Microsoft Word B?T Ð?NG TH?C CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1 A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Khái niệm A > B ⇔ A – B > 0 ; A < B ⇔ A – B < 0 A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 ; A ≤ B ⇔[.]
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm: A>B⇔A–B>0; A C ⇒ A > C 2) A > B ⇔ A + C > B + C 3) A > B ⇔ AC > BC C > AC < BC C < 4) A > B, C > D ⇔ A + C > B + D 5) A > B > C > D > ⇒ A.C > B.D 6) A > B > n ∈ N* ⇒ An > Bn 7) A > B > n ∈ N ⇒ n A > n B 1 1 8) A > B ⇒ < AB > Hoặc: > AB < A B A B B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp biến đổi tương đương Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) ∀a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) HD: (1) ⇔ a + b – ab = ( a− b ) ≥ (đúng) Bài 2: Chứng minh: (a + b) ≥ 4ab HD: Biến đổi đưa (a – b)2 ≥ Bài 3: Chứng minh: a2 + b2 ≥ 2ab HD: Xét hiệu, đưa (a – b)2 ≥ Bài 4: Chứng minh: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky) HD: Biến đổi hiệu (ac + bd)2 – (a2 + b2)(c2 + d2) thành (ay – bx)2 Bài 5: Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca HD: Biến đổi hiệu a2 + b2 + c2 – ab + bc + ca thành (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Bài 6: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + ≥ a + b + c + d 2 1 1 1 1 HD: Biến đổi a2 + b2 + c2 + d2 + – a + b + c + d thành: a − + b − + c − + d − 2 2 2 2 Bài 7: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a(b + c + d + e) 2 2 ỉ bư ỉ cư ỉ dư ỉ HD: Bin di v dng: ỗỗa - ữữữ + ỗỗa - ữữữ + ỗỗa - ữữữ + ỗỗa - ữữữ ốỗ ứ ốỗ ứ ốỗ ứ ốỗ 2ứ Bi 8: Chng minh: (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) HD: Biến đổi dạng: (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2 ≥ Bài 9: Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3 b ∀a, b ≥ éỉ bư 3b ùú HD: Biến đổi, phân tích thành: (a – b)2(a2 + ab + b2) = (a - b) ờờỗỗa + ữữữ + 0, "a, b ỗ 2ứ ỳỳỷ ờởố a + b3 ổỗ a + b ửữ Bi 10: Chng minh: ỗ ỗố ø÷÷ HD: Xét hiệu, phân tích thành nhân tử ⇒ đpcm a + b2 a + b Bài 11: Chứng minh: ≥ HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa dạng: (a – b)2 ≥ a + b + c2 a + b + c Bài 12: Chứng minh: ≥ 3 2 HD: Xét hiệu, đưa dạng: (a – b) + (b – c) + (c – a)2 ≥ ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC x+y ∀x, y > ≥ xy x+y HD: Biến đổi (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ tương tự Bài 14: Trong hai số sau số lớn hơn? Vì sao? A = HD: Chứng minh A2 ≥ B2 ⇒ đpcm Bài 15: Chứng minh: a2 + b2 ≥ a + b - 2 ổ ửữ ổỗ ửữ ỗ HD: Bin i a v ỗa - ữữ + ỗb - ữữ ỗố ứ ỗố 2ứ Bi 13: Chứng minh: 2005 + 2007 B = 2006 a2 + a +1 £ a2 +1 2 HD: Quy đồng: 2a + 2a + ≤ 3a + ⇔ (a – 1)2 1 Bài 17: Chứng minh: a) a + ³ 2, "a > b) a + £ -2, "a < a a HD: a) Vì a > nên: a2 – 2a + ≥ ⇔ (a – 1)2 ≥ b) Vì a < 0: a2 + 2a + ≥ ⇔ (a + 1)2 ≥ a b a b Bài 18: Chứng minh: a) Nếu ab > thì: + ≥ b) Nếu ab < thì: + ≤ −2 b a b a HD: a) Từ (a – b)2 ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab Chia hai vế a2 + b2 ≥ 2ab cho ab > ⇒ đpcm b) Chia hai vế a2 + b2 ≥ –2ab cho ab < ⇒ đpcm ax + by a + b x + y Bài 19: Cho x ≥ y, a ≥ b Chứng minh: ³ 2 HD: Biến đổi, đưa về: (a – b)(x – y) ≥ (đúng) ỉ 1 1ư a b c Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > Chng minh: + + ỗỗ + + ữữữ ỗố a b c ứ bc ca ab HD: Do a, b, c > Thực quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) ≥ (đúng) 1 Bài 21: Cho ab ≥ Chứng minh: + ³ (*) 2 + ab 1+ a 1+ b + a + b2 ³ ⇔ (a – b)2(1 – ab) ≤ (đúng) HD: (*) ⇔ 2 2 + ab 1+ a + b + a b æx yö x y2 Bài 22: Cho x, y ≠ Chng minh: + + 3ỗỗ + ữữữ ỗố y x ữứ y x x y HD: Đặt + = t ( | t | ≥ ) Bất đẳng thức viết lại: t2 – 3t + ≥ ⇔ (t – 1)(t – 2) ≥ 0, ∀| t | ≥ y x Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, ∀a HD: BĐT ⇔ t(t + 6) + 15 ≥ ⇔ (t + 3)2 + > 0, ∀a Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, ∀x HD: Làm tương tự 23 Bài 25: Cho a, b ≥ Chứng minh: a3 + b3 ≥ ab(a + b) HD: Xét hiệu đưa bất đẳng thức: (x + y)(x – y)2 ≥ Phương pháp làm trội, ước lượng 1 1 Bài 26: Chứng minh tổng sau không số tự nhiên: S = + + + + (n ³ 2) n 1 1 + + + = - < Vậy: 1 (a – b + c)(a + c – b)(b + c – a) c) 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 > d) a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c) ≥ 3abc HD: Biến đổi, đưa bất đẳng thức tam giác Bài 51: Cho a, b, c số dương Chứng minh: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)c ≥ 6abc HD: Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2xy ⇒ đpcm ab bc ac a+b+c Bài 52: Cho a, b, c số dương Chứng minh: + + £ a +b b+c a +c xy x+y HD: Áp dụng: (x + y)2 ≥ 4xy, chia hai vế cho số dương 4(x + y): Thay x, y £ x+y cặp số (a, b), (b, c), (c, a) Cộng vế với vế bất đẳng thức ⇒ đpcm a b2 c2 c b a Bài 53: Chứng minh: + + ³ + + b a c b c a ỉa bư ỉb cư ỉ c a ö HD: Áp dụng x2 + y2 ≥ 2xy Nhân vế với 2, làm tương tự vi cp ỗỗ , ữữữ , ỗỗ , ữữữ , ỗỗ , ữữữ ỗố b c ứ ốỗ c a ứ ốỗ a b ứ 2 1 + + £ + + Bài 54: Cho a, b, c > Chứng minh: a +b b+c a +c a b c 1 HD: Áp dụng bổ đề: £ + cho cặp số (a, b), (b, c), (c, a) ⇒ đpcm x+y x y Bài 55: Cho a, b, c > Chứng minh: 2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(b + c) + c2(a + b) HD: Áp dụng bất đẳng thức: x3 + y3 ≥ xy(x + y) cho cặp giao hoán a, b, c pcm 2 ổ ửữ ổỗ ữử 25 ỗ Bi 56: Cho a, b > v a + b = Chng minh: ỗa + ữữ + ỗb + ữữ ỗố ỗ aứ ố bứ 2 ổ ỗỗ1 + ữữ ốỗ ab ÷ø (x + y) 1 HD: Áp dụng: x + y ³ với x = a + , y = b + ⇒ VT ≥ a b ỉ a + b ÷ư 1 Cn chỳ ý l vỡ ab Ê ỗỗ = ữ ỗố ữứ ab 2 ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS (1 + 4) ³ = 25 Trang CHUN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ỉ1 1ư Bài 57: Cho a, b > Chứng minh: (a + b)ỗỗ + ữữữ ỗố a b ứ 1 HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a + b ³ ab , + ³ a b ab ỉ 1 1ư Bài 58: ∀a, b, c > Chứng minh: (a + b + c) ỗỗ + + ữữữ ỗố a b c ø HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số Làm tương tự Bài 59: Cho a, b, c > Chứng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ≥ 8abc HD: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ⇒ suy đpcm bc ca ab Bài 60: Cho a, b, c > Chứng minh: + + ³a +b+c a b c 2 2 2 HD: Viết lại Bất đẳng thức: a b + b c + c a ≥ abc(a + b + c) Áp dụng Côsi ⇒ đpcm a b c + + ³ b+c a +c b+a HD: Biến đổi vế trái, Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số Ta được: ỉ a æ b ö æ c ö æ 1 1 ửữ ỗỗ +1ữữữ + ỗỗ +1ữữữ + çç +1÷÷÷ - = [ (a+b) + (b+c) + (c+a) ]ỗỗ + + ữ ốỗ b + c ứ ốỗ a + c ứ ốỗ b + a ứ ốỗ a + b b + c c + a ø÷ 2 a2 b2 c2 a +b+c Bài 62: Cho a, b, c > Chứng minh: + + ³ b+c a +c b+a æ a2 b + c ữử ỗổ b a + c ửữ ỗổ c a + b ửữ ữữ + ỗ ữữ + ỗ ữ a + b + c pcm HD: p dng Cụsi: ỗỗ + + + ỗố b + c ữứ ỗố a + c ữứ ỗố b + a ữữứ Bài 63: Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c = Chứng minh: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 729 æ a + b + c ư÷3 ỉ a + b + b + c + c + a ửữ3 ỗỗ HD: Áp dụng Côsi: abc(a + b)(b + c)(c + a) ỗỗ = ữ ữ ữ ữ ốỗ ứ ốỗ ứ 729 abc Bi 64: Chng minh: (p – a)(p – b)(p – c) ≤ (a, b, c độ dài cạnh tam giác, p nửa chu vi ) HD: Áp dụng Côsi cho cặp số: (p – a, p – b), (p – b, p – c), (p – c, p – a) ⇒ đpcm a + b2 Bài 65: Cho a > b ab = chứng minh: ³2 a-b (a - b)2 + 2ab HD: Biến đổi vế trái, áp dụng bất đẳng thức Côsi: VT = = (a - b) + ³2 a -b a-b Bài 66: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra: a) a + b < c + d (1) b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) c) (a + b)cd < (c + d)ab (3) (Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006) C1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = ⇔ x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = Phương trình P(x) = có hệ số dương, khơng thể có nghiệm dương Theo cách đặt phương trình P(x) = lại có nghiệm dương a b (vơ lí) ⇒ đpcm C2: Giả sử bất đẳng thức Từ (1) (2) ⇒ (a + b)2 < ab + cd (*) Từ (2) (3) ⇒ (a + b)2cd < (ab + cd)ab (**) Từ (*) ⇒ 4ab < ab + cd ⇒ cd > 3ab (4) Từ (**) ⇒ 4abcd < (ab + cd)ab ⇒ 4cd < ab + cd ⇒ ab < 3cd (5) Từ (4) (5) ⇒ đpcm Bài 61: Cho a, b, c > Chứng minh: ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang ... D = + + + + < (n ∈ N, n ≥ 2) 2! 3! 4! n! -1 -1 n -1 n HD: D = + + + = - + - + + 2! 3! n! 2! 2! 3! 3! n! n! 1 1 1 = - + - + + - = 1- < 2! 2! 3! (n - 1)! n! n! 1 1 Bài 34: Chứng minh: A = +... hạng tổng số nhỏ ⇒ B > (n - n) = - > (đpcm) n n n 1 1 Bài 32: Chứng minh: C = + + + + < (n ∈ N, n ≥ 2) 2! 3! 4! n! 1 1 HD: A < + + + + = - < 1.2 2.3 3.4 (n - 1)n n n- Bài 33: Chứng minh: D =... đpcm a + b2 Bài 65: Cho a > b ab = chứng minh: ³2 a-b (a - b)2 + 2ab HD: Biến đổi vế trái, áp dụng bất đẳng thức Côsi: VT = = (a - b) + ³2 a -b a-b Bài 66: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: