Tắnh ổn ựịnh của hệ thống phi tuyến trong vận hành ựược ựặc biệt quan tâm.. Một số công cụ phân tắch tắnh ổn ựịnh sẽ ựược giới thiệu.. Nghiệm trong miền thời gian của bài toán ựộng học h
Trang 11 Bài giảng 4
408001
Bi ế n ựổ i n ă ng l ượ ng ự i ệ n c ơ
HK2, 2009 Ờ 2010
http://www4.hcmut.edu.vn/~nqnam/lecture.php
nqnam@hcmut.edu.vn
Các mô hình ựộng học của hệ thống ựiện ựược mô tảbởi các phương trình vi phân Tắnh ổn ựịnh của hệ thống phi tuyến trong vận hành ựược ựặc biệt quan tâm Một số công cụ phân tắch tắnh ổn ựịnh sẽ ựược giới thiệu
Nghiệm trong miền thời gian của bài toán ựộng học hệthống có ựược bằng
việc tắnh tắch phân sốvà các ựiểm cân bằng ựược xác ựịnh bằng ựồthị Với các
hệthống bậc cao hơn, các kỹthuật số ựược sửdụng ựểtắnh các ựiểm cân bằng
Sẽcó ắch nếu biết ựiểm cân bằng tĩnh là ổn ựịnh hay không Với các nhiễu
mạnh của trạng thái xhay ngõ vào u, luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian Với các thay ựổi nh ỏ quanh ựiểm cân bằng, một phân tắch tuyến tắnh hóa là
ựủ ựểxác ựịnh ựiểm cân bằng làổn ựịnh hay không đôi khi, các hàm năng lượng
có thể ựược dùng ựể ựánh giá tắnh ổn ựịnh của hệthống ựối với nhiễu mạnh mà không cần các mô phỏng trong miền thời gian
Ổ n ựị nh các h ệ th ố ng ự i ệ n c ơ Ờ Gi ớ i thi ệ u
Trang 23 Bài giảng 4
ðiểm cân bằng sẽbiểu diễn trạng thái vận hành xác lập của hệthống, chẳng
hạn một lưới ñiện Hệvật lý có thể chịu thay ñổi nhỏ (ví dụ thay ñổi tải), vốn có
thểdẫn ñến dao ñộng hay thậm chí sụp ñổhệthống, hoặc các nhiễu mạnh (ví dụ,
sựcốhay sét ñánh)
Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là
Tuy ế n tính hóa
( ) x u f
x & = ,
Khai triển f(x, u)thành 1 chuỗi Taylor quanh ñiểm cân bằng xevà ngõ vào không ñổi, và chỉgiữ lại các số hạng bậc nhất
uˆ
u
f x x
f u x f u u u
f x
x x
f u x f u
x
∂
∂ +
∆
∂
∂ +
=
−
∂
∂ +
−
∂
∂ +
=
0 0
0 0
ˆ , ˆ
ˆ , ,
Hay
u
f x x
f u
x f u x f
∂
∂ +
∆
∂
∂
=
−
=
∆
0 0
ˆ , ,
&
4 Bài giảng 4
Gọi , , và Tuyến tính hóa hệ quanh
ñiểm cân bằng dẫn ñến
Tuy ế n tính hóa h ệ b ậ c hai
( x x u )
f
x &1 = 1 1, 2,
( x x u )
f
x &2 = 2 1, 2,
e x x
x1 = 1 − 1
x x
x2 = 2 − 2
u u
f u f
x x
x
f x
f
x
f x
f
x
x
∆
∂
∂
∂
∂ +
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∆
∆
0 2 0 1
2 1
0 2
2 0
1 2
0 2
1 0
1 1
2
1
&
&
A
Trịriêng của A có ñược bằng cách giải det(A –λI) = 0 Hệ thống làổn ñịnh nếu
tất cảcác trịriêng nằm ởnửa trái của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0)
Trang 35 Bài giảng 4
Ổ n ñị nh c ủ a h ệ b ậ c hai
x
x f M
x dt
d M
B dt
x d
∆
−
=
∆
∂
∂
=
∆ +
0 0
2
2
1
ω
Xét mô hình một hệ bậc hai
( ) x u
f dt
dx B dt
x d
2
= +
có dạng tuyến tính hóa
ðịnh nghĩa∆ x = ∆ x1 và ∆ x & = ∆ x2, dạng không gian trạng thái trở thành
∆
∆
−
−
=
∆
∆
2
1 2
0 2
x
x M B x
x
ω
&
&
Phương trình ñặc tính có ñược
0
1
2 0
=
−
−
−
−
λ ω
λ
M
2 0
2 + λ + ω =
λ
M B
Ổ n ñị nh c ủ a h ệ b ậ c hai (tt)
Trường hợp I (B > 0, M > 0, ω02 > 0)
2 0 2
2
4 > ω
M
0 2
2
4 = ω
