Tính thể tích tứ diện ABCD theo x.. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây.. 2Viết phương trìn
Trang 1TRƯỜNG THPT VĂN QUAN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2012 - 2013
Tổ : Toán - Tin Môn thi : TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
I.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 2
y x= − x + có đồ thị là ( C )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3−3x2−3m+ =2 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1
Câu 2 (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 7x+2.71 −x− =9 0
2) Tính tích phân:
1 2
0 1
=∫ −
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2 2 2
1
y
x
+ +
= + trên đoạn
1
; 2 2
−
Câu 3 (1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AB CD= = 2x 0 2
2
x
< <
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây.
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm A -( 3;2; 3)- và hai đường thẳng
1
:
d - = + =
d - = - =
-1)Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau
2)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P).
Câu 5.a (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: 3z+ =9 2iz+11i
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:
d - = + =
d = - = -1) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau
2) Viết phương trình mp(P) chứa d1 và song song với d2 Tính khoảng cách giữa d1 và d2
Câu 5.b (1,0 điểm): Tính môđun của số phức z = ( 3+i)2013
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Trang 2CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂ
M
1 Câu 1.1:
* TXĐ:D R=
* Sự biến thiên:
+,Chiều biến thiên: y/ = 3 x2 − 6 x;y/=0⇔x = 0 hoặc x = 2
y/ >0 trên khoảng ( −∞ ;0 ) và ( 2; +∞ ) ; y/ <0 trên khoảng (0;2)
+,Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x= 0,yCĐ = y(0) = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x =2,yCT = y (2) = - 2
+, Giới hạn :lim→−∞ = −∞
x y ; xlim→+∞y= +∞
+,Bảng biến thiên:
•3 Đồ thị :
Đồ thị nhận điểm I(1;0) làm điểm uốn
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ :
(1;0), (0;2); (-1;-2)
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
0.5
Câu 1.2: Số nghiệm của phương trinh x3 – 3x2 +2 = 3m bằng số hoành độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2 và đường thẳng y = 3m
+, Dựa vào đồ thị để thỏa mãn đầu bài ta có : -2 < 3m < 0 2 m 0
3
⇔− < <
0.25 0.25 0.5
2
Câu 2.1:
7
x
Đặt t =7x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành
14
7( )
t
é = ê + - = Û + - = Û - + = Û ê=
ê
Với t =2: 7x = 2 Û x= log 2 7
Với t =7: 7x = 7 Û x= 1
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm :x =1 và x =log 27
0.25 0.25 0.25
0.25
Câu 2.2: Đặt t = 1 x − ⇒ = − ⇒t2 1 x dx= −2tdt
Đổi cận : x = 0 ⇒ =t 1; x = 1 ⇒ =t 0
0.25 0.25
3
2
1
-1
-2
-3
2
-2
0
-1
Trang 3Ta được I = 1( 6 4 2)
0
2 t∫ −2t +t dt =
1
0
2
− +
=
16
1
y
x
=
+ liên tục trên đoạn 1;2
2
-ê ú
y
Cho
(TMDK) (L)
2
1
0 [ ;2]
2
1
2 [ ;2]
2
x
x
é = Î -ê
ê
ê = Ï -ê
Ta có, f(0)=2 ; 1 5
fæ öçççè ø- ÷÷÷= ; f(2)=103
10
3
0.25 0.25 0.25
0.25
3
V = 12 2 1 2 2
3 x - x
Ta có:
3 x - x =3 x x - x ≤
3
æ + + - ö÷
Dấu = xảy ra ⇔ x2 = x2 = 1 – 2x2⇔ x = 3
3
0.25
0.25
0.25
0.25
4.a d1 đi qua điểm M1(1; 2;3)- , có vtcp u =r1 (1;1; 1)
- d2 đi qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u =r2 (1;2;3)
Ta có [ , ]1 2 1 1; 1 1 1 1; (5; 4;1)
2 3 3 1 1 2
u u =æçççç - - ö÷÷÷÷=
-÷
r r
và M M =uuuuuur1 2 (2;3;2)
Suy ra, [ , ].u u M M =r r1 2 uuuuuur1 2 5.2 4.3 1.2- + =0, do đó d1 và d2 cắt nhau
Mặt phẳng (P) chứa d1 và d2
Điểm trên (P): M1(1; 2;3)
- vtpt của (P): nr =[ , ] (5; 4;1)u ur r1 2 =
-0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 4 Vậy, PTTQ của mp(P) là: 5(x- 1) 4(- y+ +2) 1(z- 3)=0
5x 4y z 16 0
Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là:
5.( 3) 4.2 ( 3) 16 42
42
5 ( 4) 1
d A P = - - + - - = =
0.25
0.25
5.aTa có, 3z+ =9 2iz +11i Û 3z- 2iz = - +9 11i (1)
Đặt z= +a bi Þ z = -a bi, thay vào phương trình (1) ta được
2
3 2 (3 2 ) 9 11
ï - = - ï =
Vậy, z= - +1 3i Þ z = - -1 3i
0.25
0.25
0.25 0.25
4.b d1 đi qua điểm M1(1; 2;3)- , có vtcp u =r1 (1;1; 1)
- d2 đi qua điểm M2(0;1;6), có vtcp u =r2 (1;2;3)
Ta có [ , ]1 2 1 1; 1 1 1 1; (5; 4;1)
2 3 3 1 1 2
u u =æççç - - ö÷÷÷÷=
r r
và M M = -uuuuuur1 2 ( 1;3; 4)
- Suy ra, [ , ].u u M M =r r1 2 uuuuuur1 2 5.( 1) ( 4).3 1.( 4)- + - + - = - 21 0¹ , do đó d1 và d2
chéo nhau
Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2
Điểm trên (P): M1(1; 2;3)
- vtpt của (P): nr =[ , ] (5; 4;1)u ur r1 2 =
- Vậy, PTTQ của mp(P) là: 5(x- 1) 4(- y+ +2) 1(z- 3)=0
5x 4y z 16 0
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng khoảng cách từ M2 đến
mp(P):
5.0 4.1 6 16 14 42 ( , ) ( ,( ))
3 42
5 ( 4) 1
+ - +
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
5.bTa có, ( 3+i)3=( 3)3+3.( 3) 2i +3 3.i2+i3=3 3 9+ -i 3 3- i =2 3i
Vậy,
671
z= +i =éêë +i ùúû = i = i = i i = - i
Do đó, z =22013
0.25 0.5 0.25
