SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ KHĨA THI NGÀY 10.6.2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài ( điểm) b b c b) Chứng minh a,b, c dương a b c Cho số thực a,b, c thoả mãn điều kiện a a) Cho a c a , tìm b, c Bài ( điểm) Cho ba số dương x , y, z thỏa điều kiện x y xy P z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: xz Bài ( điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC , AB lấy điểm M, N cho BM BC ; AN AB a) Chứng minh MN vng góc với BC b) Gọi I giao điểm AM CN Tính góc BIC Bài ( điểm) Giả sử a,b, c ba số đôi khác c Chứng minh phương trình x ax bc phương trình x bx ca có nghiệm chung nghiệm khác hai phương trình thỏa mãn phương trình x cx ab Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB AC ) có đường cao AH Đường trịn tâm H bán kính HA cắt cạnh AC D Đường thẳng qua D vng góc với AC cắt BC E a) Chứng minh BH HE b) Đường thẳng qua E vng góc với BC cắt đường tròn (H ) K, L Chứng minh CK,CL tiếp tuyến (H ) Bài ( điểm) Gọi S tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị khơng q 2020 Chứng minh S có hai số mà tổng chúng 2021 HẾT ĐÁP ÁN Bài ( điểm) b Cho số thực a,b, c thoả mãn điều kiện a a) Cho a Thay a b c (*) a c , tìm b, c b b c vào (*), ta có hệ: 1 b c 2b b b b) Chứng minh a,b, c dương a b c c c b b • a b b c b c c a c a a a (vơ lý) • a b b c b c c a c a a a (vơ lý) • a b b c b c a b c Bài ( điểm) Cho ba số dương x , y, z thỏa điều kiện x y z xy P Tìm giá trị nhỏ biểu thức: xz Giải P xy xz y z xyz y x z y z x (y z) x y z Đẳng thức xảy x x y y Vậy giá trị nhỏ P z z y x y z z 16 16 Bài ( điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC , AB lấy điểm M, N cho BM BC ; AN AB a) Chứng minh MN vng góc với BC b) Gọi I giao điểm AM CN Tính góc BIC A a) Gọi M ' hình chiếu N BC Ta có: BM ' BN cos 600 BN AN BM Suy M ' trùng M đpcm b) Ta có: ABM CAN (c – g – c) N I AMB ANC BMIN nội tiếp B BMN BIN 900 BIC 900 C D M BIN Bài ( điểm) Giả sử a,b, c ba số đôi khác c Chứng minh phương trình x ax bc phương trình x bx ca có nghiệm chung nghiệm khác hai phương trình thỏa mãn phương trình x cx ab Giải Gọi x nghiệm chung hai phương trình Ta có x 02 ax Suy (a b)x bc c(a x 02 b) x0 bx ca c (do a b) c ac bc a b c (do c ) a b Suy a,b nghiệm phương trình x cx ab c Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB AC ) có đường cao AH Đường trịn tâm H bán kính HA cắt cạnh AC D Đường thẳng qua D vng góc với AC cắt BC E a) Chứng minh BH HE b) Đường thẳng qua E vng góc với BC cắt đường trịn (H ) K, L Chứng minh CK,CL tiếp tuyến (H ) A L M D B H C E K a/ Chứng minh BH HE Kẻ HM vng góc với AD MA Ta có MH // AB // DE MA MD MD BH HE b/ Chứng minh CK,CL tiếp tuyến (H ) Ta có HK HA2 HB.HC HEK ∽ HKC HKC HEK HE HC 900 CK tiếp tuyến (H ) Tương tự CL tiếp tuyến (H ) Bài ( điểm) Gọi S tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị khơng q 2020 Chứng minh S có hai số mà tổng chúng 2021 Giải Xét tập hợp T gồm tất số dạng 2021 s với s S Do T có 1011 số ngun dương phân biệt có giá trị khơng q 2020 Từ tập S T có 2022 số nguyên dương có giá trị khơng q 2020 Nên tồn hai số x, y 2021 số lẻ) S cho x 2021 y hay x y 2021 ( x y