Bài giảng toán rời rạc

1/231 TOÁN RỜI RẠC Vu Dinh Hoa Hanoi University of Education Department of Information Technology Hanoi, Viet Nam e-mail address: hoavd@fpt.com.vn Back Close 2/231 Back Close Chương 3/231 Lôgic mệnh đề George Boole Các định luật tư 1854 Back Close Mệnh đề lôgic Khái niệm mệnh đề phủ định mệnh đề 4/231 Định nghĩa 1.1 Một mệnh đề (lôgic) khẳng định mà nội dung là sai, khơng thể vừa vừa sai Ví dụ Mưa bay, gió Cuốn sách vậy? x + = Hà nội thủ Việt nam Tổng góc tam giác 100◦ + = Back Close Giá trị chân lý một mệnh đề lôgic Giá trị chân lý mệnh đề lơgic T (true) F (false) 5/231 Ví dụ p: "Hà nội thủ đô Việt nam." q : "Tổng góc tam giác 100◦ " r: "4 + = 7." Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý p q r F F F Back Close Mệnh đề phức hợp Ví dụ Nếu x số ngun, x2 số nguyên 6/231 Trời vừa nắng vừa mưa Biển ao hồ Để học nước ngoài, bạn phải học giỏi bạn phải có tiền tự túc Tính chất Liên từ liên kết mệnh đề đơn giản tạo nên mệnh đề phức hợp: Ví dụ “Bạn khơng xe máy, bạn 16 tuổi xe phân khối nhỏ bạn có giấy phép đặc biệt Back Close Phủ định mệnh đề Định nghĩa 1.2 Cho trước mệnh đề lôgic p Khi câu "khơng phải p" mệnh đề lôgic, gọi phủ định p ký hiệu p¯ ¬p Nếu p p¯ sai ngược lại 7/231 Ví dụ p: Ngày 20-11-2008 ngày chủ nhật p¯: Ngày 20-11-2008 ngày chủ nhật Bảng 1.2: Bảng giá trị chân lý mệnh đề phủ định p p¯ T F F T Back Close Phép hội Định nghĩa 1.3 Cho trước hai mệnh đề lôgic p q Khi câu nói "p q " mệnh đề lôgic, ký hiệu p ∧ q Hội p q hai mệnh đề p q sai trường hợp cịn lại 8/231 Ví dụ p: Bác Hồ sinh vào ngày 19-5 q : Bác Hồ Chủ tịch nước p ∧ q : Bác Hồ sinh vào ngày 19-5 Bác Hồ Chủ tịch nước Bảng 1.3: Bảng giá trị chân lý phép hội p T T F F q p∧q T T F F T F F F Back Close Phép tuyển Định nghĩa 1.4 Cho trước hai mệnh đề lôgic p q Khi câu nói “ p q ” mệnh đề lôgic ký hiệu p ∨ q Tuyển p q sai p q sai trường hợp lại 9/231 Ví dụ p: Hồ Xuân Hương sinh vào ngày 3-5 q : Hồ Xuân Hương sinh vào ngày 9-5 p ∨ q : Hồ Xuân Hương sinh vào ngày 3-5 vào ngày 9-5 Bảng 1.4: Bảng giá trị chân lý phép tuyển p T T F F q p∨q T T F T T T F F Back Close Phép tuyển có loại Định nghĩa 1.5 Cho trước hai mệnh đề lơgic p q Khi câu nói “hoặc p q ” mệnh đề lơgic gọi tuyển có loại p q ký hiệu p ⊕ q Tuyển có loại p q có p q mệnh đề lại sai 10/231 Ví dụ p: Hồ Xuân Hương sinh vào ngày 3-5 q : Hồ Xuân Hương sinh vào ngày 9-5 p ⊕ q : Hồ Xuân Hương sinh vào ngày 3-5 vào ngày 9-5 Bảng 1.5: Bảng giá trị chân lý phép tuyển có loại p T T F F q p⊕q T F F T T T F F Back Close đỉnh xuất phát đỉnh