Ch­ng II: øng dông cña ®¹o hµm

Ch­ng II øng dông cña ®¹o hµm Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 Vò ThÞ Ph¬ng Thuú Ch ¬ng II øng dông cña ®¹o hµm §1 sù ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè TiÕt theo PPCT 222, 223 TuÇn d¹y N¨m häc I Môc ®Ých, yªu cÇu[.]

Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ ứng dụng đạo hàm Chơng II: Đ1: đồng biến, nghịch biến hàm số Tiết theo PPCT : 222, 223 Tuần dạy : Năm học : I - Mục đích, yêu cầu: HS biết cách tìm điểm tới hạn, xét tính đơn điệu hàm số, tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B- Kiểm tra cũ: GV nêu câu hỏi kiểm tra cũ * Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến HS suy nghĩ trả lời câu hỏi: * Hàm số y = f(x) gọi : - Đồng biÕn trªn (a; b) nÕu x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1)< f(x2) - Nghịch biến (a; b) x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1)> f(x2) * Hµm sè y = f(x) gọi đơn điệu (a; b) đồng biến nghịch biến * Thế hàm số đơn điệu? C - Giảng mới: Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến HS đọc SGK (tr 47, 48) Điều kiện đủ tính đơn điệu: GV nêu định lý Lagrăng Hoạt động GV Hoạt động HS Định lý Lagrăng: Nếu hàm số f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a;b) tồn c (a;b) cho: HS theo dâi, ghi chÐp vµ thõa nhận định lý f (b) f (a) f '(c)(b  a ) f (b)  f (a)  f '(c )  (*) b a 29 Gi¸o ¸n : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ ý nghĩa hình học: GV đặt câu hỏi: Xét cung AB đồ thị hàm f (b ) f ( a ) * HÖ sè gãc  sè y = f(x) víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) b a * TÝnh hƯ sè gãc cđa c¸t tun AB * HƯ số góc tiếp tuyến cung AB điểm C(c; f(c)) hệ số góc * Đẳng thức (*) có ý nghĩa ? cát tuyến AB GV khẳng định: ý nghĩa hình học định lý Lagrăng GV nêu định lý Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm (a; b) a) NÕu f'(x)< 0,x  (a; b) th× f(x) nghịch HS theo dõi ghi chép biến (a; b) b) NÕu f'(x) > 0,  x  (a; b) f(x) đồng biến (a; b) * Ta cã x1, x2 (a; b), x1 < x2 theo GV yêu cầu HS * HÃy áp dụng định lý Lagrăng để chứng định lý Lagrăng c (a; b) cho: minh định lý (đồng thời dựa vào ®Þnh f '(c )  f ( x2 )  f ( x1 ) nghĩa hàm số đơn điệu) x2  x1 a) NÕu f'(x) > trªn (a; b) f'(c) > nên f(x2) - f(x1) > hàm số đồng biến b) Tơng tự phần a) GV nêu cho HS thừa nhận mở rộng định lý 2: Định lý 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm (a; b) Nếu f'(x)0 (hoặc f'(x 0) đẳng thức HS theo dõi ghi chép xảy hữu hạn điểm (a;b) hàm số tăng (hoặc giảm) (a;b) Hoạt động GV Hoạt động HS GV nêu ví dụ: Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến , nghịch HS lên bảng giải ví dụ biến hàm sè sau: a) y' = 3x2 - 10x + a) y = x3 - 5x2 + 7x + hàm số đồng biến (-;1) ; , nghịch biến b) y = x x 5 b) y '   x  5  7  1;   3  0, x  hàm số đồng biến (-; -5) (5; +) c) y' = 3x2 0, x c) y = x3 30 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ hàm số đồng biến R GV yêu cầu HS từ ví dụ hÃy cho biết điểm làm cho đạo hàm đổi * Các điểm đạo hàm dấu? không xác định Giáo viên nêu định nghĩa điểm tới hạn 3) Điểm tới hạn: Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định (a; b), x0 (a; b) Điểm x0 gọi điểm tới hạn hàm số f'(x0) = f'(x0) không xác định HS theo dõi ghi chép * Ngoài điểm tới hạn điểm làm cho đạo hàm đổi dấu không? Vì sao? GV khẳng định: Vậy hai điểm tới hạn kề * Không điểm (c/m phản chứng) đạo hàm giữ nguyên dấu * HÃy đa bớc để tìm khoảng đơn điệu hàm số *Các bớc tìm khoảng đơn điệu: + Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn + Xét dấu đạo hàm + Suy chiều biến thiên D - Chữa tập: Đề Hớng dẫn - Đáp số Bài (52) Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a ) y 2 x  x  b) y 4  x  x c ) y  x  3x  x  d ) y x x Bài (53) Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  3x  1 x x2  2x b) y x 31 Giáo án : Giải tích 12 c ) y 4 x   d) y Vũ Thị Phơng Thuỳ x x x 4 e) y  x ln x g ) y x 2e  x h ) y  x  sin x Bµi (53) Chøng minh r»ng hàm số y x x đồng biến khoảng (-1; 1) nghịch biến khoảng (-; -1) vµ (1; +) Bµi (53) Chøng minh r»ng hµm sè y  x  x đồng biến khoảng (0; 1) nghịch biến khoảng (1; 2) Đ2: Cực đại - cực tiểu Tiết theo PPCT : 224, 225 Tuần dạy : Năm học : I - Mục đích , yêu cầu: Học sinh biÕt c¸ch ¸p dơng dÊu hiƯu I , dÊu hiƯu II để hàm số có cực trị: để tìm điểm cức trị hàm số, tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị cực trị thoả mÃn điều kiện II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS 32 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ A - ổn định lớp , kiểm tra sĩ số B - kiểm tra cũ: GV đặt câu hỏi kiểm tra cũ HS lên bảng trả lời câu hỏi 1) Nêu điều kiện đủ để hàm số tăng , giảm 2) Nêu định nghĩa điểm tới hạn bớc để xét biến thiên hàm số áp dụng để xét biến thiên hàm số: áp dụng: Ta có y' = 3x2 - 10x + y = x - 5x + 7x - Bảng biến thiên: x y' - y c - giảng mới: - 7/3 + - + -6 GV đặt câu hỏi: * Có nhận xét điểm (1;-6) 194 ; đồ thị hàm số ? 27 + 194 27 HS suy nghĩ trả lời GV khẳng định điểm cực đại, cực tiểu nêu định nghĩa Hoạt động GV Hoạt động HS 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục (a; b) điểm x0 (a; b) a) Kho¶ng V()=(x0 - ; x0+) ,  > gäi lân cận điểm x0 b) Điểm x0 gọi điểm cực đại y = f(x) x  V()  (a; b) cđa ®iĨm x0, ta cã: f(x) < f(x0), x  x0 Ta nãi hµm sè đạt cực đại điểm x0, f(x0) gọi giá trị cực đại hàm số, điểm (x 0;f(x0)) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số HS theo dõi ghi chép c) Điểm x0 gọi ®iĨm cùc tiĨu cđa y = f(x) nÕu x  V()  (a; b) cđa ®iĨm x0, ta cã: f(x) > f(x0), x x0 Ta nói hàm số đạt cực tiểu điểm x 0, f(x0) gọi giá trị cực tiểu hàm số, điểm (x0; f(x0)) gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số d) Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị, giá trị hàm số gọi giá trị cực 33 + Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ trị 2) Điều kiện để hàm số có cực trị: Giả thiết hàm sè y = f(x) liªn tơc trªn (a ; b) x0 (a ; b) GV nêu định lý Fecma Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm thì: f'(x0) = GV đặt câu hỏi * Điều kiện để hàm số có đạo hàm x0? HS theo dõi ghi chép * Nêu cách tÝnh f'(x0-) vµ f'(x0+)? *  f'(x0)  f'(x0-) = f'(x0+) y f ( x0  x )  f ( x0 )  lim x  o  x x  o x y f ( x0  x )  f ( x0 )  lim  lim x  o  x x  o x    * f ' x0  lim   * HÃy chứng minh cho trờng hợp x0 điểm cực f ' x0 đại, trờng hợp x0 điểm cực tiểu chứng minh tơng * Nếu x0 ®iĨm cùc ®¹i tù Chän x0 0 ®đ nhá ta có: f(x0+x) < f(x0) Hoạt động GV Hoạt động cđa HS + Víi x >  y    f ' x0 0 x + Víi x <  y    f ' x0 0 x     Do  f'(x0)  f'(x0-) = f'(x0+) = VËy f'(x0) = ý nghĩa hình học định lý Fecma: GV đặt câu hỏi * Khi f'(x0) = tiếp tuyến đồ thị y=f(x) điểm x0 có tính chÊt g×? Suy ý nghÜa h×nh * TiÕp tuyÕn x0 song song với trục học định lý Fecma hoành Tiếp tuyến điểm cực trị GV nhận xét: phát biểu SGK cha song song với trục hoành xác tiếp tuyến ®ã cã thĨ trïng Ox * Sưa l¹i nh thÕ nào? * Tiếp tuyến x0 song song * Khi f'(x0) = x0 gọi điểm gì? Từ hÃy trùng với trục hoành chứng minh hệ * x0 gọi điểm tới hạn Hệ quả: Mọi điểm cực trị hàm số y=f(x) Chứng minh: điểm tới hạn Giả sử x0 điểm cực trị + Nếu không f'(x0) x0 điểm tới hạn + Nếu f'(x0) theo đlý Fecma f'(x0) = x0 điểm tới hạn * Điều ngợc lại có không? * Không phải điểm tới hạn Cho phản ví dụ điểm cực trị 34 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ VD: y = x3 có x0 = điểm tới hạn nhng lhông điểm cực trị *Có nhận xét dấu đạo hàm hàm * Đạo hàm hàm số y = x3 không số y= x3 hàm số y = x3-5x2 +7x+9? đổi dấu Đạo hàm hàm số y = x3- 5x2 + 7x+ đổi dấu hai lần * Từ nhận xét hÃy đa dấu hiệu để biết * (HS trả lời) điểm x0 cực đại hay cực tiểu GV xác hoá 3) Dấu hiệu để hàm số có cực trị: a) Dấu hiệu I (định lý I): Giả sử y = f(x) có đạo hàm lân cận ®iĨm x0 (cã thĨ trõ t¹i x0) Ho¹t ®éng cđa GV Hoạt động HS f ' x0   0, x   x0   ; x0 + Nếu x0  f '  x0   0, x   x0 ; x0    HS theo dâi, ghi chép chứng điểm cực đại hàm số y = f(x) minh dựa vào định lý Fecma   f '  x0   0, x   x0   ; x0  + NÕu x0 f ' x 0, x  x ; x        0  mét ®iĨm cùc tiĨu hàm số y = f(x) GV yêu cầu HS đa quy tắc để xét cực trị dựa vào dÊu hiƯu I * Quy t¾c I: + TÝnh f'(x) + Tìm điểm tới hạn + Xét dấu f'(x) + Từ bảng biến thiên cực trị b) Dấu hiệu II (định lý II): Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai x0 f'(x0) = 0, f''(x0) x0 điểm cực trị hàm số HS theo dõi ghi chép Hơn nữa: + Nếu f''(x0) > x0 điểm cực tiểu + Nếu f''(x0) < x0 điểm cực đại GV yêu cầu HS đa quy tắc để tìm cực trị dựa * Quy tắc II: vào dấu hiệu II + Tính f'(x), tìm nghiệm phơng trình f'(x) = + Tính f''(x) + Xét dấu f''(x) nghiệm phơng trình f'(x) = để suy cực trị GV nêu ví dụ VD1 (Bài 2.a - SGK - tr60) Tìm cực trị hàm số y = x4 - 2x2 +1 35 HS suy nghĩ giải ví dụ ĐS: x = -4 điểm cực đại; Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ x = điểm cực tiểu ĐS: x k điểm cực VD2 (Bài 2.b - SGK - tr60) Tìm cực trị hµm sè y = sin2x - x tiĨu ; x k điểm cực đại D - Chữa tập: Đề Hớng dẫn - Đáp số Bài (60) áp dụng dấu hiệu I, tìm điểm cực trị hàm sè sau: a ) y 2 x  3x  36 x  10 b) y  x  x  c) y x  d) y  x x2  2x  x e) y  x.e x g ) y x   x  Bµi (60) áp dụng dấu hiệu II, tìm điểm cực trị hàm số sau: a ) y x  x  b) y sin x  x e x  e x c) y  d ) y sin x  cos x e) y  x ln x Bµi (60) Chøng minh r»ng hµm sè y x đạo hàm x = nhng đạt cực đại điểm Bài (60) Xác định m để hàm số x mx đạt cực đại x = y xm Bµi (60) Chøng minh r»ng hµm sè y x  x  m luôn có cự đại x2 cực tiểu Bài (60) Tìm a b để cực trị hàm 36 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ số y  a x  2ax  x b số dơng x0 điểm cực đại Đ3: giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Tiết theo PPCT : 226,227 Tuần dạy : Năm học : I - Mục đích, yêu cầu: Học sinh biết cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng, đoạn; áp dụng vào toán thực tế II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra cũ: GV đặt câu hỏi kiểm tra cũ Nêu hai dấu hiệu để tìm cực trị Học sinh nhớ lại kiến thức trả lời hàm số áp dụng để tìm cực trị hàm số + y' = 3x2 - 12x + sau: y = x3 - 6x2 + 9x - + y' =  x =1 x = + Bảng biến thiên: x y' y - + - + + Vậy hàm số đạt cực đại x =-21, yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu x = 3, yCT = -2 GV vẽ phác dạng đồ thị đặt câu hỏi: * y = (y = -2) có phải giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số không? Vì * Không, hàm số có giá trị lớn (nhỏ hơn) giá trị sao? Hoạt động GV Hoạt động HS C - Giảng mới: 37 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ GV nêu định nghĩa Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D a) Số M đợc gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D nếu: HS theo dâi vµ ghi chÐp x  D : f  x  M  x0  D : f  x0  M f  x KÝ hiệu : M max D b) Số m đợc gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu: x  D : f  x  M  x0  D : f  x0  M f  x KÝ hiÖu : M D giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng: HS đọc toán SGK (tr 61) GV tóm tắt kết quả: Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a; b) Nếu (a; b) hàm số có cực trị cực đại (hoặc cực tiểu) giá trị HS theo dõi ghi chép cực đại giá trị lớn (hoặc giá trị cực tiểu giá trị nhỏ nhất) hàm số đà cho khoảng (a; b) GV nêu ví dụ HS giải VD (có kèm giải thích dựa vào Ví dụ 1: Dựa vào bảng biến thiên hàm số: kết trên) y = x3 - 6x2 + 9x - (®· xÐt) h·y: f  x * T×m max  0;2  f  x (0; 2) có * max 0;2 cực trị cực đại f  x * T×m max  0; f  x (0; +) có * Không max 0; hai cực trị f x * Tìm 2; f x (2; +) chØ cã * min 2;  mét cùc trị cực tiểu f x * Tìm   1;4  f  x * Kh«ng tồn 1;4 Hoạt động GV Ví dụ 2: SGK (tr 62) Hoạt động HS HS giải