GV Bùi Cảm Trường THCS Nguyễn Du Chuyên đề 8 HÀM SỐ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ LIÊN QUAN PHẦN I TRỌNG TÂM HSG CẦN ĐẠT A Kiến thức cần nhớ 1 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi[.]
Chuyên đề HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ LIÊN QUAN PHẦN I.TRỌNG TÂM HSG CẦN ĐẠT A Kiến thức cần nhớ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số Khi y hàm số x ta viết y = f ( x ) , y = g ( x ) Tập xác định hàm số tập hợp tất giá trị biến số Hàm số cho bảng, cơng thức, sơ đồ mũi tên, đồ thị Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị y gọi hàm Mặt phẳng tọa độ Oxy xác định hai trục số vng góc với nhau: trục hoành Ox trục tung Oy; giao điểm hai trục O gốc tọa độ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M xác định cặp số xác định điểm M Cặp số điểm M Ta viết M ( x0 ; y0 ) Đồ thị hàm số ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) ; ngược lại cặp số ( x0 ; y0 ) gọi tọa độ điểm M; x0 hoành độ, y0 tung độ y = f ( x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y= y = ax ( a ≠ ) đường thẳng qua gốc tọa độ a ( a; x ≠ ) x hai nhánh (hai đường cong), nhánh nằm góc phần tư thứ I nhánh nằm góc phần tư thứ III a > nhánh nằm góc phần tư thứ II nhánh nằm góc phần tư thứ IV a < B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho cặp số ( x; y ) sau: ( −2; −3) ; ( −1,5; −4 ) ; ( 1,2;5) ; 2 1 ;8 ÷; 18; ÷; ( −3; −2 ) 5 3 a) Lập bảng giá trị cặp số b) Vẽ sơ đồ mũi tên c) Giải thích bảng vừa lập xác định y hàm số x? d) Hàm số cho cơng thức nào? Tìm cách giải: Ta cần kiểm tra xem giá trị đại lượng x có tương ứng với giá trị đại lương y Từ quan hệ x y viết công thức hàm số Giải a) Bảng giá trị cặp số: x -2 -1,5 1,2 y -3 -4 5 18 -3 -2 b) Sơ đồ mũi tên: c) Trong bảng ta thấy giá trị x tương ứng với giá trị y hàm số x (việc lập bảng sơ đồ mũi tên chứng tỏ điều ấy) d) Hàm số cho cơng thức y= x với x ∈ −2; −1,5;1, 2; ;18; −3 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) xác định công thức f ( x ) = −5 x + 1 f ( 3) ; f ( −3) ; f − ÷; 3 a) Tính b) Tìm x để f ( x ) = −74; f ( x ) = 1; f ( x) = f ( −x) c) Chứng tỏ với x ∈ R Tìm cách giải: Để tính f ( x) = m f ( a) ta thay x = a vào cơng thức, từ tìm giá trị Để tìm x biết ta thay y = m từ tìm x Ta thay vai trò x − x so sánh kết để kết luận Giải a) f ( 3) = −5.3 + = −39; f ( −3) = −5 ( −3) + = −39 2 1 1 f − ÷ = −5 − ÷ + = − + = 9 3 3 b) f ( x ) = −74 f ( x) = c) Với 2 nghĩa −5 x + = −74 ⇔ x = 80 ⇔ x = 16 ⇔ x = ±4 2 nghĩa −5 x + = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ±1 ( −x) f ( − x ) = −5 ( − x ) + = −5 x + = f ( x ) x − nÕu x ≥ y= − x − nÕu x < Ví dụ 3: Một hàm số xác định sau: a) Đặt y = f ( x) Tính f ( ) ; f ( −8 ) ; f ( ) ; b) Hãy viết gọn công thức Tìm cách giải: f ( x) a) Thay x = 5; x = −8 x = vào để ý > 0; −8 < x nÕu x ≥ x= − x nÕu x < b) Lưu ý định nghĩa giá trị tuyệt đối Giải a) f ( 5) = − = (vì > ) f ( − ) = − ( −8 ) − = f ( ) = − = −5 (vì −8 < ) x nÕu x ≥ x= y = f ( x) = x − − x nÕu x < b) Công thức viết gọn theo định nghĩa Ví dụ 4: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = −5 x + 3; c) e) y= −5 ; x2 − y= x + ; x − 12 x + b) y= x + ; 4x − x + y= 2x ; x −9 y= −3x x2 + d) f) Tìm cách giải: Để tìm tập xác định hàm số cho cơng thức, ta cần tìm tất giá trị biến làm cho cơng thức có nghĩa Giải a) Tập xác định hàm số y = −5 x + R; x + x= x = −1 Vậy tập xác b) x − x + khơng có nghĩa x − = x + = tức định hàm số y= x −1: x ∈ R x ≠ ; x ≠ −1 + x − x + tập hợp số thực khác khác −5 −5 x2 − = ⇔ x = ± y= 2 Vậy tập xác định hàm số x − c) x − khơng có nghĩa 3 − : x ∈ R x ≠ ± 2 tập hợp số thực khác khác 2x x −9 d) 2x x −9 y= e) nghĩa x − = ⇔ x = ⇔ x = ±9 tập hợp số thực khác khác x + x − 12 x + khơng có nghĩa y= định hàm số x + 3x − 12 x + −9 : { x ∈ R x ≠ ±9} x − 12 = ⇔ x = f) x + ≠ với x nên tập xác định hàm số y= y = f ( x ) = ( m − ) x + 2m3 − Tìm m Giải tìm m Giải Ta có −5 : { x ∈ R x ≠ 4; x ≠ −5} −3x x + R Tìm cách giải: Thay x = vào f ( x ) = ( m3 − ) + 2m − = −51 x + = ⇔ x = −5 Vậy tập xác tập hợp số thực khác khác Ví dụ 5: Cho hàm số Vậy tập xác định hàm số f ( 3) = ( m3 − ) + 2m3 − = 51 ⇔ 5m3 − − = −51 f ( 3) = −51 ⇔ 5m3 = −40 ⇔ m3 = −8 ⇔ m = −2 Ví dụ 6: Cho điểm A ( 0; ) ; B ( 5;6 ) ; C ( 5;0 ) ; D ( 2; ) ; M ( −4;0 ) ; N ( 0; ) Tìm diện tích hình tam giác AMN hình tứ giác ABCD Tìm cách giải: Biểu diễn điểm A, B, C , D, M , N mặt phẳng tọa độ nối lại ∆AMN tứ giác ABCD Mỗi đơn vị trục tọa độ đơn vị độ dài Tam giác AMN có độ dài đáy AN (đvđd), chiều cao MO (đvđd) Ta có ABCO hình chữ nhật Để tính diện tích tứ giác ABCD từ D ta hạ đường vng góc DK DH xuống hai trục tọa độ Ox Oy tạo thành hình vng OHDK tam giác vng AHD DKC Giải Ta có tam giác AMN có độ dài đáy AN (đvđd), chiều cao MO (đvđd) Nên: S AMN = 1 AN MO = 8.4 = 16 2 (đvdt) Từ D ta hạ đường vng góc DK DH xuống hai trục tọa độ Ox Oy Ta có: OA = (đvđd) OC = (đvđd); HA = (đvđd); CK = (đvđd) HD = DK = OK = OH = (đvđd) Ta có: S ABCD = S AOCB − ( S AHD + S DKC + SOHDK ) S ABCD = AO.OC − 1 AH HD − DK KC − OH OK 2 = 6.5 − 0,5.4.2 − 0,5.3.2 − 2.2 = 19 (đvdt) S = S AOCB − ( S AOD + S DOC ) Chú ý: Ta tìm S ABCD cách khác: Nối O với D ta có: ABCD Bạn đọc tự giải Ví dụ 7: Cho hàm số y = −2 x a) Viết cặp số ( x; y ) với x = −2; −1;0;1; b) Biểu diễn cặp số mặt phẳng tọa độ c) Vẽ đường thẳng qua điểm ( −2; ) gốc tọa độ O Kiểm tra thước xem điểm lại có nằm đường thẳng khơng Tìm cách giải: Để xác định cặp số ta thay giá trị x vào cơng thức, sau tính giá trị y Khi biểu diễn ( −2; ) mặt phẳng tọa độ từ điểm -2 trục hồnh ta vẽ đường thẳng vng góc với trục hoành; từ điểm trục tung ta vẽ đường thẳng vng góc với trục tung; giao điểm hai đường vng góc điểm cần biểu diễn Giải a) Năm cặp số cần xác định ( −2; ) ; ( −1; ) ; ( 0; ) ; ( 1; −2 ) ; ( 2; −4 ) b) Biểu diễn cặp số mặt phẳng tọa độ hình bên c) Các điểm lại thuộc đường thẳng d qua hai điểm ( −2; ) gốc tọa độ O A ( −4; −2 ) Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y = ax qua điểm a) Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số đó; b) Cho B ( −2; ) C ( 2;1) Không cần biểu diễn B, C mặt phẳng tọa độ cho biết ba điểm sau, ba điểm thẳng hàng: ( A, B, C ) ; ( A, O, B ) ; ( A, O, C ) ; ( B; O; C ) ; c) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y = x Tìm cách giải: Thay tọa độ điểm A vào y = ax ta tìm a Đồ thị hàm số y = ax đường thẳng qua gốc tọa độ nên cần xác định điểm đường thẳng Thông thường để vẽ đồ thị hàm số y = ax cần xác định điểm vẽ đường thẳng qua điểm gốc tọa độ Một điểm thuộc đồ thị hàm số tọa độ thỏa mãn hàm số cho Giải A ( −4; −2 ) ( −4; −2 ) phải thỏa mãn hàm số, tức a) Đồ thị hàm số y = ax qua điểm nên cặp số a ( −4 ) = −2 suy Hàm số cho a= y= x Để vẽ đồ thị hàm số, ta cho x = −4 y = −2 vẽ điểm A ( −4; −2 ) y= Đường thẳng OA đồ thị hàm số x b) Thay tọa độ B ( −2; ) vào y= 1 x ≠ ( −4 ) ta thấy không thỏa mãn Vậy điểm B khơng thuộc đồ thị hàm số y= x Thay tọa độ C ( 2;1) vào y= 1 x = 2 ta thấy thỏa mãn Vậy điểm C thuộc đồ thị hàm số Do có ba điểm y= x ( A, O, C ) thẳng hàng D ( 1; ) c) Cho x = y = Vẽ điểm Đường thẳng DO đồ thị hàm số y = x (hình vẽ trên) −2x nÕu x ≥ y = 1 x nÕu x < Ví dụ 9: Vẽ đồ thị hàm số Tìm cách giải: Vẽ hai đồ thị y = −2 x x ≥ y= x x < Hai đồ thị kết hợp thành đồ thị cần vẽ Giải Đồ thị ( d1 ) Đồ thị ( d2 ) ( d1 ) M ( 2; −4 ) hàm số y = −2 x x ≥ tia OM với hàm số ( d2 ) y= x x < tia ON với N ( −2; −1) −2x nÕu x ≥ y = 1 x nÕu x < kết hợp thành đồ thị hàm số Ví dụ 10: Vẽ đồ thị hàm số y = x + x Tìm cách giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối số thực x: x nÕu x ≥ x= − x nÕu x < Xét hàm số với hai trường hợp x ≥ x < Giải x nÕu x ≥ 4x