toan roi rac 2 ngo xuan bach 5 spanning trees cuuduongthancong com

Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Khoa Cơng nghệ thơng tin Tốn rời rạc Cây Cây khung đồ thị Ngô Xuân Bách CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung Cây tính chất Cây khung đồ thị Bài toán khung nhỏ    CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1: Ta gọi đồ thị vơ hướng, liên thơng, khơng có chu trình Định nghĩa 2: Ta gọi rừng đồ thị vơ hướng, khơng có chu trình   o Như rừng đồ thị mà thành phần liên thơng Ví dụ: rừng có  (Phương ND, 2013) CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất Định lý: Giả sử 𝑇 =< 𝑉, 𝐸 > đồ thị vô hướng 𝑛 đỉnh, khẳng định sau tương đương:  1) 2) 3) 4) 5) 6) 𝑇 𝑇 khơng có chu trình có 𝑛 − cạnh 𝑇 liên thơng có 𝑛 − cạnh 𝑇 liên thông cạnh cầu Giữa hai đỉnh 𝑇 nối với đường đơn 𝑇 khơng chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình Chứng minh: Theo sơ đồ (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (6) ⇒ (1)  CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung Cây tính chất Cây khung đồ thị Bài toán khung nhỏ    CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 3: Cho 𝐺 đồ thị vô hướng liên thông Ta gọi đồ thị 𝑇 𝐺 khung 𝐺 (Cây bao trùm) 𝑇 thoả mãn hai điều kiện:  o o 𝑇 Tập đỉnh 𝑇 tập đỉnh 𝐺 Ví dụ:  CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Xây dựng khung đồ thị  Bài tốn: Cho đồ thị vơ hướng 𝐺 =< 𝑉, 𝐸 > Hãy xây dựng khung đồ thị bắt đầu đỉnh 𝑢 ∈ 𝑉  Cách làm o o Sử dụng thuật toán duyệt DFS BFS Mỗi ta đến đỉnh 𝑣 tức (𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑣- = 𝑡𝑟𝑢𝑒) từ đỉnh 𝑢 cạnh (𝑢, 𝑣) kết nạp vào khung CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Xây dựng khung đồ thị sử dụng thuật toán DFS (1/2) Thuật toán tạo khung từ đỉnh 𝒖 Tree-DFS(𝑢){ cℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑢- = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒; //đánh dấu đỉnh 𝑢 duyệt for(𝑣 ∈ 𝐾𝑒(𝑢)){ if( 𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑣-){ //nếu 𝑣 chưa duyệt 𝑇 = 𝑇 ∪ * 𝑢, 𝑣 +; //hợp cạnh (u, 𝑣) vào khung Tree-DFS(𝑣); //duyệt theo chiều sâu từ 𝑣 } } } CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Xây dựng khung đồ thị sử dụng thuật toán DFS (2/2) Thuật toán xây dựng khung Tree-Graph-DFS( ){ //Khởi tạo đỉnh chưa xét for(𝑢 ∈ 𝑉) cℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑢- = 𝑡𝑟𝑢𝑒; 𝑟𝑜𝑜𝑡 = < đỉ𝑛ℎ 𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ 𝑐ủ𝑎 đồ 𝑡ℎị >; //Lấy đỉnh làm gốc 𝑇 = ∅; //Cây ban đầu chưa có cạnh Tree-DFS(root); //Gọi thuật tốn tạo khung từ đỉnh if( 𝑇 < 𝑛 − 1) ; else ; } CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Kiểm nghiệm thuật tốn (1/2)  Cho đồ thị vơ hướng biểu diễn ma trận kề hình bên Áp dụng thuật toán xây dựng khung đồ thị sử dụng DFS cho đồ thị đỉnh 𝑢 = (Phương ND, 