ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1 QUAN HỆ SONG SONG I ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1) Định nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung ( )a,b a b a b ∈ α. ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1 QUAN HỆ SONG SONG I ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1) Định nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung ( )a,b a b a b ∈ α.
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ QUAN HỆ SONG SONG I.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1) Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi song song với chúng đồng phẳng khơng có điểm chung a, b ∈ ( α ) a / /b ⇔ a I b = ∅ 2) Định lí : Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng ( trùng với hai đường thẳng ) ( α ) I ( β) = c a ⊂ ( α ) ; b ⊂ ( β ) ⇒ c phương a b b a / /b c a II.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 1) Định nghĩa : a / / ( α) ⇔ a I ( α) = ∅ 2) Định lí 1: ( Tiêu chuẩn song song ) Nếu đường thẳng a không nằm ( α ) song song với đường thẳng nằm ( α ) a song song với ( α ) a ⊄ ( α) ⇒ a / / ( α) a / /b ; b ⊂ ( α ) 2) Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mp ( α ) mp ( β ) chứa a mà cắt mp ( α ) cắt theo giao tuyến song song với a a a / / ( α) b a ⊂ ( β) ⇒ a / /b ( β ) I ( α ) = b 3) Định lí : Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đườn thẳng ( α ) I ( β ) = b ⇒ b / /a a / / ( α ) ; a / / ( β ) a b III.MẶT PHẲNG SONG SONG 1) Định nghĩa : ( α ) / / ( β) ⇔ ( α ) I ( β) = ∅ 2) Định lí : Nếu mp ( α ) chứa hai đường thẳng a , b cắt song song với mp ( β ) mp ( α ) song song với mp ( β ) b a a ⊂ ( α) ; b ⊂ ( α) a I b = { I} ⇒ ( α ) / / ( β) a / / ( β) ; b / / ( β) 3) Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng mp ( α ) mp ( β ) song song mặt phẳng ( δ ) cắt mp ( α ) phải cắt ( β ) giao tuyến chúng song song a ( α ) / / ( β) ⇒ a / /b ( δ ) I ( α ) = a; ( δ ) I ( β ) = b b mp VẤN ĐỀ : QUAN HỆ VNG GĨC I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 1) Định nghĩa : Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ⊥ ( α ) ⇔ a ⊥ b ; ∀b ⊂ ( α ) 2) Định lí 1:( Tiêu chuẩn vng góc ) Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt b c nằm mp ( α ) đường thẳng a vng góc với mp ( α ) b I c = { I} ⇒ a ⊥ ( α) b ⊂ ( α ) ;c ⊂ ( α ) a / = hc( α ) a 3) Định lí : ( Định lí ba b ⊂ α ⇒ b ⊥ a ( ) đường vng góc ) / a) Phần thuận: b/ =⊥hc a a a b) Phần đảo : ( α) / b ⊂ ( α) ⇒ b ⊥ a b⊥a a ⊥ b;a ⊥ c a c b 4) Góc a a b a/ a/ đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mp ( α ) góc a hình chiếu a/ mp ( α ) gọi góc a mp ( α ) II.MẶT PHẲNG VNG GĨC 1) Góc hai mặt phẳng : Cho mp ( α ) mp ( β ) cắt theo giao tuyến ∆ Gọi A điểm tùy ý thuộc giao tuyến ∆ Tia Ax nằm mp ( α ) vng góc với giao tuyến ∆ A Tia Ay nằm mp ( β ) vng góc với giao tuyến ∆ A · · α ; β = xAy (( ) ( )) y b 2) Định lí ( Tiêu chuẩn Hai mặt phẳng vng góc mặt phẳng chứa góc với mặt phẳng A vng góc ) x a với đường thẳng vng 3) Định lí : Nếu hai mp ( α ) mp ( β ) vng góc với đường thẳng a nằm mp ( α ) , vng góc với giao tuyến mp ( α ) mp ( β ) vng góc với mp ( β ) ( α ) ⊥ ( β ) ; ( α ) I ( β ) = ∆ ⇒ a ⊥ ( β) a ⊂ ( α) : a ⊥ ∆ a 4) Định lí : Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba a ( α ) I ( β) = a ⇒ a ⊥ ( λ) ( α ) ⊥ ( R ) ; ( β ) ⊥ ( R ) 5) Định lí : Gọi S diện tích diên tích đa giác H mp( P ) S / diện tích hình chiếu H/ H mp( P/) S/ = Scos ϕ , ϕ góc hai mặt phẳng ( P ) ( P/) ĐINH NGHỈA HÌNH VẼ Hình lăng trụ: TÍNH CHẤT Trong hình lăng trụ: A/ Hình lăng trụ hình đa diện có mặt song song gọi đáy cạnh không thuộc đay song song với E/ B/ C/ D/ Sxq tổng diện Stp = Sxq + diện tích hai đáy - Các mặt bên , mặt chéo hình bình hành - Hai đáy có cạnh song song Chú ý : tích mặt bên - Các cạnh bên