y
. Lập phương trình
đường thẳng
d
cách gốc tọa độ một khoảng bằng 2 và tiếp xúc với đường tròn
( )
C
.
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho
0
x
và
1 2 3 2 1 2 2 1 36
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
. Tìm số hạng không
phụ thuộc
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
5
1
n
x
x
.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b
(1,0 điểm) Trong hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có điểm
(2; 1)
G
là trọng tâm, đường thẳng
:3 4 0
d x y
là đường trung trực của cạnh BC, đường thẳng
AB
có phương trình
10 3 1 0
x y
.
Tìm tọa độ các điểm
, , .
A B C
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong hệ toạ độ
Oxy
cho elíp
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E
và đường thẳng
: 3 4 12 0
d x y
.
Gọi các giao điểm của đường thẳng
d
và elip
( )
E
là
,
A B
. Tìm trên
( )
E
điểm
C
sao cho tam giác
ABC
có diện tích bằng 6.
Câu 9.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 1
3 2
2 4
2
2 2 6.4
log ( 1) log (2 1) log 2
x x y y
x y y
Hết
Cảm
ơ
n
bạ
n
(
hot
b
o
y
t
h
75
@gm
ail.c
o
m
)
đ
ã
gửi
t
ới
www
.
l
ais
ac.
page.
t
l
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THITHỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2012-2013
Môn thi: TOÁN, khối A
( Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
Với
1
m
ta có
2
1
x
y
x
Tập xác định:
\{1}
D R
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
1
' 0 1
( 1)
y x
x
0.25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ;1)
và
(1; )
- Giới hạn và tiệm cận: lim
x
-∞
y = 1, lim
x
+∞
y = 1 ; tiệm cận ngang là y = 1
1
lim
x
y = + ∞ ;
1
lim
x
y = -∞; tiệm cận đứng là x = 1
0.25
-
Bảng biến thiên:
x -
∞ 1 +∞
y’ + +
y +∞
1
1
-∞
0.25
1a
(1 điểm)
Đồ thị:
6
4
2
-2
5
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(1;1) làm tâm đối xứng
0.25
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
2 1
1
2 4 1 0(*)
x
x m
x
x
x x m
0.25
đường thẳng
2 1
y x
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt
(*)
có hai nghiệm phân biệt
khác 1
1
m
0.25
Gọi
1 1 2 2
( ;2 1); ( ;2 1)
A x x B x x
;
2 2 2
1 2 1 2 1 2
14 5( ) 10 4( ) 12
OA OB x x x x x x
0.25
1b
(1 điểm)
Vì
1 2 1 2
2; 1
x x x x m
nên
1
m
(thỏa mãn).
0.25
Điều kiện:
( )
4
x m m Z
. Phương trình đã cho tương đương với:
sin 2 cos sin 2cos 1 sin 2
x x x x x
0.25
sin 2 0(*)
cos sin 2cos 1 1(**)
x
x x x
. Ta có
(*) ( )
2
k
x k Z
0.25
2
(1 điểm)
(**) sin 2 sin ( )
2
4 4
6 3
x k
x x k Z
k
x
0.25
So sánh điều kiện ta được
2
; ( )
2 6 3
k k
x x k Z
0.25
Điều kiện:
0, 0.
x y
Ta có
2
2 0 0; 2 1
x xy x x x y
Với
0
x
thay vào phương trình thứ hai ta được
0
y
.
0.25
Với
2 1
x y
ta có ta có
2 1
2 2 2
2 2
x y
x y x y y y x x
x y y y x x
0.25
2 5 0
x y x xy y x y
0.25
3
(1 điểm)
Với
x y
suy ra
1
x y
.Vậy hệ có hai nghiệm
0; 1
x y x y
0.25
Ta có
4 4
2
2
0 0
(cos sin )(cos sin ) (cos sin )
2
1
(sin cos )
(sin cos ) . (cos sin )
2
x x x x x x
I dx dx
x x
x x x x
0.25
Đặt
sin cos (cos sin )
t x x dt x x dx
;
0 1; 2
4
x t x t
0.25
2
2
1
2
2
2
1
dt
I
t t
0.25
4
(1 điểm)
2 1
0.25
Vì
/ /
DC AB
nên
/ / ; / /
MN AB MN CD
2
2
3
MN AB a CD
;
2 4
2 2.
3 3
SCDMN SCDM SCDA SCDA
V V V V
0.25
3 3
1 4 16
.
3 3 9
SCDA CDA SCDMN
V SA S a V a
0.25
/ /
DM CN
nên
2
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
3
d DM BC d M SBC d A SBC
Gọi
K
là hình chiếu của
A
trên
BC
,
H
là hình chiếu của
A
trên
SK
thì
( ,( ))
d A SBC AH
0.25
5
(1 điểm)
K
M
N
G
C
B
A
D
S
H
2
6
5
ABC
S
a
AK
BC
;
2 2 2
1 1 1 6
14
a
AH
AH AS AK
4
( , )
14
a
d DM BC
Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp tọa độ.
