SỞ GD - ĐT QUẢNG NINH

SỞ GD ĐT QUẢNG NINH SỞ GD ĐT QUẢNG NINH TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng M«n To¸n líp 10 Thêi gian 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bài 1 (4 điểm) 1 Giải phương trình 1123[.]

SỞ GD - ĐT QUẢNG NINH TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ®Ị thi chän häc sinh giái cÊp trêng M«n : Toán - lớp 10 Thời gian: 180 phút (không kể thêi gian giao ®Ị) Bài (4 điểm) Giải phương trình: − x + x −1 = Tìm m để phương trình x+6 x−9 +m x+2 x−9 −8 = x+ 3m + có hai nghiệm x1 , x cho x1 < 10 < x Bài (2,5 điểm) Với giá trị m bất phương trình sau nghiệm với x: 6x2 + 4x + > |2x2 + 4mx + 1| (1)  x + y − = Bài (3 điểm) Cho hệ phương trình:   x − y + m = Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, có G trọng tâm Chứng minh rằng: GA2 + GB + GC = (a + b2 + c ) R − OG = a + b2 + c2 Bài (4,5 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; -5), B(-4; 5) đường thẳng d: x - 2y + = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = a2 b2 c2 + + ≥1 Chứng minh rằng: b+c a+c a +b - Hết - ĐÁP ÁN Đáp án Bài điểm §Ỉt a = 2−x b= x −1 §K b ≥  a = ;0 b =  a+ b=  PT ⇔ ⇔ a = ;1 b =   a + b =  a = − 2;b =  0, 75 đ 0, 75 đ *) a = 0; b = giải đợc x = *) a = ; b = giải đợc x = *) a = -2; b=3 giải đợc x = 10 Vậy nghiệm phơng trình là: x = 1; x = 2, x = 10 0,25 đ PT ⇔ x − + + m ( x − + 1) = x + 0,5 đ 3m + đặt t = x − 9, t ≥ 3m + ⇔ 2t − ( m + 1) t + m + 13 = (1) PT trở thành : t + + m ( t + 1) = t + + x < 10 < x PT ban đầu có nghiệm ∆ ' >  ⇔ (1) có nghiệm ≤ t1 < < t ⇔ ( t1 − 1) ( t − 1) <  t1 + t > ( m + ) − ( m + 13 ) >  m − 25 >    m + 13 ⇔ − m − + < ⇔ 13 − m < ⇔ m > 13   m > −1  m + >  Bài 2,5 điểm Thang điểm 0, 25 đ Vì 6x2 + 4x + > với x nên (1) ⇔ - (6x2 + 4x + ) < 2x2 + 4mx + < 6x2 + 4x +  x + (1 − m) x + > (2)  x + 2(1 + m) x + > ⇔ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ 1,0 đ 0,5 đ Vây, (1) nghiệm với x hai bất phương trình hệ (2) đồng thời nghiệm với x Điều tương đương với 2 ∆1 = (1 − m) − = m − 2m − <  ' 2  ∆ = (1 + m) − 12 = m + 2m − 11 < −1 < m < ⇔ ⇔ − < m < −1 + −1 − < m < −1 + Bài 3 điểm  x + y − =  y = x + m ⇔   x − y + m =  x + x + 3m − = (1) Với m = 1: 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ (1) ⇔ x + x − = Đặt t = |x| (t ≥ 0) ta phương trình: t = 2t + 3t - = ⇔  t = − (lo¹i)  0,75 đ 0,25 đ 0,5 đ Với t = ⇒ |x| = ⇔ x = ± Vậy hệ có nghiệm (1; 2) (-1; 2) Hệ có nghiệm ⇔ PT (1) có nghiệm 0,25 đ t1 = t2 < ⇔ PT 2t2 + 3t + 3m - = (2) có nghiệm thoả mãn:  0,5 đ 3m − =  ⇔m= ⇔ 3  − < Bài điểm 0,25 đ Có : 0,5 đ GA2 + GB + GC = (ma2 + mb2 + mc2 ) 2  b + c a c2 + a b2 a + b2 c2  =  − + − + − ÷ 9 4 4 2 a +b +c = 0,5 đ 0,5 đ Có: uuu r uuur2 uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur OA + OB + OC = (OG + GA) + (OG + GB ) + (OG + GC ) uuur uuu r uuur2 uuur uuur uuu r uuu r uuur = 3OG + GA + GB + GC + 2OG (GA + GB + GC ) uuu r uuur uuur r Do OA = OB = OC = R GA + GB + GC = nên: 3R = 3OG + GA2 + GB + GC hay 3R − 3OG = GA2 + GB + GC = a + b2 + c2 ⇒ R − OG = Bài 4,5 điểm Gọi H hình chiếu B ∆, ta có: BH ≤ AB 0,5đ 0,5 đ a + b2 + c2 0,5 đ 0,5 đ Đẳng thức xảy H ≡ A Khi ∆ đường thẳng qua A 0,5 đ vng góc với AB PTTQ: 3x - 5y - 31 = Kiểm tra A B phía với d 0,5 đ 0,5 đ Gọi A’ điểm đối xứng A qua d 0,5 đ Có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B Đẳng thức xảy ⇔ A’, M, B thẳng hàng Suy M giao điểm 0,5 đ đường thẳng A’B với d Gọi d’ đường thẳng qua A vng góc với d d’ có PTTQ: 2x + y + = 0,25đ Gọi H giao điểm d’ d Tọa độ H = (-1; 1) 0,25đ H trung điểm AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7) 0,25 đ uuuur r Đường thẳng A’B có VTCP A ' B = (0; −2) nên có VTPT n A ' B = (1;0) 0,25đ PTTQ đường thẳng A’B: x + = Toạ độ giao điểm M A’B d nghiệm hệ phương trình: y + =  x = −11 ⇔  ⇒ M(-11; -4) x − y + =  y = −4 Bài điểm Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: Có: a2 b2 c2 + + ≥1 b+c a+c a +b a2 b+c a2 b + c + ≥2 =a b+c b+c Tương tự: b2 a+c b2 a + c + ≥2 = b; a+c a+c c2 a+b c2 a + b + ≥2 =c a+b a+b Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta 0,5 đ ... = 2t + 3t - = ⇔  t = − (lo¹i)  0,75 đ 0,25 đ 0,5 đ Với t = ⇒ |x| = ⇔ x = ± Vậy hệ có nghiệm (1; 2) (-1 ; 2) Hệ có nghiệm ⇔ PT (1) có nghiệm 0,25 đ t1 = t2 < ⇔ PT 2t2 + 3t + 3m - = (2) có... b2 + c2 0,5 đ 0,5 đ Đẳng thức xảy H ≡ A Khi ∆ đường thẳng qua A 0,5 đ vng góc với AB PTTQ: 3x - 5y - 31 = Kiểm tra A B phía với d 0,5 đ 0,5 đ Gọi A’ điểm đối xứng A qua d 0,5 đ Có: MA + MB = MA’... góc với d d’ có PTTQ: 2x + y + = 0,25đ Gọi H giao điểm d’ d Tọa độ H = (-1 ; 1) 0,25đ H trung điểm AA’ nên A’ có toạ độ A’ (-4 ; 7) 0,25 đ uuuur r Đường thẳng A’B có VTCP A '' B = (0; −2) nên có VTPT