ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
BÀI I : (2 điểm) Cho hàm số y =
1 - x
5 - 2x x -
2
1) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số .
2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kì trên (H) tới 2 tiệm cận của nó là 1 số
không đổi , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M .
BÀI II : (2 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
1 x
-
x - 3
+
2
x -2x 3
= m .
2) Giải bất phương trình :
log
5x + 4
(4x
2
+ 4x + 1) + log
2x + 1
(10x
2
+ 13x + 4) 4 .
BÀI III : (3 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABC có đường cao là SA , tam giác ABC vuông ở A . Biết rằng AB = a , AC =
a
3
, góc giữa mặt bên SBC và đáy là 60
0
. Tính diện tích xung quanh của hình chóp và số đo góc
giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) .
2) Trong hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - y - 2z - 4 = 0 , điểm A( 5 ; - 7 ; 1) và
đường thẳng (d) :
3-
3- z
1
3 y
2
1 x
. Viết phương trình tham số của đường thẳng sau :
a - (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
b - () qua A , cắt và tạo với (d) một góc 60
0
.
BÀI IV : (2 điểm)
1) Tính tích phân :
1
1-
32
2
dx
)x - (4
x
2) Trong một nhóm đại biểu các đoàn viên của Đoàn trường gồm 9 đoàn viên nam và 7 đoàn viên nữ ta
chọn 6 đại biểu đi dự hội nghị đoàn cấp trên . Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 2
đoàn viên nữ ? .
BÀI V : (1 điểm)
Cho ABC có các cạnh a,b, c thỏa mãn:
a - c b
a
+
b -a c
25b
+
c - b a
81c
= 59. Tìm số đo góc lớn
nhất của tam giác .
============ HẾT ===========
ĐÁP ÁN ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Mụn thi : TOÁN
Bài
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
I -2
(1 đ)
Lấy M(x
0
; y
0
(H))
x
4
- 1 x - y
1 x
0
00
0
1
Tiệm cận đứng : x- 1 = 0 khoảng cách d
1
từ M tới nó là : d
1
= x
0
-1
Tiệm cận xiên : x + y - 1 = 0 k/c cách d
2
từ M tới tiệm cận xiên
d
2
=
1
2
1
4
1
1
0
2
0
00
2
00
x
22
1- x - x
1
1 -y x
x
d
1
.d
2
= x
0
-1.
1
0
x
22
=
22
(Không đổi , không phụ thuộc M ) đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
II - 1
(1 đ)
TXĐ :
3 x 1 -
0 x - 2x 3
x - 3
0 1 x
2
0
Đặt t =
x - 3 - 1 x
t'(x) =
x - 32
1
1 x2
1
> 0 x(-1 ; 3)
t(-1) = -2 ; t(3) = 2 ; t(x) liên tục và trên [-1;3] tập giá trị của t là [-2 ; 2] .
t
2
= 4 -
x - 2x 32
2
2
x - 2x 3
=
t - 4
2
2
PT đã cho trở thành : t +
m
t - 4
2
2
4 + 2t - t
2
= 2m (*)
PT đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t [-2 ; 2]
2m tập giá trị của h/s liên tục f(t) trên miền [-2 ; 2]
f '(t) = 2- 2t f(-2) = - 4 , f(1) = 5 , f(2) = 4 ; Dấu f '(t) và bảng biến thiên :
1
2
- 2
4
-4
5
+
0
f (t)
f '(t)
t
_
Giá trị cần tìm : -2
m
5/2
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
II -2
(1 đ)
Ta có 4x
2
+ 4x + 1 = (2x +1)
2
; 10x
2
+ 13x + 4 = (5x +4)(2x +1)
TXĐ :
1 4 5x 0
1 1 2x 0
0 x
2
1-
(*) ( Khi đó 5x + 4 > 1 )
BPT log
5x + 4
(2x + 1)
2
+ log
2x + 1
[(2x + 1)(5x + 4)] 4
2.log
5x + 4
(2x + 1) + log
2x + 1
(5x + 4) - 3 0
Đặt log
5x + 4
(2x + 1) = t log
2x + 1
(5x + 4) = 1/ t .