M
0 2
2
4 < ω
M B
Trong cả 3 trường hợp, hệlà ổ n ñị nh
Trường hợp II (B > 0, M > 0, )
Trường hợp ñặc biệt (B = 0, M > 0): hệ làkhông ổ n ñị nhnếu , hay ở
biên ổ n ñị nhnếu
Vd 5.1 sẽ ñược trình bày tại lớp
0
2
0 <
ω
Nghiệm tổng quát của phương trình ñặc tính
2 0 2
2 2
1
4 2
M
B M
B
0
2
0 >
ω
0
2
0 <
ω
Trang 47 Bài giảng 4
Ph ươ ng pháp hàm n ă ng l ượ ng cho h ệ phi tuy ế n
Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn ñịnh của hệphi tuyến có thể cần ñến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức mạnh tính toán Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu ñược bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích phân số Kỹ thuật này giữa trên các hàm năng lượng, và ñược gọi là là
phương pháp Lyapunov Có thể thu ñược các lời giải tốt với các hệbảo toàn
Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không ñổi, và ñiều này ñược dùng trong phân tích ổn ñịnh các hệ này Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối
lượng Mnối vào một ñiểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng
Coi V(θ) = 0tại θ= 0, khi ñó tại vịtrí bất kỳθ, thế năng ñược cho bởi
( ) θ = Mgl ( 1 − cos ( ) θ )
V
8 Bài giảng 4
H ệ b ả o toàn
Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệlà b ả o toàn, vậy
( ) ( θ )
θ
sin
2
2
l Mg dt
d
Vếphải có thể ñược biểu diễn như một ñạo hàm âm của một hàm thế vô
hướng Trong trường hợp này,
( ) [ ( ( ) θ ) ] θ ( ) θ
θ
θ
∂
∂
−
=
−
∂
∂
−
=
( )
θ
θ
θ
∂
∂
−
dt
d
2
Dẫn ñến
Các ñiểm cân bằng là nghiệm của ( ) = − sin ( ) = 0
∂
∂
θ
θ
Mgl V
Trong khoảng –π ñến +π, θe = ± π 0
Trang 59 Bài giảng 4
N ă ng l ượ ng
2
2
=
∂
∂ +
θ
θ
θ V dt
d J
Nhân với dθ/dt đểcĩ
( )
V dt
d
energy Potential energy
Kinetic
2
2
1
θ
θ
43 42 1
2
2
=
∂
∂ +
dt
d V
dt
d dt
d
θ
θ θ
θ
Tích phân theo t để thu được
Việc phân tích ổn định cĩ thể được thực hiện cho 3 trường hợp (xem sách),
bằng khái niệm gi ế ng th ế năng
Hàm n ă ng l ượ ng trong h ệ điệ n c ơ
Xét hệ bên dưới, giả thiết cảhệ điện lẫn hệ cơ đều khơng chứa các phần tử tiêu tán năng lượng
Mech system
Ghép
điện
cơ
Teor fe
θor x
+ _
+ _
+ _
I2
I1
λ1
λ2
Nếu λ hoặc i ởmỗi cửa được giữ
khơng đổi, cĩ thểdự đốn một dịch
chuyển đều trong hệ cơ Khơng cĩ
dịng chảy năng lượng hay đồng năng
lượng vào cửa điện Ởhệ cơ, giả thiết
khơng cĩ phần tửtiêu tán năng lượng
Thế năng tổng quát hĩa:
( ) θ U ( ) θ W' ( I1, I2, θ )
V = − m
( ) θ = U ( ) θ + Wm( Λ1, Λ2, θ )
V
(dịng hằng i1và i2) (từthơng mĩc vịng hằng λ1vàλ2)
( )
θ
θ
∂
∂
−
Tm (lực cơ tác động)
Trang 611 Bài giảng 4
Quan h ệ gi ữ a ổ n ñị nh tuy ế n tính hóa và th ế năng
Phương trình mômen ( ) 0
2
2
=
∂
∂ +
θ
θ
θ V dt
d J
Các ñiểm cân bằng có ñược bằng cách giải ( ) = 0
∂
∂
θ
θ
V
Tuyến tính hóa quanh một ñiểm cân bằng θecho ta
2
2 2
2
=
∆
∂
∂ +
∆
=
θ θ
θ θ
θ
θ e
V dt
d J
θelà ổn ñịnh nếu ( ) 0, θelà không ổn ñịnh
2
2
>
∂
∂
= e
V
θ θ
θ
2
2
<
∂
∂
= e
V
θ θ
θ θ
Các ví dụ5.3 và 5.4 sẽ ñược trình bày tại lớp