đích cung u trùng cung u gọi khun có hướng Một đồ thị khơng có cung song song khuyên có hướng gọi đồ thị có hướng đơn Ta nói cung u liên hợp với đỉnh x, x đỉnh xuất phát đỉnh đích cung u Nếu cung u liên hợp với đỉnh x, cung u gọi liên hợp hướng (liên hợp hướng vào trong) đỉnh x, đỉnh x đỉnh xuất phát (đỉnh đích) cung u Ví dụ Trong hình 7.28, đỉnh u liên hợp hướng vào đỉnh v Nếu x đỉnh đồ thị có hướng G, với d− G (x), − d (x), ta kí hiệu số cung tới x gọi bậc tới đỉnh x Cũng tương tự vậy, với kí hiệu d+G(x) d+(x) ta biểu thị số cung xuất phát từ đỉnh x gọi bậc đỉnh x Các số số cung hướng vào hướng liên hợp với + đỉnh x Bậc đỉnh x tổng dG (x) = d− G (x) + dG (x) Tương tự với đồ thị đơn vô hướng, ta gọi đỉnh bậc đỉnh lập Ví dụ Trong hình 7.29 ta có d+ (a) = 4, d− (a) = 1, d( b) = 1, d− (b) = 2, d+(c) = d−(c) = Ngoài ra, người ta sử dụng ma trận liền kề ma trận liên thuộc để biểu diễn đồ thị có hướng 217/231 Back Close Cho trước đồ thị có hướng G = [V, E] Ta xây dựng ma trận (aij )có kích thước n × n n số đỉnh đồ thị aij số cung nối đỉnh i với đỉnh j Ma trận gọi ma trận liền kề đồ thị cho trước Ma trận liền kề đồ thị có hướng lúc đối xứng Chẳng hạn, đồ thị hình 7.29 có ma trận liền kề A:   218/231 A =  0  0 Đường dãy cung u1 , u2 , , uk , cho với i = 1, 2, , k − s s ta có đỉnh đích cung u 3✲ i a ❥4 b ✰ đỉnh xuất phát cung ui+1 đỉnh s ✌ đồ thị khơng có mặt lần c đường Gọi đỉnh xuất phát u1 Hình 7.29: Cung nối u với x đỉnh đích uk y , đường cịn gọi đường x − y Số cạnh v k gọi độ dài đường Đường qua tất đỉnh đồ thị gọi đường Hamilton Đường ✲ Back Close với đỉnh xuất phát Chu trình dãy cung u1 , u2 , , uk cho đỉnh xuất phát u1 đỉnh tới uk u1 , u2 , , uk−1 đường Độ dài chu trình số cạnh Chu trình chứa tất đỉnh đồ thị gọi chu trình Hamilton 219/231 Ví dụ Đồ thị hình có chu trình cung đánh số tạo thành Nếu đổi chiều cạnh số ta có chu trình độ Hamilton Một đồ thị có hướng G gọi liên thông, bỏ hướng cung G trở thành đồ thị vơ hướng liên thông G gọi liên thông mạnh, với hai đỉnh x, y tùy ý G tồn đường nối x với y Rõ ràng đồ thị có hướng đồ thị liên thơng đồ thị liên thơng mạnh Ta dễ thấy điều ngược lại khơng Ví dụ Đồ thị hình 7.29 đồ thị liên thông không liên thông mạnh, từ đỉnh c khơng có đường tới đỉnh lại đồ thị Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ cho tính liên thông mạnh đồ thị Back Close Định lý 7.18 Một đồ thị liên thông G đồ thị liên thông mạnh cung tùy ý G nằm chu trình Chứng minh Giả sử G đồ thị có hướng cho trước cho cung nằm chu trình Để mâu thuẫn, ta giả sử G