BPT trở thành : 2t + 1/t - 3 0
(2t
2
- 3t + 1)/ t 0 (2t - 1)(t - 1)/ t 0 (1)
Dấu VT (1)
1
1
20
_
_
+ +
Tập nghiệm của (1) : 0 < t 1/2 ; t 1
* Nếu 0 < t 1/2 0 < log
5x + 4
(2x + 1) 1/2
1 < 2x +1
4 5x
(với đk (*) thì 5x + 4 > 1)
0 3- x -4x
0 x
4 5x 1 4x 4x
0 x
22
0 < x 1 ( thỏa mãn (*) )
* Nếu t 1 ta có : log
5x + 4
(2x + 1) 1 2x + 1 5x + 4 x -1 (loại )
Vậy tập nghiệm T = ( 0 ; 1] .
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
III -1
(1 đ)
a
3
a
60
0
K
C
B
A
S
SBC có hình chiếu trên (SAC)
cos =
4
3
dt(SBC)
dt(SAC)
Hạ AK BC tại K BC SK ( đ/l 3 đ-
ờng ) SKC là góc giữa (SBC) và đáy
SKC = 60
0
ABC vuông BC = … = 2a
AK = … =
3a
/2
SAK vuông SA = … = 3a / 2
SK = … =
3a
dt(SAC) = (1/2)SA.AC = …= 3 3 a
2
/4
dt(SAB) = (1/2)SA.AB = … = 3a
2
/4
dt(SBC) = (1/2) BC. SK = … =
3
a
2
S
xq
=
.a
37
2
4
3
là SAC nên góc giữa 2 mf đã cho t/m :
41
0
24,6'
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
III-2a
(1 đ)
(d') = (P) (Q) ; trong đó (Q) là mf qua (d) và (Q) (P)
Dễ thấy (d) qua điểm B( - 1 ; - 3 ; 3) và nhận
3 - ; 1 ; 2 u
d
làm vtcf
(Q) chứa (d) , (Q) (P) (Q) qua B và nhận 2 véc tơ :
3- ; 1 ; 2 u
d
và
;-2) 1- (2; n
P
làm cặp chỉ phương (Q) có 1 vtft
u ; n n
dPQ
u ; n n
dPQ
=
1 2
1- 2
;
2 3-
2 2-
;
3 - 1
2- 1-
= ( 5 ; 2 ; 4 )
PT (Q) : 5(x + 1) + 2(y + 3) + 4(z - 3) = 0 5x + 2y + 4z - 1 = 0 .
(d') :
(2) 0 1 - 4z 2y 5x
(1) 0 4 - 2z- y - 2x
1 x
0 4 - 2z - y - 2x
0 2 2z y
1 x
( nhân pt (1) với 2 rồi cộng với pt (2)
pt tham số (d') : x = 1 + 0.t ; y = -2 - 2t ; z = t ( t là tham số )
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
III - 2b
(1 đ)
PT tham số của (d): x = -1 + 2t ; y = -3 + t ; z = 3 - 3t ( tham số t )
Giả sử (d) = M M(-1 + 2t ; -3 + t ; 3 - 3t) . Vì qua M và A(5; - 7 ;1 ) nên 1
vtcf của là :
3t- 2 ; 4 t ; 6 -2t u
, đã có
3 - ; 1 ; 2 u
d
tạo với (d) góc 60
0
) u;ucos( cos60
0
d
2
1
=
3t)- (2 4) (t 6) -(2t 2
3t) - (-3).(2 4) 1.(t 6) -2.(2t
2222
.)3(1
22
56 28t - t
14 14t
2
1
2
14.14
t
2
- 2t = 0 t = 0 hoặc t = 2
0.25
0.25
0.25
Bài
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
III - 2b
(tiếp)
t = 2 M
1
(3 ; -1 ;-3)
1
u
= (-2 ; 6 ; - 4) // ( 1; -3 ; 2)
pt
1
: x = 5 + m ; y = - 7 - 3m ; z = 1 + 2m (m là tham số )
t = 0 M
2
(-1 ; -3 ; 3)
2
u
= (- 6 ; 4 ; 2) // ( 3 ; -2 ; -1)
pt
2
: x = 5 +3 m ; y = - 7 - 2m ; z = 1 - m (m là tham số )
ĐS : 2 đờng thẳng thỏa mãn đề bài :
1
;
2
ở trên .
