Bài 3: công thức hạ bậc - công thức nhân đôi ppt

SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI I... SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI 1.. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1... SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA 1.. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1.

BÀI 3 SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI

I SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC

2 1 cos 2

2

x

2

x

x= + ; sin cos 1sin 2

2

x x= x; tan2 1 cos 2 ;

1 cos 2

x x

x

−

=

3 sin 3 3sin

sin

4

x=− + ; cos3 cos 3 3cos

4

cos 3 3cos

x

=

+

CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: 2 2 2 2

sin 3x−cos 4x=sin 5x−cos 6x (1)

Giải

( )1 1 cos 6 1 cos 8 1 cos10 1 cos12

cos 6x cos 8x cos10x cos12x 2 cos 7 cosx x 2 cos11 cosx x

cos cos11 cos 7 0

cos11 cos 7

x

=



=

Bài 2 a Giải phương trình: 2 2 2 2

cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x= (1) 2

b Giải phương trình: cos2 cos 22 cos 32 cos 42 3

2

Giải

a ( )1 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos 8 2

(cos 2x cos 8x) (cos 4x cos 6x) 0 2 cos 5 cos 3x x 2 cos 5 cosx x 0

2 cos 5x cos 3x cosx 0 4 cos 5 cos 2 cosx x x 0

b ( )2 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 cos 42 3

x

cos 4 0 2 cos 4 cos 2 cos 4 2 cos 4 0 2

cos 4x 2 cos 4x 2 cos 2x 1 0 cos 4x 4 cos 2x 2 cos 2x 1 0

cos 4 cos

4

k x

x x

x

=









»

Bài 3 a Giải phương trình: cos2 cos4

3

x

x= (1)

b Giải phương trình: 1 2 cos2 3 3 cos4

Giải

a ( )1 1 cos 2 cos4 1 cos 2 2 cos4

x

+

3

x

t=

Khi đó: 1+cos 3t=2 cos 2t⇔ +1 4 cos3t−3 cost=2 2 cos( 2t−1)

4 cos t 4 cos t 3cost 3 0 cost 1 4 cos t 3 0

2

cos

2 4

t t

=

=





3

3 4

x

k k x

x



= ± +



»

b ( )2 1 (1 cos6 ) 3 cos4

5

x

t=

Khi đó: 2+cos 3t=3 cos 2t⇔ +2 cos3t−3 cost=3 2 cos( 2t−1)

4 cos t 6 cos t 3cost 5 0 cost 1 4 cos t 2 cost 5 0

2

5

5

2

x

k

x



= =





»

Bài 4 Giải phương trình:

4

x

Giải

2

k x





Để ý rằng: tan( ) (tan ) tan( ) (cot ) 1

Do đó với điều kiện (2) thì ( )1 ⇔sin 24 x+sin 24 x=cos 44 x

(1 cos 4 ) (2 1 cos 4 )2 cos 44 (1 cos 4 )2 (1 cos 4 )2 4 cos 44

2

k

Bài 5 Giải phương trình: sin4 cos4 7cot( ) (cot ) ( )1

x+ = x+π π−x

Giải

Điều kiện: 2 sin( ) (sin ) 2 sin( ) (cos ) sin 2( 2 ) 0

x+ π π−x = x+π x+π = x+ π ≠

Để ý rằng: cot( ) (cot ) cot( ) (tan ) 1

x+ π π−x = x+π ⋅ π+x = nên

(1 cos 2 )2 (1 cos 2 )2 7 2 1( cos 22 ) 7

Bài 6 Giải phương trình: sin4 sin4( ) sin4( ) 9

x+ x+ π + x−π =

Giải

x

(1 cos 2 )2 (1 sin 2 )2 (1 sin 2 )2 9

2

2

Bài 7 Giải phương trình: sin8 cos8 17cos 22

16

Giải

2

x

cos 2x 1 cos 2x 1 17 cos 2x

Đặt t=cos 2x Khi đó phương trình ( )4 ( )4 2

t + t + t + t+ + t − t + t − t+ = t ⇔ t − t + =

2 cos 22 1 1 cos 4 1 cos 4 0 4

Bài 8 a Giải phương trình: cos3 cos 3 sin3 sin 3 2 ( )1

4

b Giải phương trình: cos3 xcos 3x+sin3 xsin 3x=cos 43 x (2)