tồn hai đỉnh x y cho không tồn đường nối x với y Với M ta kí hiệu tập hợp đỉnh y nối với đỉnh x đường x − y Do G đồ thị liên thơng, tồn đường vô hướng K = (x = x1 , x2 , , xk = y) nối x với y Rõ ràng 220/231 W✿ x s i s s x ❲ ✾ xi+1 ❪s C s✲ s✒ y ❨ s Hình 7.30: Đường từ x tới xi+1 x1 = x ∈ M xk = y ∈ M Giả sử i số lớn cho xi ∈ M Back Close (ta từ đỉnh x tới đỉnh xi đường W đó) xi+1 ∈ M Khi cung hai đỉnh xi xi+1 có hướng từ đỉnh xi+1 tới đỉnh xi , ta kí hiệu u = [xi+1 , xi ] Theo giả thiết cung u nằm chu trình C Ta từ đỉnh x tới đỉnh xi dọc theo W sau dọc theo chu trình C tới đỉnh xi+1 Trong lộ trình từ x tới xi+1 lộ trình với cung phải đường Vậy có xi+1 ∈ M, vơ lý Mâu thuẫn chứng tỏ G đồ thị liên thông mạnh Bây giả sử cho trước đồ thị liên thông mạnh G cung u tùy ý Nếu u khuyên, cung u nằm chu trình Nếu đỉnh xuất phát x đỉnh đích y cung u khác nhau, tồn đồ thị G đường W nối đỉnh y với đỉnh x Khi W ∪ {u} chu trình chứa cung u, điều cần chứng minh 221/231 Một số đồ thị có hướng đặc biệt Có loại đồ thị có hướng đơn giản đồ thị khơng có chu trình Một đồ thị G gọi đồ thị phản chu trình, khơng chứa chu trình Mọi đồ thị phản chu trình khơng có khun đồ thị đồ thị phản chu trình lại đồ thị phản chu trình Back Close Một đỉnh x đồ thị có hướng G gọi đỉnh nguồn đồ thị G, đỉnh x đỉnh đích cung G Tất nhiên đỉnh cô lập coi đỉnh nguồn Bằng cách tương tự ta định nghĩa đỉnh hạ lưu đồ thị đỉnh y với tính chất khơng phải đỉnh xuất phát cung đồ thị G Ví dụ Đỉnh a hình 7.20 đỉnh nguồn ✲ cịn đỉnh b đỉnh đích s ✲ s Đỉnh nguồn đỉnh đích đóng vai trị a ❥ b ✰ quan trọng lý thuyết vận tải Những s vấn đề vận tải đồ thị có hướng c cạnh có hạn chế lượng vận tải tối đa Hình 7.31: Fork Funkelson giải quyết, mà ta không xét Về tồn đỉnh nguồn đỉnh hạ lưu đồ thị phản chu trình, ta có định lý sau: 222/231 Định lý 7.19 Trong đồ thị phản chu trình ln tồn đỉnh nguồn đỉnh hạ lưu Chứng minh Rõ ràng cần chứng minh đồ thị phản chu trình ln tồn đỉnh nguồn Sự tồn đỉnh hạ lưu hoàn toàn Back Close tương tự Ta chọn đồ thị phản chu trình G cho trước đỉnh tùy ý x1 Nếu đỉnh x1 đỉnh nguồn, định lý chứng minh Nếu đỉnh x1 khơng phải đỉnh nguồn, tồn đồ thị phản chu trình G cung u với đỉnh đích x1 Gọi đỉnh xuất phát cung đỉnh x2, x2 = x1 G đồ thị phản chu trình Giả sử đỉnh x2 đỉnh nguồn, định lý chứng minh Trong trường hợp đỉnh x2 khơng phải đỉnh nguồn tồn G cung với đỉnh đích đỉnh x2 Giả sử đỉnh xuất phát cung đỉnh x3 , ta có x3 ∈ {x1 , x2 } G đồ thị phản chu trình Bằng cách tương tự, tiến hành thu dãy đỉnh x1 , x2 , , xk , , khơng