Bộ quan sát trạng thái bền vững H∞ cho hệ thống phi tuyến Lipschitz với thông số thay đổi: Phương pháp chia lưới trình bày thiết kế bộ quan sát trạng thái bền vững
Hoàng Dũng, Phạm Thanh Phong, Phan Thị Thanh Vân, Phạm Duy Dưởng, Dương Quang Thiện 26 BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI BỀN VỮNG H CHO HỆ THỐNG PHI TUYẾN LIPSCHITZ VỚI THÔNG SỐ THAY ĐỔI: PHƯƠNG PHÁP CHIA LƯỚI ROBUST H OBSERVER FOR LIPSCHITZ NONLINEAR PARAMETER VARYING SYSTEM: GRID-BASED APPROACH Hoàng Dũng, Phạm Thanh Phong*, Phan Thị Thanh Vân, Phạm Duy Dưởng, Dương Quang Thiện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: ptphong@ute.udn.vn (Nhận bài: 03/9/2022; Chấp nhận đăng: 25/10/2022) Tóm tắt - Bài báo trình bày thiết kế quan sát trạng thái bền vững 𝐻∞ cho hệ thống phi tuyến Lipschitz với thông số thay đổi phương pháp chia lưới Trong đó, ảnh hưởng nhiễu lên sai số ước lượng giảm thiểu cách sử dụng chuẩn hệ thống 𝐻∞, thành phần phi tuyến bao lại hệ điều kiện Lipschitz Dựa vào phân tích ổn định hệ thống hàm Lyapunov phụ thuộc, toán thiết kế quan sát đưa dạng toán giải bất phương trình ma trận tuyến tính LMI phụ thuộc phương pháp chia lưới Sau đó, quan sát áp dụng vào ước lượng trạng thái hệ thống treo bán tích cực để đánh giá hiệu phương pháp đề xuất Các kết mô thể hiệu phương pháp đề xuất Abstract - This paper presents the design of a robust observer 𝐻∞ for a Lipschitz nonlinear parameter varying system using a gridbased approach The effect of unknown input disturbance on the estimation error states is minimized by using the criterion 𝐻∞, while the nonlinearity is bounded via a Lipschitz condition Based on the analysis of the stability of the estimation error system using the parameter-dependent Lyapunov function, the observer design problem is reduced to solve the LMIs optimization by using a grid-based approach Then the observer is applied to estimate the states of the semi-active damper to assess the performance of the proposed approach The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed method Từ khóa - Bộ quan sát bền vững 𝐻∞; Bất phương trình ma trận tuyến tính; Hệ thống phi tuyến với thông số thay đổi; phương pháp chia lưới Key words - Robust 𝐻∞ observer; Linear Matrix Inequality; Nonlinear parameter varying system; grid-based approach Phần mở đầu tín hiệu đầu vào khơng biết nhiễu đo lường lên sai số ước lượng, chưa xét đến tốc độ hội tụ quan sát Do đó, báo phương pháp thiết kế quan sát 𝐻∞ cho hệ thống phi tuyến với thông số thay đổi có xem xét đến tốc độ hội tụ quan sát phương pháp chia lưới Cụ thể chuẩn 𝐻∞ sử dụng để giảm thiểu ảnh hưởng tín hiệu nhiễu, thành phần phi tuyến bao lại điều kiện Lipschitz Sau đó, tốn thiết kế quan sát đưa dạng toán tối ưu giải hệ bất phương trình ma trận tuyến tính (LMIs) để tìm ma trận quan sát thông qua việc phân tích ổn định hệ thống sai số ước lượng hàm Lyapunov phụ thuộc Sau đó, để giải bất phương trình ma trận tuyến tính phụ thuộc này, phương pháp chia lưới trình bày Ngồi ra, để đánh giá hiệu phương pháp này, quan sát