Luận án đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn

1 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài a Nguyên nhân khách quan Phần lớn số 90 ngun tố hóa học 3000 khống chất tự nhiên có dạng tinh thể Trong chế tạo, vật liệu có cấu trúc tinh thể sử dụng nhiều cho hiệu cao Ngoài ra, vật liệu đa tinh thể ứng dụng nhiều sản xuất sản phẩm phục vụ mặt đời sống người Với ưu điểm có sẵn tự nhiên, dễ dàng chế tạo có tính ứng dụng cao, tương lai vật liệu đa tinh thể ngày sử dụng rộng rãi Trong trình chế tạo sử dụng, ta cần quan tâm lớn đến tính chất đàn hồi vật liệu Mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh thể phụ thuộc vào tính chất đơn tinh thể thành phần cấu thành, hình học tương tác chúng Do việc nghiên cứu tính chất cần thiết có ý nghĩa khoa học lẫn thực tiễn, giúp giải thích mối quan hệ tính chất vĩ mơ vật liệu với tính chất hình học vi mơ đơn tinh thể, giúp thiết kế vật liệu với tính chất theo yêu cầu Hướng nghiên cứu “đồng hóa vật liệu” hình thành từ kỷ 19, trải qua nhiều năm phát triển đạt nhiều thành tựu bật với kết ngày tốt Những kết giải tích cho hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể tiêu biểu như: Voigt, Ruess, Hill, Paul, Hashin-Strikman, Phạm Đức Chính Tuy nhiên kết mô số cụ thể chưa nhiều có cơng bố Lê Hồi Châu áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) nghiên cứu mô đun trượt đa tinh thể cấu tạo từ vô số đơn tinh thể có cấu trúc square liên kết hỗn độn với (gọi tắt đối xứng tinh thể square) Câu hỏi đặt là: đánh giá có phải kết tốt nhất, có tồn hay khơng đánh giá tốt hơn, làm để xây dựng đánh giá đáp ứng yêu cầu ngày cao sống người, tính tốn số cho mơ đun đàn hồi nào, liệu có khác biệt nhiều so với kết giải tích, …? Do đó, việc nghiên cứu hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể vấn đề có ý nghĩa lớn lĩnh vực khoa học vật liệu nói riêng học nói chung b Nguyên nhân chủ quan Lĩnh vực đồng hóa vật liệu hướng nghiên cứu lâu năm thầy hướng dẫn Phạm Đức Chính nhóm nghiên cứu Cơ học Vật liệu Viện Cơ học có nhiều kết cơng bố Bản thân NCS hồn thành luận văn thạc sỹ đồng hóa hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng có kết cơng bố lĩnh vực Nhận thấy nghiên cứu hệ số đàn hồi đa tinh thể có ý nghĩa, có nhiều điểm tương đồng phức tạp nhiều so với hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp Trong trình nghiên cứu, NCS thầy hướng dẫn có số kết định Từ lý trên, NCS lựa chọn đề tài “Đánh giá mô hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn” làm luận án nghiên cứu Mục tiêu, phƣơng pháp nghiên cứu luận án a Mục tiêu Luận án nhằm tìm đánh giá tốt đánh giá có, đưa kết đánh giá giải tích kết mơ số cụ thể b Phương pháp NCS tiếp cận tốn đường hướng lượng (tức thơng qua nguyên lý lượng cực tiểu bù cực tiểu) sử dụng phương pháp bản:  Phương pháp giải tích: Tìm lời giải tốn thơng qua việc tìm cực trị phiếm hàm lượng miền phần tử đặc trưng V ( gọi tắt Đường hướng biến phân) Đây phương pháp truyền thống mà tác giả trước sử dụng Cụ thể là: chọn nhiều trường thử cho ứng suất, biến dạng hệ số đàn hồi (trường số có nhiều tham số biến thiên), đặt vào phương trình học tốn, tìm điều kiện ràng buộc, biến đổi đến đánh giá cho hệ số đàn hồi đa tinh thể Phương pháp luận án sử dụng chương chương  Phương pháp số: áp dụng phương pháp PTHH cho tốn đồng hóa vật liệu đa tinh thể hỗn độn Các bước tiến hành tuân theo trình tự phương pháp PTHH nói chung Trong luận án sử dụng ngơn ngữ lập trình Python Matlab để xây dựng lưới phần tử, tính tốn ma trận, mơ hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể Phương pháp NCS sử dụng chương 4, chương trình tính toán liệt kê phần Phụ lục 3 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu luận án a Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hệ số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể hỗn độn không gian d chiều (bao gồm mô đun đàn hồi khối k mơ đun đàn hồi trượt µ) b Phạm vi nghiên cứu Đối với đánh giá, luận án xét vật liệu đa tinh thể tổng quát khơng gian d chiều, tính tốn cụ thể với đối xứng tinh thể chiều, chiều Đối với mô số, luận án xét vật liệu đa tinh