BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH I.. Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích Các bài tập mẫu minh họa Bài 1... SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1.. Các bài tập mẫu mi
Trang 1BÀI 4 BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH
I Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích
Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1 Giải phương trình: sinx+sin 2x+sin 3x= +1 cosx+cos 2x ( )1
Giải
( )1 ⇔(sin 2x+sinx)+sin 2x=(1+cos 2x)+cosx
2
2 sin 2 cosx x sin 2x 2 cos x cosx sin 2x 2 cosx 1 cosx 2 cosx 1
Bài 2 Giải phương trình: 1+cosx+cos 2x+cos 3x=0 1( )
Giải
( )1 (cos 2 cos ) (1 cos 3 ) 0 2 cos3 cos 2 cos23 0
x
k
x π k π π
Bài 3 Giải phương trình: cos10x−cos 8x−cos 6x+ =1 0 ( )1
Giải
( )1 ⇔(cos10x−cos 6x) (+ 1 cos 8− x)= 0
2
2 sin 8 sin 2x x 2 sin 4x 4 sin 4 cos 4 sin 2x x x 4 sin 4 sin 2 cos 2x x x 0
4 sin 4 sin 2x x cos 4x cos 2x 0 8 sin 4 sin 2 sin 3 sinx x x x 0
k k
Bài 4 Giải phương trình: 9 sinx+6 cosx−3sin 2x+cos 2x=8 1( )
Giải
1 ⇔9 sinx+6 cosx−6 sin cosx x+ −1 2 sin x= 8
9sinx 6cosx 1 sinx 2sin x 7 0 6cosx 1 sinx 1 sinx 2sinx 7 0
(1 sinx) (6 cosx 2 sinx 7) 0
Trang 2a) Xét 1 sin 0 sin 1 2
2
b) Xét: 6 cosx+2 sinx− =7 0 2( )⇔2 sinx+6 cosx= 7
2
x=π+ kπ k∈ »
Bài 5 Giải phương trình: 1 sin+ x+cos 3x=cosx+sin 2x+cos 2x ( )1
Giải
( )1 ⇔(1 cos 2− x) (+ cos 3x−cosx)+sinx−sin 2x= 0
2
2sin x 2sin 2 sinx x sinx 2sin cosx x 0 sinx 2sinx 2sin 2x 1 2cosx 0
sinx 2 sinx 1 2 cosx 1 2 cosx 0 sinx 1 2 cosx 2 sinx 1 0
Bài 6 Giải phương trình: sin( 4 ) sin 3 sin =1
Giải
( )1 (sin 3 sin ) sin( 4 ) sin 0 2 sin 2 cos 2 cos( 2 )sin 2 0
k
x x π x x π π π k
Bài 7 Giải phương trình: cos( 2 ) 2 cos 1
Giải
( )1 cos( 2 ) cos cos cos 0
Bài 8 Giải phương trình: 2sinx+cos 3x+sin 2x= +1 sin 4x (1)
Giải
( )1 ⇔2 sinx+cos 3x= +1 sin 4x−sin 2x⇔2 sinx+cos 3x= +1 2 cos 3 sinx x
(2sin 1 cos 3) ( 1) 0 sin 1 cos 3 1 { 2 ;5 2 ; 2 }
k
Bài 9 Giải phương trình: 1 sin cos 2 tan
cosx+ x+ x= + x (1)
Giải
( )1 (sin cos 1)( 1 1) 0 2
cos
x
Trang 3II SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1 Công thức sử dụng
sin sina b=cos a−b −cos a+b ;cos cosa b=cos(a−b)+cos(a+b)
sin cosa b=sin a+b +sin a−b ; cos sina b=sin(a+b)−sin(a−b)
2 Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1 Giải phương trình: (sinx+ 3 cosx)sin 3x=2 ( )1
Giải
( )1 sin sin 3 3 cos sin 3 2 1(cos 2 cos 4 ) 3(sin 4 sin 2 ) 2
6
x π k
Bài 2 Giải phương trình: 4 cos sin( ) (sin ) cos 2 ( )1
x π+x π−x = x
Giải
