(Microsoft Word C\342u 2 doc) Câu 1 (4,0 điểm) Cho hàm số 3 23 3( 6) 1 (1)y x mx m x= − + + + a) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu b) Khi hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, tìm m để điểm ( )3[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 Ha Nguyen http://violet.vn/nguyenkimhoi MƠN: TỐN - Cấp: THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) Cho hàm số: y = x3 − 3mx + 3(m + 6) x + (1) a) Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu b) Khi hàm số (1) có cực đại cực tiểu, tìm m để điểm M ( 3;5 ) nằm đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số Giải: Ta có: y ' = 3x − 6mx + 3(m + 6) a) Hàm số (1) có cực đại cực tiểu ↔ x − 2mx + m + = có nghiệm phân biệt ↔ ∆' > ↔ m2 − m − > m < −2 ↔ m > b) Với m < −2 m > Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 → y '( x1 ) = y '( x2 ) = Ta có: m 1 y = x − 3mx + 3(m + 6) x + = x − y '− 2(m − m − 6) x + m + 6m + 3 y = −2(m − m − 6) x1 + m + 6m + → 2 y2 = −2(m − m − 6) x2 + m + 6m + suy phương trình qua điểm cực trị A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) là: y = −2(m − m − 6) x + m + 6m + (d) Để M (3;5) ∈ (d ) ↔ = −6(m − m − 6) + m + 6m + ↔ -5m + 12m + 32 = m = ↔ m = − So sánh với điều kiện m < −2 m > ta thấy m = Vậy: m = chút: Đây toán Nếu đề khơng u cầu làm ý a ta phải làm ý ý b Bài toán hay xuất đề thi đại học năm gần Đề cho nghiệm phương trình y ' = đẹp kiểm tra mức độ tư học sinh Vì kể trường hợp nghiệm đẹp học sinh thay vào tìm y đủ mệt không làm theo cách Câu ( 4,0 điểm) a) Giải phương trình: + cos x + sin x = cos x.cos x ↔ cos x + 2sin x cos x = cos x.cos x cos x = (1) ↔ cos x(cos x + sin x − cos x) = ↔ cos x + sin x − cos x = (2) + Giải (1): cos x = ↔ x = π + kπ , k ∈ + Giải (2): (2) ↔ cos x + sin x − (cosx − sinx)(cosx + sinx) = ↔ (cosx + sinx)(1 − cosx + sinx) = cos x + sin x = 0(VN) ↔ ↔ cos x − sin x = cos x − sin x = Đến phương trình rùi bậc sin cos chút: Nhìn vào đề thấy vế có sin2x vế có cosx đốn khả có nhân tử cosx Ah lại cịn thấy thêm 1+cos2x chắn nhân tử chung cosx rùi ( Nếu đề để số cách xa cos2x có lại hay) b) Giải hệ: x + x y − y = x y + x + y x ( x + y ) = y ( x + y ) + x + y ↔ 2 2 y − − 2x − = 2 y − − 2x − = x + y = (I) ( x + y )(x − y − 1) = 2 y − = − 2x ↔ ↔ x = y + 2 y − = − 2x (II) 2 y − = − 2x x = 0, y = + Giải hệ (I): 2 y − = − 2x Thế x = 0, y = vào phương trình cịn lại khơng thỏa mãn Vậy (I) vô nghiệm + Giải hệ (II) x y = + x2 = y + x = y + ↔ (2 y − 1) = − 2x ↔ 2 y − y + y − = 2 y − = − 2x 1 y3 ≥ y3 ≥ x2 = y + x = ± y = y = y3 ≥ ↔ ↔ x = y + 2 y ( y + y + 1) + = 0(III) x2 = y + y3 ≥ 2 y + y + y + = y3 ≥ Giải hệ (III) Ta có: y ≥ 1, y + y + > → y ( y + y + 1) + > Do hệ (III) vơ nghiệm Vậy: nghiệm hệ phương trình cho là: ( 2;1);(− 2;1) chút: Hệ hay Lúc biến đổi ngờ ngợ có nhân tử chung x + y biến đổi thấy okie Thế làm ra! Sau biến đổi vào Dù bậc lại nhẩm nghiệm → sướng Câu (3,0 điểm) Cho phương trình: m.4 x + 2.9 x = 5.6 x ( m tham số, x ∈ ) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x x Giải: PT ↔ m − + = 0(*) 3 3 a) Với m = Phương trình cho trở thành: 2x x 2x x 2 2 2 2 ↔ + = ↔ − + = 3 3 3 3 x = x = 3 ↔ ↔ x x =1 = x b) Đặt t = > 3 (*) ↔ mt − 5t + = 0(**) Để (*) có nghiệm nhất: m ≠ m ≠ 25 + (**) có nghiệm kép dương ↔ ↔ 25 ↔ m = 25 − 8m = m = m ≠ + (**) có nghiệm trái dấu ↔ ↔m → m = thỏa mãn chút: Ý a ý việc chia cho x okie ( thực chia cho 3x , x Nhưng cô giáo khuyên nên chia cho có số lớn Đừng hỏi nhé!) Ý b có nhiều học sinh làm xót giá trị m Thật Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABC D) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh MB ⊥ AC b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải: S A a a N S a I a M A M B N a B I D D C A a C I a) Xét tam giác vuông ∆ABC , ∆MAB có: AB = MA a = 2, BC a AB