thể 2D giới hạn với dạng hình học hexagonal, lý là: dạng hình học hexagonal có tính đối xứng cao (gần với dạng hình tròn) nên nghiên cứu thuận tiện hơn; nghiên cứu với vật liệu đa tinh thể 3D, dạng hình học pha khác dạng hỗn độn hoàn toàn tốn phức tạp, chưa có kết cơng bố nước giới nên khó khăn vấn đề đối chiếu so sánh Những đóng góp luận án a Lý thuyết:  Các trường luận án đưa cho không gian d chiều tổng quát so với kết chiều Pham  Các đánh giá kết tính tốn cụ thể cho mơ đun đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều luận án tốt so với đánh giá trước (Voigt, Ruess, Hashin-Strikman, Pham) b Mô số:  Các kết mơ số cho mơ đun đàn hồi diện tích trượt đa tinh thể chiều từ đối xứng tinh thể square, orthorhombic, tetragonal NCS thầy hướng dẫn công bố thời gian làm luận án  Các chương trình kết tính tốn PTHH luận án cho thấy kết số hội tụ vào đánh giá chúng tơi, kết chưa có cơng bố khác tương tự trước Bố cục luận án Luận án bao gồm nội dung sau: Mở đầu Trình bày tóm tắt ý nghĩa, mục tiêu, phương pháp, đối tượng nghiên cứu đóng góp luận án Chương 1: Tổng quan Trình bày ứng dụng khái niệm vật liệu đa tinh thể Tóm tắt trình phát triển, sở khoa học, đánh giá điển hình phương pháp tiếp cận tác giả trước nghiên cứu hệ số đàn hồi đa tinh thể Chương 2: Xây dựng đánh giá mô đun đàn hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều Áp dụng đường hướng biến phân để xây dựng đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô tổng quát, bước nghiên cứu tóm lược sau: Chọn trường cho ứng suất biến dạng (tổng quát trường phân cực Hashin- Strikman sử dụng) Sử dụng nguyên lý lượng cực tiểu (và bù cực tiểu), phương pháp nhân tử Lagrange kết hợp tìm cực trị phiếm hàm lượng, tối ưu theo tham số hình học vật liệu Chương 3: Đánh giá mô đun đàn hồi vĩ mô cho đa tinh thể hỗn độn từ lớp đối xứng tinh thể cụ thể Sử dụng công thức đánh giá xây dựng Chương để cụ thể hóa cho lớp đa tinh thể 2D (square, orthorhombic 2D, tetragonal 2D) 3D (tetragonal 3D) Sử dụng ngơn ngữ Matlab tính tốn giá trị cụ thể mô đun đàn hồi diện tích, thể tích mơ đun trượt vĩ mơ ứng với giá trị tham số hình học vật liệu Lập bảng so sánh với đánh giá Voigt, Reuss, Hashin- Strikman, đánh giá luận án, giá trị tự tương hợp rút nhận xét Chương 4: Áp dụng phương pháp PTHH so sánh với đánh giá cho số mơ hình đa tinh thể cụ thể Trình bày tóm tắt sở khoa học, quy trình tính tốn phương pháp PTHH cho tốn đồng hóa, bước biến đổi trung gian cho số đa tinh thể 2D Sử dụng ngôn ngữ Python, Matlab để mô giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô 2D, vẽ hình so sánh với kết đánh giá có (bao gồm kết luận án) đưa nhận xét Kết luận Trình bày kết luận án đạt được, hướng nghiên cứu NCS vấn đề mở từ luận án Ngoài ra, cuối luận án gồm phần sau: Danh mục cơng trình công bố liên quan đến luận án; Danh mục tài liệu tham khảo; Phụ lục giới thiệu sơ lược ngơn ngữ lập trình sử dụng luận án, trích dẫn số chương trình tính tốn cụ thể NCS sử dụng CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN Trong chương luận án trình bày tổng quan vật liệu đa tinh thể, tình hình nghiên cứu hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu theo trình phát triển Các sở khoa học, kết đánh giá phương pháp nghiên cứu chung thảo luận 1.1 Tổng quan vật liệu đa tinh thể Chất rắn trạng thái vật chất, điều kiện nhiệt độ áp suất cố định, chất rắn giữ nguyên thể tích riêng hình dạng riêng xác định Chất rắn chia làm hai loại: chất rắn kết tinh chất rắn vơ định hình Chất lỏng vật chất phi tinh thể số điều kiện thích hợp chuyển biến thành tinh thể Ngày nay, vật liệu đa tinh thể sử dụng nhiều lĩnh vực chế tạo máy, vật liệu xây dựng, đồ gia dụng sinh hoạt hàng ngày… Hình 1.1: Ứng dụng vật liệu đa tinh thể a Mơ hình đa tinh thể 2D b Mơ hình đa tinh thể 3D Hình 1.2(a, b): Mơ hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn Hình 1.2 mơ hình tổng qt vật liệu đa tinh thể hỗn độn nói chung: màu sắc khác đặc trưng cho hướng khác tinh thể, tinh thể xếp ngẫu nhiên lấp kín không gian vật liệu Các số (từ đến 1) trục mơ hình ký hiệu kích thước (khơng tính tổng qt, ta chọn kích thước đơn vị