Giải

1 cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin

1cos 6 cos 3 1 4 cos 2 3 cos 2 cos 2 cos 2

3

2 cos 2 cos 4 cos 4 cos 2

3

Bài 9 Giải phương trình: cos3 .cos 3 sin3 .sin 3 cos 43 1

4

Giải

1 cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin 1 cos 4

3

k

Bài 10 Giải phương trình: 3 3 ( )

4 sin x.sin 3x+4 sin x.cos 3x+3 3 cos 4x=3 1

Giải

VT (1)=(cos 3x+3 cosx)sin 3x+ −( sin 3x+3sinx)cos 3x+3 3 cos 4x

3 sin 3 cosx x sin cos 3x x 3 3 cos 4x 3sin 4x 3 3 cos 4x

Khi đó ( )1 sin 4 3 cos 4 1 1sin 4 3cos 4 1

1

5

k

k k

x



»

II SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI

1 CÔNG THỨC SỬ DỤNG

cos 2 1 2 sin sin 2 1 sin cos











= −



2 2

2 2

2

tan 2

1 tan

cot 2

x

t x

x





−

−



2 CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: cos4 x+sin6 x=cos 2x (1)

Giải

( )1 ⇔cos4x+sin6x=cos2x−sin2x⇔cos4x+sin6x=(cos2x−sin2x)(cos2x+sin2x)

cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0

sin x sin x 1 0 sinx 0 x k k

Bài 2 Giải phương trình: cos 2x+5 sinx+ = (1) 2 0

Giải

1 ⇔ 1 2sin− x +5sinx+ = ⇔2 0 2sin x−5sinx− = ⇔3 0 2sinx+1 sinx−3 =0

1

Bài 3 Giải phương trình: 3

2 sin x−cos 2x+cosx= (1) 0

Giải

1 ⇔2 sin x− 1−2 sin x +cosx= ⇔0 2 sin x 1 sin+ x − 1 cos− x = 0

(1 cosx)[1 2 sin cosx x 2 sin( x cosx)] 0

1 cosx  sinx cosx 2 sinx cosx  0

(1 cosx) (sinx cosx) (sinx cosx 2) 0

2 4

4

x



»

Bài 4 Giải phương trình: 4 6

cos x−cos 2x+2 sin x= (1) 0

Giải

1 ⇔cos x− 1 2sin− x +2sin x= ⇔0 cos x−1 cos x+1 +2sin x 1 sin+ x =0

sin x2 1 sin x cos x 1 0 sin x 2 sin x sin x 0

sin x 2 sin x 1 0 sin x 0 sinx 0 x k k

Bài 5 Giải phương trình: 4 cosx−2 cos 2x−cos 4x= (1) 1

Giải

( )1 ⇔4 cosx−2 cos 2x−(cos 4x+1)=0 ⇔2 cosx(2−2 cos 2 cosx x)= 0

cos 3 1

x

x

=





=





2

x x

x

π

=

Bài 6 Giải phương trình: 3 3

sin x+cos x=cos 2x (1)

Giải

cosx sinx cos x sin x cos sinx x cosx sinx cosx sinx

(cosx sinx)[1 cos sinx x (cosx sinx)] 0

4

x+ x= ⇔ x= − ⇔x=−π+ πk k

∈ » b) Xét sinx−cosx−cos sinx x+ = (2) 1 0

1

t

t= x− x= x−π ∈ − ⇒ x x= − Khi đó

Bài 7 Giải phương trình: 2 2( ) ( )

Giải

2

Bài 8 Giải phương trình: sin 4x−cos 4x= +1 4 sin( x−cosx) (1)

Giải

1 ⇔sin 4x= +1 cos 4x+4 sinx−cosx ⇔2sin 2 cos 2x x=2cos 2x−4 cosx−sinx

2 cos x sin x cos 2x sin 2x 4 cosx sinx 0

2 cosx sinx cosx sinx cos 2x sin 2x 2 0

Xét cos sin 0 tg 1

4

x− x= ⇔ x= ⇔x=π+ π k

Xét (cos sin ) (cos 2 sin 2 ) 2 0 2 cos( ) (cos 2 ) 2 0

2

sin 1

x





Kết luận: Phương trình chỉ có nghiệm

4

x=π+ π k (k∈ » )