áp dụng vào ước lượng trạng thái hệ thống giảm chấn bán tích cực tơ Hai đóng góp báo tóm tắt sau: - Phát triển quan sát trạng thái bền vững 𝐻∞ cho hệ thống phi tuyến với thơng số thay đổi có xét đến tín hiệu nhiễu phương pháp chia lưới - Áp dụng vào ước lượng trạng thái hệ thống treo bán tích cực tơ Bộ quan sát trạng thái hướng nghiên cứu quan trọng thu hút nhiều nhà khoa học công nghiệp học thuật nhu cầu ước lượng trạng thái chẩn đoán lỗi hệ thống ngày cao Từ kết ban đầu lọc Kalman [1] - [2] quan sát trạng thái Luenberger [3], phân loại hướng nghiên cứu quan sát trạng thái sau: i) Mở rộng quan sát cổ điển cho hệ thống phức tạp chịu tác động nhiễu, thành phần khơng chắn mơ hình tốn học, thành phần phi tuyến [4] - [12]; ii) Ứng dụng quan sát vào hệ thống thực tế, số ví dụ ước lượng trạng thái hệ thống ô tô [13] - [17], áp dụng hệ định vị quán tính [18] - [19], hệ thống chẩn đoán lỗi [20] - [22]; iii) Phát triển cấu trúc quan sát mới, quan sát PI, quan sát tổng quát [23] - [31] Trong báo này, nhóm tác giả tập trung vào hướng thứ hướng thứ ba Trong hướng thứ nhất, công bố [7]-[9] phát triển quan sát cho hệ thống phi tuyến dạng Lipschitz, chưa xét đến thay đổi thông số ma trận hệ thống Để giải vấn đề này, báo [4]-[5] trình bày phương pháp thiết kế quan sát cho hệ thống phi tuyến với thơng số thay đổi, thơng số thay đổi xem biến lập lịch trình hệ thống Sau đó, quan sát trạng thái với ma trận quan sát thay đổi tương ứng với biến lập lịch trình thiết kế Tuy nhiên, nghiên cứu sử dụng chuẩn 𝐻∞ để giảm thiểu ảnh hưởng Hệ thống phi tuyến có thơng số thay đổi (NonLinear Parameter Varying system) Trong phạm vi báo này, hệ thống phi tuyến có thơng số thay đổi xem xét Phương trình trạng thái hệ The University of Danang - University of Technology and Education (Dung Hoang, Thanh-Phong Pham, Phan Thi Thanh Van, Duy Duong Pham, Quang Thien Duong) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.2, 2022 thống sau: x A x B1 y C x D2 với x u B2 x x R ny R nx lịch trình; A Rn x thống n , C R nx R n R nx , B1 n y nx , D2 R n u Bộ quan sát trạng thái 3.1 Cấu trúc quan sát trạng thái Trong này, quan sát trạng thái Luenberguer mở rộng cho hệ thống phi tuyến với thông số thay đổi (1) Cấu trúc quan sát sau: xˆ vector tín hiệu đo đầu R n vector tín hiệu nhiễu; D1 (1) R n vector trạng thái hệ thống; u vector tín hiệu điều khiển; y ra; D1 R ny n nu Rn , , B2 x ma trận hệ Ở giả sử biết thông qua đo lường thông qua trạng thái ước lượng Ngoài ra, hàm phi tuyến x giả sử thỏa mãn điều kiện với xˆ xˆ l x xˆ , x, xˆ xˆ x xˆ , x, xˆ y Cx B1 D2 , B1 , u B2 x D1 (4) m n n Với A x y Cx D2 s xˆ C vector trạng thái ước lượng vector x; nx ma trận hệ thống (1) biết; , B2 ma trận quan sát thiết kế Dể thiết kế ma trận quan sát L ), sai số ước lượng e định nghĩa sau: e xˆ x (7) e B1 , D1 u D1 B2 , D2 x D1 xˆ x (8) Thay (1) (6) vào (8), ta e sau: e A x B1 xˆ A u B1 u L với B2 C e ( x) B2 x xˆ B2 D1 L y C D1 L xˆ (9) D2 ( xˆ ) Ma trận quan sát L thiết kế cho thỏa hai điều kiện sau: - Hệ thống (9) ổn định theo hàm