Tài liệu học tập

Chương I ĐẠI SỐ VECTƠ & PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ §1 VECTƠ - CỘNG VECTƠ -NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1.Đoạn thẳng định hướng Một đoạn thẳng gọi định hướng hai điểm mút ta chọn điểm làm điểm gốc, điểm làm điểm Ví dụ: Đoạn thẳng AB, ta chọn A điểm gốc, B điểm ta có đoạn thẳng định hướng AB Ký hiệu: (A, B) Nếu hai điểm A,B trùng ta có đoạn thẳng định hướng (A,A) Hai đoạn thẳng định hướng (A,B) (C,D) gọi trung điểm AD BC trùng Khi ta viết (A,B) = (C,D) Dễ dàng thấy quan hệ đoạn thẳng định hướng quan hệ tương đương 2.Vectơ Vectơ đoạn thẳng định hướng không gian đoạn thẳng định hướng (A,B) cho trước Ký hiệu: AB Đường thẳng AB gọi giá vectơ AB Modul vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB Ký hiệu: | AB | Như (A,B) = (C,D) AB = CD    Một vectơ ký hiệu cách đơn giản a , b , x , vectơ gọi vectơ tự Tập hợp tất vectơ không gian gọi không gian vectơ tự V3  Vectơ khơng vectơ có điểm gốc điểm trùng ký hiệu: Hiển nhiên AB  BA , AA   Vectơ có modul gọi vectơ đơn vị, thường ký hiệu: e Hai vectơ AB CD khác vectơ không gọi phương (cộng tuyến) hai đường thẳng AB CD song song trùng Hai vectơ AB CD khác vectơ không gọi hướng ta tịnh tiến gốc trùng ta có điểm nằm phía Như hai vectơ chúng hướng có modul 3.Phép cộng vectơ 3.1.Định nghĩa     Cho hai vectơ a b tuỳ ý Ta xác định vectơ, ký hiệu a  b , gọi   tổng hai vectơ a b xác định sau: lấy điểm A tùy ý xác định vectơ     AB  a , BC  b , AC  a  b Rõ ràng định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm A 3.2.Tính chất 1o Với ba điểm A,B,C ta có: AB  BC  BC    Với vectơ a , b , c ta có:           2o a  b  b  a   3o ( a  b )  c  a  ( b  c )  4o a   a       5o Với vectơ a ta ln có x cho: a  x  Vectơ x gọi   vectơ đối a ký hiệu : - a 4.Phép trừ hai vectơ 4.1.Định nghĩa     Hiệu hai vectơ a b định nghĩa tổng vectơ a với vectơ  b ,       ký hiệu a - b Như vậy: a - b = a + (- b ) 4.2.Tính chất Với ba điểm A,B,C ta c: AB  CB  CA   Để có vectơ a - b ta xây dựng sau: lấy điểm A tuỳ ý xác     định vectơ AB  a , AC  b CB  a  b 5.Phép nhân vectơ với số thực 5.1.Định nghĩa    Cho vectơ b số thực  Tích số thực  vectơ b vectơ a Ký   hiệu: a =  b xác định:    10 a   b   b     20 a b hướng  > 0; a b ngược hướng  < 5.2.Tính chất    Với vectơ a , b , c ; với số thực ,  ta ln có:   1o b =     2o b = b (-1) b = - b   3o  ( b ) = ( ) b     4o  ( a + b ) = a +  b    5o ( + ) b =  b +  b   6o Điều kiện để hai vectơ a b phương tồn số thực    cho: a =  b §2 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH CƠ SỞ- SỐ CHIỀU 1.Định nghĩa  Hệ vectơ {ai }1,k gọi hệ vectơ độc lập tuyến tính có đẳng thức:  k  a i 1 i i   (*) ta suy i = với i = 1, ,k Hệ vectơ không độc lập tuyến tính gọi hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Nghĩa từ biểu thức (*) ta suy tồn i ≠ 2.Tính chất  1o.Mọi hệ có chứa vectơ khơng hệ phụ thuộc tuyến tính  2o Hệ vectơ {ai }1,k phụ thuộc tuyến tính  tồn vectơ hệ biểu thị qua vectơ lại 3o.Hệ vectơ hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ độc lập tuyến tính 4o.Hệ vectơ chứa hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính    5o.Cho hệ vectơ {ai }1,k hệ vectơ độc lập tuyến tính, hệ vectơ {ai , b}1,k hệ   vectơ phụ thuộc tuyến tính vectơ b biểu thị qua hệ vectơ {ai }1,k Chú ý:   + Hệ { a , b } phụ thuộc tuyến tính giá chúng song song trùng    + Hệ { a , b , c } phụ thuộc tuyến tính (hay gọi đồng phẳng) giá chúng song song nằm mặt phẳng 3.