Bài 10. Biếnđổi tổng, hiệu thành tích, tichthànhtổng
257
BÀI 4. BIẾNĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNHTÍCH
I. Sử dụng công thức biếnđổi tổng, hiệu thànhtích
sin sin 2sin cos ; sin sin 2cos sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
+ − + −
+ = − =
cos cos 2 cos cos ; cos cos 2sin sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
+ − + −
+ = − = −
Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
(
)
sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2 1
x x x x x+ + = + +
Giải
(
)
(
)
(
)
1 sin 2 sin sin 2 1 cos 2 cos
x x x x x
⇔ + + = + +
( ) ( )
2
2sin 2 cos sin 2 2 cos cos sin 2 2 cos 1 cos 2 cos 1
x x x x x x x x x
⇔ + = + ⇔ + = +
( )( )
{
}
2 5
cos 2 cos 1 2sin 1 0 ; 2 ; 2 ; 2
2 3 6 6
x x x x k k k k
π π π π
⇔ + − = ⇔ ∈ + π ± + π + π + π
Bài 2.
Giải phương trình:
(
)
1 cos cos 2 cos 3 0 1
x x x+ + + =
Giải
( )
( ) ( )
2
3 3
1 cos 2 cos 1 cos 3 0 2cos cos 2cos 0
2 2 2
x x x
x x x
⇔ + + + = ⇔ + =
(
)
3 3 3
2 cos cos cos 0 4 cos cos .cos 0
2 2 2 2 2
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ =
{
}
2
;
2 3 3
k
x k
π π π
⇔ ∈ + π +
Bài 3.
Giải phương trình:
(
)
cos10 cos8 cos 6 1 0 1
x x x− − + =
Giải
(
)
(
)
(
)
1 cos10 cos 6 1 cos8 0
x x x
⇔ − + − =
2
2sin 8 sin 2 2 sin 4 4 sin 4 cos 4 sin 2 4 sin 4 sin 2 cos 2
0
x x x x x x x x x
⇔ − + = − + =
(
)
4sin 4 sin 2 cos 4 cos 2 0 8sin 4 sin 2 sin 3 sin 0
x x x x x x x x
⇔ − − = ⇔ =
{
}
sin 3 0 sin 4 0 ;
3 4
k k
x x x
π π
⇔ = ∨ = ⇔ ∈
Bài 4.
Giải phương trình:
(
)
9sin 6 cos 3sin 2 cos 2 8 1
x x x x+ − + =
Giải
( )
2
1 9sin 6 cos 6sin cos 1 2sin 8
x x x x x
⇔ + − + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2
9sin 6cos 1 sin 2sin 7 0 6cos 1 sin 1 sin 2sin 7 0
x x x x x x x x
⇔ + − − − = ⇔ − + − − =
(
)
(
)
1 sin 6cos 2sin 7 0
x x x
⇔ − + − =
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
258
a) Xét
1 sin 0 sin 1 2
2
x x x k
π
− = ⇔ = ⇔ = + π
b) Xét:
(
)
6 cos 2sin 7 0 2 2 sin 6 cos 7
x x x x
+ − = ⇔ + =
Do
( )
2 2 2 2 2 2
2 6 40 49 7 2
a b c+ = + = < = = ⇒
vô nghiệm
Vậy nghiệm của (1) là
( )
2
2
x k k
π
= + π ∈
»
Bài 5.