mũ, trường hợp e t - Giảm thiểu cho trường hợp t Để đáp ứng u cầu trên, tốn tìm ma trận L s Trong đó, s R s m R m vector tín hiệu nhiễu đầu vào hệ thống vector nhiễu đo lường Hệ thống (4) hồn tồn viết dạng hệ thống (1) sau: x R A Do đó, hệ thống phi tuyến có thơng số thay đổi (1) tổng quát hệ thống phi tuyến mà có ma trận hệ thống Bên cạnh đó, hệ thống phi tuyến có thơng số thay đổi (1) xem xét đến nhiễu Chú ý rằng, trường hợp hệ thống phi tuyến có tồn hai dạng nhiễu (nhiễu đầu vào hệ thống nhiễu đo lường) xem xét báo [35], có phương trình trạng thái sau: x y L (3) ma trận phụ thuộc vào biến lập lịch trình A L , B1 (2) Hệ thống (1) có ma trận hệ thống A x xˆ B2 A ma trận biết B2 u Lấy đạo hàm hai vế phương trình (7), ta được: với, l số Lipschitz Theo tài liệu tham khảo [34], điều kiện Lipschitz (2) viết lại sau: với B1 (6) Lipschitz sau: x xˆ A vector biến lập x hàm phi tuyến x 27 (5) D2 , ma trận m thỏa hai điều kiện chuyển toán giải bất phương trình ma trận tuyến tính LMI (Linear Matrix Inequality) Phần trình bày việc đưa tốn dạng giải hệ bất phương trình ma trận LMI 3.2 Thiết kế quan sát Trong phần này, bất phương trình ma trận tuyến tính LMI (giải tìm L thỏa yêu cầu) đưa cách phân tích ổn định hệ thống (9) thơng qua việc sử dụng hàm Lyapunov toàn phương phụ thuộc vào Giả sử đạo hàm biến lập lịch trình trận quan sát L Ma tìm thơng qua Định lí sau: C trường hợp đặc biệt ma trận phụ thuộc C Định lí 1: Xét hệ thống (1) quan sát trạng thái (6) Giả sử đạo hàm biến lập lịch trình Ma trận Rõ ràng hệ thống (1) dạng tổng quát hệ thống (4) hệ thống (4) hồn tồn biến đổi hệ thống (1) Do vậy, phần tiếp theo, bước thiết kế quan sát cho hệ thống (1) trình bày quan sát thiết kế thỏa mãn điều kiện tồn ma trận dương đối xứng P , ma trận Y hai hệ số dương l nghiệm tốn tối ưu LMI sau: Hồng Dũng, Phạm Thanh Phong, Phan Thị Thanh Vân, Phạm Duy Dưởng, Dương Quang Thiện 28 P ,Y , dV e, dt l T V e, eT P s.t T M1 M2 M3 T M2 l T M3 I (15) với (10) P P I T B2 với P B2 P T M1 T A Y M2 P P P C A P , M3 B2 T C P P ma trận quan sát L T Y T I D1 l Y P eT P V e, D2 T Y (11) Đạo hàm hai vế (11), ta được: dV e, eT P e eT P e eT P dt eT P eT P e e P eT e e (12) eT P L A L C C e P T e P B2 D1 B2 D1 B2 L L D2 P P e e T B2 P T 0 0 T e T T e 0 (16) e dV e, V e, eT e dt dV T e, V e, J dt I 0 0 e eT D2 T A Để hệ thống (9) ổn định theo hàm mũ thỏa mãn điều e t kiện , bất phương trình sau phải thỏa mãn: t với J Thay (9) vào (12), ta được: dV e, dt eT T e Từ điều kiện Lipschitz (3), điều kiện tương đương (3) viết sau: , Chứng minh: Chọn hàm Lyapunov dạng toàn phương phụ thuộc vào sau: e e 0 T s s (17) , I Áp dụng trình S (S-procedure) [31] vào hai điều kiện (16) (17), ta điều kiện thỏa mãn yêu cầu ổn dV định theo hàm mũ e, V e, dt e t thỏa điều kiện Lipschitz (3), tồn t (13) với A P L D1 T C L P P A L , C D2 e Để đơn giản trình bày, đặt , (13) hệ số cho: l dV e, V e, dt dV e, V e, dt dV e, dt với Q T (14) T J eT l T J T l Q T e 0 (18) T viết gọn lại sau: T 0 I 0 0 Thay (15) vào (19) rút gọn, ta được: với P 1 B2T