Microsoft Word chu de 2 doc các tập hợp số 55 Chủ đề 2 Số tự nhiên Mục tiêu A Kiến thức Trang bị cho người học những kiến thức về – Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp – Xây dựng tập các số tự n[.]
các tập hợp số Chủ đề Số tự nhiên Mục tiêu A Kiến thức Trang bị cho người học kiến thức về: – Tập hợp tương đương số tập hợp – Xây dựng tập số tự nhiên lí thuyết tập hợp – Xây dựng phép toán cộng nhân tập số tự nhiên phép toán số – Xây dựng quan hệ thứ tự tập số tự nhiên – Nguyên lí quy nạp phương pháp chứng minh quy nạp – Biểu diễn số tự nhiên dấu hiệu chia hết B Kĩ – Giải toán tập số tự nhiên – Vận dụng vào việc giảng dạy Toán lớp bậc Tiểu học C Thái độ Đây chủ đề mang tính chất lí thuyết nhiều người học cần "thốt li" khỏi định hình có sẵn số thông thường Đồng thời người học cần thấy ý nghĩa việc "xây dựng lại" tập số tự nhiên, sở giúp cho họ giảng dạy tốt mơn Tốn lớp bậc Tiểu học D Giới thiệu chủ đề STT Tên tiểu chủ đề Trang Bản số tập hợp 57 Số tự nhiên 65 Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên 73 Hệ ghi số 87 Nội dung sở toán học việc dạy học số vấn đề số tự nhiên Tiểu học 99 Mối liên hệ tiểu chủ đề Toàn tiểu chủ đề cung cấp đầy đủ trọn vẹn kiến thức số tự nhiên 55 tập hợp số Trên sở nắm vững tiểu chủ đề 1– 4, tiểu chủ đề hướng dẫn cho người học biết vận dụng kiến thức vào giảng dạy số tự nhiên lớp Tiểu học Lí thuyết số tự nhiên đóng vai trị Tốn học Khi chưa có lí thuyết tập hợp coi điểm xuất phát tồn Tốn học Ta xây dựng số tự nhiên việc đưa hệ tiêu đề (Hệ tiêu đề Peano) Song xuất phát từ lí thuyết tập hợp Ngày nay, xuất phát từ lí thuyết tập hợp ta dựng tồn lí thuyết số tự nhiên ý mà từ xưa đến người ta thường dạy cho trẻ em là: số tự nhiên dùng để "đếm" tập hợp "hữu hạn"; hai tập hợp hữu hạn có số phần tử, tồn song ánh từ tập lên tập Vì vậy, ta bắt đầu việc nghiên cứu tập hợp cho tồn song ánh từ tập hợp lên tập hợp Điều đưa ta tới khái niệm số, từ tới khái niệm số tự nhiên Để xây dựng lí thuyết số tự nhiên, ta phải vận dụng số định lí mà cách chứng minh vượt khỏi yêu cầu giáo trình Vì vậy, ta cơng nhận chúng (định lí Căngto – Becxtainơ) phát biểu chúng dạng tiên đề (tiên đề tập hợp số tự nhiên, tiên đề quy nạp) 56 tập hợp số Tiểu chủ đề 2.1 Bản số tập hợp Thông tin 2.1.1 Tập hợp tương đương 2.1.1.1 Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Ta nói A tương đương với B, kí hiệu A ~ B, tồn song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B Ví dụ 1.1: 1) Cho A = {a, b, c}; B = {α, β, γ} Khi A ~ B có song ánh f: A → B, a a α; b a β; c a γ 2) Cho tam giác ABC Tập hợp điểm cạnh AB tương đương với tập điểm cạnh AC Thật vậy: A Đặt [AB] tập điểm cạnh AB; [AC] tập điểm cạnh AC Ta có song ánh f: [AB] → [AC] xác định f(A) = A; f(B) = C x ∈ [AB] mà x ≠ A, x ≠ B f(x) = x', x' ∈ [AC] mà xx' // BC x B x' C 3) Tập điểm đoạn thẳng AB tương đương với tập điểm nửa đường trịn đường kính AB Đặt AB tập điểm nửa đường trịn đường kính AB [AB] tập hợp điểm đoạn thẳng AB ánh xạ g: AB → [AB] xác định với x ∈ AB, g(x) = x' hình