diện tích thể tích tương ứng với không gian 2D 3D) Các đặc điểm tính chất chung vật liệu đa tinh thể trình bày cụ thể phần 1.1.1 Các khái niệm Các tài liệu tham khảo chung đa tinh thể có nhiều từ sách giáo khoa, giáo trình [1-10], trang bách khoa toàn thư mở hay giảng liên quan, … Vật liệu đa tinh thể vật liệu cấu tạo từ hạt đơn tinh thể thường có xếp hỗn độn (chủ yếu tinh thể chất rắn) Tinh thể hay cấu trúc tinh thể dạng cấu trúc xếp theo trật tự hình học không gian xác định tạo nguyên tử, ion chất rắn liên kết với lực tương tác ngun tử Tinh thể chất có hình dạng đặc trưng xác định Chất rắn có cấu trúc tinh thể gọi chất rắn kết tinh Kích thước tinh thể chất tuỳ thuộc trình hình thành tinh thể (kết tinh) diễn biến nhanh hay chậm (tốc độ kết tinh nhỏ, tinh thể có kích thước lớn) Mỗi chất rắn kết tinh ứng với cấu trúc tinh thể có nhiệt độ nóng chảy xác định khơng đổi áp suất cho trước Ở áp suất 1atm: nước đóng đá chuyển từ trạng thái rắn sang lỏng (nóng chảy) 00C, thiếc nóng chảy 2320C, sắt nóng chảy 15380C Tinh thể chất rắn gồm hai dạng: đơn tinh thể đa tinh thể (trong chất rắn có cấu trúc đa tinh thể dạng vĩ mô) Đơn tinh thể (monocrystal hay single crystal): Là tinh thể chất rắn (hay gọi chất rắn kết tinh) cấu tạo từ cấu trúc tinh thể, tức hạt nguyên tử xếp mạng tinh thể chung Chất rắn đơn tinh thể có tính chất vật lý (mơ đun đàn hồi, hệ số dẫn, nở dài, độ bền, …) dị hướng (tức tính chất khơng giống theo hướng khác nhau) Các chất đơn tinh thể có nhiều ứng dụng như: Si, Ge dùng linh kiện bán dẫn; vàng, bạc, đồng… dùng bảng mạch điện tử ngành công nghiệp đại Đa tinh thể (polycrystal): tinh thể chất rắn cấu tạo từ vô số đơn tinh thể nhỏ liên kết hỗn độn liên tục với (hầu hết kim loại hợp kim chất đa tinh thể) Chất rắn đa tinh thể hỗn độn có tính chất vật lý giống theo hướng gọi tính đẳng hướng Các kim loại, hợp kim gốm đa tinh thể sử dụng phổ biến sống sinh hoạt hàng ngày, xây dựng, công nghiệp luyện kim, chế tạo máy, khoa học kỹ thuật … Tinh thể chất rắn cấu tạo từ loại phân tử có cấu trúc tinh thể khác tính chất vật lý khác Ví dụ điển hình kim cương than chì: cấu tạo từ cacbon (C) cấu trúc mạng tinh thể kim cương than chì hồn tồn khác nên tính chất vật lý chúng khác rõ rệt Kim cương chất rắn đơn tinh thể rắn nay, có tính khơng dẫn điện, cịn than chì mềm, bẻ gãy dễ dàng tay có tính dẫn điện Do đó, kim cương ngồi việc dùng làm đồ trang sức, tính chất vật lý cứng nên dùng làm mũi khoan địa chất, dao cắt, đá mài… Trong chất rắn, nguyên tử, ion, phân tử có khuynh hướng xếp để đạt độ trật tự cao (đối xứng) Khi xét đến cấu trúc tinh thể, ta cần quan tâm đến khái niệm mạng không gian ô sở Mạng không gian: phát triển khung tinh thể khơng gian ba chiều, ngun tử (hoặc phân tử) nối với đường thẳng Giao điểm đường thẳng gọi nút mạng Mỗi nút mạng bao quanh giống Ô sở (unit cell): mạng tinh thể nhỏ mà tịnh tiến theo hướng ba trục tinh thể ta thu tồn tinh thể Mỗi sở đặc trưng thông số sau:  Hằng số mạng: a, b, c, α, β, γ (xem Bảng 1.1);  Độ đặc khít: thể tích hạt tổng thể tích tinh thể;  Số phối trí (hay gọi số xếp số tọa độ) số lượng nguyên tử cách gần nguyên tử cho Số xếp lớn chứng tỏ mạng tinh thể dày đặc;  Số đơn vị cấu trúc: số hạt nguyên tử, phân tử ô sở 1.1.2 Cấu trúc tinh thể tính chất Cấu trúc tinh thể hay tinh thể cấu trúc tạo hạt (phân tử, nguyên tử, ion) liên kết chặt với lực tương tác xếp theo trật tự hình học khơng gian xác định gọi mạng tinh thể, hạt ln dao động nhiệt quanh vị trí cân Một cấu trúc tinh thể cấu tạo từ cở sở có nhiều nguyên tử xếp theo cách đặc biệt, vị trí chúng lặp lại cách tuần hồn khơng gian ba chiều theo mạng Bravais Tất vật liệu có cấu trúc tinh thể thuộc vào hệ tinh thể hay 14 mạng Bravais Trong trường hợp tổng quát, vật liệu có 81 hệ số đàn hồi, cấu trúc hình học tinh thể đối xứng số hệ số đàn hồi độc lập giảm (tính dị hướng theo tính chất đàn hồi giảm, xem Bảng 1.1) Do tên gọi hệ tinh thể dịch sang tiếng Việt có chút khác biệt tài liệu sử dụng cách gọi khác nên luận án sử dụng từ gốc để đảm bảo tính khoa học thống Bảng 1.1: Các mạng Bravais Các hệ tinh thể/ Các mạng Bravais Số hệ số đàn