nÕu x ≥ x= y= − x nÕu x < nên hàm số trở thành −2x nÕu x < Do Đồ thị ( d1 ) Q ( 1; ) Đồ thị ( d2 ) của hàm số y = x x ≥ tia OQ gốc O qua điểm hàm số y = −2 x x < tia OP gốc O qua P ( −2; ) ( d1 ) ( d ) kết hợp thành đồ thị hàm số y = x + x C Bài tập vận dụng Cho cặp số ( x, y ) x 0,5 y − a) Hãy lập cặp số sau đây: − − -1 15 -6 -5 18 ( x, y ) b) Vẽ sơ đồ mũi tên c) Các cặp số xác định hàm số Tại sao? d) Hàm số cho cơng thức nào? Trong sơ đồ sau, sơ đồ xác định hàm số? Tại Hàm số biểu thị công thức? Cho hàm số y = f ( x) f ( x) = − x xác định công thức f ( x) = − f ( −x ) a) Chứng tỏ với x ∈ R 1 f ( −20 ) − f ( ) + f ( −8 ) − f − ÷; 2 b) Tính c) Tìm x để Hàm số f ( x ) = 6; f ( x ) = −1, y = f ( x) xác định sau: 2x − nÕu x ≥ 2,5 y = f ( x) = −2x + nÕu x < 2,5 a) Tính f ( ) ; − f ( 2018 ) ; f ( ) ; f ( −3) ; b) Hãy viết gọn cơng thức trên; c) Tính nhanh tích P = f ( 0,5 ) f ( 1,5 ) f ( 2,5 ) f ( 99,5 ) ; d) Đại lượng x có hàm số đại lượng y khơng? Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = −3 x ; c) y= a) Tìm f ( 2) d) y= 1975 x ; 30 x + y = f ( x ) = ( m2 − 5) x − ( m2 + 2m + 1) m = ; b) Tìm m x − 18 ; ( x − 10 ) ( x + 8) b) −2016 ; 27 x + Cho hàm số y= f ( −2 ) = 376 a) Cho hàm số y = f ( x ) = 2018 x − 2019 f ( −x) = f ( x) Chứng minh với x ∈ R b) Cho hàm số y = f ( x ) = x − 1945 x f ( −x) = − f ( x) Chứng minh với x ∈ R Cho hình chữ nhật có chiều rộng 25cm chiều dài 28cm Người ta tăng chiều ( 15 − x ) cm a) Tính chu vi y hình chữ nhật theo x Chứng minh đại lượng y hàm số đại lượng x; b) Tập xác định hàm số y C ( 1; ) Đồ thị hàm số y = ax qua điểm a) Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số đó; b) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y = 0,5 x 2 nÕu x > y= y = 3x −2 nÕu x < hệ trục tọa 10 Vẽ đồ thị hàm số đồ thị hàm số độ Xác định giao điểm hai đồ thị Kiểm tra lại kết tính tốn 11 Cho hàm số y = 2bx − x a) Vẽ đồ thị hàm số b = 2; b) Vẽ đồ thị hàm số b = 0,5 (cùng hệ trục tọa độ câu a) 12 Biết đồ thị hàm số y= a ( a ≠ 0) A ( −2;0,5 ) x qua điểm a) Xác định hệ số a, vẽ đồ thị (H) hàm số với a vừa tìm; b) P ( xP ; y P ) điểm (H) biết xP + yP = , xác định tọa độ P; c) Tìm giao điểm đồ thị hàm số với đồ thị (D) hàm số y= x 13 Gọi f hàm xác định tập hợp số nguyên thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) f ( ) ≠ 0; 2) f ( 1) = 3; 3) f ( x) f ( y) = f ( x + y ) + f ( x − y) Tính f ( 7) , với x, y ∈ Z (Cuộc thi Olimpic Toán học thành phố Leningrat, LB Nga năm 2017) 14 Cho trị f ( x) f ( 31) hàm số thỏa mãn f ( x + 1) = ( x − 12 ) ( x + 13 ) , với số thực Hãy xác định giá (Cuộc thi Toán Canada mở rộng 2016) 15 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( x + 1) = ( x − 2013) ( x + 2014 ) Tính f ( 4207 ) (Đề thi Olimpic Toán tuổi thơ cấp THCS, Đăk Lăk năm học 2013 – 2014) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ a); b) Bạn đọc tự lập cặp số vẽ sơ đồ c) Trong cặp số ta thấy giá trị x tương ứng với giá trị y nên y hàm số x (Việc lập cặp số sơ đồ mũi tên chứng tỏ điều ấy) d) Hàm số cho cơng thức y=− 1 x ∈ −0, 5; − ;3; −1; ; −6 15 x với Theo khái niệm hàm số: - Quy tắc sơ đồ (a) biểu thị hàm số Công thức y = −0,5 x - Quy tắc sơ đồ (b) không biểu thị hàm số với x = −4 có hai giá trị tương ứng thuộc Y - Quy tắc sơ đồ (c) khơng biểu thị hàm số có phần tử chẳng hạn tập X khơng có giá trị tương ứng thuộc tập Y - Quy tắc sơ đồ (d) biểu thị hàm số Công thức y = 3x a) Với x ∈ R Từ f ( −x ) = − 3 ( x ) = x = − − ÷x = − f ( x ) 4 4 f ( −x) = − f ( x) ⇒ − f ( −x) = f ( x ) f ( x) = − f ( −x) Vậy với x ∈ R 1 f ( −20 ) − f ( ) + f ( −8 ) − f − ÷ 2 b) 3 3 3 3 1 = − ÷ ( −20 ) − − ÷.5 + − ÷ ( −8 ) − − ÷ − ÷ = 24 4 4 4 4 2 c) f ( x) = − x = ⇔ x = −8 nghĩa f ( x ) = −1, − x = −1, ⇔ x = 1, nghĩa 4 a) f ( 5) = 10 − = 5; − f ( 2018 ) = − ( 2018.2 ) + = −4031; f ( ) = + = 5; f ( −3) = −2 ( −3 ) + = 11 b) Công thức viết gọn y = f ( x ) = 2x − theo định nghĩa x nÕu x ≥ 2x − nÕu 2x − ≥ hay x ≥ 2,5 x= y = f ( x) = − x nÕu x < nên −2x + nÕu 2x − < hay x < 2,5 f ( 2,5 ) = c) P = d) Đại lượng x khơng hàm số đại lượng y ứng với giá trị y ta có hai giá trị tương ứng x (chẳng hạn y = x = x = −2 ) nên theo định nghĩa hàm số đại lượng x không hàm số đại lượng y { x x∈ R vµx ≤ 0} ; b) { x x∈ R; x ≠ vµ x ≠ 8} ; 1 x x ∈ R; x ≠ − ; 3 c) d) { x x ∈ R} a) f ( x ) = ( −4 ) x − 16 f ( ) = ( −4 ) 2 − 16 = −32 a) Khi m = nên f ( −2 ) = ( m − ) ( −2 ) − ( m2 + 2m + 1) = 376 ⇔ m = −50 b) f ( − x ) = 2018 ( − x ) − 2019 = 2018 x − 2019 = f ( x ) a) Ta có: ⇒ f ( −x) = f ( x) f ( − x ) = ( − x ) − 1945 ( − x ) = −2 x + 1945 x = − ( x − 1945 x ) = − f ( x ) b) ⇒ f ( −x) = − f ( x) a) Chiều rộng 25 + ( 15 − x ) ; chiều dài y = ( 25 + 15 − x + 28 + 15 − x ) = −4 x + 166 28 + ( 15 − x ) Chu vi hình chữ nhật y = −4 x + 166 hàm số ứng với giá trị x ta có giá trị tương ứng y D = { x x ∈ R; x ≤ 15} b) Tập xác định hàm số y = −4 x + 166 ... thỏa mãn f ( x + 1) = ( x − 2013) ( x + 2014 ) Tính f ( 4207 ) (Đề thi Olimpic Toán tuổi thơ cấp THCS, Đăk Lăk năm học 2013 – 2014) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ a); b) Bạn đọc tự lập cặp số vẽ sơ đồ