Giải phương trình:
(
)
1 sin cos 3 cos sin 2 cos 2 1
x x x x x+ + = + +
Giải
(
)
(
)
(
)
1 1 cos 2 cos 3 cos sin sin 2 0
x x x x x
⇔ − + − + − =
( )
2
2sin 2sin2 sin sin 2sin cos 0 sin 2sin 2sin 2 1 2cos
0
x x x x x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + − =
( ) ( )
[
]
( )( )
sin 2sin 1 2 cos 1 2 cos 0 sin 1 2 cos 2 sin 1 0
x x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + =
{
}
7
1 1
sin 0 cos sin ; 2 ; 2 ; 2
2 2 3 6 6
x x x x k k k k
π π π
⇔ = ∨ = ∨ = − ⇔ ∈ π ± + π − + π + π
Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
1
sin 4 sin 3 sin =
6 2
x x x
π
− + +
(1)
Giải
( )
( )
(
)
(
)
1 sin 3 sin sin 4 sin 0 2sin 2 cos 2cos 2 sin 2 0
6 6 6
x x x x x x x
π π π
⇔ + + − − = ⇔ − − =
(
)
{
}
2
2sin 2 cos cos 2 0 ; 2
6 18 3 6
k
x x x x k
π π π π
⇔ − − = ⇔ ∈ + + π
Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
1
cos 2 2cos
3 2
x x
π
− + = −
(1)
Giải
( )
(
)
1 cos 2 cos cos cos 0
3 3
x x x
π π
⇔ − + + + =
(
)
(
)
(
)
{
}
3 2
2 cos cos cos 0 2 ;
6 2 6 2 6 2 3 2
x x x
x k k
π π π π π
⇔ − − + + = ⇔ ∈ − + π + π
Bài 8.
Giải phương trình:
2sin cos 3 sin 2 1 sin 4
x x x x
+ + = +
(1)
Giải
(
)
1 2sin cos 3 1 sin 4 sin 2 2sin cos 3 1 2 cos 3 sin
x x x x x x x x
⇔ + = + − ⇔ + = +
( ) ( )
{
}
5 2
1
2sin 1 cos3 1 0 sin cos3 1 2 ; 2 ;
2 6 6 3
k
x x x x x k k
π π π
⇔ − − = ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + π + π
Bài 9.
Giải phương trình:
1
sin cos 2 tan
cos
x x x
x
+ + = +
(1)
Giải
( )
( )
(
)
1
1 sin cos 1 1 0 2
cos
x x x k
x
⇔ + − − = ⇔ = π
Bài 10. Biếnđổi tổng, hiệu thành tích, tichthànhtổng
259
II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔITÍCHTHÀNHTỔNG
1. Công thức sử dụng
(
)
(
)
sin sin cos cos
a b a b a b
= − − +
;
(
)
(
)
cos .cos cos cos
a b a b a b
= − + +
(
)
(
)
sin cos sin sin
a b a b a b
= + + −
;
(
)
(
)
cos sin sin sin
a b a b a b
= + − −
2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
(
)
( )
sin 3 cos sin 3 2 1
x x x+ =
Giải
( )
( ) ( )
3
1
1 sin sin 3 3 cos sin 3 2 cos 2 cos 4 sin 4 sin 2 2
2 2
x x x x x x x x
⇔ + = ⇔ − + + =
3 3
1 1
cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 2
2 2 2 2
x x x x
⇔ + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
cos 2 cos 4 3 cos 2 cos 4 1
3 3 3 3
x x x x
π π π π
⇔ − − + = ⇔ − = − + =
6
x k
π
⇔ = + π
Bài 2.
Giải phương trình:
(
)
(
)
( )
4 cos .sin sin cos 2 1
6 6
x x x x
π π
+ − =
Giải
( )
(
)
(
)
(
)
1 2 cos 2sin sin cos 2 2 cos cos 2 cos cos 2
6 6 3
x x x x x x x
π π π
⇔ + − = ⇔ − =
1
2 cos .cos 2 2 cos cos 2 cos 3 cos cos cos 2
2
x x x x x x x x
⇔ − ⋅ = ⇔ + − =
( )
2
cos 3 cos 2
5
k
x x x k
π
⇔ = ⇔ = ∈
»
Bài 3.
Giải phương trình:
3
1
8sin
cos sin
x
x x
= +
(1)
Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
Với điều kiện (2) thì (1)
( )
8sin sin cos 3 sin cos
x x x x x
= +
( )
sin sin 2 3 sin cos 2 cos cos 3 3 sin cos
x x x x x x x x
⇔ = + ⇔ − = +
3
1
cos 3 sin 2 cos 3 cos sin cos 3
2 2
x x x x x x
⇔ − = ⇔ − =
(
)
cos cos sin sin cos 3 cos cos 3
3 3 3
x x x x x
π π π
⇔ − = ⇔ + =
{
}
;
12 2 6
n
x n
π π π
⇔ ∈ − + + π
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
260
Bài 4.
