Cho tam giác ABC, trung tuyến BI và CQ

Cho tam giác ABC, trung tuyến BI và CQ Cho tam giác ABC, trung tuyến BI và CQ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Lấy D là điểm nằm giữa B và C Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với CQ cắt AB và BG[.]

Cho tam giác ABC, trung tuyến BI CQ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Lấy D điểm nằm B C Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với CQ cắt AB BG E H Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với BI cắt AC CG F K EF cắt BI, CQ theo thứ tự M N Chứng minh: a) EM = MN = NF b) DG qua trung điểm MN c) S1 ≤ S ( với S1 S diện tích tứ giác DHGK tam giác ABC) A I Q G J M E O H B F N K C D Hướng dẫn (Cách hay hơn, hôm qua thầy giải vội cách giải chưa hay ) a)Ta có EH BH HD EH QG FK CK KD FK GI = = ⇒ = (1); = = ⇒ = (3) GQ BG GC HD GC GI CG GB KD GB QG GI EH FK = (3) tu (1);(2)(3) ⇒ = ⇒ HK / FE GC GB HD KD ta có tứ giác EHNK,MHKF;GHDK hình bình hành G trọng tâm ∆ABC nên EH QG FK GI = = ; = = HD GC KD GB ∆EHM đồng dạng ∆HDK (g,g) suy ∆FNK đồng dạng ∆KHD (g,g) suy EM EH 1 = = ⇒ EM = HK (4) HK HD 2 FN FK 1 = = ⇒ FN = HK (5) HK KD 2 Từ (4) (5) suy ME=NF mặt khác EN = HK ( EHKN hình bình hành) mà 1 EM = HK ⇒ EM = EN ⇒ EM = MN EM=MN=FN 2 b) Gọi O giao HK GD; J giao MN GD suy OH=OK Xét ∆ GHO có JM//OH; ∆ GKO có JN//OK theo hệ Talét ta có MJ JG JN = = OH = OK ⇒ JM = JN HO GO OK Hay DG qua trung điểm MN c) Trước hết chứng minh S ≤ S BGC Đặt BD=x;DC=y 2 S BHD  BD  x2 SCKD  CD  y2 = = ; = = ; ÷  ÷ S BGC  BC  ( x + y ) S BGC  BC  ( x + y ) ( x + y ) − xy S = − xy ≥ 1 − xy .S = S SBHD + SCKD = S = BGC BGC  ÷ BGD BGC 2 ( x + y) ( x + y) ( x + y )  xy  x2 + y2 ⇒ S DHGK ≤ S BGC ( vi : S DHGK = S BGC − SBHD − SCKD ) 1 1 Do G trọng tâm tam giac ABC nên S BGC = S ABC ⇒ SGHDK ≤ S ABC = S ABC 3 Suy S1 ≤ S dấu “=” xảy x = y hay D trung điểm BC ... S DHGK = S BGC − SBHD − SCKD ) 1 1 Do G trọng tâm tam giac ABC nên S BGC = S ABC ⇒ SGHDK ≤ S ABC = S ABC 3 Suy S1 ≤ S dấu “=” xảy x = y hay D trung điểm BC ... JM//OH; ∆ GKO có JN//OK theo hệ Talét ta có MJ JG JN = = OH = OK ⇒ JM = JN HO GO OK Hay DG qua trung điểm MN c) Trước hết chứng minh S ≤ S BGC Đặt BD=x;DC=y 2 S BHD  BD  x2 SCKD  CD  y2 =