Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD thuộc đoạn thẳng AD, mặt bên SAB tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45 o.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20122013
Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y=x3-3x 2 + có đồ thị là ( ) 2 C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến cắt các trục Ox Oy lần lượt tại hai ,
điểm , A B phân biệt sao cho 1
9
OA= OB (O là gốc tọa độ).
Câu 2 (2,0 điểm).
1 sin sin 2 cos sin 2 2 cos ( )
4
log x + +x 1 -log x=2 x- x .
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân:
2
2
0
sin 2
2 cos 2 sin
x
p
=
Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABCD có SA= a 3 , tứ giác ABCD là hình thang cân với đáy
lớn là AD , AB=BC=CD= a , · 60 o
BAD = Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD )
thuộc đoạn thẳng AD, mặt bên ( SAB ) tạo với mặt phẳng (ABCD ) một góc 45 o Tính theo a thể
tích khối chóp S ABCD .
Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2
ï
í
ï
î
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 6.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A (1; 2) . Viết phương trình đường tròn ( ) T ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng ( ) :d x-y - = 1 0
tiếp xúc với đường tròn ( ) T tại điểm B.
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1; 2;3 ,) ( B 3; 4;1 ) và mặt phẳng ( )P : x-y+ - = z 1 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( ) P để tam giác MAB đều.
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 2 ( 2 ) 6
1
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 6.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh là ( AB) : x+2y-2=0,( AC) : 2x+ y + = 1 0 , điểm M ( ) 1; 2 thuộc đoạn thẳng BC.
Tìm tọa độ điểm D sao cho uuur uuur DB DC
có giá trị nhỏ nhất.
Câu7.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
S x +y +z - x+ y+ z - = Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa trục Ox và cắt mặt
Câu 8.b (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình ( m+2) x+m³ x - có nghiệm 1
trên đoạn [ ] 0; 2 .
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên ( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn ) gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2(Đáp án có 06 trang)
ĐÁP ÁN KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20122013
MÔN: TOÁN; KHỐI D
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Với bài hình học không gian nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
a Khảo sát sự biến thiên : 3 2
Tập xác định: D = ¡.
Ta có y'=3x2 - 6 x ; ' 0 0
2
x
y
x
=
é
= Û ê
=
ë
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥ ; 0) và (2;+¥ ; nghịch biến trên khoảng )
(0; 2)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 2 , yCT = 2.
Giới hạn: lim , lim
®+¥ = +¥ ®-¥ = -¥
0,25
Bảng biến thiên:
y' + 0 0 +
0,25
Đồ thị cắt trục tung tại (0;2) .
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm
(1;0); ( 1± 3; 0 )
.
0,25
b Viết phương trình tiếp tuyến của ….
1,00
1
Giả sử tiếp tuyến có dạng y=ax b + , vì , A B phân biệt nên ab ¹ 0 .
Khi đó: A( b ; 0), (0; ) B b
a
- Theo bài có: OB 9.OA 9 b | |b a 9
a
f(x )=(x^3)3 *(x)^2+2
5
5
x y
Trang 3Gọi điểm M x( 0; f x ( ) 0 ) là toạ độ tiếp điểm Þ f x '( ) o = a
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
é
0,25
Phương trình (2) vô nghiệm. Phương trình (1) có hai nghiệm là x0 = -1;x 0 = 3 0,25
Với x = - suy ra phương trình tiếp tuyến 0 1 y=9x + 7
Với x = suy ra phương trình tiếp tuyến 0 3 y=9x - 25 0,25
a
Giải phương trình: 1 sin sin 2 cos sin 22 2 cos (2 )
4
Ta có Phương trình: 1 sin x sin 2 cos sin 22 1 os 2
2
sin 2 sin cos sin 2 1 0 sin 2 sin 1 2 sin cos 0
0,25
2
2
x k
x
x k k Z
x
p
p
p p
é
=
ê
=
é
ê =
ê
1 2 sin+ x+2sinx = 0 vô nghiệm)
0,25
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm: ,
2
Điều kiện: x > 0
log x + +x 1 -log x- =1 3x- x + + x 1 0,25
log x + +x 1 -log 3x=3x- x + + x 1
Xét hàm số f t( )=log 3 t+ t trên (0; +¥) có ( ) 1 1 0, 0
ln 3
t
¢ = + > " >
Þ ( ) f t đồng biến trên (0; +¥) . Do x2 + + > và x 1 0 3x > 0
0,25
2
Þ phương trình (1) Û f x( 2+ +x 1)= f(3 )x Ûx2 + + =x 1 3xÛ x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 .
0,25
Tính tích phân:
2
2
0
sin 2
2 os 2sin
x
p
=
Ta có
3
Đặt t=sinxÞdt = cos xdx
2
Trang 42 2 2 2
+ -
1
1
0
0
1
1
t
+
Kẻ SH ^ AD tại H ÞSH ^(ABCD ) ÞSH ^ AB
Kẻ HI ^ AB tại I Þ AB ^ ( SHI ) Þ AB^ SI
· · ((SAB), (ABCD)) SIH 45 o
Vì H thuộc đoạn AD nên I thuộc tia AB
· · 60 O
IAH BAD
0,25
Đặt SH =x, (0<x< a 3) ÞAH2 =SA2-SH2 =3 a2- x 2 ;
Mặt khác
2 2
.sin 60
2
7
a
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AD os60
2
o a
3
2
a
BK = Þ AD=BC+2.AK = 2 a
2
0,25
4
V S ABCD SH S ABCD
Giải hệ phương trình:
2 2
ï
í
ï
î
1,00
Hệ phương trình Û ( ) ( ) ( )
ï
í
ï
ï
í
ï
î
0,25
Đặt u=x2 -3 ;x v= y2 + 4 y , hệ trở thành:
3 3
2
u
v
-
ì
=
Û
- =
Û
1; 0
5
3
u v
= =
é
ê
ê = - = -
ë
0,25
5
Với u=1;v=0, ta có:
2
2
3 13
3 1 0
2
4 0
0
y
Û
+ =
î
hoặc
3 13
2
4
x
y
=
ï
í
ï = -
î
0,25
x
a 3
a
a
a
45 o
60o
S
H
I K
Trang 5Với 5 ; 4
3
u= - v = - , ta có:
2
2
ì
Û
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm : (3 13;0); 3 13;0 ; (3 13; 4); 3 13 ; 4
.
