1208 Phân loại lớp các MD-đại số năm chiều với Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều.docx

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 PHÂN LOẠI LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ NĂM CHIỀU VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN BỐN CHIỀU Lê Anh Vũ* Lịch sử vấn đề 1.1 MD-đại số ? Tại cần nghiên cứu lớp MD-đại số ? Xuất phát điểm vấn đề mà quan tâm tốn mơ tả cấu trúc C*-đại số phương pháp K-hàm tử Năm 1943, I Gelfand A Naimark [3] đưa khái niệm C*-đại số Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Tốn học Vật lí, Cơ học Tuy nhiên, vấn đề mơ tả cấu trúc C*-đại số trường hợp tổng quát lại phức tạp cịn tốn mở Năm 1974, Đỗ Ngọc Diệp [2] sử dụng K-hàm tử đồng điều Brown-DouglasFillmore (còn gọi K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff □ ) nhóm phép biến đổi Affine đường thẳng thực □ Bởi phương pháp mô tả cấu trúc C*-đại số K-hàm tử BDF gọi phương pháp Đỗ Ngọc Diệp (Diep’s method) Năm 1975, J Rosenberg [7] sử dụng phương pháp để mơ tả C*-đại số C*(Aff □ ) nhóm phép biến đổi Affine đường thẳng phức □ C*-đại số vài nhóm Lie giải khác Năm 1977, Đỗ Ngọc Diệp [2] cải tiến phương pháp để đặc trưng C*đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, K-hàm tử BDF dường khơng cịn thích hợp với việc mơ tả C*-đại số nhóm Lie khác C*-đại số khác Một cách tự nhiên nảy sinh hai vấn đề lớn − Vấn đề : Tổng quát hoá K-hàm tử BDF theo cách để mơ tả lớp rộng C*-đại số * PGS.TS, Khoa Toán – Tin học Trường ĐHSP Tp.HCM − Vấn đề : Đi tìm lớp C*-đại số lớp nhóm Lie mà C*-đại số chúng có khả mơ tả K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov [4] nghiên cứu vấn đề thứ thành công việc tổng quát hoá K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử tốn tử (cịn gọi KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Ngay sau đó, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để mơ tả C*-đại số C*(H3) nhóm Heisenberg H3 Vấn đề thứ hai có liên quan mật thiết với phương pháp tiếng đóng vai trị then chốt lí thuyết biểu diễn nhóm Lie – phương pháp quĩ đạo Kirillov khởi xướng vào năm 1962 Năm 1980, phương pháp quĩ đạo Kirillov gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp MD-đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quĩ đạo nên nói chung C*-đại số chúng mơ tả nhờ KK-hàm tử Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số tự nhiên dương) G gọi MDn-nhóm K-quĩ đạo khơng chiều có chiều số k (chẵn) khơng vượt q n Khi k = n G cịn gọi MDn -nhóm Đại số Lie(G) MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) gọi MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp MD lớp MD Đến đây, toán lớn đặt phân loại MD-đại số đồng thời mô tả C*-đại số MD-nhóm phương pháp KK-hàm tử Năm 1984, Hồ Hữu Việt [8] phân loại triệt để MD -đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán □ n , đại số Lie(Aff □ ) đại số Lie(Aff □ ) Ngay sau đó, Hồ Hữu Việt dùng phương pháp KK-hàm tử để mô tả C*( A□ff□ ) A□ff□ , A□ff□ phủ phổ dụng nhóm Aff □ Như vậy, với kết có trước Đỗ Ngọc Diệp Rosenberg, toán MD -đại số MD -nhóm xem giải triệt để Thế cịn MD-đại số MD-nhóm ? Đáng tiếc chúng, vấn đề trở nên phức tạp nhiều Chú ý nhóm (tương ứng đại số) Lie thực giải khơng q chiều MD-nhóm (tương