P T P T B2 0 0 J l Q sai số ước lượng e , ta có: (19) Suy điều kiện tương đương (20) sau: J l Q Thay ma trận Chọn tốc độ hội tụ (20) , J , Q định nghĩa (15), (17), (18) vào (20), ta bất phương trình ma ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.2, 2022 trận sau: P P T B2 T I P l P B2 l T I 0 2 I (21) Bất phương trình (22) thỏa mãn điều kiện sau thỏa mãn P P T B2 I T l P P B2 l T I I thay vào (22) ta bất P L phương trình ma trận tuyến tính Định lí Phần chứng minh Định lí hồn thành Từ bất phương trình ma trận (10) Định lí 1, muốn giải bất phương trình ta phải giải vơ số bất phương trình ma trận ứng với giá trị biến lập lịch trình Điều gần khơng thể giải Do đó, ta sử dụng phương pháp chia lưới [4] để giải bất phương trình ma trận (10) Cụ thể phương pháp trình bày phần áp dụng Áp dụng vào ước lượng trạng thái hệ thống treo bán tích cực Tương tự báo [4], [35], để đánh giá phân tích quan sát đề xuất miền tần số miền thời gian, phương pháp sử dụng để ước trạng thái hệ giảm chấn bán tích cực [4] 4.1 Mơ hình hóa tốn học hệ thống treo bán tích cực Trong phần này, mơ hình ¼ xe tác giả trình bày tài liệu tham khảo [4], [13] sử dụng để khảo sát hiệu quan sát Mơ hình ¼ xe gồm hệ thống treo (1 lị xo có độ cứng k s giảm chấn bán tích cực), bánh xe mơ hình hóa lị xo có độ cứng kt Khối lượng thân xe ( ms ) nối với khối lượng thân xe ( mus ) thông qua hệ thống treo Áp dụng định luật Newton cho hệ thống này, phương trình động lực học dao động quanh điểm cân hệ thống sau: ms z s Fs Fd (23) mus zus Fs Fd Ft Ft giảm chấn tạo báo [4] sau: Fd Fer Fer R vector tín hiệu nhiễu với zr đạo hàm tín u k0 z s fc với k0 , k1 , c0 , c1 , zus c0 zs zus Fer u k1 zs zus c1 zs thân xe làm đầu vào quan sát T y zs , zus R Phương trình trạng thái hệ thống viết sau: x Ax B2 y Cx D2 (24) , f c hệ số biết; zs , zus x D1 (25) Với ma trận hệ thống A , B2 ( ) , D1 , C , D2 biết Hàm phi tuyến x x , k1 , c1 ,0, c1 ,0 thỏa mãn điều kiện Lipschitz (3) Ở ứng dụng này, ta có ma trận B1 biến lập lịch xuất ma trận B2 ( ) Tuy nhiên, việc không ảnh hưởng tới việc áp dụng phương pháp trình bày phần 3, bất phương trình ma trận Định lí khơng có xuất B1 ma trận A A 4.2 Thiết kế quan sát phân tích miền tần số 4.2.1 Thiết kế quan sát Như trình bày mục 3, phần trình bày phương pháp chia lưới để giải bất phương trình ma trận (10), từ tìm ma trận L quan sát Để sử dụng phương pháp chia lưới, ma trận phụ thuộc P , L , Y chọn hàm đa thức bậc sau: P P0 P1 (26) L L0 L1 (27) Từ (26) (27), hàm Y Y P L Y0 Với Y0 Y1 P0 L0 , Y0 Biến lập trình zus nhiễu đo lường, biến lập lịch m R Sử dụng hai cảm biến gia tốc để đo gia tốc thân zus lực lò xo có độ cứng k s zr lực bánh xe tạo Mơ hình lực Fd kt zus zr Đặt Y k s zs Chọn trạng thái hệ thống sau T T x x1 , x2 , x3 , x4 , x5 z s zus , z s , zus zr , zus , Fer R5 , hiệu mặt đường (22) với Fs độ dịch chuyển thân thân xe zr biên dạng mặt đường Ở đây, tín hiệu điều khiển đầu vào u độ rộng xung PWM để điều khiển điện áp đặt vào giảm chấn bán tích cực Do đó, u 0%,100% m 2 29 N tính sau: P0 L0 