Giải phương trình:
(
)
cos 3 .tg 5 sin 7 1
x x x=
Giải
Điều kiện:
( )
cos 5 0 5 2
2 10 5
k
x x k x
π π π
≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ +
Với điều kiện (2) thì
( )
sin 5
1 cos 3 sin 7
cos 5
x
x x
x
⇔ ⋅ =
2sin 5 cos 3 2sin 7 cos 5 sin 8 sin 2 sin12 sin 2
x x x x x x x x
⇔ = ⇔ + = +
{
}
12 8 2
sin 8 sin12 ;
2 20 10
12 8 2
x x k
n n
x x x
x k
= + π
π π π
⇔ = ⇔ ⇔ ∈ +
= π − + π
Thử các nghiệm vừa tìm vào điều kiện (2):
10 5
k
x
π π
≠ +
Với
2
n
x
π
=
, xét phương trình
5 1 2
2 10 5
n k
n k
π π π
= + ⇔ = +
(
)
(
)
5 2 1 5 2 5 1 2 2 5 1 2 2
n k n k n k
− = ⇔ − = × − × ⇔ − = −
( )
2 1
5 2
n m
m
k m
= +
⇔ ∈
= +
»
Từ đó suy ra để thỏa mãn (2) thì
(
)
x m m= π ∈
»
Với
20 10
n
x
π π
= +
, xét phương trình
10 5 10 20
k n
π π π π
+ = +
(
)
4 2 1 2 2 2 1
k n n k
⇔ + = + ⇔ − =
vô nghiệm
,n k
∈
»
Suy ra nghiệm
20 10
n
x
π π
= +
thỏa mãn điều kiện (2)
Bài 5.
GPT:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4
sin sin sin 4 3cos cos cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
π π π π
+ − + + + =
(1)
Giải
( )
( )
2
1 2sin cos 2 cos 2 3 cos cos 2 cos 2
3 3
x x x x
π π
⇔ − − + π + =
(
)
1
2 sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 2
2
x x x x
⇔ + − − + =
( ) ( )
sin 3 sin sin 3 sin 3 cos 3 cos 2
x x x x x x
⇔ − + + + − =
3
1
sin 3 3 cos3 2 sin 3 cos 3 1
2 2
x x x x
⇔ + = ⇔ + =
(
)
cos cos 3 sin sin 3 1 cos 3 1
6 6 6
x x x
π π π
⇔ + = ⇔ − =
2
3 2 3 2
6 6 18 3
k
x k x k x
π π π π
⇔ − = π ⇔ = + π ⇔ = +
Bài 10. Biếnđổi tổng, hiệu thành tích, tichthànhtổng
261
Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
( )
2
2 sin 3 1 4sin 1 1
x x− =
Giải
Nếu
cos 0
x
=
là nghiệm của (1) thì
sin 1
x
= ±
khi đó
( )
(
)
(
)
3 2
1 2 3sin 4 sin 1 4 sin 6
VT x x x
= − − = ± ⇒
Vô lý
Nhân 2 vế của (1) với
cos 0
x
≠
ta có
( )
(
)
(
)
2 2
1 2sin 3 1 4sin cos cos 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos
x x x x x x x x
⇔ − = ⇔ − − =
( )
(
)
3
2sin3 4cos 3cos cos 2sin3 .cos3 cos sin6 cos sin
2
x x x x x x x x x x
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −
( )
2
6 2
14 7
2
6 2
2 10 5
k
x
x x k
k
k
x x k x
π π
π
= +
= − + π
⇔ ⇔ ∈
π π π
= + + π = +
»
Bài 7.
Giải phương trình:
cos 2 cos 4 cos 6 cos .cos 2 .cos 3 2
x x x x x x
+ + = +
(1)
Giải
( )
( )
1
1 cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2
2
x x x x x x
⇔ + + = + +
2
1 1
cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2
2 2
x x x x x x
⇔ + + = + +
( ) ( )
1 1
cos 3 cos 4 cos 6 1 cos 6 cos 4 cos 2 2
4 4
x x x x x x
⇔ + + = + + + +
( )
3 9
cos 2 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 cos 6 3
4 4
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + + =
cos 2 cos 4 cos 6 1 cos 2 1
x x x x x k
⇔ = = = ⇔ = ⇔ = π
Bài 8.
