Slide 1 PHÒNG GD & ĐT PHỔ YÊN TRƯỜNG THCS ĐÔNG CAO TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Lớp 6, 7 I –[.]
PHỊNG GD & ĐT PHỔ N TRƯỜNG THCS ĐƠNG CAO TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHUYÊN ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Lớp 6, I – Lý thuyết * Muốn tìm giá trị nhỏ biểu thức f(x) ta cần chứng tỏ rằng: f ( x ) ≥ m (m số) với x Bằng cách dùng đến hằng, bất đẳng thức: Tổng quát: x k ≥ (k ∈ Z ) ; x2 ≥ x ≥0 Chứng tỏ dấu “=” xảy * Muốn tìm giá trị lớn biểu thức f(x) ta cần chứng tỏ rằng: f ( x) ≤ m (m số) với x Bằng cách dùng đến hằng, bất đẳng thức: − x ≤ 0; − x ≤ và: a + b ≤ a + b a−b ≥ a − b Chứng tỏ dấu “=” xảy với a ≥ b ; II – Bài tập Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2( x + 3) − Giải: 2 ( x + 3) ≥ ∀ x ⇒ 2( x + 3) ≥0 Ta có: ⇒ 2( x + 3) − ≥ −5 ⇒ Min A = −5 ⇔ x = −3 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = 10 − x − Giải: Ta có: x − ≥ ∀x ⇒ − x − ≤ ⇒ 10 − x − ≤ 10 ⇒ Max B = 10 ⇔ x = Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức A = ( x − 6) + Giải: Nhận xét: Phân thức A có tử số mẫu số dương, tử số không đổi => A đạt giá trị lớn mẫu số nhỏ 2 Với x ta có: ( x − 6) ≥ ⇒ ( x − 6) + ≥ ⇒ Min ( x − 6) + 3 = ⇔ x = ⇒ Max A = ⇔ x = 3 Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = ( x + 2) + Giải: ∀x ∈ Q ta có: ( x + 2) ≥ ⇒ ( x + 2) + ≥ Do đó: 3 A= ≤ ⇒ Max A = ⇔ x + = ( x + 2) + 4 hay: x = -2 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = ( x − 1) + ( y + 3) + Giải: 2 Ta có: ( x − 1) ≥ ∀ x và: ( y + 3) ≥ ∀ y => ( x − 1) + ( y + 3) + 1≥ => Min B = khi: ( x − 1) = ( y + 3) = Tức: x = 1; y = -3 Bài 6: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = b) a) A = − 3(2 x − 1) 2( x − 1) + x +8 c) C = x +2 Giải: a) A = − 3(2 x − 1) Ta có: (2 x − 1) ≥ ∀ x ⇒ − 3(2 x − 1) ≤ => − 3(2 x − 1) ≤ ⇒ Max A = ⇔ x = b) B = 2( x − 1) + Nhận xét: Phân thức B có tử số mẫu số dương, tử số không đổi => B đạt giá trị lớn mẫu số nhỏ ( x − 1) ≥ ∀ x ⇒ 2( x − 1) ≥ Ta có: ⇒ Min 2( x − 1) + 3 = ⇔ x = Vậy: c) Max B = x +8 C= x +2 Có: ⇔ x =1 x +8 x + + x + 6 = = + = + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 ≥ ∀ x ⇒ x2 + ≥ ⇒ 1+ ≤ + = Vậy: x +2 ⇒ 6 ≤ =3 x2 + 2 Max C = ⇔ x + = ⇔ x = TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Lớp 8, I – Lý thuyết Định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho hức f(x,y, ) xác định miền D: M đợc gọi GTLN f(x,y, ) trª miỊn |D f(x,y, ) ≤ M ∀(x,y, ) |D 22.