P1 L0 P0 L1 Y2 PL P1 L1 (28) P0 L1 , Y2 P1 L1 chia thành N điểm sau: (29) Dựa vào giá trị i , i N điểm chia lưới biết từ phương trình (26), (27), (28), tốn tối Hồng Dũng, Phạm Thanh Phong, Phan Thị Thanh Vân, Phạm Duy Dưởng, Dương Quang Thiện 30 ưu với bất phương trình ma trận (10) tìm P Áp dung Định lí với phương pháp chia lưới tóm tắt Bảng vào hệ thống giảm chấn bán tích cực với điểm chia lưới sau: Y giảm thành toán tối ưu sau: P i ,Y i , 0.1, l s.t Ta kết sau: M1 M2 i M2 i l T M3 M3 i T I i i 0, i N (30) L0 I với M1 i Y i M2 i với P i A C T i P0 B2 i P i P i P P P1 i , M3 i P; Y i T i Y i i Y T i , l P T C i I Y0 i i A i D1 Y i D2 , i Y -0.0176 0.000034 -2325.2 -30.3684 -63.1529 -0.0883 , L1 -2325.2 -29.3687 0.1978 0.000064 0.9, 1.4142 , Từ định nghĩa Y0 , Y1 , Y2 biểu thức (28), ta viết dạng ma trận sau: P0 Y0 L (31) P1 P0 Y1 L1 P1 Y2 1010.6 -0.0008 0.000003 -2002.4 4.5636 -4.9521 0.0091 -2002.4 4.5635 -0.0844 0.000005 4.2.2 Phân tích miền tần số Trong phần này, ảnh hưởng nhiễu lên sai số ước lượng e phân tích miền tần số Đồ thị Bode hàm truyền từ Giải toán tối ưu điểm chia lưới trình bày, ta nghiệm P0 , P1 , Y0 , Y1 , Y2 l zr tới e m thể Hình Hình Các đồ thị vẽ 11 điểm chia lưới Từ (31), ma trận L0 , L1 tính sau: P0 P1 L0 L1 với P0 P1 Y0 Y1 Y2 (32) kí hiệu nghịch đảo Moore–Penrose ma trận Từ kết L0 L1 , ta tìm L dựa vào biểu thức (27) Để giúp người đọc dễ theo dõi phương pháp thiết kế trình bày, bảng tóm tắt bước thiết kế trình bày sau: Hình Hàm truyền e / zr Bảng Tóm tắt bước thiết kế quan sát Bước Nội dung Đầu vào bước thiết kế: - Những điểm chia lưới i , i N - Các ma trận A , B2 i , D1 , C , D2 Đầu bước thiết kế: - Ma trận quan sát L0 , L1 Bước Chọn hàm P , L Bước Tính hàm Y theo biểu thức (28) Bước Tính đạo hàm Bước Giải tốn tối ưu với bất phương trình ma trận (30) để tìm P0 , P1 , Y0 , Y1 , Y2 , l , Bước Tính L0 L1 theo biểu thức (32) P theo biểu thức (26) (27) P1 Hình Hàm truyền e / m Từ Hình Hình ta thấy, phương pháp có khả làm suy giảm ảnh hưởng nhiễu đến sai số ước lượng ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.2, 2022 31 4.3 Một số kết mô Trong phần này, quan sát mô miền thời gian với giá trị ban đầu hệ thống quan sát sau: T x0 0, 0, 0, 0, ; xˆ0 0.015, -0.15, 0.0015, -0.15, T Để phân tích kết mơ phần tập trung so sánh giá trị lực giảm chấn Fd giá trị ước lượng Fˆ Cả hai giá trị tính dựa vào công d thức (24) sau: Fd k0 x1 c0 x2 x4 x5 ; Fˆd k0 xˆ1 c0 xˆ2 xˆ4 xˆ5 Trong cơng thức tính Fd Fˆd ta thấy có xuất gần đầy đủ trạng thái giá trị ước lượng Do thơng qua việc so sánh lực Fd Fˆd , ta đánh giá hiệu ược lượng trạng thái phương pháp đề xuất Để đánh giá hiệu phương pháp đề xuất báo này, phương pháp so sánh với phương pháp quan sát LPV trình bày báo [4] Trong phần mô này, hai kịch mô để đánh giá hiệu quan sát sau: Kịch 1: Khi có tín hiệu mặt đường loại step Kịch mơ sử dụng để đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp đề xuất - Mặt đường zr tín hiệu step thể hình Hình - Tín hiệu điều khiển u xét số u 0.1 Hình Hình thể kết ước lượng lực sai số ước lượng quan sát kịch mô Trong đó, Hình thể giá trị Fd hệ thống (đường màu đỏ) giá trị ước lượng Fˆ từ quan d sát Cụ thể đường nét đứt màu xanh dương phương pháp đề xuất báo, đường chấm màu xanh phương pháp đề xuất [4] Sai số ước lượng kịch mô thể hình Hình Từ kết mơ kịch 1, quan sát đề xuất có tốc độ hội tụ nhanh phương pháp đề xuất [4] Hình Biên dạng mặt đường z r ( m ) kịch Hình Giá trị lực Fd Fˆd hai phương pháp kịch Hình Sai số ước lượng kịch Hình Biên dạng mặt đường z r ( m ) kịch Kịch 2: Khi có tín hiệu mặt đường loại chirp với tần số thay đổi từ 0Hz-10Hz Kịch mô sử dụng để đánh giá hiểu phương pháp đề xuất thay đổi tần số mặt đường - Mặt đường zr tín hiệu chirp với tần số thay đổi từ 0Hz-10Hz thể hình Hình - Tín hiệu điều khiển u xét số u 0.1 Kết mô kịch thể Hình Hình Từ kết mơ ta thấy, quan sát đề xuất hiệu trường hợp tần số nhiễu mặt đường thay đổi Hình Giá trị lực Fd Fˆd hai phương pháp kịch Hoàng Dũng, Phạm Thanh Phong, Phan Thị Thanh Vân, Phạm Duy Dưởng, Dương Quang Thiện 32 [14] [15] [16] Hình Sai số ước lượng kịch [17] Kết luận Trong báo trình bày quan sát trạng thái H cho hệ thống phi tuyến với thông số thay đổi, có xét đến ảnh hưởng nhiễu Trong đó, chuẩn H sử dụng để giảm thiểu ảnh hưởng nhiễu Sau đó, tốn thiết kế quan sát chuyển toán giải bất phương trình ma trận tuyến tính LMI thơng qua hàm Lyapunov toàn phương phụ thuộc Một phương pháp chia lưới trình bày để giải tốn tối ưu với bất phương trình ma trận tuyến tính LMI phụ thuộc Để đánh giá hiệu phương pháp này, quan sát áp dụng vào ước lượng trạng thái hệ thống treo bán tích cực Kết mô thể hiệu phương pháp Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ - Đại học Đà Nẵng đề tài có mã số B2020-DN06-21 [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kalman, R E., "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems." ASME J Basic Eng., vol 82, no.1, 1960, p 35–45, https://doi.org/10.1115/1.3662552 [2] Kalman, R E., and Bucy, R S., "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory." ASME J Basic Eng., vol 83, no 1, 1961, p 95–108, https://doi.org/10.1115/1.3658902 [3] Luenberger, D G., “Observing the state of a linear system”, IEEE transactions on military electronics, vol 8, no 2, 1964, p 74-80 [4] Pham, T P., Sename, O., & Dugard, L (2021) A nonlinear parameter varying observer for real‐time damper force estimation of an automotive electro‐rheological suspension system International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol 31, no 17, 2021, p.8183-8205, https://doi.org/10.1002/rnc.5583 [5] Wang Y, Rajamani R, Bevly DM “Observer design for parameter varying differentiable nonlinear systems, with application to slip angle estimation”, IEEE Transaction on Automatic Control, vol 62, no 4, 2016, p 1940-1945 [6] Raissi, T., Efimov, D., Zolghadri, A., “Interval state estimation for a class of nonlinear systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, vol 57, no 1, 2011, p 260-265 [7] Pertew, A M., Marquez, H J., Zhao, Q “H_infinity observer design for