0.25
Bài
IV - 1
(1 đ)
Đặt x = 2sint (- /2 t /2) ; khi x =-1 t = - /6 , khi x = 1 t = /6
I =
t)4sin - (4
d(2sint) . (2sint)
6
6
-
32
2
=
t cos 8.
.dt cost t 8sin
6
6
-
3
2
=
t.dt tg
6
6
-
2
=
.dt 1 -
tcos
1
6
6
-
2
=
6
6
-
6
6
-
2
dt - dt
tcos
1
=
6
t -
6
tgt
66
=
3
-
3
2
=
3
-3 2
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
IV -2
(1 đ)
Các cách chọn 6 trong 16 đoàn viên không thỏa mãn đề bài gồm có :
Chọn 6 trong 16 đoàn viên trong đó không có đoàn viên nữ nào tức là phải
chọn 6 đoàn viên nam trong 9 đoàn viên nam (không cần thứ tự) . Trờng hợp
này có : S
0
=
6
9
0
7
.CC
=
6!.3!
9!
.
7!.0!
7!
= 84 ( cách chọn )
Chọn 6 trong 16 đoàn viên trong đó có đúng 1đoàn viên nữ . Ta lần lợt chọn
: 1 trong 7 đoàn viên nữ ( có 7 cách chọn ) ; chọn 5 trong 9 đoàn viên nam ( có
5
9
C
cách chọn ) .
Trờng hợp này có : S
1
=
5
9
7C
=
5!.4!
9!
7.
= 882 ( cách chọn )
Nên số cách chọn không thỏa mãn đề bài là : 84 + 882 = 966
Số cách chọn 6 trong 16 đoàn viên bất kì trong nhóm đoàn viên trên là : S
=
6
16
C
=
6!.10!
16!
= 8008 ( cách chọn ) .
Số cách chọn thỏa mãn đề bài là : S - (S
0
+ S
1
) . Vậy tất cả có :
8008 - ( 84 + 882) = 7042 ( cách chọn)
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
V
(1 đ)
Đặt
2z c - b a
2y b -a c
2x a - c b
x , y , z > 0 và
y x c
x z b
z y a
Giả thiết
2x
z y
+
2y
x) 25(z
+
2z
y) 81(x
= 59
y
25x
x
y
+
z
81x
x
z
+
z
81y
y
25z
= 108 (*)
áp dụng bđt Cô Si ta luôn có VT (*) 2.5 + 2.9 + 2.5.9 = 108
nên (*) thỏa mãn
9y 5z
9x z
5x y
9x z
5x y
6x y x c
10x x z b
14x z y a
hay ABC có các cạnh thỏa mãn a : b : c = 7 : 5 : 3
góc lớn nhất là A và cosA =
2.5.3
7 - 3 5
222
=
2
1
-
A = 120
0
.
0.25
0.25
0.25
0.25
Đồ thị của hàm số ở bài I - 1 .
5
y
x
4
-4
3
-1
I
O
y =
- x
2
+ 2x -5
x - 1
y = -x + 1
x = 1
Ghi Chú : - Các cách giải khác hợp lí vẫn cho điểm tối đa .
- Bài II -2 nếu giải nh trên mà không có nhận xét 5x + 4 > 1 thì chỉ cho tối đa 0.75 đ- Bài tập hình nếu giải bằng phơng pháp tổng hợp bắt buộc phải vẽ hình , nếu giải bằng
phương pháp tọa độ thì không nhất thiết phải vẽ hình .
.
2
1
=
3t )- (2 4) (t 6) -( 2t 2
3t) - (-3 ). (2 4) 1.(t 6) -2 .(2t
22 22
.)3(1
22
56 28 t - t
14 14t
2
1
2
14.14
t
2
-. 0 x (-1 ; 3)
t (-1 ) = -2 ; t(3) = 2 ; t(x) liên tục và trên [-1 ;3] tập giá trị của t là [ -2 ; 2] .
t
2
= 4 -
x - 2x 32
2
2
x - 2x 3