song song A Thể tích khối lăng trụ: E B C D V = B.h B : diện tích đáy h : chiều cao Hình lăng trụ đứng: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Trong hình lăng trụ đứng: A/ B/ E/ C/ - Các mặt bên , mặt chéo hình chữ nhật D/ A B E D C Hình lăng trụ đều: Trong hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên hình chữ nhật Chú ý: Hình hộp: Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành B/ C/ A/ D/ B C • Hình lăng trụ tam giác hình lăng trụ đứng có đáy tam giác • Hình lăng trụ tứ giác hình lăng trụ đứng có đáy hình vng Trong hình hộp: - Hai mặt đối diện hình bình hành song song - Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường D Hình hộp đứng: Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Trong hình hộp đứng: Hai mặt đáy hình bình hành, măt bên hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật: Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật B/ C/ mặt hình hộp chữ nhật hình chữ nhật D/ A/ Trong hình hộp chữ nhật: Thể tích khối hộp chữ nhật: c B C V = a.b.c a A D b a,b,c :ba kích thước hình hộp chữ nhật Trong hình lập phương : Hình lâp phương: mặt hình lập phương hình vng Thể tích khối hộp lập phương : Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy hình vng V = a3 Hình chóp : Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt cịn lại tam giác có chung đỉnh Chú ý : • Sxq tổng diện tích mặt bên • Stp = Sxq + diện tích đáy Thể tích khối chóp : S V = B.h B : diện tích đáy E h : chiều cao D H A B C Hình chóp cụt : S Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Trong hình chóp cụt : - Hai mặt đáy song song A/ - Các mặt bên hình thang D/ B/ H/ C/ Thể tích khối chóp cụt : A D H ( V = h B + B.B/ + B/ ) B C Hình chóp cụt ABCD.A / B / C / D / Hình chóp Trong hình chóp : S Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên - Đáy đa giác - Các mặt bên tam giác cân Chu ý : F E A D B C Hình chóp tam giác hình chóp có đáy tam giác Hình chóp tứ giác hình chóp có đáy hình vng Hình chóp cụt : Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Trong hình chóp cụt : - Hai mặt đáy đa giác song song - Các mặt bên hình thang cân VẤN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH 1) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Định nghĩa : Khoảng cách đường thẳng a mp( P ) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp( P ).Kí hiệu d( a ; mp( P )) = d( A ; mp( P )) A ∈ a 2) Khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa : Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d((P);(Q)) = d( A ; (Q)) A ∈ ( P ) 3) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Thuật ngữ : Đường thẳng c đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b c cắt a b đồng thời vng góc với a b Đường thẳng c cắt a b I J đoạn thẳng IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo c I a b J 1)Định nghĩa : Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 2) Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo D( a ; b ) = IJ ( IJ độ dài đoạn vng góc chung ) a Tìm mp ( α ) chứa b song song với a Chọn điểm A ∈ a d(a ; b) = d( A ; ( α ) ) b Xác định mp ( α ) chứa a mp ( β ) chứa b cho mp ( α ) song song mp ( β ) b d(a ; b) = d( ( α ) ; ( β ) ) = d( A ; ( α ) ) A ∈ ( β ) a VẤN ĐỀ : MẶT CẦU – KHỐI CẦU 1) Định nghĩa : Mặt cầu S( O ; R ) = { M / OM = R} Khối cầu S( O : R ) = { M / OM ≤ R} 2) Giao mặt cầu mặt phẳng : d = OH < R mp( P ) cắt mặt cầu S( O ; R) theo giao tuyến đường trịn ( C ) có tâm H có bán kính r = R − OH d = OH = R mp( P ) tiếp xúc với mặt cầu S( O ; R) 2) Giao mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S( O ; R) đường thẳng ∆ Gọi d = d( O ; ∆ ) Giả sử H hình chiếu ∆ d = OH < R Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S( O ; R) tai hai điểm phân biệt O d = OH = R Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S( O ; R) 3) Diện tích mặt cầu : S = 4π.R 4) Thể tích khối cầu: V = πR VẤN ĐỀ : HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 1) Định nghĩa : • Xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng ∆ chứa cạnh AB , đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ • Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ • Hình trụ với phần bên gọi khối trụ CD 2) Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = 2πRh h : chiều cao , R : bán kính 3) Thể tích khối trụ : V = πR h VẤN ĐỀ : HÌNH NĨN –KHỐI NĨN 1) Định nghĩa : • Cho tam giác OMI vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi hình nón • Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh OM quanh trục OI gọi mặt xung quanh hình nón • Hình nón với phần bên gọi khối nón 2) Diên tích xung quanh hình nón Sxq = πRl R : bán kính , l : đường sinh 3) Thể tích khối nón : l h V = πR h h : chiều cao R VẤN ĐỀ 7: CÁC CƠNG THỨC THƯỜNG VẬN DỤNG 1) Định lí tỉ số thể tích: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A/, B/, C/ khác với S Gọi V V/ thể tích khối chóp S.ABC S.A / B/ C/ Thì ta có : V SA.SB.SC = / V SA / SB/ SC / 2) Hệ thức lượng tam giác: a) Định lí cơsin tam giác Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta ln có : a = b + c − 2bc cos A b) Định lí sin tam giác Với tam giác ABC ta có: a b c = = = 2R sin A sin B sin C c) Định lí trung tuyến Cho tam giác ABC Gọi ma độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh BC Ta có : b2 + c2 a m = − a d) Công thức diện tích Cho tam giác ABC Ta kí hiệu : , hb , hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC , CA , AB R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp p= a+b+c nửa chu vi tam giác S diện tích tam giác 1 S = a.h a = b.h b = c.h c 2 1 S = absin C = bcsin A = acsin B 2 S= abc 4R S = pr S = p( p − a ) ( p − b) ( p − c) ( công thức Hê-rông ) BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHƯƠNG I : KHỐI ĐA DIỆN & THỂ TÍCH CỦA CHÚNG CÁC BÀI TẬP VỀ HÌNH CHĨP Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy tam giác cạnh 3a ; AA/ = BB/ = CC/ = 4a Tính thể tích khối lăng trụ Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; hai mặt bên ( SBC) (SAD) tạo với đáy góc 600 ; Mặt bên ( SAB ) vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) vng góc với đáy , cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) hai tam giác vuông đỉnh A Mặt đáy ABCD hình chữ nhật , cạnh AB = a Ngoài cạnh bên SC , SD tạo với đáy góc α β Tính thể tích khối chóp Bài : Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình chữ nhật có AB = 3a , AD = 4a Các mặt bên hợp với mặt đáy góc α Tính thể tích khối chóp Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy hình thoi ABCD Hai đường chéo AC BD hình thoi có độ dài vá Các mặt bên hình chóp hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp Bài : Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình thoi ABCD tâm O , đường chéo AC = 2a , đường chéo BD = 2b Hai mặt chéo ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy Mặt bên ( SBC ) hợp với mặt đáy góc 450 Tính theo a , b thể tích khối chóp S.ABCD Bài : Cho tứ diện ABCD có AD = a , AD vng góc ( ABC ) , đáy tam giác ABC cân B với M trung điểm cạnh đáy AC Cho biết góc hợp DM mặt đáy ( ABC ) α góc hợp hai mặt phẳng ( BAD ) ( CAD ) β a) Xác định α β b) Tính thể tích ABCD theo a , α , β a3 Bài : Cho tứ diện ABCD , đáy ABC tam giác cạnh a , trực tâm H , DA = a DA vng góc ( ABC ) Gọi I trực tâm tam giác DBC c) Cho biết α = 450 Tính góc β biết VABCD = a) Chứng minh AH , DI cắt diểm J thuộc cạnh BC b) Chứng minh HI ⊥ ( DBC ) c) Tính thể tích khối chóp HDBC Bài 10 : Cho hình chóp tứ giác có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật , AB = a Biết SC hợp với mặt đáy ( ABCD ) góc α khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) a Tính theo a α thể tích khối chóp S.ABCD Bài 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD hình vng , SA ⊥ ( ABCD ) Biết cạnh bên SB 0 hợp với đáy ( ABCD ) góc α ( < α < 90 ) khoảng cách từ B tới mặt phẳng ( SCD ) a Tính theo a α thể tích khối chóp S.ABCD Bài 12 : Cho khối chóp S.ABC có cạnh bên SA = SB = SC = a mặt bên hợp với đáy 0 ( ABC ) góc α ( < α < 90 ) a) Chứng minh S.ABC khối chóp b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a α ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a ; AD = 2a , cạnh SA vng góc với đáy , cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a Mặt phẳng( BCM ) cắt cạnh SD điểm N.Tính thể tích khối chóp S.BCNM Bài : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy I trung điểm cạnh BC Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với SI cắt SB , SC M , N Biết thể tích khối chóp S.AMN thể tích khối chóp S.ABC.Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC CÁC BÀI TẬP VỀ HÌNH LĂNG TRỤ Bài : Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có mặt bên AA/D/D hình thoi cạnh a ,nằm mặt a Biết cạnh bên AA/ hợp với mặt đáy ( ABCD ) góc 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A/B/C/D/ phẳng vng góc với đáy ( ABCD ) cách BC khoảng Bài : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 , đáy ABCD hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a Biết tam giác A1AB tam giác nằm mặt phẳng hợp với đáy ( ABCD ) góc α Tính thể tích khối hộp ABCD.A1B1C1D1 theo a α Bài : Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng ( AA1B ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , AA1 = mặt phẳng ( A1AC ) mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính thể tích khối , góc A1AB nhọn ,góc lăng trụ ABC.A1B1C1 Bài : Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có đáy hình chữ nhật với AB = , AD = Hai mặt bên ( ABB/A/ ) ( ADD/A/ ) tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Bài : Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy hình bình hành góc BAD 45 Các đường chéo AC1 DB1 tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao Bài : Cho hình hộp đứng ABCD.A /B/C/D/ với AB = 2a , AD = a , AC/ = 3a , góc AC/ mặt đáy 600 Tính thể tích khối hộp Bài : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A /B/C/ có cạnh đáy a , chiều cao h Tính thể tích khối chóp A.BC/A/ Bài : Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A 1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D độ dài đường chéo mặt bên a) Vẽ AK ⊥ A1D ( K ∈ A1D ) Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 1B1C1D1 BÀI TẬP CHƯƠNG II MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NÓN BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI S TIẾP HÌNH CHĨP • Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nội tiêp đường trịn • Dựng trục đường trịn ∆ ngoại tiếp đa giác đáy ABCD • I A D Vẽ mặt phẳng ( α ) mặt phẳng trung trực O C cạnh bên SA.Gọi I giao điểm ∆ mp B ( α) • Thì I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD I ∈ ∆ ⇒ IA = IB = IC = ID ⇒ IA = IB = IC = ID = IS Thật : I ∈ ( α ) ⇒ IA = IS Bán kính R = IA Bài 1: Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a có chiều cao h Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu Bài : Cho mặt cầu đường kính AA/ = 2r Gọi H điểm đoạn AA/ cho AH = 4r Mặt phẳng ( α ) qua H vuông góc với AA/ cắt mặt cầu theo đường trịn ( C ) a) Tính diện tích hình trịn ( C ) b) Gọi BCD tam giác nội tiếp ( C ), tính thể tích khối chóp A.BCD khối chóp A/.BCD Bài : Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a , AD = b, hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với a) Chứng minh tam giác ACD vng b) Tính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài : Cho hình vng ABCD cạnh a.Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) dựng từ tâm O hình vng, lấy điểm S ao cho OS = a Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có 8πa diện tích Tính thể tích khối chóp S.ABCD · Bài : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C, SA = SB = a, ASB = α mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABC) a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC b) Biết khỏng cách từ C tới mp(SAB) a Tính tỉ số thể tích khối chóp S.ABC khối cầu ngoại tiếp S.ABC Bài :Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC ABC tam giác cạnh a, SA = a a) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.ABC 0 · Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABC có chiều cao h SAB = α ( 30 < α < 90 ) a) Tính thể tích khối chóp b) Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mp(ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, SC hợp với mặt đáy (ABCD) góc α khoảng cách từ D tới mp(SAC) a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD c) Tìm α để mặt cầu có diện tích 6πa Bài 10 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, AB = AC= a, mp(SBC) vng góc mp(ABC) SA = SB = a a) Chứng tỏ SBC tam giác vuông b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = x BÀI TẬP VỀ HÌNH TRỤ Hình lăng trụ nội tiếp hình trụ hai đáy hình lăng trụ nội tiếp hai đường trịn đáy hình trụ Hình trụ nội tiếp mặt cầu hai đường trịn đáy hình trụ nằm mặt cầu Mặt cầu nội tiếp hình trụ mặt cầu tiếp xúc với hai mặt đáy hình trụ nhận đường sinh hình trụ tiếp tuyến Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao R Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD hai dây cung hai đường tròn đáy Mặt phẳng (ABCD) khơng vng góc với mặt hẳng đáy hình trụ a) Tính diện tích hình vng ABCD b) Tính cosin góc mặt phẳng chứa hình vng mặt phẳng đáy Bài : Một hình trụ T có bán kính đáy R chiều cao R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ T b) Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ T c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách AB trục hình trụ T Bài : Cho hình trụ có bán kính R, trục OO/ = h.Một mặt phẳng ( P ) thay đổi qua O tạo với dáy hình trụ góc α cho trước cắt hai đáy hình trụ cho theo dây AB CD ( dây AB qua O ) Tính diện tích tứ giác ABCD Bài : Một mặt phẳng qua trục hình trụ T cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 2R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ T b) Tính thể tích khối trụ T c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ T Bài : Cho hình lăng trụ ABCD.A / B / C / D / có đáy ABCD hình thang cân có đáy nhỏ AB = a, đáy lớn 5a CD = 4a, cạnh bên , chiều cao hình lăng trụ h a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ cho b) Tính diện tích tồn phần thể tích khối lăng trụ Bài : Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a có góc mặt bên mặt phẳng đáy α Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tam giác đáy hình chóp có chiều cao chiều cao hình chóp Bài : Cho hình trụ T có bán kính R chiều cao R Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD hai dây cung hai đường tròn đáy, cạnh AD BC đường sinh hình trụ T Tính cạnh hình vng Bài : Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn tâm O O /, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O/ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO/AB Bài : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp hình trụ cho trước, góc đường thẳng B1D mặt phẳng ( ABB1A1 ) 300 Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng ( ABB1A1 ) 3a Tính thể tích khối hộp cho thể tích khối cầu ngoại tiếp khối hộp biết đường kính đáy hình trụ 5a Bài 10 : Một hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O /, bán kính r chiều cao h = r Gọi