BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CHUYÊ N ĐỀ S Ố HỌC A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước và bội 1) Định nghĩa về ước và bội Ước Số tự nhiên 0d ≠ được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d T[.]
CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội 1) Định nghĩa ước bội Ước: Số tự nhiên d ≠ gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư ( a= ) {d ∈ N : d | a} Bội: Số tự nhiên m gọi bội a ≠ m chia hết cho a hay a ước số m {0; a; 2a; ; ka} , k ∈ Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số ngun - Các số -1 ước số nguyên - Nếu Ư ( a ) = {1; a} a số nguyên tố - Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x + cách chọn (là 1, a, a , …, a x ) n có y + cách chọn (là 1, b, b , …, b y ) p có z + cách chọn (là 1, c, c , …, c z ),… Do đó, số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Kí hiệu ƯC(a; b) | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Nhận xét: Tập hợp bội a= ( a ≠ ) B ( a ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Nhận xét: Nếu ƯC ( a; b ) = {1} a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số d ∈ N gọi ước số chung lớn a b ( a; b ∈ Z ) d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m ≠ gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) [ a; b ] lcm(a;b) 2) Cách tìm ƯCLN BCNN CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.- Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Ví dụ: = 30 2.3.5, = 2.5 = 10 = 20 22.5 ⇒ ƯCLN(30; 20) Chú ý : - Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ước số lại ƯCLN số cho số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm Ví dụ: = 30 2.3.5, 20) 2= 3.5 60 = 20 22.5 ⇒ BCNN(30;= Chú ý: - Nếu số cho đôi ngun tố BCNN chúng tích số Ví dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số cịn lại BCNN số cho số lớn Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ● Nếu ( a1 ; a2 ; ; an ) = ta nói số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố ● Nếu ( am ; ak ) = 1, ∀m ≠ k , {m, k } ∈ {1;2; ; n} ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố a b c c ● c ∈ ƯC (a; b) ; = ( a; b ) c a b ; = d d ● d= ( a; b ) ⇔ ● ( ca; cb ) = c ( a; b ) ● ( a; b ) = ( a; c ) = ( a; bc ) = ● ( a; b; c ) = ( ( a; b ) ; c ) ● Cho a > b > - Nếu a = b.q ( a; b ) = b Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: ● Nếu [ a; b ] = M M ; M = a b ● [ a; b; c ] = [ a; b ] ; c ● [ ka, kb ] = k [ a, b ]; ● [ a; b ] ( a; b ) = a.b 4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN “Thuật toán Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật tốn mang tên ơng Về số học, “Thuật toán Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số ngun) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số nguyên Thuật toán Oclit – dùng để tìm ƯCLN số nguyên Để tìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vịng lặp” sau: • Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a, b) = b Nếu a không chia hết cho b (dư r) làm tiếp bước | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC - Nếu a =bq + r ( r ≠ ) ( a; b ) = ( b; r ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI • Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r a Nếu b chia r dư r1 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước • Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 : Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia r1 dư r2 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 ≠ ) làm tiếp đến số dư r1 r1 r2 q1 r3 q2 …… Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 b b q (a, b) rn rn−1 qn CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287 • Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 dùng cho vịng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng cịn số dư sau: 91 = 14.6 + (14 dùng cho vịng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng cịn số dư suy kết thúc, nhận làm kết quả) Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải toán BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b) = a.b a, b ] [ a, b ] ( a, b ) ⇒ [ = a.b ( a, b ) , ( a= ,b) a.b [ a, b ] Nghĩa là: Tích số nguyên a.b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nếu làm theo cách phân tich thừa số ngun tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số ngun có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a phân số tối giải ( a, b ) = b Tính chất: i) Mọi phân số khác đưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản Dạng 1: Các toán liên quan tới số ước số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x + cách chọn (là 1, a, a , …, a x ) n có y + cách chọn (là 1, b, b , …, b y ) p có z + cách chọn (là 1, c, c , …, c z ),… Do đó, số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ước số 1896 Hướng dẫn giải Ta có= : 1896 ) (= 96 3192.296 1) 97.193 = 18721 Vậy số ước số 1896 ( 96 + 1)(192 += Bài toán Chứng minh số tự nhiên lớn số phương số ước số số lẻ | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Hướng dẫn giải Giả sử n = p1a1 p2a2 pkak với pi nguyên tố ∈ N * n số phương a1 , a2 , , ak số chẵn ( a1 + 1)( a2 + 1) ( ak + 1) số lẻ Mặt khác ( a1 + 1)( a2 + 1) ( ak + 1) số số ước n, toán chứng minh Bài toán Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n có 17 ước số CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Hướng dẫn giải Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng : n = ( m − 1) + m + ( m + 1) = 3m + số phương 2 Nếu n có 17 ước số n số phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần số nguyên dư, từ ta tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) ước ⇔ (n +2) ∈ {1 ; ; 4} ⇒ n ∈ {0 ; 2} Vậy với n ∈{0; 2} (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n + 15 số tự nhiên n+3 Hướng dẫn giải Để n + 15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n+3 TỦ SÁCH CẤP 2| 10 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3) ⇔ 12 chia hết cho (n +3) ⇔ (n + 3) Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9} Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thì n + 15 số tự nhiên n+3 Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + n + Hướng dẫn giải Ta có: n2 + 3n + n + Suy ra: n (n + 3) + n + ⇔ n + => n + ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 4n + có giá trị số nguyên 2n − Hướng dẫn giải Ta có: 4n + 4n − + n(2n − 1) + 7 = = = n+ 2n − 2n − 2n − 2n − Vì n nguyên nên để 4n + nguyên nguyên 2n − 2n − => 2n – ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} ⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} 4n + có giá trị số nguyên 2n − Bài toán Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: 2n + 5n + 17 3n + − B= n+2 n+2 n+2 Hướng dẫn giải Ta có: B= = 2n + 5n + 17 3n 2n + + 5n + 17 − 3n 4n + 19 + − = = n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 4(n + 2) + 11 11 = 4+ n+2 n+2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n+2 ⇒ 11 (n + 2) ⇒ n + ∈ Ư(11) = {±1; ±11} 11 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Bài tốn Tìm số ngun n để phân số | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Do n + > nên n + = 11 ⇒ n = Vậy n = B ∈ N Bài tốn Tìm k ngun dương lớn để ta có số n = ( k + 1) k + 23 số nguyên dương Hướng dẫn giải 484 k + 2k + ( k + 23)( k − 21) + 484 = = k −1 + , k ∈ Z + n k + 23 k + 23 k + 23 k + 23 số nguyên dương k + 23 | 484, k + 23 > 23 Ta có: n = ( k + 1) = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI + 23 121 = k= k 98 Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21 ⇒ ⇒ 23 44 = k 21 k += Với k = 98, ta có n = 81 Với k = 21, ta có n = 11 Vậy giá trị k lớn thỏa mãn yêu cầu tốn 98 Dạng 3: Tìm số biết ƯCLN chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 ƯCLN(a, b) = 18 Hướng dẫn giải Giả sử a ≤ b Ta có: = a + b 162,= ( a, b ) 18 a = 18m Đặt với ( m,= n ) 1, m ≤ n b = 18n Từ a + b= 162 ⇒ 18 ( m + n )= 162 ⇒ m + n= Do ( m, n ) = 1, lập bảng: m n a 18 36 loai 72 b 144 126 90 TỦ SÁCH CẤP 2| 12 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Kết luận: Các số cần tìm là: (18;144 ) ; ( 36;126 ) ; ( 72;90 ) Bài toán Tìm hai số nhỏ 200, biết hiệu chúng 90 ƯCLN 15 Hướng dẫn giải Gọi hai số cần tìm a, b ( a, b ∈ N ; a, b < 200 ) Ta có:= a − b 90;= ( a, b ) 15 ( m, n ) = ( m, n ) = a = 15m Đặt ⇒ ⇒ 90 b = 15n m − n = 15 ( m − n ) = m n a b 13 195 105 11 65 75 85 15 Vậy: ( a, b ) = (195;105 ) , ( 65;75 ) , ( 85;15 ) Bài toán Tìm hai số tự nhiên có tích 432 ƯCLN Hướng dẫn giải Ta có: = ab 432; ( a= ,b) (a ≤ b) Đặt = a 6= m, b 6n với (m, n) = m ≤ n ⇒ 36mn = 432 ⇒ mn = 12 Ta được: m n a b 12 72 18 24 Vậy ( a, b ) = ( 6;72 ) , (18, 24 ) Bài tốn Tìm hai số a, b biết 7a = 11b ƯCLN(a; b) = 45 Hướng dẫn giải Từ giả thiết suy a > b 13 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC 15m < 200 m ≤ 13 Lại có: a, b < 200 ⇒ ⇒ 15n < 200 n ≤ 13 | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI a = 45a1 Từ ƯCLN(a; b) = 45 ⇒ b = 45b1 Mà: 1, ( a1 ≥ b1 ) ( a1 ; b1 ) = = = 495 a 45.11 a 11 a1 = 11 a 11 ( a1 ; b1 ) = => = ⇒ = ⇒ = = 315 b b1 b 45.7 b1 = Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315 Dạng 4: Các toán phối hợp BCNN số với ƯCLN chúng * Cơ sở phương pháp: * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là điều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Ví dụ minh họa: CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Bài toán Cho = a 1980, = b 2100 a) Tìm ( a, b ) [ a, b ] b) So sánh [ a, b ] ( a, b ) với ab Chứng minh nhận xét hai số tự nhiên a b khác tùy ý ( Nâng cao phát triển lớp tập – Vũ Hữu Bình) Hướng dẫn giải 2 a) 1980 2= = 5.11, 2100 22.3.52.7 ƯCLN(1980, 2100) = 2= 3.5 60 2 BCNN (1980, = 2100 ) 2= 7.11 69300 b) [1980, 2100] (1980, 2100 ) = 1980.2100 ( 4158000 ) Ta chứng minh [ a, b ] ( a, b ) = a.b Cách Trong cách giải này, thừa số riêng coi thừa số chung, chẳng hạn a chứa thừa số 11,b khơng chứa thừa số 11 coi b chứa thừa số 11 với số mũ Với cách viết này, ví dụ ta có: 1980 = 22.32.5.7 0.11 2100 = 22.3.52.7.110 (1980, 2100 ) tích thừa số chung với số mũ nhỏ 22.32.5.70.110 = 60 [1980, 2100] tích thừa số chung với số mũ lớn 22.32.52.7.11 = 69300 Bây ta chứng minh trường hợp tổng quát: TỦ SÁCH CẤP 2| 14 ... ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Nhận xét: Nếu ƯC ( a; b ) = {1} a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số d ∈ N gọi ước số chung lớn a b ( a; b ∈ Z ) d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung... 11 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Bài toán Tìm số nguyên n để phân số | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Do n + > nên n + = 11 ⇒ n = Vậy n = B ∈ N Bài tốn Tìm k ngun dương lớn để ta có... lớn số phương số ước số số lẻ | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Hướng dẫn giải Giả sử n = p1a1 p2a2 pkak với pi nguyên tố ∈ N