2013) 10 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Kiểm nghiệm thuật toán (2/2) Bước 10 11 12 13 11 Ngăn xếp đỉnh theo thứ tự gọi Tree-DFS(u) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 𝑻 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 =∅ = 𝑇 ∪ *(1,2)+ = 𝑇 ∪ *(2,3)+ = 𝑇 ∪ *(3,4)+ 𝑇 = 𝑇 ∪ *(3,5)+ 5, 𝑇 = 𝑇 ∪ *(5,6)+ 5, 6, 𝑇 = 𝑇 ∪ *(6,7)+ 5, 6, 7, 𝑇 = 𝑇 ∪ *(7,8)+ 5, 6, 7, 8, 𝑇 = 𝑇 ∪ *(8,9)+ 5, 6, 7, 8, 9, 10 𝑇 = 𝑇 ∪ *(9,10)+ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 𝑇 = 𝑇 ∪ *(10,11)+ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 𝑇 = 𝑇 ∪ *(11,12)+ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 𝑇 = 𝑇 ∪ *(12,13)+ Không thêm cạnh vào 𝑇 𝑇 = * 1,2 , 2,3 , 3,4 , 3,5 , 5,6 , 6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 , (11,12, (12,13))+ CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Xây dựng khung đồ thị sử dụng thuật toán BFS Tree-BFS(𝑢){ Bước 1: Khởi tạo T = ∅; 𝑞𝑢𝑒𝑢𝑒 = ∅; p𝑢𝑠ℎ(𝑞𝑢𝑒𝑢𝑒, 𝑢); 𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑢- = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒; Bước 2: Lặp while(𝑞𝑢𝑒𝑢𝑒 ≠ ∅){ 𝑠 = p𝑜𝑝(𝑞𝑢𝑒𝑢𝑒); for(𝑡 ∈ 𝐾𝑒(𝑠)){ if( 𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑡-){ p𝑢𝑠ℎ(𝑞𝑢𝑒𝑢𝑒, 𝑡); T = T ∪ * 𝑠, 𝑡 +; 𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡,𝑡- = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒; } } } Bước 3: Trả lại kết if( 𝑇 < 𝑛 − 1) ; else ; } 12 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Kiểm nghiệm thuật toán (1/2)  Cho đồ thị vô hướng biểu diễn ma trận kề hình bên Áp dụng thuật tốn xây dựng khung đồ thị sử dụng BFS cho đồ thị đỉnh 𝑢 = (Phương ND, 2013) 13 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Kiểm nghiệm thuật toán (2/2) Bước 10 11 12 13 14 Trạng thái hàng đợi 𝑻 𝑇=∅ 2, 3, 𝑇 = 𝑇 ∪ * 1,2 , 1,3 , (1,4)+ 3, 4, 𝑇 = 𝑇 ∪ *(3,5)+ 6, 7, 8, 𝑇 = 𝑇 ∪ * 5,6 , 5,7 , 5,8 , (5,9)+ 7, 8, 8, 9 10 𝑇 = 𝑇 ∪ *(9,10)+ 11, 12, 13 𝑇 = 𝑇 ∪ * 10,11 , 10,12 , (10,13)+ 12, 13 13 ∅ 𝑇 = * 1,2 , 1,3 , 1,4 , 3,5 , 5,6 , 5,7 , 5,8 , 5,9 , 9,10 , 10,11 , (10,12, (10,13))+ CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung    Cây tính chất Cây khung đồ thị Bài toán khung nhỏ 15 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Phát biểu toán    Cho 𝐺 =< 𝑉, 𝐸 > đồ thị vô hướng liên thông với tập đỉnh 𝑉 tập cạnh 𝐸 Mỗi cạnh 𝑒 đồ thị gán với số không âm 𝑐(𝑒) gọi độ dài cạnh Giả sử 𝐻 =< 𝑉, 𝑇 > khung đồ thị 𝐺 Ta gọi độ dài 𝑐(𝐻) khung 𝐻 tổng độ dài cạnh: 𝑐 𝐻 = 𝑒∈𝑇 𝑐(𝑒) Bài toán: Trong số khung đồ thị tìm khung có độ dài nhỏ 16 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ  Bài tốn nối mạng máy tính o  Một mạng máy tính gồm 𝑛 máy tính đánh số từ 1, 2, , 𝑛 Biết chi phí nối máy 𝑖 với máy 𝑗 𝑐,𝑖, 𝑗-, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, , 𝑛 Hãy tìm cách nối mạng cho chi phí nhỏ Bài toán xây dựng