( )1 2 cos 2 sin( ) (sin ) cos 2 2 cos (cos 2 cos ) cos 2
1
2 cos cos 2 2 cos cos 2 cos 3 cos cos cos 2
2
2 cos 3 cos 2
5
k
Bài 3 Giải phương trình: 8 sin 3 1
cos sin
x
Giải
2
k
x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π Với điều kiện (2) thì (1) 8 sinx(sin cosx x)= 3 sinx+cosx
sin sin 2x x 3 sinx cosx 2 cosx cos 3x 3 sinx cosx
3 1
n
x π π π n
Trang 4Bài 4 Giải phương trình: cos 3 tg 5x x=sin 7x ( )1
Giải
k
x≠ ⇔ x≠π+ π ⇔k x≠ π + π
Với điều kiện (2) thì ( )1 cos 3 sin 5 sin 7
cos 5
x
x
2 sin 5 cos 3x x 2 sin 7 cos 5x x sin 8x sin 2x sin12x sin 2x
x k
Thử các nghiệm vừa tìm vào điều kiện (2):
k
x≠ π + π
Với
2
n
π= π + π⇔ = +
5n−2k= ⇔1 5n−2k = × − × ⇔5 1 2 2 5 n−1 =2 k−2 2 1 ( )
n m
m
k m
Từ đó suy ra để thỏa mãn (2) thì x=mπ (m∈ » )
Với
20 10
n
x= π + π, xét phương trình
π + π= π + π
4k 2 1 2n 2 n 2k 1
⇔ + = + ⇔ − = vô nghiệm ,n k∈ »
Suy ra nghiệm
20 10
n
x= π + π thỏa mãn điều kiện (2)
Bài 5 GPT: sin sin( ) ( )sin 4 3 cos cos( 2 ) (cos 4 ) 2
Giải
( )1 2 sin cos 2 cos2 2 3 cos cos 2( ) cos 2
2 sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 2
2
(sin 3x sinx) sinx 3 sin 3( x cosx) 3 cosx 2
3 1
2
k
x π k x π k x π π
Trang 5Bài 6 Giải phương trình: ( 2 ) ( )
2 sin 3x 1−4 sin x =1 1
Giải
Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì sin0 x= ± khi đó 1
Nhân 2 vế của (1) với cosx≠ ta có 0
1 ⇔2 sin 3x 1−4 sin x cosx=cosx⇔2 sin 3x1−4 1 cos− x cosx=cosx
2sin 3 4cos 3cos cos 2sin 3 cos3 cos sin 6 cos sin
2
2
2
k x
k k
»
Bài 7 Giải phương trình: cos 2x+cos 4x+cos 6x=cos cos 2 cos 3x x x+ (1) 2
Giải
( )1 cos 2 cos 4 cos 6 1(cos 3 cos )cos 3 2
2
2
3 cos 2 cos 4 cos 6 9 cos 2 cos 4 cos 6 3
cos 2x cos 4x cos 6x 1 cos 2x 1 x k
Bài 8 Giải phương trình: cos cos cos3 sin sin sin3 1
Giải
( )1 1cos (cos 2 cos ) 1sin (cos cos 2 ) 1
cosx cos 2x cosx sinx cosx cos 2x 1
cos 2x cosx sinx 1 sin x sin cosx x 1
cos 2x cosx sinx sinx sinx cosx 0
cosx sinx cos 2x sinx 0 cosx sinx 1 2 sin x sinx 0
1
k
Trang 6Bài 9 Giải phương trình: sin5 5 cos3 .sin ( )1
x
=
Giải
Nếu cos 0
2
x
= là nghiệm thì sin 1
2
x
= ± và cosx= − nên từ (1)⇒1 sin5 1
2
x
= ± : Vô lý Nhân 2 vế của (1) với (2 cos ) 0
2
x
≠ ta có:
( )1 2 sin5 cos 5 cos3 (2 sin cos ) sin 3 sin 2 5 cos3 .sin
3sinx 4 sin x 2 sin cosx x 5 cos xsinx
0 sinx 5 cos x 4 cos x 2 cosx 1
sinx cosx 1 5 cos x cosx 1
Xét: sin 0
x
x
=
=
với chú ý cos2 0
x
≠ nên sin2 0
x
x
=
ta có nghiệm x=2kπ
Bài 10 Giải phương trình: tanx−3 cotx=4 sin x+ 3 cosx (1)
Giải
( )1 sin 3 cos 4 sin( 3 cos )
x x
−
3
k
x≠ ⇔x≠ π
3 1 cos 2
x x
+
x