Bé c«ng th¬ng Bé C«ng Th¬ng Trêng §H Kinh tÕ Kü thuËt CN §Ò thi hÕt m«n To¸n Cao CÊp 1 Líp C§ kho¸ 18 H×nh thøc thi viÕt Thêi gian 90 phót §Ò sè 13 C©u 1 1) T×m a ®Ó hµm sè sau liªn tôc t¹i x = 1 [.]
Bộ Công Th-ơng Tr-ờng ĐH Kinh tế Kỹ thuật CN Đề thi hết môn Toán Cao Cấp Đề số: 13 Câu 1: 1) Tìm a để hàm số sau liên tục x = x (x 1) sin f (x ) x 1 x a 2) Tìm giới hạn (2) (4) = lim C©u 2: Tính 𝑦 ′′ (𝑥) với 𝑦 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑥 C©u 3: 1) TÝnh 6𝑥 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 𝐼= 2) TÝnh 𝑒 𝐽= 𝑙𝑛𝑥 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 C©u 4: Tìm cực trị hàm số hàm số 𝑧 = 4𝑥 − 𝑥 − 𝑥𝑦 C©u 5: 1 3 Cho A = 0 0 2 ; B = 2 1) Tính: 2A + A.B 2) Tìm ma trận X cho: A.X = B Lớp: CĐ khoá 18 Hình thøc thi: viÕt Thêi gian: 90 Đáp án-thang điểm Câu (2 điểm) (1điểm) Để hàm số liên tục 𝑥 = lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 𝑓 =𝑎 𝜋 Do 𝑥 − → 𝑥 → sin ( ) hàm bị chặn 𝑅 nên 𝜋 𝑥−1 lim𝑥→1 𝑥 − sin ( )=0 𝑥−1 Vậy 𝑎 = (1 điểm) Khi 𝑥 → giới hạn có dạng nên áp dung quy tắc lơ pi tan ta có: 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝐿 = lim = lim 𝑥→0 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥) 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −4𝑠𝑖𝑛4𝑥 Khi 𝑥 → 𝑠𝑖𝑛2𝑥~2𝑥, 𝑠𝑖𝑛4𝑥~4𝑥, thay VCB tương đương vào giới hạn ta có −2.2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝐿 = lim = 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −4.4𝑥 Câu (2 điểm) 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑙𝑛 (1+𝑥) 1 𝑦 ′ = − 𝑙𝑛 + 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑙𝑛 (1+𝑥) 𝑥 𝑥(1 + 𝑥) 1 𝑦 ′ = − 𝑙𝑛 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 𝑥(1 + 𝑥) 2𝑥 + 𝑦 ′′ = 𝑙𝑛 + 𝑥 − − 𝑦 𝑥 𝑥 1+𝑥 𝑥 1+𝑥 1 + − 𝑙𝑛 + 𝑥 + 𝑦′ 𝑥 𝑥 1+𝑥 3𝑥 + 𝑦 ′′ = 𝑙𝑛 + 𝑥 − 𝑦 𝑥 𝑥 1+𝑥 1 + − 𝑙𝑛 + 𝑥 + − 𝑙𝑛 + 𝑥 𝑥 𝑥(1 + 𝑥) 𝑥 + 𝑦 𝑥(1 + 𝑥) 3𝑥 + 2 𝑦 ′′ = 𝑙𝑛 + 𝑥 − + 𝑙𝑛 + 𝑥 + 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥4 𝑥 (1 + 𝑥)2 𝑙𝑛 + 𝑥 𝑦 + 𝑥) 3𝑥 + 1 𝑦 ′′ = + 𝑙𝑛 + 𝑥 + 𝑙𝑛 + 𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑥 𝑥4 𝑥2 + 𝑥 3𝑥 + 1 ′′ 𝑥 𝑦 = + 𝑙𝑛 + 𝑥 + 2 𝑙𝑛 + 𝑥 𝑒 𝑙𝑛 (1+𝑥) 𝑥 1+𝑥 𝑥 𝑥 (1 + 𝑥) Câu (2 điểm) 1.(1 điểm) −2 𝑥 (1 6𝑥 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼= =3 𝑥𝑑𝑥 − 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑑(𝑠𝑖𝑛2𝑥) 3𝑥 3 𝐼= − 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 2 3𝑥 3 𝐼= − 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 2 2.(1điểm) Đặt 𝑡 = + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑡 = + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 2𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑥 x T 2 𝐽=2 Câu 4(2điểm) Giải hệ: 𝑡3 𝑡 − 𝑑𝑡 = ( − 𝑡) = 4−2 𝑧′𝑥 = − 3𝑥 − 𝑦 = 𝑧′𝑦 = −2𝑥𝑦 = Ta có điểm tới hạm 𝑃1 0,2 , 𝑃2 0, −2 , 𝑃3 𝑧′′𝑥𝑥 = −6𝑥, 𝑧′′𝑥𝑦 , , 𝑃4 (− , 0) 3 = −2𝑦, 𝑧′′𝑦𝑦 = −2𝑥 Tại điểm 𝑃1 đặt 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃1 = 0, 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃1 = −4, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃1 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > nên 𝑃1 không cực trị Tại điểm 𝑃2 đặt 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃2 = 0, 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃2 = 4, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃2 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > nên 𝑃2 không cực trị Tại điểm 𝑃3 đặt 12 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃3 = − , 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃3 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 < nên 𝑃3 cực đại 8 16 𝑧𝑐đ = 𝑧 𝑃3 = − = 3 3 Tại điểm 𝑃4 đặt 12 𝐴 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃4 = , 𝐵 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧 ′′ 𝑥𝑥 𝑃3 Do 𝐵 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 > nên 𝑃4 cực tiểu 8 16 𝑧𝑐𝑡 = 𝑧 𝑃4 = − + =− 3 3 Câu 5(2 điểm) 1.(1 điểm) =0 =0 =− = 4 2𝐴 + 𝐴𝐵 = 0 −6 −3 −1 2 + −1 1 0 −3 −5 16 −8 = −2 −3 2.(1 điểm) Do 𝐴 = ≠ ⇒ ∃𝐴−1 −2 𝐴 = −2 0 −1 Nhân bên trái vế phương trình với 𝐴 có: −2 −1 17 −26 14 −1 𝑋 = 𝐴 𝐵 = −2 −1 1 = −5 −3 0 −3 2 −3 −1