0.25
Ta có
2 2 2 2 2 2
125 5
1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 3ln
64 4
a b c a b c
0.25
Xét hàm số
2
2
4 3 2 4 1
( ) ln(1 ) , 0; ; '( ) 0
5 2 1 5 2
t
f t t t t f t t
t
1 5 2 3 13 6 5 2 3
(0) 0; ln ; ln ( ) ln 0;
2 4 5 2 4 5 4 5 2
f f f f t t
0.25
Do đó
2 2 2
4 5 6
ln 1 ln 1 ln 1 3ln
5 4 5
a b c a b c
đpcm
0.25
6
(1 điểm)
Dấu bằng xảy ra
1
2
a b c
0.25
Đường thẳng
MI
qua
M
và song song với
BC
nên có phương
trình
1 0
x y
0.25
7a
(1 điểm)
I
M
C
A
B
D
1
( , ) ; 4 2. ( , ). 4 2 2
2
ABCD
d M BC S d M BC BC BC
2
2
BC
MI
0.25
Gọi
3
( ; 1); 2
1
a
I a a MI
a
0.25
Suy ra
(3;2)
I
hoặc
(1;0)
I
.
0.25
Gọi phương trình đường thẳng
d
là
2 2
0( 0)
ax by c a b
,
2 2
( ; ) 2 2
c
d d O
a b
0.25
Đường tròn có tâm
(1;1)
I
bán kính
2
R
. Vì
d
tiếp xúc với
( )
C
nên
2 2
( ; ) 2 2
a b c
d d O
a b
0.25
suy ra:
| | | |
a b c c
2
b a
a b
c
0.25
8a
(1 điểm)
Với
b a
, chọn
1 1; 2 2
a b c
ta được phương trình
2 2 0
x y
Với
2
a b
c
ta có
2 2
15 2 15 0 0
a ab b a b
(không thỏa mãn).
0.25
Ta có
2 1
2 1 2 1
: 0 2 1
k n k
n n
C C k k n
nên
1 2 3 2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
2
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C C
0.25
Mà
2 1 0 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 1)
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
suy ra
36
2 2 18
n
n
0.25
18 18
18 18
6 18
5 5 5
5
18 18
0 0
1 1 1
.( ) ( 1) .
n k
k k k k
k k
x x C x C x
x x x
0.25
9a
(1 điểm)
Số hạng không phụ thuộc
x
ứng với
6 18
0 3
5
k
k
.
Suy ra số hạng cần tìm là
3 3
18
( 1) 816
C
0.25
Gọi
M
là trung điểm
BC
, vì
M d
nên
( ;3 4)
M m m
. Mà
2
GA GM
nên
(6 2 ;5 6 )
A m m
0.25
2 (2;2), (2; 7)
A AB m M A
0.25
BC
qua
M
và vuông góc với
d
nên có phương trình
3 8 0
x y
B AB BC
nên
( 1;3)
B
0.25
7b
(1 điểm)
M
là trung đểm
BC
nên
(5;1)
C
.
0.25
Vì
,
A B
là.các giao điểm của đường thẳng
d
và elip
( )
E
nên
(4;0), (0;3)
A B
hoặc
(4;0), (0;3)
B A
5
AB
0.25
Gọi
( ; )
C a b
,
3 4 24
1
6 . ( , ) 6 3 4 12 12
3 4 0
2
ABC
a b
S AB d C d a b
a b
0.25
Vì
( )
C E
nên
2 2
1
16 9
a b
0.25
8b
(1 điểm)
Giải hệ ta tìm được
3
2 2;
2
C
hoặc
3
2 2;
2
C
0.25
Điều kiện
1
1; 2;
2
x y y
.
Từ phương trình đầu ta có:
2( )
2 2
2.2 2 6 0 1
3
2
2
x y
x y x y
x y
y x
0.25
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
3 2
2 4
2
log ( 1) log (2 1) log 1
x x x
3 3 2
2 2
log ( 1) log 2 1 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 1
x x x x x x x x x
0.25
9b
(1 điểm)
Với
1
2
x
thì ta được phương trình:
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
0.25
Với
1
1
2
x
thì ta được phương trình:
2
0 0
x x x
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm
( ; ) (0; 1),(1;0),(2;1)
x y
0.25
Hết
Cảm
ơ
n
bạ
n
(
hot
b
o
y
t
h
75
@gm
ail.c
o
m
)
đ
ã
gửi
t
ới
www
.
l
ais
ac.
page.
t
l
. THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN, khối A Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ. GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2012-2013 Môn thi: TOÁN, khối A ( Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM . mặt phẳng ( ) GCD cắt , SA SB lần lượt tại , M N . Tính theo a thể tích khối chóp . S CDMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng , DM BC . Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực , , a b c