hồi độc lập Đơn giản Triclinic (Ba nghiêng) 21 10 Đơn giản Tâm đáy Đơn giản Tâm đáy Đơn giản Tâm khối Monoclinic (Đơn nghiêng) 13 Orthorhombic (Trực thoi) Tetragonal (Bốn phương) Đơn giản Trigonal (Mặt thoi, ba phương) Hecxagonal Đơn giản Tâm khối Tâm diện 117  Python 3, gọi Python 3000 Py3K: Dịng 3.x khơng hồn tồn tương thích với dịng 2.x, có cơng cụ hỗ trợ chuyển đổi từ phiên 2.x sang 3.x Nguyên tắc chủ đạo để phát triển Python 3.x “bỏ cách làm việc cũ nhằm hạn chế trùng lặp mặt chức Python” Trong đề tài tác giả sử dụng phiên Python 2.7.11 (phát hành năm 2011) Python thiết kế để trở thành ngôn ngữ dễ học, mã nguồn dễ đọc, bố cục trực quan, dễ hiểu Là ngơn ngữ lập trình dạng thơng dịch, có ưu điểm tiết kiệm thời gian phát triển ứng dụng khơng cần phải thực biên dịch liên kết Trình thơng dịch sử dụng để chạy file script, sử dụng theo cách tương tác Ở chế độ tương tác, trình thơng dịch Python tương tự shell hệ điều hành họ Unix, đó, ta nhập vào biểu thức gõ Enter, kết thực thi hiển thị Đặc điểm hữu ích cho người học, giúp họ nghiên cứu tính ngơn ngữ; để lập trình viên chạy thử mã lệnh suốt q trình phát triển phần mềm Ngồi ra, tận dụng đặc điểm để thực phép tính với máy tính bỏ túi Python sử dụng hệ thống kiểu duck typing, gọi latent typing (tự động xác định kiểu) Có nghĩa là, Python không kiểm tra ràng buộc kiểu liệu thời điểm dịch, mà thời điểm thực thi Khi thực thi, thao tác đối tượng bị thất bại, có nghĩa đối tượng khơng sử dụng kiểu thích hợp.Python ngơn ngữ định kiểu mạnh Nó cấm thao tác khơng hợp lệ, ví dụ cộng số vào chuỗi ký tự Sử dụng Python, ta không cần phải khai báo biến Biến xem khai báo gán giá trị lần Căn vào lần gán, Python tự động xác định kiểu liệu biến Python cho phép chia chương trình thành module để sử dụng lại chương trình khác Nó cung cấp sẵn tập hợp module chuẩn mà lập trình viên sử dụng lại chương trình họ Các module cung cấp 118 nhiều chức hữu ích, hàm truy xuất tập tin, lời gọi hệ thống, trợ giúp lập trình mạng (socket),… Python ngơn ngữ đa biến hóa (multiple paradigms) Có nghĩa là, thay ép buộc người phải sử dụng phương pháp lập trình, Python lại cho phép sử dụng nhiều phương pháp lập trình khác nhau: hướng đối tượng, có cấu trúc, chức năng, hướng đến khía cạnh Python kiểu động sử dụng thu gom rác để quản lý nhớ Một đặc điểm quan trọng Python giải pháp tên động, kết nối tên biến tên phương thức lại với suốt thực thi chương trình Trang web thức:https://www.Python.org Các chƣơng trình tính tốn luận án a Chương trình tính cho kết chương luận án Chương trình tính mơ đun đàn hồi d chiều clear; clc; x = [0 0]; fu =(d-1)/d; gu = (d-1)*(d+3)/d/(d+2); lb = [0 0.]; lu = [fu gu]; x0 = [0 ; 0.2]; A = [6/(d+4) -1; -6/(d+4) 1]; c = [0 ; (d^2-1)/(d+2)/(d+4)]; nf = 10; ng = 10; x0b = -1.8; fr = fu; fl = 0; gr = gu; gl = 0; b= zeros((nf+1)*(ng+1),4); deta_fi = (fr-fl)/nf; deta_gi = (gr-gl)/ng; k = 1; for i=1:ng+1 gi = (i-1)*deta_gi; for j=1:nf+1 fi = (j-1)*deta_fi; afg = [fi,gi]; [b(k,1) b(k,2)] = fmincon(@Ku,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[],afg); [b(k,3) b(k,4)] = fmincon(@Kl,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[],afg); 119 k = k+1; end end [bmin,indexb1] = min(b(:,2)); [bmax,indexb2] = max(b(:,4)); [fmax Ku_tetra] = fmincon(@Kub,x0,A,c,[],[],lb,lu,[],[],b(indexb1,1)); [fmin Kl_tetra] = fmincon(@Klb,x0,A,c,[],[],lb,lu,[],[],b(indexb2,3)); [b1 Ku_s] = fmincon(@Ku_S,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[]); [b2 Kl_s] = fmincon(@Kl_S,x0b,[],[],[],[],-2,0,[],[]); clc disp(' bmin fmax gmax disp([b(indexb1,1);fmax;Ku_tetra]') disp(' bmax fmin gmin disp([b(indexb2,3);fmin;Kl_tetra]') disp(' disp([b1 disp(' disp([b2 bminS ;Ku_s]') bmaxS ;Kl_s]') Ku'); Kl'); Ku_s'); Kl_s'); function [K_U] = Ku (x,a) % Du lieu dau vao Tetragonal CaWO4 % C(1,1) = 141; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 125; % C(1,2) = 61; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 41; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 33.7; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 40.7; % C(1,6) = -17; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % Du