0,25
Theo chương trình Chuẩn Viết phương trình đường tròn 1,00
Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp D ABC . Vì D ABC vuông cân tại A nên
I là trung điểm BC và AI ^ BC.
Theo giả thiết BC^( )d Þ d/ / AI ÞBán kính của ( ) T là: R=d A d ( , )= 2
0,25
1
| 1 2 |
5
2
c
c
d A BC
c
= -
é + +
ë Suy ra BC x: +y - = 1 0 hoặc BC x: +y - = 5 0
Đường cao AI của ABC V đi qua (1; 2) A và song song
với ( )d Þ AI x: -y + = 1 0
0,25
1 0 + - =
ì
- + =
î
Suy ra: ( ) :T x2 +(y -1)2 = 2
0,25 6.a
1 0 + - =
ì
- + =
î
( ) : (T x-2) +(y -3) = 2
Vậy có hai đường tròn: 2 2
( 1) 2
(x-2) +(y -3) = 2
0,25
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( ) P để tam giác MAB là tam giác đều 1,00
Giả sử điểm M x y z ( ; ; )
Tam giác MAB đều Û MA = MB = AB Û MA 2 = MB 2 = AB 2
Û
ï
í
ï
Û
3 0 ( 1) ( 2) ( 3) 12
+ - - =
ì
í
î
0,25 7.a
Do MÎ(P) Þ x y + z 1 = 0
0,25
d
I
A
Trang 6Ta có hệ phương trình :
1 0
3 0
x y z
x y z
ì - + - =
ï + - - =
í
ï
î
Û
PT (1) Û 4 3 2
2
z = ±
0,25
Vậy có 2 điểm M thoả mãn: 1 2;6 3 2 4 3 2; ; 2 2;6 3 2 4 3 2 ;
0,25
Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 2 ( 2 ) 6
1
P= x + - x . 1,00
Theo công thức nhị thức Niutơn, ta có:
6( 1) 6 ( 1) 6k k( 1) k 6 ( 1) 6
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x chỉ xuất hiện khi khai triển 2 C6 0(x - 1) 6 và
1 2 5
6 ( 1)
Hệ số của x trong khai triển 2 C6 0(x - 1) 6 là : C C 60. 6 2
Hệ số của 2
x trong khai triển 1 2 5
6 ( 1)
6. 5
C C
8.a
Vì vậy hệ số của x trong khai triển 2 P thành đa thức là : C C 60. 6 2 - C C 16. 5 0 = 9. 0,25
Theo chương trình Nâng cao
Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DC uuur uuur .
Phương trình các đường phân giác góc A là
3 0
- + =
+ - =
ë
x y
x y
Do ΔABC cân tại A nên phân giác trong ( l a )
của gócA vuông góc với BC
0,25
ÞPhương trình cạnh BC: x+y - = 3 0
B
Tọa độ C : 2 1 0 4 ( 4; 7)
C
Khi đó MB =uuur ( 3; 3 - )
; MC = - uuuur ( 5;5 )
ngược hướng ;
B,C nằm hai phía ( l a ) ( thỏa mãn)
0,25 6.b
n
;
BC ^AD MÎ BC ÞPhương trình cạnhBC: x-y + = 1 0 0,25
l a
C
B
A
M
Trang 7Tọa độ B : 2 2 0 0 (0;1)
B
Tọa độ C :
2
( ; )
3
x
x y
C
x y
y
ì
= -
ï + + =
- + =
ï
î Khi đó MB = - - uuur ( 1; 1 )
3 3
MC = -æç - ö ÷
uuuur
cùng hướng (loại)
Với (4; 1) B - ; C - ( 4; 7 ) . Đặt D x y( ; ) ÞDBuuur=( 4-x; 1- -y) ,uuur DC= - -( 4 x ; 7 - y )
Þuuur uuur = + - - = + - - ³ -
. Dấu '' '' 0
3
x
y
=
ì
= Û í
=
î Vậy D (0;3) thì uuur uuur DB DC
nhỏ nhất bằng 32.
0,25
Viết phương trình mặt phẳng ( ) P 1,00
( ) S có tâm (1; 2; 1) I - - và bán kính R = 3 . 0,25
( ) P chứa trục Ox và cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên
Ta có: OI uur (1; 2; 1) - -
( ) P có véc tơ pháp tuyến nr=éër uur i OI ; ù û =(0; 1; 2) -
7.b
Tìm tất cả các giá trị m để bpt ( m+2) x+m ³ x - có nghiệm trên đoạn 1 [ ] 0; 2 1,00
m+ x+m³ x- Û m+ x+m³x - x +
2
4 1
1
x x
m
x
- +
+ (vì x Î [ ] 0; 2 )
0,25
Xét hàm số ( )
2
4 1
1
x x
f x
x
- +
= + trên đoạn [ ] 0; 2 , ta có
( )
2
2
2 5
1
x x
x
+ -
+
0,25
Bảng biến thiên
f
0,25 8.b
Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm thì
m³ f x = f - + = - 0,25
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên ( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn ) gửi tới www.laisac.page.tl
+
1
1
2 6 6 f(x)
f'(x)