ứng MD-đại số), chúng liệt kê hết từ lâu lí thuyết đại số Lie Bởi vậy, cần MDn-đại số MDn-nhóm với n ≥ Ngồi ra, quan tâm nghiên cứu MD-nhóm MD-đại số cịn kiện quan trọng sau : MD-nhóm, họ K-quĩ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa A Connes [1] Các phân gọi MD-phân liên kết với MD-nhóm xét Phân khái niệm xuất xứ từ lí thuyết phương trình vi phân kể từ cơng trình G Reeb [6] năm 1952, lí thuyết phân trở thành nhánh thuộc lĩnh vực Tô pơ – Hình học nhanh chóng phát triển Năm 1982, nghiên cứu đa tạp phân lá, A Connes [1] đưa khái niệm phân đo gắn phân đo với C*-đại số mà gọi C*-đại số phân Lập tức nẩy sinh câu hỏi liệu C*-đại số phân có thích hợp với phương pháp KK-hàm tử hay không ? Câu trả lời khẳng định Năm 1985, A M Torpe [9] dùng KK-hàm tử để mô tả thành công C*-đại số phân Reeb xuyến chiều Đến đây, lại xuất thêm tốn mơ tả C*-đại số MD-phân Đó lí để quan tâm nghiên cứu lớp MDđại số MD-nhóm 1.2 Các kết trước liên quan trực tiếp đến báo − Giải triệt để lớp MD4 Cụ thể phân loại tất MD4-đại số, mơ tả hình học K-biểu diễn MD4-nhóm liên thơng bất khả phân, phân loại tô pô tất MD4-phân đồng thời mô tả tất C*đại số MD4-phân phương pháp KK-hàm tử ([10], [11], [12]) − Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều khơng q 3, mơ tả hình học K-biểu diễn MD5-nhóm liên thơng bất khả phân tương ứng xét MD5-phân tương ứng với MD5nhóm xét ([13], [14], [15], [16]) 1.3 Tóm tắt kết báo Bài báo cho phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều Trước phát biểu chứng minh kết chính, nhắc lại số khái niệm có liên quan để bạn đọc tiện theo dõi Nhắc lại vài khái niệm tính chất 2.1 Biểu diễn phụ hợp, K-biểu diễn dạng song tuyến Kirillov 2.1.1 Biểu diễn phụ hợp Cho G nhóm Lie tuỳ ý Γ đại số Lie Giả sử G tác động lên Γ Ad : G →AutΓ định nghĩa sau : Ad(g) : = (Lg Rg )* : Γ →Γ, ∀g∈G ; −1 L (tương ứng R ) phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) G theo g g −1 phần tử g∈G (tương ứng, g–1∈G) Tác động Ad gọi biểu diễn phụ hợp G Γ 2.1.2 Biểu diễn đối phụ hợp Kí hiệu Γ* khơng gian đối ngẫu Γ Khi biểu diễn Ad cảm sinh tác động K : G →AutΓ* G lên Γ* theo cách sau : : = , ∀F∈Γ*, ∀X∈Γ, ∀g∈G ; với F∈Γ*, X∈Γ , kí hiệu giá trị dạng tuyến tính F∈Γ* trường vectơ (bất biến trái) X∈Γ Tác động K gọi K-biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp G Γ* Mỗi quĩ đạo ứng với K-biểu diễn gọi K-quĩ đạo hay quĩ đạo Kirillov G (trong Γ*) Như vậy, K-quĩ đạo ΩF chứa phần tử F cho ΩF : = { K(g)F / g∈G } Mỗi K-quĩ đạo G G-đa tạp vi phân với số chiều chẵn đưa vào cấu trúc symplectric tự nhiên (tương thích với tác động G) cảm sinh dạng song tuyến tính phản xứng Kirillov 2.1.3 Dạng song tuyến tính Kirillov Với F∈Γ*, ta xác định dạng BF sau BF(X, Y) : = , ∀X, Y∈Γ Hiển nhiên BF dạng song tuyến tính phản xứng móc Lie có tính chất Kí hiệu GF ổn định hố F tác động K G Γ*, tức GF : = {g∈G / K(g)F = F } Đặt ΓF : = Lie (GF) đại số Lie GF Đại số Lie ΓF dạng song tuyến tính Kirillov BF có quan hệ mật thiết với nhau, chúng có ích việc xác định số chiều K-quĩ đạo ΩF chứa F 2.1.4.Mệnh đề [5] Hạt nhân BF số chiều ΩF cho hệ thức sau : KerBF = ΓF dimΩF = dimΓ – dim ΓF 2.2 Các MD-nhóm MD-đại số 2.2.