VD Gọi x cạnh hình vuông bị cắt x 0a a/6 a/2 x Nên thể tích khối hộp là: V'(x) + V(x) 38 2a 27 Gi¸o án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ Học sinh nắm vững sơ đồ khảo sát hàm số; biết cách áp dụng sơ đồ vào việc khảo sát số dạng hàm số cụ thể: y ax  bx  cx  d , y ax  bx  c, y  y ax  b , cx  d ax  bx  c a' x  b' II - TiÕn hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra cũ: GV đặt câu hỏi kiểm tra cũ HÃy nêu cách xét biến thiên; cách tìm cự trị; cách xét tính lồi - lõm tìm điểm uốn; cách tìm HS suy nghĩ trả lêi tiƯm cËn cđa mét sè hµm sè C - Giảng mới: Sơ đồ khảo sát hàm số: GV khẳng định: Các kiến thức cho phép ta khảo sát hàm số theo sơ đồ sau: + Tìm TXĐ hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có) + Khảo sát biến thiên HS theo dõi ghi chép - Xét chiều biến thiên - Tính cực trị - Tìm giới hạn hàm số, tìm tiệm cận - Lập bảng biến thiên - Xét tính lồi, lõm tìm ®iĨm n + VÏ ®å thÞ, nhËn xÐt vỊ ®å thị Hoạt động GV Hoạt động HS Chú ý: SGK (tr80) Một số hàm số đa thức: a) Hµm sè bËc ba y = ax3 + bx2 +cx + d (a  0) GV nªu vÝ dơ Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 - GV hớng dẫn yêu cầu HS thực bớc theo sơ đồ toán khảo sát biến thiên * HÃy tìm TXĐ hàm số * Xét chiều biến thiên: - Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến 47 HS tiến hành bớc theo yêu cầu GV * TXĐ: D = R * Sù biÕn thiªn: - Ta cã y' = 3x2 + 6x y'x = 0--  x = -2 0, x = -1-2 + y''>  +x - (-; -0-2) 0 + y'y' (0;+ +) + y'yĐồ < xlồi (-2;điểm 0) lõm thị uốn (-1;-2) - -4 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ Hàm số nghịch biến (-2; 0), đồng biến (-; -2) (0; +) - Hàm số đạt CĐ x=-2 , yCĐ = đạt cực tiểu x = 0, yCT = -4 - Tìm cực trị y , lim y  nªn - Ta cã: xlim  x đồ thị hàm số tiệm cận - Bảng biến thiên: - Tính giới hạn - Lập bảng biến thiên - Ta có y'' = 6x + 6, y'' =  x = -1 - Xét tính lồi, lõm, tìm điểm uốn * Vẽ đồ thị: - Giao điểm với trục Ox (-2; 0) vµ (1; 0), víi trơc Oy lµ (0; -4) * Vẽ đồ thị - Tìm giao điểm với trục tọa độ Hoạt động GV Hoạt động HS - Tìm hệ số góc tiếp tuyến ®iĨm n - HƯ sè gãc cđa tiÕp tun t¹i ®iĨm n lµ y'(-1) = -3 GV vÏ vµ híng dẫn HS cách vẽ (đặc biệt lu ý bảo - Đồ thị qua điểm (-3; -4) đảm tính lồi , lâm) y -3 -2 -1 O x -2 -4 - Có nhận xét tính đối xứng đồ thị? GV hớng dẫn HS chứng minh tính chÊt ®èi xøng: 48 ... x 2e  x h ) y  x  sin x Bµi (53) Chøng minh r»ng hµm sè y  x x 1 đồng biến khoảng (-1; 1) nghịch biến khoảng (-; -1) (1; +) Bài (53) Chøng minh r»ng hµm sè y  x  x đồng biến khoảng (0;... e) y  x ln x Bµi (60) Chøng minh r»ng hµm số y x đạo hàm x = nhng đạt cực đại điểm Bài (60) Xác định m để hàm số x mx đạt cực đại x = y xm Bài (60) Chứng minh r»ng hµm sè y x  x m luôn... tiệm cận đồ thị HS theo dâi vµ ghi chÐp  f ( x )  (ax  b) 0 hµm sè y = f(x) là: xlim Hoạt động GV Hoạt ®éng cña HS HS tù ®äc chøng minh SGK lim  f ( x )  ( ax  b)  0 x   lim  f (