BC Suy ra: ∆ABC ∼ ∆MAB → = = 2→ = A1 = M AB a MA AB 2 = 900 → MB ⊥ AC Ta có: M + A2 = A1 + C a b) Vì BI ⊥ AC , BI ⊥ SA → BI ⊥ (SAC) tứ diện ANIB có BI đường cao BI = AB.BC a.a = =a AC a Xét tam giác vuông SAC → SC = SA2 + AC = a + 3a = 2a Vì N trung điểm SC nên: AB AM SC = NA = NS = NC = = a , AI = MB a 2 = 3a 3 a a Tam giác SNA → A3 = 300 1 a a2 AN AI sin A3 = a sin 300 = 2 12 1a a a = BI S ANI = = 3 12 36 S ANI = VANIB chút: a) Ý thực kiểm tra lại kiến thức THCS Dạng thường xuất đề thi đại học năm gần May dạng làm quen rùi Cho học sinh làm trò làm sau ( chỗ em nhé): C tan A1 = a = = 2, tan M a a ↔ + 1800 k = → tan A1 = tan M A1 = M 1 a làm tương tự Vì góc tam giác < 180 → k = → A1 = M b) Ui za Tính tốn linh tinh hết May có ý a gợi ý khơng chẳng biết tìm đường cao đâu Đầu tiên định tính hết cạnh tam giác ANI Hê rơ may có dấu hiệu tam giác SAN May Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + = đường tròn (C) : x + y + 2x − y = a) Chứng minh đường thẳng d đường trịn (C) khơng có điểm chung b) Tìm tọa độ điểm M tren đường trịn (C) có khoảng cách đến đường thẳng d lớn Giải: (C ) : x + y + x − y = A ↔ ( x + 1) + ( y − 2) = suy đường trịn (C) có tâm I ( −1; ) , bán kính R = a) Ta có: d (I, d) = I B H =2 2≥R= → d (C) điểm chung b) Đường thẳng AB có véctơ phương: u AB = nd = (1; −1) Phương trình đường x = −1 + t y = −t thẳng AB qua I AB : Gọi M (−1 + t; − t ) ∈ AB , M ∈ (C) → t = ↔ t = ± ( M trùng A, trùng B) Ta có: d (M, d) = t + 2 + Với t = + Với t = − → d (M, d) = +2 = 5+2 2 5 → d (M, d) = − +2 = − 5+2 =2 2− 2 So sánh khoảng cách ta thấy t = → M (−1 + thỏa mãn Khi M trùng với điểm A 5 ;2 + ) 2 chút: Khơng biết ý b) lập luận có chặt chẽ không? d Câu ( 2,0 điểm) Cho dãy số {un } xác định u1 = 0; un+1 = Tính lim n →∞ n (un + 4028) với n ≥ 1, n ∈ n +1 un n Giải: Ta có: u1 = 0; u2 = 4028 = 1.2014; u3 = 2.2014 un = (n − 1).2014 u 2014 n − 2014 Do đó: lim n = lim = 2014 n n chút: Bài ý đồ tác giả muốn có số đẹp – người làm tốn ln ln muốn Nếu người đề làm Nhưng điều đặt số 4028 lộ liễu Điều lộ liễu làm cho tốn trở nên đơn giản Mình có vài điều băn khoăn: Kí hiệu {un } cho dãy số cảm giác khác định nghĩa SGK chuẩn Vì kí hiệu dãy số người ta thường để () Chưa xem SGK nâng cao trường khơng dạy chưa có thời gian xem un Ở SGK chuẩn có nêu sau: … Từ trở sau thay cho n lim un ta viết lim uu Vậy thử hỏi lim un ý nghĩa đây? ( lim n →∞ n →+∞ n →∞ biết người ta dùng kí hiệu Nhưng ngày giáo viên không giới thiệu – lý giảm tải cịn giới thiệu nhiều làm Khi học sinh tự hỏi đề có sai không?) Nhiều chút: Trên lời giải riêng thân Có thể hồn tồn sơ xảy vài chỗ mong bạn góp ý để thay đổi lại cách tư Trong lời giải có chút quan điểm riêng thân – khơng mang tính “soi” Đơi gọi cá tính riêng Vì chưa hết trang nên dừng lại lãng phí q nên tiếp tục - Đề thi thấy hay Hay chỗ khơng q khó Sẽ phù hợp với học sinh trường huyện – vùng xa vùng sâu trường Nhưng học sinh trường C hay Tp sao? Dễ quá? Điều phải chờ kết biết Với kiểu xếp giải tính phần trăm kể học sinh huyện có làm tơi giả sử làm 15 điểm hội có giải thấp ( học sinh trường C + TP toàn từ 16 - 20) tiếc cho em Ngày xưa kiểu xếp giải theo khung điểm hay tơi đạt đến khung nên cơng nhận cho tơi - Trên quan điểm ước điều sau: Xếp kiểu để học sinh huyện đạt 15 điểm giải Nhưng “ xin lỗi anh thằng giải đề” hay câu “xin lỗi anh thằng giáo viên toán” # Facebook: http://fb.com/thanhtuanvnu ... giải thấp ( học sinh trường C + TP toàn từ 16 - 20) tiếc cho em Ngày xưa kiểu xếp giải theo khung điểm hay tơi đạt đến khung nên cơng nhận cho tơi - Trên quan điểm ước điều sau: Xếp kiểu để học... khơng mang tính “soi” Đơi gọi cá tính riêng Vì chưa hết trang nên dừng lại lãng phí nên tiếp tục - Đề thi thấy hay Hay chỗ khơng q khó Sẽ phù hợp với học sinh trường huyện – vùng xa vùng sâu trường