Bài 9 Giải phương trình: 2 cos 2 tan

2

x x

Giải

2

1 cos 1

t x t

−

= + với tan2

x

t= , khi đó ta có

2

2

1 tan

2

1 tan

2

x

x

−

+

2

Bài 10 Giải phương trình: (1−tanx) (1 sin 2+ x)= +1 tanx (1)

Giải

2

2 tan

1 tan

x

x

+

2

2 tan x 1 tanx 0

4

Bài 11 Giải phương trình: 1 3 tan+ x=2 sin 2x ( )1

Giải

2

2 tan

1 tan

x

x

+

tanx 1 3 tan x 2 tanx 1 0

4

Bài 12 Giải phương trình: cotx=tanx+2 tan 2x (1)

Giải

1

−

2

1,2 2

1,2

tan 2 tan 1 0

x





1,2 1,2

k

= α + π



= β + π

Bài 13 Giải phương trình: (1−tan2 x)(1−tan 22 x)(1−tan 42 x)= (1) 8

Giải

ĐK: cos cos 2 cos 4x x x≠ ; ( )0 1 2 tan2 1 2 12 tan

4

tan

1 tan 2 1 tan 4

x

π

Bài 14 Giải phương trình: ( 2 )( 2 )( 2 )

cotx 1−tan x 1−tan 2x 1−tan 4x = 8

Giải

ĐK: sin 8x≠ khi đó biến đổi 0 ( 2 )( 2 )( 2 )

cotx 1−tan x 1−tan 2x 1−tan 4x = 8

tan 8

tan

1 tan 1 tan 2 1 tan 4

x

x

tan 8 1 8

Bài 15 Giải phương trình: (1−tan2 x)(1−tan 22 x)(1−tan 42 x)=8 cot 8x (1)

Giải

ĐK: sin 8x≠ ( )0

x

cot 8 tan 8 tan tan 1

4

III SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA

1 CÔNG THỨC SỬ DỤNG

sin 3x=3sinx−4 sin x ; cos 3x=4 cos x−3 cosx

2 CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: sin 3x+sin 2x=5 sinx (1)

Giải

( )1 ⇔3sinx−4 sin3x+2 sin cosx x=5sinx⇔sinx(3−4 sin2 x+2 cosx−5)= 0

sinx 2 cos x cosx 3 0 sinx 0 cosx 1 x k k

Bài 2 Giải phương trình: sin 3x+sin 2x+2 sinx= (1) 0

Giải

( )1 ⇔3sinx−4 sin3x+2 sin cosx x+2 sinx= ⇔0 sinx(−4 sin2 x+2 cosx+5)= 0

sinx 4 cos x 2 cosx 1 0 sinx 0 x k

Bài 3 Giải phương trình: cos 3x+cos 2x+sin2 x= (1) 2

Giải

1 ⇔ 4 cos x−3cosx + 2 cos x−1 + −1 cos x= 2

(cosx 1 4 cos)( 2 x 5 cosx 2) 0 cosx 1 x 2k

Bài 4 Giải phương trình: sin 3x+sinx−2 cos2 x= (1) 0

Giải

( )1 ⇔(3sinx−4 sin3x)+sinx−2 1 sin( − 2 x)= 0

2 sin x sin x 2 sinx 1 0 sinx 1 2 sin x sinx 1 0

1

Bài 5 Giải phương trình: 2 3

cos10x+2 cos 4x+6 cos 3 cosx x=cosx+8 cos cos 3x x

Giải

cos10x cos 8x 1 cosx 8 cos cos 3x x 6 cos 3 cosx x

cos10x cos 8x 1 cosx 2 cosx 4 cos x 3cos 3x

2 cos 9 cosx x 1 cosx 2 cos cos 9x x cosx 1 x 2k k

Bài 6 Giải phương trình: 6

32 cos x−cos 6x= (1) 1

Giải

1 ⇔4 1+cos 2x − 4 cos 2x−3 cos 2x = 1

2

4 cos 2x 5 cos 2x 1 0 cos 2x 1 4 cos 2x 1 0

1

Bài 7 Giải phương trình: ( 2 )