lipschitz nonlinear systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, vol 51, no 7, 2006, p 1211-1216 [8] Darouach, M., Boutat-Baddas, L., Zerrougui, M., “H∞ observers design for a class of nonlinear singular systems”, Automatica, vol 47, no 11, 2011, p 2517-2525 [9] Rajamani, R., “Observers for Lipschitz nonlinear systems”, IEEE transactions on Automatic Control, vol 43, no 3, 1998, p 397-401 [10] Darouach, M., Zasadzinski, M., Xu, S J., “Full-order observers for linear systems with unknown inputs”, IEEE transactions on automatic control, vol 39, no 3, 1994, p 606-609 [11] Koenig, D., Marx, B., Varrier, S., “Filtering and fault estimation of descriptor switched systems”, Automatica, vol 63, 2016, p 116-121 [12] Ha, Q P., Trinh, H., “State and input simultaneous estimation for a class of nonlinear systems”, Automatica, vol 40, no 10, 2004, p 1779-1785 [13] T-P Pham, O Sename and L Dugard, “Design and Experimental [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] Validation of an H∞ Observer for Vehicle Damper Force Estimation”, IFAC-PapersOnLine, vol 52, no 5, 2019, p 673-678 T-P Pham, O Sename and L Dugard, “LPV force observer design and experimental validation from a dynamical semi-active ER damper model”, IFAC-PapersOnLine, vol 52, no 17, 2019, p 60-65 Pham, T.-P., Tran, G Q B., Sename, O., Phan, T T V., Hoang, D., Nguyen, Q D (2022) “Real-time Damper Force Estimation for Automotive Suspension: A Generalized H2/LPV Approach”, Periodica Polytechnica Transportation Engineering, 50(4), pp 309– 317 https://doi.org/10.3311/PPtr.20076 Dugard, L., Sename, O., Aubouet, S., Talon, B., “Full vertical car observer design methodology for suspension control applications”, Control Engineering Practice, vol 20, no 9, 2012, p 832-845 Tudón-Martínez, J C., Fergani, S., Sename, O., Martinez, J J., Morales-Menendez, R., Dugard, L., “Adaptive road profile estimation in semiactive car suspensions”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol 23, no 6, 2015, p 2293-2305 Pham, D D., Duong, H T., & Suh, Y S., “Walking monitoring for users of standard and front-wheel walkers”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, vol 66, no 12, 2017, p 3289-3298 P D Dưởng and Đ Q Vinh, “Kết hợp cảm biến quán tính cảm biến khoảng cách ước lượng chuyển động bàn chân”, VCCA 2019, 2019 Morato, M M., Sename, O., Dugard, L., & Nguyen, M Q Fault estimation for automotive electro-rheological dampers: LPV-based observer approach Control Engineering Practice, vol 85, 2019, p.11-22 Do, M H., Koenig, D., Theilliol, D., “Robust H∞ proportionalintegral observer-based controller for uncertain LPV system”, Journal of the Franklin Institute, vol 357, no 4, 2020, p 2099-2130 Delgado-Aguiñaga, J A., Besancon, G., Begovich, O., & Carvajal, J E., “Multi-leak diagnosis in pipelines based on Extended Kalman Filter” Control Engineering Practice, vol 49, 2016, p 139-148 Koenig, D., Mammar, S., “Design of proportional-integral observer for unknown input descriptor systems”, IEEE transactions