Giải phương trình:
3 3
1
cos .cos .cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x
− =
(1)
Giải
( )
( ) ( )
1 1 1
1 cos cos 2 cos sin cos cos 2
2 2 2
x x x x x x
⇔ + − − =
(
)
(
)
cos cos 2 cos sin cos cos 2 1
x x x x x x
⇔ + − − =
( )
(
)
2
cos 2 cos sin 1 sin sin cos 1
x x x x x x
⇔ + + − − =
(
)
(
)
cos 2 cos sin sin sin cos 0
x x x x x x
⇔ + − + =
( )( ) ( )
(
)
2
cos sin cos 2 sin 0 cos sin 1 2sin sin 0
x x x x x x x x
⇔ + − = ⇔ + − − =
( )
( )
{
}
1
tan 1 sin 1 sin ; ; 1 1
2 4 2 6
k
x x x x k k k
−π −π π
−
⇔ = − ∨ = − ∨ = ⇔ ∈ + π + π − + + π
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
262
Bài 9.
Giải phương trình:
( )
3
5
sin 5 cos .sin 1
2 2
x x
x=
Giải
Nếu
cos 0
2
x
=
là nghiệm thì
sin 1
2
x
= ±
và
cos 1
x
= −
nên từ (1)
⇒
5
sin 1
2
x
= ±
: Vô lý.
Nhân 2 vế của (1) với
(
)
2 cos 0
2
x
≠
ta có:
( )
(
)
3 3
5
1 2sin cos 5cos 2 sin cos sin 3 sin 2 5 cos .sin
2 2 2 2
x x x x
x x x x x
⇔ = ⇔ + =
(
)
3 3
3sin 4 sin 2 sin cos 5 cos sin
x x x x x x
⇔ − + =
[
]
3 2
0 sin 5cos 4 cos 2 cos 1
x x x x
⇔ = − − +
( )
(
)
2
sin cos 1 5 cos cos 1
x x x x
= − + −
Xét:
sin 0
cos 1
x
x
=
=
với chú ý
cos 0
2
x
≠
nên
sin 0
2
cos 1
x
x
=
=
ta có nghiệm
2
x k
= π
Xét
2
1 21 1 21
5cos cos 1 0 cos cos cos cos
10 10
x x x x
− − − +
+ − = ⇔ = = α ∨ = = β
(
)
2 ; 2x k x k k⇔ = ±α + π = ±β + π ∈
»
Bài 10.
Giải phương trình:
tan 3 cot 4 sin 3 cos
x x x x
− = +
(1)
Giải
( )
(
)
sin 3cos
1 4 sin 3 cos
cos sin
x x
x x
x x
⇔ − = +
2 2
3
sin 3cos
1
8 sin cos
cos sin 2 2
x x
x x
x x
−
⇔ = +
. Điều kiện:
sin 2 0
3
k
x x
π
≠ ⇔ ≠
(
)
(
)
3 1 cos 2
1 cos 2
4sin 2 cos sin sin cos
2 2 3 3
x
x
x x x
+
− π π
− = +
(
)
(
)
(
)
1 2 cos 2 4 sin 2 sin 2 cos cos 3
3 3 3
x x x x x
π π π
⇔ − − = + = − − +
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
cos cos2 cos cos 3 cos2 cos cos 3 cos 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x
π π π π π π
⇔ − = − − + ⇔ + − − + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3
2 cos cos cos 4 cos sin sin 0
2 6 2 6 2 2 2 6 3 2 6
x x x x x
x
π π π π π π
− + − + = − + + =
(
)
(
)
(
)
{
}
3 4 2
sin 0 sin 0 cos 0 ;
2 6 3 2 6 3 9 3
x x k
x x k
π π π −π π π
⇔ + = ∨ + = ∨ − = ⇔ ∈ + π +
.
Bài 10. Biếnđổi tổng, hiệu thành tích, tichthànhtổng
263
. Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng
257
BÀI 4. BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH
I. Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành. + − − = ⇔ = π
Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng
259
II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1. Công thức sử dụng
(
)
(
)
sin