điều đồng thoả (x0,kiện y0, )sau ∈ |D thêi cho f(x 0, ym·n ) := M Ký hiÖu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) |D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số thức f(x,y, ) xác định miền |D : thời M đợc gọi GTNN f(x,y, ) miền |D đến điều kiện f(x,y, ) ≥ M ∀(x,y, ) ∈ |D ∃ (x , y , ) ∈ |D cho f(x0, y0 ) = M tho¶ m·n0 : Ký hiƯu : M = Min f(x,y, ) = fmin víi (x,y, ) ∈ |D Các bước tìm GTLN, GTNN cđa mét biĨu thức đại số - Tỡm TX ca biu thc - Chứng minh rằng: f(x,y, ) ≤ M hoặc : f(x,y, ) ≥ N (M, N số) - Chỉ có số: (x0, y0, ) cho: f(x0, y0 ) = M hoặc : f(x0, y0 ) = N Kết luận: Max f = M x = x0 ; y = y0 ; Hoặc : Min f = N x = x0 ; y = y0 ; Một số dạng tập • Đa thức có dạng tam thức bậc hai (ax2 + bx + c) dạng phân thức mà mẫu số có dạng tam thức bậc hai Phương pháp: Biến đổi tam thức bậc hai dạng đẳng thức bình phương nhị thức sau: 2 b b b 2 ax + bx + c = a x + 2.x + − +c ÷ ÷ 2a 2a 2a b b2 = a( x + ) − a + c 2a 4a b b − 4ac = a( x + ) − 2a 4a (1) Do : b (x + ) ≥0 2a nên ta có : b b − 4ac b − 4ac + Nếu a > thì: ax + bx + c = a( x + ) − ≥− 2a 4a 4a 2 b b − 4ac Hay: Min (ax + bx + c) = − x = − 2a 4a b b − 4ac b − 4ac ) − ≤− + Nếu a < thì: ax + bx + c = a( x + 2a 4a 4a 2 b − 4ac − Hay: Max (ax + bx + c) = 4a x = − b 2a II – Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = -x2 + 3x – Giải: A = -x2 + 3x – = -(x2 – 3x + 5) Có: a = 1, b = -3, c = Áp dụng công thức (1): A = -(x2 – 3x + 5) 2 b b − 4ac − 4.1.5 = − x + − = − x − ÷ − ÷ 2a 4a 2 2 11 11 11 = − x − ÷ + = − x − ÷ − ≤ − 2 2 4 Vậy: 11 Max A = - x = Hoặc: Ta tách sau A = -x2 + 3x – = -(x2 – 3x + 5) 2 3 3 3 = − x − 2.x + ÷ − ÷ + 5 = − x − 2.x + ÷ − + 5 2 2 2 11 11 = − x − ÷ + = − x − ÷ − 2 2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 2x2 – 10x + Giải: Có: 7 25 − 7 5 2 B = x − x + ÷ = x − ÷ − 2 2 11 11 11 = x − ÷ − = x − ÷ − ≥ − 2 2 2 Vậy: 11 MinB = − Khi x= Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = 2x2 – 8x + Giải: TXĐ : ∀x ∈ R Ta có: C = 2x2 – 8x + = 2(x – 4x + 4) - = 2( x − 2) − ≥ −7 Vậy: Min C = -7 Khi x = Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5x2 – 4x + Giải: TXĐ : ∀x ∈ R Ta có: 2 D = −5x – 4x + = −5 x + ÷ + 5 2 2 ∀x ∈ R có: -5 x + ÷ ≤ 5 => D ≤ 9 Max D = Khi x = − Hay: 5 Bài 5: Tìm giá trị lớn biểu thức A= Giải: x2 + x + 1 3 x + x + = x + Nhận xét: ÷ + ≥ 2 4 Do đó, ∀x ∈ R, có x + x + ≥ Tử số mẫu số A số dương A lớn Mẫu số nhỏ Tức: x2 + x + nhỏ Mà: Min x + x + = Khi x = − Vậy: A≤ ( ) = = Hay MaxA = Khi x = − 3 ... x + − = − x − ÷ − ÷ 2a 4a 2 2 11 11 11 = − x − ÷ + = − x − ÷ − ≤ − 2 2 4 Vậy: 11 Max A = - x = Hoặc: Ta tách sau A = -x2 + 3x – = -(x2 –... 5 2 B = x − x + ÷ = x − ÷ − 2 2 11 11 11 = x − ÷ − = x − ÷ − ≥ − 2 2 2 Vậy: 11 MinB = − Khi x= Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = 2x2 –... = b) a) A = − 3(2 x − 1) 2( x − 1) + x +8 c) C = x +2 Giải: a) A = − 3(2 x − 1) Ta có: (2 x − 1) ≥ ∀ x ⇒ − 3(2 x − 1) ≤ => − 3(2 x − 1) ≤ ⇒ Max A = ⇔ x = b) B = 2( x − 1) + Nhận xét: Phân thức