on automatic control, vol 47, no 12, 2002, p 2057-2062 Koenig, D., “Unknown input proportional multiple-integral observer design for linear descriptor systems: application to state and fault estimation”, IEEE Transactions on Automatic control, vol 50, no 2, 2005, p 212-217 Komachali, F P., Shafiee, M., Darouach, M., “Design of unknown input fractional order proportional–integral observer for fractional order singular systems with application to actuator fault diagnosis”, IET Control Theory and Applications, vol 13, no 14, 2019, p 2163-2172 T-P Pham, O Sename and L Dugard, “Unified H∞ Observer for a Class of Nonlinear Lipschitz Systems: application to a real ER Automotive Suspension”, IEEE Control Systems Letters, vol 3, no 4, 2019, p 817-822 G Q B Tran, T-P Pham, O Sename, “Multi-objective Unified qLPV Observer: Application to a Semi-active Suspension System”, IFAC-PapersOnLine, vol 54, no 8, 2021, p 136-141 Gao, N., Darouach, M., Voos, H., Alma, M., “New unified H∞ dynamic observer design for linear systems with unknown inputs”, Automatica, vol 65, 2016, p 43-52 Pérez‐Estrada, A J., Osorio‐Gordillo, G L., Darouach, M., Alma, M., Olivares‐Peregrino, V H., “Generalized dynamic observers for quasi‐LPV systems with unmeasurable scheduling functions”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol 28, no 17, 2018, p 5262-5278 Pérez-Estrada, A J., Osorio-Gordillo, G L., Alma, M., Darouach, M., Olivares-Peregrino, V H., “H∞ generalized dynamic unknown inputs observer design for discrete LPV systems Application to wind turbine”, European Journal of Control, vol 44, 2018, p 40-49 Osorio-Gordillo, G L., Darouach, M., Astorga-Zaragoza, C M., Boutat-Baddas, L., “Generalised dynamic observer design for Lipschitz non-linear descriptor systems”, IET Control Theory and Applications, vol 13, no 14, 2019, p 2270-2280 Boyd S, El Ghaoui L, Feron E, Balakrishnan V, “Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory”, SIAM, vol 15, Philadelphia, PA, 1994 C Briat, “Linear parameter-varying and time-delay systems”, Analysis, observation, filtering and control, Springer, 2014 A Zemouche and M Boutayeb, “On LMI conditions to design observers for Lipschitz nonlinear systems”, Automatica, vol 49, no 2, 2013, p 585–591 P T Phong, N Q Định, P D Dưởng, “Bộ quan sát trạng thái đa mục tiêu H2 / H∞ cho hệ thống phi tuyến với thơng số thay đổi có xét đến tín hiệu nhiễu: lý thuyết áp dụng”, VCCA 2021, 2022 ... sát trạng thái 3.1 Cấu trúc quan sát trạng thái Trong này, quan sát trạng thái Luenberguer mở rộng cho hệ thống phi tuyến với thông số thay đổi (1) Cấu trúc quan sát sau: xˆ vector tín hiệu đo... vào hệ thống vector nhiễu đo lường Hệ thống (4) hồn tồn viết dạng hệ thống (1) sau: x R A Do đó, hệ thống phi tuyến có thơng số thay đổi (1) tổng quát hệ thống phi tuyến mà có ma trận hệ thống. .. for Lipschitz nonlinear systems”, Automatica, vol 49, no 2, 2013, p 585–591 P T Phong, N Q Định, P D Dưởng, ? ?Bộ quan sát trạng thái đa mục tiêu H2 / H∞ cho hệ thống phi tuyến với thơng số thay