2 sin 3x 1−4 sin x = (1) 1

Giải

Nếu cosx= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 0

2 3

6 1

6 3sin 4 sin 1



± =

Nhân 2 vế của (1) với cosx≠ ta có: 0

( )1 ⇔2 sin 3x1−4 1 cos( − 2 x)cosx=cosx⇔2 sin 3x(4 cos3x−3cosx)=cosx

2 sin 3 cos 3 cos sin 6 sin

2

Bài 8 Giải phương trình: 2 sin 3 1 2 cos 3 1

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π

( )1 2 sin 3( cos 3 ) 1 1

sin cos

sin cos

+

sin cos

+

4

x+ x= ⇔ x= − ⇔x= −π+ π (thỏa mãn (2)) k

b) Xét 2 sin cosx x[3−4 1 sin cos( − x x)]=1⇔sin 2x(2 sin 2x−1)= 1

2

2 sin 2x sin 2x 1 0

Kết luận: { ; ; | }

k

x∈ π+ π − π + πk π + πk k∈»

Bài 9 Giải phương trình: sin(3 ) 1sin( 3 )

Giải

x

t= π− ⇒ π − t= π + π Khi đó phương trình

2 sint sin 3t sin 3t 2 sint 3sint 4 sin t

sint 2 cos 2t 1 0

Bài 10 Giải phương trình: sin 3( ) sin 2 sin( )

x−π = x x+π

Giải

Đặt

4

t= +x π thì phương trình sin 3( ) sin 2( )sin

2

sin 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 sint

2

3sint 4 sin t cos 2 sint t sint 3 4 sin t cos 2t 0

sint1 2 1 2 sin t cos 2t 0 sint 1 cos 2t 0

t

t

=

Bài 11 Giải phương trình: 8 cos3( ) cos 3

3

x+π = x

Giải

t= +x π⇒ = − ⇒x t π x= t− π ⇒ x= − t

Khi đó phương trình ⇔8 cos3t= −cos 3t=3cost−4 cos3t

12 cos t 3cost 0 3cost 4 cos t 1 0

2

2

t

Bài 12 Tìm a để: 2 2

cos 4x=cos 3x+asin x (1) có nghiệm ( )0,

12

x∈ π

Giải

Biến đổi ( ) 1 cos 6 (1 cos 2 )

1 cos 4

x

( 2 ) 3 ( )

2 2 cos 2x 1 1 4 cos 2x 3 cos 2x a 1 cos 2x

4 cos 2x 4 cos 2x a 3 cos 2x a 3 0

(cos 2x 1 4 cos 2)( 2 x (a 3)) 0

12

x∈ π thì 3 cos2 1, 2 ( )0,

< < ∀ ∈

Do đó yêu cầu bài toán

2 2

a

⇔  < = < ⇔ < + < ⇔ < <

Bài 13 Giải phương trình: 4

cos 6x+cos 4x+cos 2x= +3 4 sin x (1)

Giải

( )1 ⇔(4 cos 23 x−3 cos 2x) (+ 2 cos 22 x−1)+cos 2x= +3 (1 cos 2− x)2

4 cos 2x cos 2x 5 0 cos 2x 1 4 cos 2x 5 cos 2x 5 0

2

cos 2x 1 4 cos 2x 5 cos 2x 5 0

Bài 14 Giải phương trình: 4 2

cos 6x= +1 8 sin x+sin 2x (1)

Giải

1 ⇔ 4 cos 2x−3cos 2x = +1 2 1 cos 2− x + 1 cos 2− x

4 cos 2x cos 2x cos 2x 4 0 cos 2x 1 4 cos 2x 3 cos 2x 4 0

2

cos 2x 1 4 cos 2x 3cos 2x 4 0

⇔ = ∨ + + = (vô nghiệm) ⇔x= πk (k∈ » )

Bài 15 Giải phương trình: sin 3x−cos 3x+2 sin( x+cosx)= (1) 1

Giải

( )1 ⇔(3sinx−4 sin3x) (− 4 cos3 x−3cosx)+2 sin( x+cosx)= 1

4 sinx cosx 1 sin cosx x 5 sinx cosx 1

2

Bài 16 Giải phương trình: 2 cos 3x+sin 2x+cosx= (1) 0

Giải

1 ⇔2 4 cos x−3cosx +2sin cosx x+cosx= ⇔0 8cos x+2sin cosx x−5cosx=0

cosx 8 cos x 2 sinx 5 0 cosx 8 sin x 2 sinx 3 0