lieu dau vao Tetragonal PbMoO4 C(1,1) = 109; C(2,2) = 120; % C22 khac C11 C(3,3) = 92; C(1,2) = 68; C(2,1) = C(1,2); C(1,3) = 0; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % % Du lieu dau vao Tetragonal NbO2 % C(1,1) = 433; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 388; 120 % C(1,2) = 93; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 171; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 94; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 57; % C(1,6) = 1; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % Du lieu dau vao Tetragonal C(CH2OH)4 % C(1,1) = 40.5; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 13.9; % C(1,2) = 26.6; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 10.5; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 2.74; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 2.52; % C(1,6) = 3.13; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % % Du lieu dau vao Tetragonal AgCIO3 % C(1,1) = 52.5; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 42.6; % C(1,2) = 32.4; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 27.3; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 6.6; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 9.05; % C(1,6) = -1.65; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = -C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % - 121 % Du lieu dau vao Tetragonal SrMoO4 % C(1,1) = 115.5; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 104; % C(1,2) = 59.8; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 44.4; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 35; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 47.6; % C(1,6) = -12.1; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = -C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % % % Du lieu dau vao Tetragonal C14H8O4 % C(1,1) = 14; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 20.4; % C(1,2) = -6.3; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 1.6; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 8.4; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 9.2; % C(1,6) = 1; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); % % % % % Du lieu dau vao Tetragonal CaMoO4 % C(1,1) = 144; C(2,2) = C(1,1); % C(3,3) = 127; % C(1,2) = 65; C(2,1) = C(1,2); % C(1,3) = 47; C(3,1) = C(1,3); C(2,3) = C(1,3); C(3,2) = C(1,3); % C(4,4) = 36.8; C(5,5) = C(4,4); % C(6,6) = 45.8; % C(1,6) = -13.5; C(6,1) = C(1,6); C(2,6) = -C(1,6); C(6,2) = -C(1,6); % C(1,4) = 0; C(1,5) = C(1,4); % C(2,4) = C(1,4); C(2,5) = C(1,4); % C(3,4) = C(1,4); C(3,5) = C(1,4); C(3,6) = C(1,4); % C(4,1) = C(1,4); C(4,2) = C(1,4); C(4,3) = C(1,4); C(4,5) = C(1,4); C(4,6) = C(1,4); % C(5,1) = C(1,4); C(5,2) = C(1,4); C(5,3) = C(1,4); C(5,4) = C(1,4); C(5,6) = C(1,4); % C(6,3) = C(1,4); C(6,4) = C(1,4); C(6,5) = C(1,4); 122 % % % f1 = a(1); g1 = a(2); b = x; f3=2/3-f1; g3=4/5-g1; % Tinh S = C^-1 S(1,1) S(1,2) S(2,2) S(2,1) S(3,3) S(1,3) S(2,3) = = = = = = = C(2,2)/(C(1,1)*C(2,2) - (C(1,2))^2); -C(1,2)/(C(1,1)*C(2,2) - (C(1,2))^2); C(1,1)/(C(1,1)*C(2,2) - (C(1,2))^2); S(1,2); 1/C(3,3); 0; S(1,3); S(3,2) = S(1,3); % S % Tinh KV, MV, KR, KV = 1/4*(C(1,1) + MV = 1/8*(C(1,1) + KR = (S(1,1) + MR = 2* (S(1,1) + MR: 2*C(1,2) + C(2,2)); C(2,2)) - 1/4*C(1,2) + 1/2*C(3,3); 2*S(1,2) + S(2,2))^-1; S(2,2) - 2*C(1,2) + S(3,3))^-1; % Nhap cac thong so Fi, Gi: F1 = -1/15 - 8*b/105 -13*b^2/315; F2 = 1/10 + 4*b/35 + 16*b^2/315; F3 = -4*b/105 - 4*b^2/315; F4 = 2*b/35 + 16*b^2/315; F6 = F4; 10*b^2/189; F7 = -4*b^2*KV/105 + 4*b^2*MV/63; F8 = b^2*KV/105 - 10*b^2*MV/63; G1 G2 G3 F5 = = = = 43*b^2/1890; -4*b^2/189; G4 = G2; G6 = G2; -b^2/945; 1/10 + 4*b/35 - 4*b^2/315; G5 = G7 = b^2*KV/630 - 5*b^2*MV/189; G8 = 2*b^2*KV/63 + 5*b^2*MV/27; % Tinh D: D1 = (KV - MV)*(f2*F1 + g2*G1) + MV*(f2*F2 + g2*G2) + 2*KV*(f2*F3 + g2*G3) + (KV + 2*MV)*(f2*F4 + g2*G2) + 1/2*(f1 + f2)*F7 + 5/8*(g1 + g2)*G7 + (b^2*KV)/16; D2 = 2*MV*(f2*F1 + g2*G1) + KV*(f2*F2 + g2*G2) + (KV + 2*MV)*(f2*F5 + g2*G5) + 2*KV*(f2*F6 + g2*G6) + 1/2*(f1 + f2)*F8 + 5/8*(g1 + g2)*G8; D(1,1) D(3,3) D(1,2) D(1,3) = = = = D1 + D2; D(2,2) = D(1,1); 1/2*D2; D1; D(2,1) = D(1,2); ; D(3,1) = D(1,3); D(2,3) = D(1,3); D(3,2) = D(1,3); D; % Tinh CK: CK(1,1) = 1/9*(C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*(1+2*b/5) + b*KV/5; CK(2,2) = CK(1,1); CK(3,3) = 1/9*(C(3,3) + 2*C(1,3))*(1+2*b/5) + b*KV/5; 123 CK(1,2)= 0; CK(1,3)= CK(1,2); CK(2,3)= CK(1,2); % CK B1 = 1/4*(1+b/2)^2 + f1*F1 + g1*G1; B2 = f1*F2 + g1*G2; B3 = b/8 + b^2/16 + f1*F3 + g1*G3; B4 = f1*F4 + g1*G4; B5 = f1*F5 + g1*G5; B6 = f1*F6 + g1*G6; % Tinh CA: CA(1,1) = C(1,1)*(B1 + B2) + (C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*(B3 + B6) + (C(1,1) + C(4,4) + C(6,6))*(B4 + B5); CA(2,2) = CA(1,1); CA(3,3) = C(3,3)*(B1 + B2) + (C(3,3) + 2*C(1,3))*(B3 + B6) + (C(3,3) + 2*C(4,4))*(B4 + B5); CA(1,2) = C(1,2)*B1 + C(6,6)*B2 + (C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*B3 + (C(1,1) + C(4,4) + C(6,6))*B4; CA(2,1) = CA(1,2); CA(1,3) = C(1,3)*B1 + C(4,4)*B2 + (C(1,1) + C(3,3) + C(1,2) + 3*C(1,3))*1/2*B3 + (C(1,1) + C(3,3) + 3*C(4,4) + C(6,6))*1/2*B4; CA(3,1) = CA(1,3); CA(2,3) = CA(1,3); CA(3,2) = CA(1,3); CA(4,4) = C(4,4)*B1 + (C(1,3) + C(4,4))*1/2*B2 + (C(1,1) + C(3,3) + 3*C(4,4) + C(6,6))*1/4*B5 + (C(1,1) + C(3,3) + C(1,2) + 3*C(1,3))*1/4*B6; CA(5,5) = CA(4,4); CA(6,6) = C(6,6)*B1 + (C(1,2) + C(6,6))*1/2*B2 + (C(1,1) + C(4,4) + C(6,6))*1/2*B5 + (C(1,1) + C(1,2) + C(1,3))*1/2*B6; CA(1,6) = C(1,6)*(B1 + B2); CA(6,1) = CA(1,6); CA(2,6) = -CA(1,6); CA(6,2) = CA(2,6); A = CA + D; SA = inv(A); % Tinh C_AC: C_AC(1,1) = (SA(1,1)+ SA(1,2))*CK(1,1) + SA(1,3)*CK(3,3); C_AC(2,2) = C_AC(1,1); C_AC(3,3) = SA(3,3)*CK(3,3) + 2*SA(1,3)*CK(1,1); C_AC(1,2) = 0; C_AC(2,1) = C_AC(1,2); C_AC(1,3) = C_AC(1,2); C_AC(3,1) = C_AC(1,2); C_AC(2,3) = C_AC(1,2); C_AC(3,2) = C_AC(1,2); % Tinh C_CAC: C_CAC = 2*CK(1,1)*C_AC(1,1) + CK(3,3)*C_AC(3,3); KKR = (2*SA(1,1) + SA(3,3) + 2*SA(1,2) + 4*SA(1,3))^-1; % Cong thuc cuoi: K_U = KV + (2*C_AC(1,1)+C_AC(3,3))^2*KKR - C_CAC; end 124 b Chương trình tính cho kết chương luận án Chương trình tính cho mô đun đàn hồi trượt đối xứng tinh thể square: %Calculating HS bounds % %Copper % c11=169; % c12=122; % c33=75.3; % folder = 'matlab'; % [Eh]=homogenization2D('unitCell8.dat',c11,c12,c33) % Eh % return %Lead %c11=48.8; %c12=41.4; %c33=14.8; %folder = 'lead'; % Lithium c11=13.6; c12=11.4; c33=9.8; folder = 'Lithium'; % % % % % % % % % % % % % % % % % % % mu4 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell4.dat',c11,c12,c33) mu4(i)=Eh(3,3); end save('mu4') % % % % % % % % % % % save('mu16') mu8 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell8.dat',c11,c12,c33) mu8(i)=Eh(3,3); end save('mu8') mu16 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell16.dat',c11,c12,c33) mu16(i)=Eh(3,3)/2; end mu16x16 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell16x16.dat',c11,c12,c33) mu16x16(i)=Eh(3,3)/2; end save('mu16x16') mu32 = []; for i = 1:10 125 % [Eh]=homogenization2D('unitCell32.dat',c11,c12,c33) % mu32(i)=Eh(3,3)/2; % end % % % % % % % % % % % % % % save('mu32') mu64 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell64.dat',c11,c12,c33) mu64(i+2)=Eh(3,3)/2; end save('mu64'); mu64 = []; for i = 1:10 [Eh]=homogenization2D('unitCell128.dat',c11,c12,c33) mu64(i+2)=Eh(3,3)/2; end save('mu128'); %Plots % figure; % hold on; % disp('VRH') mu_v=(c11-c12+2*c33)/4 mu_r=2*(c11-c12)*c33/(2*c33+c11-c12) % H1=plot([0,130],[mu_v,mu_v],':r', 'LineWidth',2); % plot([0,130],[mu_r,mu_r],':r', 'LineWidth',2); % disp('HS') muo_u = max((c11-c12)/2,c33) muo_l = min((c11-c12)/2,c33) Kv=(c11+c12)/2 [P_u]=HS(Kv,muo_u,c11,c12,c33) [P_l]=HS(Kv,muo_l,c11,c12,c33) % H2=plot([0,130],[P_u,P_u],' b', 'LineWidth',2); % plot([0,130],[P_l,P_l],' b', 'LineWidth',2); disp('PDC') [P_u]=HS(Kv,mu_v,c11,c12,c33) [P_l]=HS(Kv,mu_r,c11,c12,c33) % H3=plot([0,130],[P_u,P_u],'-.m', 'LineWidth',2); % plot([0,130],[P_l,P_l],'-.m', 'LineWidth',2); disp('Self-consistent') [P_sc]=HS(Kv,2.9042,c11,c12,c33) %copper 40.5055, lead 7.1517; Lithium 2.9042 % H4=plot([0,130],[P_sc,P_sc],'k', 'LineWidth',2); % legend([H1 H2 H3 H4],'VRH bounds', 'HS bounds', 'New bounds', 'Selfconsistent value') % load([' \',folder,'\mu4']); % for i=1:10 % plot(4+(i-5)*0.02,mu4(i),'ok', 'LineWidth',1.1); % end 126 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % load([' \',folder,'\mu8']); for i=1:10 plot(8+(i-5)*0.04,mu8(i),'sk', 'LineWidth',1.1); end load([' \',folder,'\mu16']); for i=1:10 plot(16+(i-5)*0.08,mu16(i)*2,'*k', 'LineWidth',1.1); end load([folder,'\ \mu16x16']); for i=1:10 plot(16+1+(i-5)*0.08,mu16x16(i)*2,'*k', 'LineWidth',1.1); end load([' \',folder,'\mu32']); for i=1:10 plot(32+1+(i-5)*0.08,mu32(i)*2,'.k', 'LineWidth',1.1); end load([' \',folder,'\mu64']); for i=1:10 plot(64+1+(i-5)*0.08,mu64(i)*2,'.k', 'LineWidth',1.1); end % load([folder,'\ \mu128']); % for i=1:10 % plot(128+1+(i-5)*0.08,mu64(i)*2,'.b', 'LineWidth',1.1); % end % grid on % % xlabel('Number of hexagons per unit cell side') % ylabel('Effective shear moduli ( \mu^{eff} )') % box on % xlim([0,70]); % ylim([35,50]); % set(gca,'YTick',[32 34 36 38 40 42 44 46 48 50]) % %xlim([0,70]); %ylim([1.5,6.0]); %set(gca,'YTick',[32 34 36 38 40 42 44 46 48 50]) Các hàm function [mpcNum, mpcDofs1, mpcDofs2]=createPeriodicMpcs(boundaryNodeSets) set1=cell2mat(boundaryNodeSets(1)); set2=cell2mat(boundaryNodeSets(2)); set3=cell2mat(boundaryNodeSets(3)); set4=cell2mat(boundaryNodeSets(4)); set5=cell2mat(boundaryNodeSets(5)); tmp = length(set2)*2 + length(set4)*2 + 6; mpcNum = [tmp,tmp,tmp]; mpcDofs1=zeros(mpcNum(1),3); mpcDofs2=zeros(mpcNum(1),3); d = 1; for i=1:length(set2) node1 = set2(i); node2 = set3(i); 127 dof1 = node1*2-1; dof2 = node2*2-1; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; dof1 = node1*2; dof2 = node2*2; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; end for i=1:length(cell2mat(boundaryNodeSets(4))) node1 = set4(i); node2 = set5(i); dof1 = node1*2-1; dof2 = node2*2-1; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; dof1 = node1*2; dof2 = node2*2; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; end for i=2:4 node1 = set1(1); node2 = set1(i); dof1 = node1*2-1; dof2 = node2*2-1; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; dof1 = node1*2; dof2 = node2*2; mpcDofs1(d,:) = [dof1,dof1,dof1]; mpcDofs2(d,:) = [dof2,dof2,dof2]; d=d+1; end function [KE]=elem_K(coord, E) M1=[1 0 0; 0 1; 1 0]; % Gauss Quadrature n=2; g_coord=[-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; KE=zeros(8,8); for i=1:n for j=1:n x=g_coord(i); y=g_coord(j); temp=[-(1+y), (1+y), (1-y), -(1-y); 128 (1-x), (1+x), -(1+x), -(1-x)]; temp=temp/4; J_mat=temp*coord; J=det(J_mat); % M2 relates derivatives w.r.t physical coordinates to that w.r.t % natural coordinates M2(1:2,1:2)=inv(J_mat); M2(3:4,3:4)=M2(1:2,1:2); M3=[-(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y) , 0; (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x) , 0; , -(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y); , (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x)]; M3=M3/4; B=M1*M2*M3; KE=KE+B'*E*B*J; end end %%%%%%%%%% FE-ANALYSIS function [U]=fea_static(coord,elemCon,E,F,spcDofs,spcNum,mpcDofs1,mpcDofs2,mpcNum) %global variable required: pC - the power parameter for interpolation of stiffness %only isoparametric quadrilateral is implemented for now [elemNum,~]=size(elemCon); [nodeNum,~]=size(coord); dofNum=nodeNum*2; [~,caseNum]=size(F); % assemble K Kval=zeros(elemNum*64,1); i_ind=zeros(elemNum*64,1); j_ind=zeros(elemNum*64,1); for elem=1:elemNum ind=(elem-1)*64+1; nodes=elemCon(elem,:); eCoord=coord(nodes,:); edofs=[nodes(1)*2-1; nodes(1)*2; nodes(2)*2-1; nodes(2)*2; nodes(3)*2-1; nodes(3)*2; nodes(4)*2-1; nodes(4)*2]; i_ind(ind:ind+63)=[edofs; edofs; edofs; edofs; edofs; edofs; edofs; edofs]; j_ind(ind:ind+63)=reshape([edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'; edofs'],64,1); KE=elem_K(eCoord,E(:,:,elem)); Kval(ind:ind+63)=reshape(KE,64,1); end K=sparse(i_ind,j_ind,Kval,dofNum,dofNum); alldofs = [1:1:dofNum]; for i=1:caseNum removedDofs=union(mpcDofs2(1:mpcNum(i),i),spcDofs(1:spcNum(i),i)); freedofs = setdiff(alldofs,removedDofs); % transformation matrix for mpcs T=speye(dofNum,dofNum); for