chiếu vng góc x cạnh AB, song ánh Tính chất 1.1: 1) Với tập hợp A ánh xạ đồng idA: A → A song ánh, nên ta có A ~ A 2) Cho hai tập hợp A B, A ~ B tức có song ánh f: A → B Khi đó, ánh xạ ngược f–1: B → A song ánh nên suy B ~ A 57 tập hợp số 3) Cho ba tập hợp A, B, C, A ~ B B ~ C, tức ta có song ánh f: A → B g: B → C Khi đó, gf: A → C song ánh, suy A ~ C Vậy quan hệ ~ có ba tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu Do tính chất đối xứng quan hệ ~ nên A ~ B (hoặc B ~ A) ta nói hai tập A B tương đương với 2.1.1.2 Định lí Cantor Định lí 1.1 Với hai tập hợp A B bất kì, xảy hai trường hợp sau: 1) Có đơn ánh từ tập hợp A đến tập hợp B 2) Có đơn ánh từ tập hợp B đến tập hợp A Nếu hai trường hợp xảy có song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B Định lí Cantor dự đốn từ nghiên cứu ơng tập hợp, ông không chứng minh Phần thứ hai Bestanh chứng minh vào năm 1897 Mãi đến năm 1904, Zermelo chứng minh phần thứ Nhận xét Cho hai tập hợp A B Nếu có đơn ánh f từ tập A đến tập B ta có song ánh từ A đến f(A) A tương đương với f(A) phận B Và ngược lại, A tương đương với phận B' B ta có song ánh g: A → B' g kéo dài thành đơn ánh g' từ A đến B: g': A → B a a g(a) Vì vậy, định lí Cantor cịn phát biểu cách khác là: Với hai tập hợp A B bất kì, xảy hai trường hợp sau: 1) A tương đương với tập B 2) B tương đương với tập A Nếu hai trường hợp xảy A tương đương với B 2.1.1.3 Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn Định nghĩa 1.1 Tập hợp A gọi tập hợp hữu hạn A khơng tương đương với tập thực A Một tập tập hợp hữu hạn gọi tập hợp vơ hạn Nói cách khác, tập hợp A gọi tập hợp vơ hạn có tập thực A mà tương đương với A Ví dụ 1.2: 1) Tập rỗng ( ∅ ) tập hợp hữu hạn, ∅ khơng có tập thực 2) Tập {x} tập hữu hạn, {x} có tập thực tập rỗng ∅ , mà ∅ không tương đương với {x} 58 tập hợp số 3) Tập điểm đoạn thẳng AB (A ≠ B) tập vô hạn Thật vậy, gọi C trung điểm AB [AC] ⊂ [AB] [AC] ≠ [AB], đồng thời [AC] ~ [AB] Định lí 1.2 Tập hợp tương đương với tập hữu hạn tập hữu hạn Chứng minh: Giả sử A tập hợp hữu hạn tập hợp B tương đương với tập hợp A Nếu B khơng tập hữu hạn B tương đương với tập thực B' B Vì A ~ B nên có song ánh f: B → A Khi f(B') tập thực A Thật vậy, B' ≠ B nên tồn b ∈ B b ∉ B' Khi f(b) ∈ A f(b) ∉ f(B') Vì A B tương đương với nhau, B B' tương đương với nhau, B' f(B') tương đương với nên A f(B') tương đương với Vậy ta có A tương đương với tập thực f(B') A Trái với giả thiết A tập hợp hữu hạn Vậy B tập hữu hạn Định lí 1.3 Tập tập hợp hữu hạn tập hữu hạn Chứng minh: Giả sử A tập hợp hữu hạn B tập A Nếu B không tập hợp hữu hạn có tập thực B' B, tương đương với B Khi ta có song ánh g: B → B' Đặt A' = (A \ B) ∪ B' Vì B' tập thực B nên A' tập thực A Ta có ánh xạ f xác định sau: f: A → A' ⎧a, a ∈ A \ B a a f (a) = ⎪⎨ ⎪⎩g(a), a∈ B Do g song ánh nên f song ánh Suy A ~ A', trái với giả thiết A tập hữu hạn Vậy B tập hữu hạn 2.1.2 Bản số 2.1.2.1 Khái niệm số Để mở rộng khái niệm "số" phần tử tập hữu hạn, Cantor đưa khái niệm số tập hợp để đặc trưng cho “số lượng” phần tử tập hợp Mỗi tập hợp có số Bản số tập hợp A kí hiệu |A| cardA; số hai tập hợp A B nhau, |A| = |B|, A B tương đương với nhau, nghĩa có song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B Ví dụ 1.3: | ∅ | ≠ |{x}|; 59 tập hợp số |{x, y}| ≠ |{x, y, z}| Ta đặt | ∅ | = |{x}| = Rõ ràng ≠ tập rỗng ( ∅ ) tập gồm phần tử {x} không tương đương với 2.1.2.2 Quan hệ thứ tự số Giả sử a b hai số Khi đó, tồn tập hợp A B cho a = |A| b = |B| Định nghĩa 1.2 Bản số a gọi bé hay số b, kí hiệu a ≤ b, tồn đơn ánh f từ A đến B Điều nghĩa A tương đương với tập B Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn tập A, B cho a = |A| b = |B| Thật vậy, |A| = |A'| = a |B| = |B'| = b tồn song ánh g: A → A' h: B → B' Nếu f đơn ánh từ A đến B f' = hfg–1 đơn ánh từ A' đến B' ngược lại f A⎯ ⎯→ B g h f' A' ⎯ ⎯→ B' Tính chất 1.2: Rõ ràng quan hệ ≤ có tính chất sau: 1) Với số a, a ≤ a 2) Với số a, b, c a ≤ b b ≤ c a ≤ c (do hợp thành hai đơn ánh đơn ánh) 3) Với hai số a b a ≤ b b ≤ a Nếu đồng thời có a ≤ b b ≤ a a = b (dựa vào định lí Cantor) Như vậy, quan hệ ≤ số có tính chất phản xạ, bắc cầu phản đối xứng 2.1.2.3 Phép cộng số Định lí 1.4 Cho A, A', B B' tập hợp cho A ~ A', B ~ B', A ∩ B = ∅ A' ∩ B' = ∅ A ∪ B ~ A' ∪ B' Chứng minh: Giả sử f: A → A' g: B → B' hai song ánh, ta có ánh xạ h: A ∪ B → A' ∪ B' xác định 60 tập hợp số ⎧f (x), x ∈ A h(x) = ⎪⎨ ⎪g(x), x ∈ B ⎩ song ánh Vì vậy, A ~ A', B ~ B', A ∩ B = ∅ A' ∩ B' = ∅ A ∪ B ~ A' ∪ B' Định lí 1.5 Nếu a b hai số tồn hai tập A' B' cho a = |A'|, b = |B'| mà A' ∩ B' = ∅ Chứng minh: Giả sử A B hai tập hợp cho a = |A| b = |B| Đặt A' = A × {x} B' = B × {y} với x ≠ y Rõ ràng A' ~ A B' ~ B đồng thời A' ∩ B' = ∅ Vì A' ~ A, B’ ~ B nên |A'| = |A| = a |B'| = |B| = b Định nghĩa 1.3 Cho a b hai số, a = |A| b = |B| cho A ∩ B = ∅ Khi |A ∪ B| gọi tổng hai số a b, kí hiệu a + b Như a + b = |A ∪ B| Phép tốn gọi phép cộng Tính chất 1.3: Phép cộng số có tính chất sau: – Giao hoán: với số a b ta có a + b = b + a Điều suy từ tính chất giao hốn phép hợp tập hợp, cụ thể với tập hợp A B ta có: A ∪ B = B ∪ A – Kết hợp: Với số a, b c ta có (a + b) + c = a + (b + c) Điều suy từ tính chất kết hợp phép hợp tập hợp, cụ thể với tập hợp A, B, C, ta có: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) – Với số a ta có a + = a Điều suy từ tính chất với tập hợp A ta có: A ∪ ∅ = A – Với số a b, a + b = a = b = Điều suy từ tính chất là: hai tập hợp A B mà A ∪ B = ∅ A = ∅ B = ∅ Định lí 1.6 Giả sử a b hai số Khi đó, a ≤ b tồn số c cho a + c = b Chứng minh: Giả sử a = |A|, b = |B| Nếu a ≤ b tồn đơn ánh f: A → B a = |A| = |f(A)| Đặt C = B \ f(A), ta có f(A) ∪ C = B, f(A) ∩ C = ∅ Gọi c = |C|, ta có b = |B| = |f(A) ∪ C| = a + c Đảo lại, giả sử tồn số c = |C| cho a + c = b 61 tập hợp số Như vậy, C ∩ A = ∅ |A ∪ C| = |B| Do |A ∪ C| = |B| nên tồn song ánh f: A ∪ C → B Cái thu hẹp f' = f A : A →B đơn ánh Vậy a ≤ b Định lí 1.7 Với hai số a b, a + = b + a = b Chứng minh: Nếu a = b hiển nhiên a + = b + Đảo lại, giả sử a b hai số cho a + = b + Giả sử a = |A| b = |B|, x y hai phần tử khác không thuộc A ∪ B Đặt A' = A ∪ {x}, B' = B ∪ {y} Khi |A'| = a + |B'| = b + Do a + = b + nên ta có song ánh f: A' → B' +) Nếu f(x) = y ánh xạ cảm sinh f' f từ A đến B song ánh ta có a = |A| = |B| = b +) Nếu f(x) = y' ≠ y x' = f–1(y) ≠ x Đặt A'' = A \ {x'} B" = B \ {y'} ánh xạ cảm sinh f' f từ A" đến B" song ánh ta có ánh xạ ⎧f '(x) x ∈ A song ánh g: A → B, x a g(x) = ⎨ ⎩y ' x = x ' Vậy ta có a = |A| = |B| = b 2.1.2.4 Phép nhân số Định lí 1.8 Cho A, A', B B' tập hợp cho A ~ A' B ~ B' Khi A × B ~ A' × B' Chứng minh: Giả sử f: A → A' g: B → B' hai song ánh Khi ánh xạ f × g: A × B → A' × B', (x; y) a (f(x); f(y)) song ánh từ A × B đến A' × B' Vậy A × B ~ A' × B' Từ tính chất ta có định nghĩa sau đắn Định nghĩa 1.4 Cho a b số, a = |A|, b = |B| Bản số tích đề-các A × B gọi tích hai số a b, kí hiệu a.b hay ab Như ab = |A × B| Phép toán gọi phép nhân số Tính chất 1.4: Dựa vào tính chất tích Đề-các tập hợp, ta có tính chất sau phép nhân số: 62 tập hợp số – Tính chất giao hốn: với số a b ta có ab = ba – Tính chất kết hợp: với số a, b c ta có (ab)c = a(bc) – Với số a ta có: 0a = 0; a0 = 1a = a; a1 = a – Với số a b ab = a = b = – Phép nhân phân phối phép cộng: với số a, b c ta có: a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca Hoạt động Tìm hiểu tập hợp tương đương Nhiệm vụ Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu thông tin để thực nhiệm vụ sau Sau trình bày, giáo viên tổng kết theo nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Định nghĩa tập hợp tương đương Nhiệm vụ 2: Bản số tập hợp, quan hệ thứ tự số, phép cộng phép nhân số Nhiệm vụ 3: Tập hữu hạn, tập vơ hạn Các tính chất tập hữu hạn Phân biệt khác tập hữu hạn tập vô hạn Đánh giá Hãy trả lời câu hỏi sau đây: Định nghĩa hai tập hợp tương đương Cho ví dụ hai tập hợp tương đương Khi hai tập hợp có số Tập rỗng ( ∅ ) tập có phần tử có số khơng? Tại sao? Phát biểu định lí Canto số hai tập hợp Định nghĩa quan hệ ≤ số Nêu tính chất quan hệ Định nghĩa phép cộng phép nhân số Phát biểu chứng minh tính chất hai phép toán 63 tập hợp số Định nghĩa tập hữu hạn, tập vơ hạn Cho ví dụ tập hữu hạn, tập vô hạn Hãy giải tập sau đây: Cho A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} Hãy hai song ánh từ A đến B Có song ánh từ A đến B? Cho ba tập hợp A, B C Chứng minh: a) A × B ~ B × A b) (A × B) × C ~ A × (B × C) Cho hai tập hợp A B với B ? ∅ Chứng minh |A| ≤ |A × B| Cho tập hợp A Chứng minh A tập hữu hạn đơn ánh từ A đến A song ánh Cho A tập hữu hạn, f: A → A ánh xạ Chứng minh khẳng định sau tương đương với a) f đơn ánh; b) f toàn ánh; c) f song ánh Cho A B hai tập hợp hữu hạn Chứng minh: a) A ∪ B tập hợp hữu hạn b) A ∩ B tập hợp hữu hạn c) A × B tập hợp hữu hạn Chứng minh tập A = {1, 2, 3, 4} tập hợp hữu hạn Chứng minh tập số nguyên Z tập hợp vô hạn 64 ... = |A|, b = |B| Bản số tích đề-các A × B gọi tích hai số a b, kí hiệu a.b hay ab Như ab = |A × B| Phép toán gọi phép nhân số Tính chất 1.4: Dựa vào tính chất tích Đề-các tập hợp, ta có tính chất