Bài giảng Kinh tế lượng 1: Chương 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Sự cần thiết của hồi quy bội; Phương pháp ước lượng OLS; Sự phù hợp của hàm hồi quy; Một số dạng mô hình hồi quy. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương MƠ HÌNH HỒI QUY BỘI ▪ 2.1 Sự cần thiết hồi quy bội ▪ 2.2 Phương pháp ước lượng OLS ▪ 2.3 Sự phù hợp hàm hồi quy ▪ 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 50 Hồi quy đơn Hồi quy bội ▪ Đặt k số hệ số có mơ hình ▪ Mơ hình có hệ số chặn số biến 𝑘, số biến độc lập không kể số (𝑘 − 1) ▪ Với 𝑘 = hồi quy đơn (single-regression) ▪ Với 𝑘 ≥ 2: hai biến độc lập trở lên, gọi hồi quy bội (multi-regression) hay hồi quy đa biến (multivariate regression) KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 51 Chương Mô hình hồi quy bội 2.1 SỰ CẦN THIẾT CỦA HỒI QUY BỘI ▪ Hồi quy đơn: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋 + 𝑢 ▪ Nếu u có tương quan với X: 𝐶𝑜𝑣(𝑢, 𝑋) ≠ X gọi biến độc lập nội sinh → giả thiết bị vi phạm → ước lượng chệch ▪ Yếu tố có tương quan với 𝑋 𝑢, giả sử 𝑍 ▪ 𝑍 biến độc lập mới, mô hình có dạng 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋 + 𝛽3 𝑍 + 𝑢 KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 52 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.1 Sự cần thiết hồi quy bội Vấn đề dạng hàm hồi quy ▪ Hồi quy đơn hạn chế dạng hàm ▪ Hồi quy bội có dạng hàm phù hợp hơn, dự báo tốt 𝛽1 + 𝛽2 𝑋 + 𝛽3 𝑋 ▪ Phong phú phân tích kinh tế 𝛽1 + 𝛽2 𝑋 KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 53 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.1 Sự cần thiết hồi quy bội Mơ hình hồi quy ba biến ▪ Biến Y phụ thuộc vào biến độc lập 𝑋2 , 𝑋3 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + 𝑢 ▪ PRF: 𝐸 𝑌 𝑋2 , 𝑋3 ) = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 ▪ SRF: 𝑌𝑖 = 𝛽መ1 + 𝛽መ2 𝑋2𝑖 + 𝛽መ3 𝑋3𝑖 ▪ Nếu X2, X3 có quan hệ cộng tuyến: 𝑋3 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2 𝑌 = 𝛽1 + 𝛼1 𝛽3 + 𝛽2 + 𝛼2 𝛽3 𝑋2 + 𝑢 ▪ Mơ hình ba biến biến độc lập khơng có quan hệ cộng tuyến KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 54 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.1 Sự cần thiết hồi quy bội Mô hình hồi quy k biến ▪ Mơ hình có (𝑘 − 1) biến độc lập, 𝑘 hệ số: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝑢 𝐸(𝑌|𝑋2 , … , 𝑋𝑘 ) = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 ▪ Ý nghĩa hệ số: • Hệ số chặn: 𝛽1 = 𝐸 𝑌 𝑋2 = ⋯ = 𝑋𝑘 = • Hệ số góc: 𝛽𝑗 (𝑗 = 2, 𝑘): tác động riêng Xj 𝜕𝐸 𝑌 𝛽𝑗 = 𝜕𝑋𝑗 ▪ Nếu 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0: hàm hồi quy không phù hợp KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 55 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.1 Sự cần thiết hồi quy bội Mơ hình hồi quy k biến ▪ Mơ hình mẫu • 𝑌𝑖 = 𝛽መ1 + 𝛽መ2 𝑋2𝑖 + 𝛽መ3 𝑋3𝑖 + ⋯ + 𝛽መ𝑘 𝑋𝑘𝑖 • 𝑌𝑖 = 𝛽መ1 + 𝛽መ2 𝑋2𝑖 + 𝛽መ3 𝑋3𝑖 + ⋯ + 𝛽መ𝑘 𝑋𝑘𝑖 + 𝑒𝑖 ▪ Mơ hình k biến biến độc lập không quan hệ cộng tuyến với nhau: • Không tồn số 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑘 không đồng thời cho: 𝜆1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝑋𝑘 = ▪ 𝛽መ𝑗 ước lượng điểm cho 𝛽𝑗 (𝑗 − 1, 𝑘) KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 56 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG OLS ▪ Tìm 𝛽መ𝑗 cho n n ( RSS = e = Yi − ˆ1 − ˆ2 X 2i − − ˆk X ki i =1 i i =1 ) → ▪ Giải hệ k phương trình bậc k ẩn ▪ Cách giải qua ma trận ▪ Để giải nghiệm: biến độc lập khơng có quan hệ cộng tuyến hoàn toàn với KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 57 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.2 Phương pháp ước lượng OLS Các giả thiết OLS ▪ Giả thiết 1: Mẫu ngẫu nhiên, độc lập (𝑋2𝑖 , … , 𝑋𝑘𝑖 , 𝑌𝑖 ), 𝑖 = 1, 𝑛 độc lập ▪ Giả thiết 2: Kì vọng sai số ngẫu nhiên 𝐸 𝑢 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 ) = hay 𝐸 𝑢𝑖 𝑋2𝑖 , … , 𝑋𝑘𝑖 ) = ▪ Giả thiết 3: Phương sai sai số ngẫu nhiên không đổi 𝑉𝑎𝑟 𝑢 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 ) = 𝜎 ▪ Giả thiết 4: Các biến độc lập khơng có quan hệ cộng tuyến hoàn hảo KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 58 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.2 Phương pháp ước lượng OLS Định lý Gauss – Markov ▪ Định lý: Khi giả thiết đến thỏa mãn ước lượng OLS ước lượng tuyến tính, khơng chệch, tốt (trong lớp ước lượng tuyến tính khơng chệch) ▪ 𝛽መ𝑗𝑂𝐿𝑆 BLUE: Best Linear Unbiased Estimator ▪ 𝛽መ𝑗𝑂𝐿𝑆 ước lượng tuyến tính, khơng chệch, tốt 𝛽𝑗 (𝑗 = 1, 𝑘) KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 59 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.4 MỘT SỐ DẠNG MƠ HÌNH HỒI QUY ▪ Xét mơ hình kinh tế đưa hồi quy tuyến tính theo hệ số ▪ Hàm tuyến tính (linear-linear) ▪ Hàm logarit (log-log) ▪ Hàm nửa logarit (lin-log log-lin) ▪ Hàm đa thức theo biến độc lập KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 66 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình dạng tuyến tính theo biến ▪ Cịn gọi linear-linear ▪ Ví dụ: Hàm cầu tiêu dùng hàng hóa: 𝐷𝐴 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑌 𝑑 + 𝛽3 𝑃𝐴 + 𝛽4 𝑃𝑆 + 𝛽5 𝑃𝐶 + 𝑢 • Với DA lượng cầu hàng hóa A, 𝑌 𝑑 thu nhập khả dụng, 𝑃𝐴 giá hàng hóa A, 𝑃𝑆 giá hàng hóa thay thế, 𝑃𝐶 giá hàng hóa bổ sung • Theo hệ số 𝛽2 phân loại hàng hóa A nào? • Dấu hệ số góc phù hợp? KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 67 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình dạng log-log ▪ Hàm sản xuất Cobb-Douglas: 𝑄 = 𝐴 𝐾𝛽2 𝐿𝛽3 ▪ Thêm sai số: 𝑄 = 𝐴 𝐾𝛽2 𝐿𝛽3 𝑒 𝑢 ▪ Logarit: ln 𝑄 = ln 𝐴 + 𝛽2 ln 𝐾 + 𝛽3 ln 𝐿 + 𝑢 ▪ Tổng quát: ln 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘 ln 𝑋𝑘 + 𝑢 • Vi phân hai vế: 𝑑𝑌 𝑌 = 𝑑𝑋2 𝛽2 𝑋2 • 𝛽2 = 𝜀𝑌/𝑋2 độ co giãn Y theo 𝑋2 • Khi 𝑋2 tăng 1%, trung bình Y tăng 𝛽2 % KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 68 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình dạng log-log ▪ Ví dụ: Phân tích kết ước lượng hàm sản xuất sau: = 0,23 + 0,62 ln 𝐾 + 0,57ln(𝐿) ln(𝑄) Với Q sản lượng, K vốn, L lao động ▪ Ví dụ: Khi hàng hóa thấp cấp, thơng thường, thiết yếu, xa xỉ hàm cầu theo thu nhập khả dụng có dạng: ln 𝐷 = 𝛽1 + 𝛽2 ln(𝑌 𝑑 ) + 𝑢 KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 69 Chương Mô hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình dạng lin-log ▪ Mơ hình có dạng: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 ln(𝑋) + 𝑢 ▪ Ý nghĩa hệ số góc: • 𝑑𝑌 = 𝑑𝑋2 𝛽2 𝑋2 hay 𝑑𝑌 = 𝛽2 100 × 𝑑𝑋 100% 𝑋 • Khi X tăng 1% Y tăng (𝛽2 /100) đơn vị ▪ Ví dụ: Giải thích ý nghĩa kết ước lượng sau W = 1,25 + 202,6 ln(TR) + e Với W tiền lương người lao động, TR doanh thu công ty KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 70 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình dạng log-lin ▪ Cịn gọi mơ hình tăng trưởng (growth) : ln(Y) = β1 + β2 X + u ▪ Ý nghĩa hệ số góc: 𝑑𝑌 𝑌 hay 𝑌 = 𝑒 𝛽1+𝛽2𝑋+𝑢 = 𝛽2 𝑑𝑋 • Khi X tăng đơn vị Y tăng 100β2% ▪ Ví dụ: Giải thích ý nghĩa kết ln(TR) = 4,51 + 0,153T + e Với TR doanh thu; T biến thời gian, nhận giá trị = 1, 2, 3,… theo năm KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 71 Chương Mô hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình hình dạng đa thức ▪ Mơ hình dạng bậc 2: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋 + 𝛽3 𝑋 + 𝑢 ▪ Tác động X: 𝑑𝑌/𝑑𝑋 = 𝛽2 + 2𝛽3 𝑋 ▪ Cực trị parabol 𝑋0 = −𝛽2 / (2𝛽3 ) β3 (+) (+) (−) (−) β2 (+) (−) (−) (+) Khi X tăng (Chỉ xét X > 0) Y tăng nhanh dần Y giảm đáy tăng Y giảm nhanh dần Y tăng đến đỉnh giảm KINH TẾ LƯỢNG – Bộ mơn Tốn kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn 72 Chương Mơ hình hồi quy bội 2.4 Một số dạng mơ hình hồi quy Mơ hình dạng đa thức ▪ Mơ hình dạng nghịch đảo biến độc lập 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 + 𝑢 𝑋 ▪ Y tiệm cận 𝛽1 𝑋 lớn ▪ 𝛽2 > (