có đỉnh xuất hai lần Do tính hữư hạn tập hợp đỉnh, dãy kéo dài vô hạn mà phải kết thúc đỉnh x0 đỉnh nguồn đồ thị G Định lý chứng minh 223/231 Định lý cho mô tả đồ thị phản chu trình: Định lý 7.20 Một đồ thị có hướng G = [X, E] với n đỉnh đồ thị phản chu trình đánh số đỉnh đồ thị số 1, 2, , n cho cung [i, j] thỏa mãn quan hệ i < j Back Close Chứng minh Giả sử ta đánh số cạnh đồ thị có hướng G số 1, 2, , n cho cung [i, j] thỏa mãn quan hệ i < j Rõ ràng G khơng có khun Bây ta chứng minh G khơng có chu trình Thực vậy, giả sử đồ thị G có chu trình với đỉnh đánh số i1 , i2 , i3 , , in dọc chu trình theo chiều Theo giả thiết đầu i1 < i2 < i3 < in in < i1 Từ suy i1 < i1 , vơ lí Mâu thuẫn chứng tỏ đồ thị cho phản chu trình Bây cho trước đồ thị phản đối xứng G với n đỉnh Chúng ta chứng minh đỉnh đồ thị G đánh số số 1, 2, , n cho với cung [i, j] ta có quan hệ i < j Theo định lý 7.19, tồn đồ thị phản chu trình G đỉnh nguồn, mà ta đánh số Trong trường hợp đồ thị G có cịn đỉnh khác, ta khảo sát đồ thị G1 = G − {1}, đồ thị thu bỏ đỉnh Đồ thị thu G1 dĩ nhiên đồ thị phản chu trình, ta đánh số đỉnh nguồn đồ thị số Nếu đồ thị G1 cịn có nhiều đỉnh khác nữa, ta lại xét đồ thị G2 = G1 − {2} cách thu đồ thị có đỉnh, mà ta đánh số đỉnh với số n Vậy đỉnh đồ thị đánh số số 1, 2, , n cho cung [i, j] thỏa mãn quan hệ i < j Định lý chứng minh 224/231 Back Close Một ứng dụng lý thú đồ thị phản chu trình Oystein Ore (trong năm 1960) xây dựng loại gia phả, quan hệ bố biểu diễn cung nối Nếu quan sát tập hợp loài sinh vật sống lồi đó, gán cho cá thể đỉnh đồ thị có hướng; cung [x, y] nối từ cá thể bố x tới cá thể y , cá thể y đẻ cá thể x Vì khơng có cá thể tự thân đẻ mình, đồ thị thu đồ thị khơng có khun Ngồi dễ thấy đồ thị thu đồ thị phản chu trình đặc biệt: đỉnh đỉnh đích hai cung 225/231 Bây muốn làm quen với đồ thị có hướng đặc biệt gọi Turnier Về Turnier có lý thuyết vượt khỏi giới hạn sách Người ta hiểu Turnier đồ thị có hướng cho bỏ hướng cạnh ta thu đồ thị đầy đủ Ta cịn gọi Turnier đồ thị đầy đủ có hướng (hình 7.32 9-Turnier) kí hiệu Tn Một đồ thị sinh m đỉnh n-Turnier Tn gọi m-Turnier Trong n-Turnier Tn ta có cách hiển nhiên: 1) d+ (x) + d− (x) = n − cho đỉnh x tùy ý Tn Back Close 2) Tn có khơng q đỉnh nguồn khơng q đỉnh hạ lưu s Tên gọi Turnier bắt nguồn từ thể thao: Nếu có ❥ s ✶ ✲ s ❂ đại hội thể thao (mà tiếng Đức ⑥❯ ✶ q ✍ s ✲ s gọi Turnier) gồm có n đấu thủ x1, x2, , xn ✕ ✎❘✠❲ ❑ ❄ ✻ ❥ ✙✢ tham gia, người phải gặp người ✗ ☛ ✎ ❖ ♦ ❖ ⑥ ✛✒ s❪ s khác lần Khơng có trận đấu ③ ✾ ✰ s ⑥s ✛ kết thúc với kết