Định nghĩa   10.Cho vectơ a khác vectơ không Tập hợp tất vectơ b cho hệ    vectơ { a , b } phụ thuộc tuyến tính gọi khơng gian vectơ chiều sinh vectơ a     Ký hiệu : V1 = L, tức V1= { b | b = x a } Khi  { a } sở không gian vectơ V1    (x) tọa độ vectơ b sở { a } ký hiệu: b =(x)    20.Cho hệ vectơ { a , b } độc lập tuyến tính Tập hợp tất vectơ c cho    hệ vectơ { a , b , c} phụ thuộc tuyến tính gọi khơng gian vectơ hai chiều sinh   hai vectơ a b       Ký hiệu : V2= L, tức V2 ={ c : c  x a  y b } Khi   { a , b } sở không gian V2     (x, y) tọa độ vectơ c sở { a , b } ký hiệu c   x , y     30 Cho { a , b , c} độc lập tuyến tính khơng gian vectơ tự V3 sinh         hệ { a , b , c} tập hợp vectơ d cho d  x.a  y.b  z.c         Ký hiệu: V3 = L< { a , b , c} > , tức V3 = { d | d  x.a  y.b  z.c } Khi    { a , b , c} cơsở V3      (x,y,z) tọa độ vectơ d sở { a , b , c} ký hiệu d =(x,y,z) §3 TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vơ hướng 1.1.Định nghĩa     Tích vơ hướng vectơ a , b số thực Ký hiệu: a b       a b  | a | | b | cos(a, b ) 1.2.Một số tính chất tích vơ hướng    Với vectơ a , b , c ; với R ta có:     1o a b = b a       2o ( a + b ) c = a c + b c       3o ( a b ) = ( a ) b = a ( b )      4o a a = | a |2  Dấu xảy  a      5o a b =  (a, b )     tức a  b 2 Chiếu vectơ lên trục 2.1.Định nghĩa Cho vectơ AB trục u Gọi A1, B1 hình chiếu A, B lên trục u, A1 B1 gọi chiếu vectơ AB lên trục u Ký hiệu: chu AB B A u  A’ A1 B1 2.2 Tính chất 1o chu AB = | AB | cos , với  góc tạo trục u vectơ AB   2o Nếu hai trục u v hướng th chu a  chv a     30 Nếu a  b th chu a  chu b    40 Với a với số thực : chu  a   chu a           50 Với a , b : chu (a  b )  chu a  chu b     6o Với a , b : a b  | a | cha b  | b | chb a Hình chiếu vectơ lên trục 3.1.Định nghĩa Hình chiếu vectơ AB lên trục u vectơ A1 B1 gọi vectơ chiếu vectơ AB trục u Ký hiệu: proju AB , proju AB hay VchU AB B A 3.2.Cùng thức proju AB   u A1 B1   |u | u  AB.u      .u  u.u    3.3.Tính chất A1  B1  1o Nếu hai trục u v hướng th proju a  projv a     20 Nếu a  b th proju a  proju b    30 Với a với số thực  : proju a   proju a       40 Với a , b : proju (a  b )  proju a  proju b §4 HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VNG GĨC 1.Trục tọa độ 1.1.Định nghĩa Trục tọa độ trục mà có điểm gốc O, vectơ hướng đơn  vị e Ta thường dùng trục Ox O  Ký hiệu : (Ox, e ) 1.2.Tọa độ điểm trục tọa độ   Nếu có điểm M hệ trục tọa độ (Ox, e ) OM  x.e th x gọi tọa độ điểm M trục Ox Ký hiệu: M(x) O M Trên trục Ox điểm M1(x1) M2(x2) M M  (x2 - x1) Hệ tọa độ Descartes (Decac) vng góc mặt phẳng 2.1.Định nghĩa y Hệ tọa độ Descartes vng góc mặt phẳng hệ     gồm hai trục (Ox, e1 ) (Oy, e2 ) vng góc, e1 , e hai vectơ đơn vị hướng tương ứng hai trục Ox, Oy Ký hiệu: Oxy O x   Và ta gọi hệ {O, e1 , e } hệ tọa độ Descartes vng góc mặt phẳng Trong   O điểm thuộc mặt phẳng e1 , e hai vectơ đơn vị vng góc với Dễ dàng thấy tập hợp tất vectơ mặt phẳng Oxy không gian     vectơ sinh hai vec tơ e1 , e ; tức nhận hệ vectơ{ e1 , e }làm sở 2.2.Tọa độ điểm  y  Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M, OM  xe1  ye2 th ta gọi số (x,y) tọa độ điểm M Ký hiệu M (x,y) Ta xác định tọa độ điểm M B2 B M2 mặt phẳng Oxy cách trực quan sau: M A A2 Ta kẻ qua M hai đường thẳng tương ứng phương với hai trục Ox, Oy chúng M1 O cắt hai trục M1, M2 Khi : OM1  x ; OM  y Trong hệ Oxy giả sử A(x1, y1) B(x2, y2) AB = (x2-x1 , y2 -y1) 2.3.Góc định hướng hai vectơ   Trong mặt phẳng Oxy cho hai vec tơ: u = (a1, a2) , v = (b1,b2) Nếu định thức a1 a2 b1 b2 Nếu định thức a1 a2 b1 b2     > cặp vectơ { u , v } gọi có hướng dương < cặp vectơ { u , v } gọi có hướng âm   Ta biết góc  góc hai vectơ u v tính biểu thức: a1 b1  a b2 cos = (a1  a )(b1  b2 ) 2 0        Ta định nghĩa góc định hướng hai vectơ u v , ký hiệu