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số tự nhiên dương đó) G gọi MDn-nhóm K-quĩ đạo khơng chiều có chiều số k (chẵn) khơng vượt q n 2.2.2 Định nghĩa Đại số Lie MDn-nhóm gọi MDnđại số 2.2.3 Mệnh đề [8] Điều kiện cần để đại số Lie giải Γ thuộc lớp MD- đại số ideal dẫn xuất thứ hai Γ2 : = [Γ1, Γ1] = [ [Γ, Γ] , [Γ, Γ] ] giao hốn Chú ý điều kiện cần nêu điều kiện đủ Nói cách khác, có đại số Lie giải với ideal dẫn xuất thứ hai giao hoán, chí triệt tiêu khơng phải MD-đại số Tuy nhiên, nhờ điều kiện này, để phân loại MD-đại số, ta cần xét đại số Lie giải với Γ2 giao hốn Nói riêng xét lớp đại số Lie giải với Γ2 triệt tiêu, tức ideal dẫn xuất thứ Γ1 giao hoán Gần đây, [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th] tác giả xét MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ giao hốn khơng q chiều Bài phân loại nốt MD5-đại số với Γ1 giao hốn chiều Kết Các kí hiệu 3.1 Từ sau, Γ kí hiệu để đại số Lie thực giải chiều Ta ln chọn sở thích hợp ( X1, X , X , X , X Γ Lúc đó, với tư ) cách không gian vectơ chiều, Γ ≡ □ Không gian đối ngẫu Γ kí hiệu Γ* Ta có đồng thức Γ* ≡ □ với sở đối ngẫu ( X *, X *, X *, X *, X * sở ( X , X , X , X , ) Đối với MD5-đại số với ) X 5 ideal dẫn xuất giao hoán chiều, ta có định lí phân loại sau 3.2 Định lí Giả sử Γ MD5-đại số với Γ : = [Γ , Γ ] ≅ □ (đại số Lie giao hoán chiều) − Nếu Γ khả phân có dạng Γ = h ⊕□ , h MD4-đại số − Nếu Γ bất khả phân ta ln chọn sở thích hợp ( X , X , X , X , X ) Γ cho Γ = < , X , X , X >≅ □ , X 5 ad X ∈End(Γ 1)( ≅ Mat 4(□ ), Γ đẳng cấu với đại số Lie Γ5,4,1 ( λ1 , λ2 , λ3 ) : ad X  λ1  λ2 =  0  0 λ3 0  Γ5,4,2 ( λ , λ ) 0   ; λ , λ , λ ∈□ \ { 0,1} , λ ≠ λ ≠ λ ≠ λ 2  λ1 : ad = X1  1 λ   ; 0 0  0 λ , λ ,∈ □ \ { 0,1} , ≠ λ  λ   0 1 2 Γ5,4,3 ( λ ) : ad X =   λ 0    ad X =  λ   1  ad X  : =  0  0 Γ5,4,4 ( λ ) : Γ5,4,5 Γ5,4,6 ( λ , λ ) 0 0 λ 0 ; λ ∈□ \ { 0,1} 0 0 1 0 0 0 ; 0 0 1  0  0  λ1  : ad = λ ; X1 λ ∈ □ \ { 0,1}    0 0  ≠λ 0 λ , λ ,∈ □ \ { 0,1} ,  λ 1  2 λ  Γ5,4,7 ( λ ) : ad X =  0  λ 0 λ  Γ5,4,8 ( λ ) : adX =  0  0 0 λ 0; 1 λ ∈□ \ { 0,1} 0 1 Γ5,4,9 ( λ ) : ad X  λ  =  0 0 0 ; λ ∈ □ \ { 0,1} 1 1 0 0  1 0 1 0   ; λ ∈ □ \ { 0,1} 10 Γ5,4,10 : ad X 1  = 0 0  0 1 0 1 0  11 Γ5,4,11 ( λ1 , λ2 ,ϕ ) : adX  cos ϕ  sin  =ϕ    12 Γ5,4,12 ( λ,ϕ ) : 13 Γ5,4,13 ( λ,ϕ ) : − sin ϕ 0 cos ϕ   ;λ1, λ2 ∈ □ \ { 0} , λ1 ≠ λ2 ,ϕ ∈( 0, π ) λ1   0 λ2  0  0  cos − sin ϕ ϕ  cos ϕ sin ϕ  ; λ ∈□ \ { 0} ,ϕ ∈( 0, π ) adX =   0 λ 0 0 λ   adX  cos ϕ  sin  =ϕ   0 − sin ϕ 0 cos ϕ 0 λ 0   ; λ ∈□ \ { 0} ,ϕ ∈( 0, π ) 1 λ ;λ, μ ∈□ , μ > 0,ϕ ∈( 0,π )  14 Γ5,4,14 ( λ, μ,ϕ ) :  cosϕ  sinϕ = adX    −sinϕ cosϕ 0 0 0  λ − μ μ λ  3.3 Phép chứng minh định lí 3.3.1 Bổ đề Mỗi đại số Lie thực chiều Γ với ideal dẫn xuất thứ Γ1 giao hoán chiều MD5-đại số 3.3.2 Chứng minh bổ đề Giả sử Γ đại số Lie thực chiều với Γ1 = □ Hiển nhiên ta chọn sở ( X1, X , X , X , X ) thích hợp Γ cho Γ1 = < X2 , X3 , X4 , X5 >≅ □ , adX1 ∈End(Γ1) ≅ Mat 4(□ ) Giả sử ad X1 = ( a ij ) ; i, j ∈ {2, 3, 4, 5} Lấy phần tử F = α X * + α X * + α X * + α X * + α X * ≡ (α ,α ,α ,α ,α ) 1 2 3 khơng gian đối ngẫu Γ* ≡ □ 4 5 với sở đối ngẫu ( X *, X *, X *, X *, X *) sở ( X1 , X , X , X , X ) Xét K-quĩ đạo ΩF chứa F Ta cần chứng tỏ ΩF không chiều, có chiều số chẵn khơng vượt Theo mệnh đề 2.1.4, ta có KerBF = ΓF dimΩF = dimΓ – dimΓF Nhớ KerBF = {U∈ Γ / < F, [U, Xi] > = ; i = 1, 2, 3, 4, 5} Do ta có U = a1 X1 + a2 X + a3 X + a4 X + a5 X ≡ (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) ∈ KerBF ⇔< F, [U, Xi] > = ; i = 1, 2, 3, 4, ⇔B (a , a , a , a , a )T =0; (.)T phép lấy chuyển vị ma trận, B ma trận sau  < F,[X2, X1] > < F,[X3, X1] > < F,[X4, X1] > < F,[X5, X1] >   < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > 2   B=   < F,[X1, X3] > < F,[X2 , X3] > < F,[X3, X3] > < F,[X4, X3] > < F,[X5, X3] >   < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] >   4 4   < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] > < F,[X , X ] >  5 5 5  Suy dimΩF = dimΓ – dimΓF = rank(B) Tính tốn trực tiếp ta   − ∑ 2α − ∑ 3α i i=2 − ∑ 4α i i=2 i    ∑ 2α i  i=  3α i B=   i = α a  ∑    i4  − ∑ 5α i  i=2  i=2 i 0 0 0 0 0 0 i= 0 0 i        ∑ 5α       i=2 Dễ thấy rank(B) ∈ {0, 2} Do ΩF không chiều chiều Vậy Γ MD5-đại số 3.3.3 Chứng minh định lí Bây phép chứng minh định lí dựa vào phân loại đồng dạng ma trận thực cấp bốn ad X Chú ý dạng chuẩn tắc ma trận ad , ta ln 1 đổi sở cách thích hợp giá trị riêng thực mô đun giá trị riêng phức ad Từ ta nhận 14 dạng khác X1 ad X1 liệt kê định lí 3.2 Hơn hai đại số ứng với hai dạng khác ad X khơng đẳng cấu Định lí 3.2 chứng minh hoàn toàn 3.4 Nhận xét Nhắc lại rằng, đại số Lie thực Γ xác định nhóm Lie liên thơng đơn liên G cho Lie(G) = Γ Do ta nhận 14 họ MD5nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5-đại số liệt kê định lí 3.2 Chẳng hạn, G =G5,4,1 ( λ1 , λ2 , λ3 ) MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5-đại số Γ =Γ5,4,1 ( λ1 , λ2 , λ3 ) Các họ MD5-nhóm bất khả phân Trong báo khác, mô tả K-biểu diễn 14 họ MD5nhóm xét họ MD5-phân tương ứng với chúng 3.5 Vài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu 3.5.1.Đối với tất MD5-đại số MD5-nhóm liên thơng đơn liên xét, cần phân loại tô pô MD5-phân tương ứng mô tả C*-đại số kiểu MD5-phân phân thớ phương pháp KK-hàm tử 3.5.2.Xây dựng lượng tử hố biến dạng MD5-nhóm phân loại 3.5.3.Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn để hồn thành việc phân loại triệt để toàn lớp MD5-đại số 3.5.4.Giải vấn đề tương tự làm cho MD5-đại số MD5-nhóm xét cho MD5-đại số MD5-nhóm cịn lại 3.5.5.Tiếp tục xét lớp MDn với n ≥ đồng thời xét trường hợp n tổng quát Một số kết báo tác giả liên quan đến vấn đề nêu 3.5.1 3.5.2 đăng tạp chí này, Dương Minh Thành tác giả với Dương Quang Hịa Lời cảm ơn : Kết tác giả báo cáo Hội thảo quốc tế lần thứ hai Đại số Tổ hợp (ICAC–07) Bắc kinh, Trung quốc ngày 6-10 tháng năm 2007 Tác giả hân hạnh cám ơn Ban tổ chức Hội thảo, đặc biệt giáo sư Shangzhi Li tài trợ cho tác giả tham dự đọc báo cáo Hội thảo TÀI LIỆUTHAM KHẢO [1] A Connes (1982), A Survay of Foliations and Operator Algebras, Proc Symp Pure Math., 38, 512 – 628, Part I [2] Do Ngoc Diep (1999), Method of Nocommutative Geometry for Group C*algeras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416 [3] I Gelfand and A Naimark (1943), On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Mat Sbornik, 12, 197 -213 (In Russian) [4] G G Kasparov (1981), The operator K-functor and extensions of C*-algebras, Math USSR Izvestija, 16, No 3, 513 – 572 [5] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Prepresentations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York [6] G Reeb (1952), Sur certains proprie’te’s topologiques de varie’te’s feuillete’es, Actualite’ Sci Indust 1183, Hermann, Paris [7] J Rosenberg (1976), The C*-algebras of some real p-adic solvable groups, Pacific J Math, 65, No 1, 175 – 192 [8] V M Son et H H Viet (1984), Sur la structure des C*-algebres d’une classe de groupes de Lie, J Operator Theory, 11, 77 – 90 [9] A.M Torpe (1985), K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Component, J Func Anal., 61, 15-71 [10] Le Anh Vu (1990), On the Structure of the C*- algebra of the Foliation Formed by the K–orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group, J Operator Theory, 24, 227 – 238 [11] Le Anh Vu (1990), On the Foliations Formed by the Generic K– orbits of the MD4–Groups, Acta Math.Vietnam, N0 2, 39 – 55 [12] Le Anh Vu (1993), Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the Co– adjoint Representation of a Class of Solvable Lie Groups, Vest Moscow Uni., Math Bulletin, Vol 48, N0 3, 24 – 27 [13] Le Anh Vu (2003), Foliations Formed by K – orbits of Maximal Dimension of Some MD5–Groups, East–West Journal of Mathematics, Vol 5, NO 3, pp 159 – 168 [14] Le Anh Vu (2005), On a subclass of 5-dimensional Lie Algebras Which have 3dimensional Commutative Derived Ideals, East-West J Math, No 1, 13-22 [15] Lê Anh Vũ, Nguyễn Cơng Trí (2006), Vài ví dụ MD5-đại số MD5phân đo liên kết với MD5-nhóm tương ứng, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 42 No 8, 14-32 [16] Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, Contributions in Math And App., Proceeding of the International Conference in Math And App., December 2005, Bangkok, Thailand, A special Volume Published by East-West J Math., 169-184 Tóm tắt Phân loại lớp MD-Đại số năm chiều với Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều Bài báo xét lớp MD5-đại số, tức đại số Lie thực giải chiều mà nhóm Lie liên thơng, đơn liên tương ứng có quĩ đạo biểu diễn đối phụ hợp (K-quĩ đạo) không chiều chiều cực đại Kết mà báo đưa phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều Abstract Classification of 5-dimensional md-algebras which have 4-dimensional commutative derived ideals The paper presents a subclass of the class of MD5–algebras, i.e., five dimensional solvable Lie algebras that K-orbits of corresponding connected and simply connected Lie groups are orbit of zero or maximal dimension The article is about the classification (exact to an isomorphism) of all 5dimensional MD–algebras which have 4-dimensional commutative derived ideal  ... East-West J Math., 169-184 Tóm tắt Phân loại lớp MD-Đại số năm chiều với Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều Bài báo xét lớp MD5-đại số, tức đại số Lie thực giải chiều mà nhóm Lie liên thơng, đơn... Γ2 giao hốn Nói riêng xét lớp đại số Lie giải với Γ2 triệt tiêu, tức ideal dẫn xuất thứ Γ1 giao hoán Gần đây, [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th] tác giả xét MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ giao. .. Nói cách khác, có đại số Lie giải với ideal dẫn xuất thứ hai giao hốn, chí triệt tiêu khơng phải MD-đại số Tuy nhiên, nhờ điều kiện này, để phân loại MD-đại số, ta cần xét đại số Lie giải với