hệ thống cáp o 17 Giả sử ta muốn xây dựng hệ thống cáp điện thoại nối 𝑛 điểm mạng viễn thông cho điểm mạng có đường truyền tin tới điểm khác Biết chi phí xây dựng hệ thống cáp từ điểm 𝑖 đến điểm 𝑗 𝑐,𝑖, 𝑗- Hãy tìm cách xây dựng hệ thống mạng cáp cho chi phí nhỏ CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Thuật toán Kruskal (1/2)  Thêm dần cạnh vào khung  Mỗi bước chọn cạnh có trọng số nhỏ chưa nằm khung o  Nếu việc thêm cạnh vào khung không tạo thành chu trình thêm cạnh vào Thuật tốn dừng lại o o 18 Cây khung có đủ (𝑛 − 1) cạnh, Hoặc khơng cịn cạnh chưa nằm khung CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Thuật toán Kruskal (2/2) Kruskal( ){ Bước (khởi tạo): 𝑇 = ∅; //Ban đầu tập cạnh khung rỗng 𝑑 𝐻 = 0; //Ban đầu độ dài khung Bước (sắp xếp): ; Bước (lặp): while(|𝑇| < 𝑛 − && 𝐸 ≠ ∅ ){ 𝑒 = ; 𝐸 = 𝐸\*𝑒+; //Loại cạnh 𝑒 khỏi tập cạnh if (𝑇 ∪ *𝑒+ khơng tạo nên chu trình ){ T = 𝑇 ∪ *𝑒+; //Đưa 𝑒 vào khung 𝑑 𝐻 = 𝑑 𝐻 + 𝑑(𝑒); //cập nhật độ dài khung } } Bước (trả lại kết quả): if(|𝑇| < 𝑛 − 1) ; else return (T, d(H)); } 19 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Kiểm nghiệm thuật tốn  Áp dụng thuật tốn Kruskal tìm khung nhỏ cho đồ thị biểu diễn ma trận trọng số hình bên ? (Phương ND, 2013) 20 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Thuật toán Prim (1/2)  Duy trì hai tập đỉnh 𝑉𝐻 (tập đỉnh khung) 𝑉 (tập đỉnh chưa nằm khung) o o  Mỗi bước chọn cạnh có trọng số nhỏ có đỉnh 𝑉𝐻 đỉnh 𝑉 o o  Ban đầu 𝑉𝐻 = 𝑠 , 𝑠 đỉnh đồ thị 𝑉 tập đỉnh đồ thị trừ 𝑠 Đưa cạnh vào khung Đưa đỉnh liền kề với cạnh từ 𝑉 sang 𝑉𝐻 Thuật tốn dừng lại o o 21 Cây khung có đủ (𝑛 − 1) cạnh, Hoặc khơng cịn đỉnh 𝑉 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Thuật toán Prim (2/2) Prim( s){ Bước (khởi tạo): 𝑉𝐻 = *𝑠+; //Ban đầu 𝑉𝐻 chứa 𝑠 𝑉 = 𝑉\*𝑠+; //Loại 𝑠 khỏi 𝑉 𝑇 = ∅; //Cây khung ban đầu chưa có cạnh 𝑑 𝐻 = 0; //Độ dài khung ban đầu Bước (lặp): while(V ≠ ∅ ){ 𝑒 = (𝑢, 𝑣); //Cạnh có độ dài nhỏ với 𝑢 ∈ 𝑉, v ∈ 𝑉𝐻 T = 𝑇 ∪ *𝑒+; //Đưa 𝑒 vào khung 𝑑 𝐻 = 𝑑 𝐻 + 𝑑(𝑒); //Cập nhật độ dài khung 𝑉𝐻 = 𝑉𝐻 ∪ *𝑢+; //Đưa 𝑢 vào 𝑉𝐻 V = V\ 𝑢 ; //Loại 𝑢 khỏi 𝑉 } Bước (trả lại kết quả): if(|𝑇| < 𝑛 − 1) ; else return (T, d(H)); } 22 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Kiểm nghiệm thuật tốn  Áp dụng thuật tốn Prim tìm khung nhỏ cho đồ thị biểu diễn ma trận trọng số hình bên ? (Phương ND, 2013) 23 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt   Khái niệm cây, tính chất Cây khung đồ thị o o  Mọi đồ thị vô hướng liên thơng có khung Xây dựng khung đồ thị sử dụng thuật toán BFS DFS Bài toán khung nhỏ o 24 Thuật toán Kruskal thuật toán Prim CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập  Làm số tập giáo trình 25 CuuDuongThanCong.com http://www.ptit.edu.vn https://fb.com/tailieudientucntt ... 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,