A điểm đường tròn tâm O B điểm đường trịn tâm O / cho OA vng góc với O/B a) Chứng minh mặt tứ diện OABO/ tam giác vng Tính thể tích khối tứ diện b) Gọi ( α ) mặt phẳng qua AB song song với OO/ Tính khoảng cách trục OO/ mặt phẳng ( α ) BÀI TẬP VỀ HÌNH NĨN HÌNH NĨN NỘI TIẾP – NGOẠI TIẾP Hình nón nội tiếp hình chóp đáy đường trịn nội tiếp đa giác đáy đỉnh đỉnh hình chóp Hình chóp nội tiếp hình nón đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình nón cạnh bên hình chóp đường sinh hình nón Mặt cầu ngoại tiếp hình nón mặt cầu qua đỉnh hình nón qua đường trịn đáy hình nón Mặt cầu nội tiếp hình nón tiếp xúc với mặt đáy hình nón tiếp xúc với đường sinh hình nón Hình trụ nội tiếp hình nón hình trụ có đáy nằm hình trịn đáy hình nón cịn đường trịn đáy hình trụ nằm mặt xung quanh hình nón Hình nón nội tiếp hình trụ hình nón có đường trịn đáy trùng với đường trịn đáy hình trụ đỉnh hình nón tâm đường trịn đáy hình trụ Bài : Cho hình nón có chiều cao h = 20cm, bán kính đáy R = 25cm.Tính diện tích thiết diện qua đỉnh cách tâm đáy khoảng 12cm Bài : Một hình nón có bán kính đáy R, đường sinh hợp với đáy góc α Tính bán kính đáy hình trụ nội tiếp hình nón biết thiết diện qua trục hình trụ hình vng Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a, mặt bên tam giác có góc đáy α Tính diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp Bài : Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình · · nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO = 300 , SAB = 600 Tính diện tích xung quanh hình nón · Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SO = h SAB = α ( α > 45 ) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a, góc mặt bên mặt đáy α Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp cho.Hãy tính diện tích xung quanh hình nón theo a α Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối trịn xoay sinh tam giác ( kể điển ) quay quanh AB, AC, BC a) Tính V1 , V2 , V3 theo b, c b) Chứng minh 1 = 2+ 2 V3 V1 V2 Bài : Mặt phẳng( P ) qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy cung α ( P ) tạo với đáy góc β a) Tính góc đỉnh thiết diện ( P ) cắt mặt nón b) Cho biết khoảng cách từ tâm O đáy đến mặt phẳng ( P ) a Hãy tính thể tích khối nón Bài : Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh a, góc đường sinh đáy α a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón b) Một mặt phẳng ( P ) qua đỉnh S hình nón hợp với đáy góc 60 0, mặt phẳng ( P ) cắt mặt nón theo giao tuyến SA, SB Tính diện tích tam giác SAB khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mp( P ) Bài 10 : Cho mặt cầu đường kính AB = 2R, I điểm AB cho AI = h ( < h < R ) Mặt phẳng vng góc với AB I cắt mặt cầu theo đường trịn ( C ) Tính thể tích khối nón có đỉnh A đáy đường trịn ( C ) Tính h để thể tích lớn Bài 11 : Cho mặt cầu tâm O bán kính R, hình nón nội tiếp hình cầu có chiều cao x ( < x ) a) Chứng minh ( SAB ) ⊥ ( SBC ) b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SAC ) c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y x d) Biết x + y = a Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM Bài 10 : Cho hình nón đỉnh S đường cao SO , A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón · · cho khoảng cách từ O đến AB a SAO = 300 ,SAB = 600 Tính diện tích xung quanh hình nón Bài 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a 1) Tính thể tích khối chóp 2) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 12 : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) trung điểm E AB SE = 2a Gọi I , J lần · lượt trung điểm EC, SC; M điểm di động tia đối tia BA cho ECM = α ( α < 90 ) H hình chiếu vng góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, α tim α để thể tích lớn CÁC ĐỀ THI Bài : ( TỐT NGHIỆP THPT PHÂN BAN – NĂM 