j=1:mpcNum(i) T(mpcDofs2(j,i),mpcDofs1(j,i))=1; T(mpcDofs2(j,i),mpcDofs2(j,i))=0; 129 end Kt=T'*K*T; Ft=T'*F(:,i); U(freedofs,i) = Kt(freedofs,freedofs) \ Ft(freedofs); U(spcDofs(1:spcNum(i),i),i)= 0.0; U(mpcDofs2(1:mpcNum(i),i),i)= U(mpcDofs1(1:mpcNum(i),i),i); end function [Eh]=homogenization2D(meshFile,c11,c12,c33) [coord,elemCon,elemProp,~,~,boundaryNodeSets] = readNastran(meshFile); %mpcs [mpcNum, mpcDofs1, mpcDofs2]=createPeriodicMpcs(boundaryNodeSets); %spcs nodeSet1=cell2mat(boundaryNodeSets(1)); node1 = nodeSet1(1); spcDofs = [node1*2-1, node1*2-1, node1*2-1; node1*2, node1*2, node1*2]; spcNum = [2,2,2]; % [elemNum,~]=size(elemCon); [nodeNum,~]=size(coord); %Get Random Elasticity Tensor [E]=randomCrystalOrientation(c11,c12,c33,elemNum,elemProp); dofNum=nodeNum*2; % Three test strain cases epsilon=[1 0; 0; 0 1]; %Material forces: load cases F=zeros(dofNum,3); % for elem=1:elemNum nodes=elemCon(elem,:); eDofs=[nodes(1)*2-1; nodes(1)*2; nodes(2)*2-1; nodes(2)*2; nodes(3)*2-1; nodes(3)*2; nodes(4)*2-1; nodes(4)*2]; eCoord=coord(nodes,:); Ba=int_B(eCoord); F(eDofs,:)=F(eDofs,:)-Ba'*E(:,:,elem)*epsilon; end % FE Analysis to get the characteristic displacements %mpcNum = mpcNum-6; %mpcDofs1 = mpcDofs1(1:116,:); %mpcDofs2 = mpcDofs2(1:116,:); [chi]=fea_static(coord,elemCon,E,F,spcDofs,spcNum,mpcDofs1,mpcDofs2,mpcNu m); % while % cla; % plot_results_Q4(coord+(reshape(chi(:,3),2,length(chi(:,3))/2))'*0.1,elemC on); % ylim([-1100,100]); % xlim([-100,1100]); 130 % pause(1); % cla; % plot_results_Q4(coord+(reshape(chi(:,3),2,length(chi(:,3))/2))'*0.0,elemC on); % ylim([-1100,100]); % xlim([-100,1100]); % pause(1); % end % Calculate homogenized stiffness tensor and sensitivity Eh=zeros(3,3); %[1 3; % 5; % 0 6]; Area=0; for elem=1:elemNum nodes=elemCon(elem,:); eDofs=[nodes(1)*2-1; nodes(1)*2; nodes(2)*2-1; nodes(2)*2; nodes(3)*2-1; nodes(3)*2; nodes(4)*2-1; nodes(4)*2]; eCoord=coord(nodes,:); eChi=chi(eDofs,:); for i=1:3 for j=i:3 Eh(i,j)=Eh(i,j)+int_hom(eCoord,epsilon,eChi,E(:,:,elem),i,j); end end Ae=int_A(eCoord); Area=Area+Ae; end Eh(2,1)=Eh(1,2); Eh(3,1)=Eh(1,3); Eh(3,2)=Eh(2,3); Eh=Eh/Area; function [P]=HS(k,mu,c11,c12,c33) mu_star=k*mu/(k+2*mu); c11_ps=c11+mu+mu_star; c33_ps=c33+mu_star; c12_ps=c12+mu-mu_star; P=2*(c11_ps-c12_ps)*c33_ps/(2*c33_ps+c11_ps-c12_ps)-mu_star; function [A]=int_A(coord) %integration of B over isoparametric the element % Gauss Quadrature n=2; g_coord=[-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; A=0; for i=1:n for j=1:n x=g_coord(i); y=g_coord(j); temp=[-(1+y), (1+y), (1-y), -(1-y); (1-x), (1+x), -(1+x), -(1-x)]/4; J_mat=temp*coord; J=det(J_mat); A=A+J; 131 end end function [B]=int_B(coord) %integration of B over isoparametric the element M1=[1 0 0; 0 1; 1 0]; % Gauss Quadrature n=2; g_coord=[-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; B=zeros(3,8); for i=1:n for j=1:n x=g_coord(i); y=g_coord(j); temp=[-(1+y), (1+y), (1-y), -(1-y); (1-x), (1+x), -(1+x), -(1-x)]; temp=temp/4; J_mat=temp*coord; J=det(J_mat); % M2 relates derivatives w.r.t physical coordinates to that w.r.t % natural coordinates M2(1:2,1:2)=inv(J_mat); M2(3:4,3:4)=M2(1:2,1:2); M3=[-(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y) , 0; (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x) , 0; , -(1+y), , (1+y), , (1-y), , -(1-y); , (1-x), , (1+x), , -(1+x), , -(1-x)]; M3=M3/4; B=B+M1*M2*M3*J; end end ... cứu hệ số đàn hồi đa tinh thể Chương 2: Xây dựng đánh giá mô đun đàn hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều Áp dụng đường hướng biến phân để xây dựng đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô tổng quát,... chương 2, NCS xây dựng đánh giá cho hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể đường hướng biến phân 23 CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG CÁC ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN D CHIỀU Trong chương... chất đàn hồi đơn tinh thể cấu thành trước tiên 2.1.1 Các hệ số đàn hồi đơn tinh thể Các tinh thể dị dướng với tính chất đàn hồi, để biểu diễn hệ số đàn hồi thường dùng ký hiệu Voigt số Voigt số,