hòa - chẳng hạn trận đấu bóng bàn bóng rổ Khi ta Hình 7.32: Turnier gán đội với số không đỉnh vượt n phép gán xi → i ta có biểu diễn n đội đỉnh 1, 2, , n đồ thị đầy đủ Kn Các cung (i, j) với hai đỉnh khác i, j đồ thị Kn gán cho chiều thông qua mũi tên từ i tới j , đội xi thắng đội xj Cuối sau trận đấu, người ta thu đồ thị đầy đủ có hướng, mà nhìn vào đồ thị người ta biết kết trận đấu riêng lẻ Một Turnier với n đỉnh gọi tắt n-Turnier (hình 7.32 T9) 226/231 Back Close Người ta chứng minh định lý sau: Định lý 7.21 Trong Turnier tồn đường Hamilton Một Turnier có đường Hamilton đồ thị có hướng phản chu trình Chứng minh Để chứng minh khẳng định thứ toán ta giả sử tồn Turnier khơng có đường Hamilton, mâu thuẫn Giả sử Tn Turnier B = (x1 , x2 , , xk ) đường có độ dài lớn với k < n Ta chọn đỉnh tùy ý x ∈ {x1, x2, , xk } Do tính cực đại B đỉnh x đỉnh xuất phát cung nối x với x1 đỉnh đích cung nối đỉnh x với đỉnh xk Giả sử i0 = max{i : (xi , x)là cung trongTn } Khi ta có ≤ i0 ≤ k − Rõ ràng B = (x1 , x2 , , , x, , , xk ) đường Turnier Tn dài B , mâu thuẫn với tính cực đại B Để chứng minh phần thứ hai định lý, ta nhận thấy Tn phản chu trình, Tn có đương Hamilton Khẳng định suy trực tiếp từ định lý 7.20, đường Hamilton có đỉnh xếp theo thứ tự 1, 2, 3, , n với cách đánh số đỉnh Tn theo thứ tự kết luận định lý 7.20 Như đường Hamilton xác 227/231 Back Close định Một Turnier Tn với n ≥ đỉnh gọi bắc cầu, Tn khơng có chu trình độ dài Từ "bắc cầu" có nghĩa với cung (x1, x2) (x2, x3) nối x1 tới x2 từ x2 tới x3 tồn cung (x1, x3) từ x1 tới x3 Rõ ràng Turnier phản chu trình bắc cầu Ngược lại đúng, ta chứng minh định lý sau 228/231 Định lý 7.22 Mỗi Turnier Tn với n ≥ đỉnh bắc cầu Tn phản chu trình Chứng minh Áp dụng định lý 7.20 ta thấy đồ thị phản chu trình đồ thị bắc cầu nhờ cách đánh số đỉnh thỏa mãn định lý 7.20 Do ta cần chứng minh điều ngược lại Turnier bắc cầu đồ thị có hướng phản chu trình Ta chứng minh phản chứng Giả sử Z = (x1 , x2 , , xk , x1 ) chu trình có độ dài nhỏ Dễ thấy n ≥ kết luận định lý hiển nhiên cho T3 Vì Tn có tính bắc cầu, chu trình Z có độ dài > 3, nghĩa k ≥ Bây ta xét đỉnh x1 , x2 x3 Vì Tn bắc cầu, cung nối hai đỉnh x1 x3 với phải từ x1 tới x3 , Z = (x1 , x3 , x4 , , xk , x1 ) chu trình có Back Close độ dài nhỏ độ dài chu trình Z , mâu thuẫn giả thiết Z có độ dài nhỏ Vậy Tn đồ thị phản chu trình Định lý chứng minh Khác với đồ thị vô hướng, câu trả lời tồn chu trình hamilton Turnier giải trọn vẹn định lý sau 229/231 Định lý 7.23 Giả sử Tn Turnier với n ≥ đỉnh Các mệnh đề sau