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài : ( TỐT NGHIỆP THPT PHÂN BAN – NĂM 2007 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 3: ( TỐT NGHIỆP THPT PHÂN BAN – NĂM 2008 – lần ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC 1) Chứng minh SA vng góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài : ( TỐT NGHIỆP THPT PHÂN BAN – NĂM 2008 – lần ) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABC Biết AB = a, BC = a SA = 3a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài : ( TỐT NGHIỆP THPT – NĂM 2009 ) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt · phẳng đáy Biết BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài : ( ĐẠI HỌC KHỐI A – NĂM 2009 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài : ( ĐẠI HỌC KHỐI B – NĂM 2009 ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A / B / C / có BB/ = a; góc đường thẳng BB/ mặt phẳng ( ABC ) / · 600 ; tam giác ABC vng C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A/ABC theo a Bài : ( ĐẠI HỌC KHỐI D – NĂM 2009 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A / B / C / có đáy ABC tam giác vng B, AB = a ; AA/ = 2a ; A/C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A/C/, I giao điểm AM A/C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách tứ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) Bài : ( CAO ĐẲNG KHỐI A – NĂM 2009 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a ; SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Bài 10 : ( ĐẠI HỌC KHỐI A – NĂM 2008 ) Cho lăng trụ ABC.A / B/ C / có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A/ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A/.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA/ , B/C/ Bài 11 : ( ĐẠI HỌC KHỐI B – NĂM 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB ) Vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài 12 : ( ĐẠI HỌC KHỐI D – NĂM 2008 ) Cho lăng trụ đứng ABC.A / B/ C / có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA / = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A / B/ C / khoảng cách hai đường thẳng AM, B/C Bài 13 : ( CAO ĐẲNG KHỐI A – NĂM 2008 ) · · Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA vu6ng góc với đáy SA = 2a Gọi M , N trung điểm SA , SD.Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Bài 14 : ( ĐẠI HỌC KHỐI A – NĂM 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài 15 : ( ĐẠI HỌC KHỐI B – NĂM 2007 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 16 : ( ĐẠI HỌC KHỐI D – NĂM 2007 ) · · Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 17 : ( ĐẠI HỌC KHỐI A – NĂM 2006 ) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O/, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A Trên đường tròn tâm O/ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO/AB Bài 18 : ( ĐẠI HỌC KHỐI B – NĂM 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M, N trung điểm AD SC I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 19 : ( ĐẠI HỌC KHỐI D – NĂM 2006 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC).Gọi M,N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC.Tính thể tích khối chóp A.BCNM ... đường D Hình hộp đứng: Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Trong hình hộp đứng: Hai mặt đáy hình bình hành, măt bên hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật: Hình hộp chữ nhật hình hộp... đều: Trong hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên hình chữ nhật Chú ý: Hình hộp: Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành B/ C/ A/ D/ B C • Hình lăng... hình lập phương : Hình lâp phương: mặt hình lập phương hình vng Thể tích khối hộp lập phương : Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy hình vng V = a3 Hình chóp : Hình chóp hình đa diện có mặt