tương đương với nhau: 1) Tn có chu trình hamilton 2) Tn đồ thị liên thông mạnh 3) Với giá trị k = 3, 4, , n Turnier Tn có chu trình độ dài k Chứng minh Rằng 1)⇒ 2) 3)⇒ 1) thỏa mãn, ta thấy dễ dàng Ta phải chứng minh 2)⇒ 3) Ta chứng minh qui nạp theo k Giả sử Tn liên thơng mạnh Khi rõ ràng Tn khơng phải đồ thị phản chu trình, theo định lý 7.22 Tn khơng phải đồ thị bắc cầu Tn có chu trình độ dài Khẳng định chứng minh cho k = Bây giả sử với k ≤ n tồn chu trình độ dài k Nếu có k ≤ n − 1, ta tồn chu trình độ dài k + Giả sử ta có C = (x1 , x2 , , xk , x1 ) chu trình độ dài k Vì Back Close k ≤ n − 1, tồn đỉnh x ∈ {x1, x2, , xk } Ta phân biệt hai trường hợp sau: a) Tồn đỉnh x ∈ {x1 , x2 , , xk } hai cung [xi , x] [x, xj ], chẳng hạn ≤ i < j ≤ k Tn Trong trường hợp thấy tồn giá trị i ≤ t ≤ j − 1, cho [xt , x] [x, xt+1 ] cung Turnier Tn Bây 230/231 C = (x1, x2, , xt, x, xt+1, xk , x1) chu trình Turnier Tn với độ dài k + b) Mỗi đỉnh x ∈ {x1 , x2 , , xk } đỉnh đích tất cung nối x với đỉnh thuộc C đỉnh xuất phát tất cung nối đỉnh x với tất đỉnh C x s ✲ ✬ s s s s 1✩ Trong trường hợp ta chia tập đỉnh sx2 ✶✿ ❂✙ sx ✿ ✮ s Tn −C làm hai tập hợp A B , cho đỉnh s y ✐s s x C x ∈ A đỉnh đích cung nối đỉnh x s✛ s ✪ ✫ ✛s với đỉnh tùy ý C đỉnh y ∈ B đỉnh xuất phát cung nối đỉnh y với Hình 7.34: đỉnh C Do k ≤ n−1 A∪B tập hợp rỗng Do Tn liên thông mạnh, tập hợp A tập hợp B Back Close khơng rỗng tồn cung nối từ A tới B , chẳng hạn cung [x, y] với x ∈ A y ∈ B Rõ ràng C = (x1, x, y, x3, , xk , x1) chu trình với độ dài k + Tn Vậy khẳng định ta cho giá trị k + Định lý chứng minh 231/231 Bài tập: Trong đồ thị phản chu trình Tn khơng tồn hai đỉnh có số cạnh xuất phát Hãy chứng minh điều Chứng minh hai khẳng định sau tương đương với nhau: (a) Ta đánh số n đỉnh Turnier Tn với số 1, 2, , n, cho cho với đỉnh i ta có d+ (i) = n − i (b) Tn đồ thị phản chu trình Chứng minh Turnier có đường Hamilton đồ thị phản chu trình Back Close ... tương ứng phép toán OR-bit, AND-bit XOR-bit Cách thực phép toán với hai xâu bit độ dài áp dụng phép toán OR, AND XOR cho bit tương ứng hai xâu Để đơn giản, người ta dùng ký hiệu lôgic toán tử để... diễn phép toán OR-bit, AND-bit XOR-bit Ví dụ sau giải thích rõ cách thực phép tốn Ví dụ Với hai xâu 1001 0111 ta có: 1001 ∨ 0111 = 1111 (phép toán OR-bit), 1001 ∧ 0111 = 0001 (phép toán AND-bit),... lơgic Phép tốn bit tiến hành số tương tự phép toán với giá trị chân lý T F cách thay T F giá trị Để đơn giản, người ta dùng lơgic tốn tử cho phép toán OR, AND XOR cách tương ứng Trong bảng 1.12,