Trêng THCS §ång Mü Phßng GD tp §ång híi Trêng THCS §ång Mü §Ò thi chän häc sinh giái thµnh phè m«n to¸n líp 8 N¨m häc 2008 2009 Thêi gian lµm bµi 120 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 ( 2,0 ®i[.]
Phòng GD Đồng hới Trờng THCS Đồng Mỹ Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn toán - lớp Năm học 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài ( 2,0 ®iĨm) Chøng minh r»ng: a) Víi mäi a Z , a b không chia hết cho th× a b chia hÕt cho b) Với n N n5 n ln có chữ số tận giống Bµi ( 2,0 điểm) 1 a) Giải phơng tr×nh: x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x y z Bài ( 1,5 điểm) Chng minh rằng: 2009 2009 2009 Nếu a, b, c số dương thoả mãn: 2010 1 a b c a b c th× ta có bất đẳng thức a b c 3abc Bài ( 1,5 điểm) Cho 6a - 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Bài ( 3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b) NC NB AN AB Phòng GD Đồng hới Trờng THCS Đồng Mỹ đáp án biểu điểm môn toán - lớp Năm học 2008-2009 Bài a) (1,0 điểm) Vi a không chia hết a có dạng 3k+1 3k+2 (k Z ) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia d NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + chia d Vậy nên a không chia hết cho a2 chia d 1.(1) Tơng tự ta cịng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho b2 chia d 1.(2) Từ (1) (2) ta cã a2-b2 3 (3) (0,5 ®) 6 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã a -b = (a -b )[(a ) +a b +(b ) ] = (a -b )[( a ) - 2a b +(b ) +3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b2 3 => (a2-b2)2 3 mµ 3a2b2 3 víi mäi a Z nên (a2-b2)2+ 3a2b2 (4) Từ (3) (4) suy (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a6-b6 (0,5 ®) b) (1,0 ®iĨm) Ta cần chứng minh: n5 – n 10 * Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) (0,25 ®) (vì với n N ta có n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) * Chứng minh: n5 – n n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) ( Vì với n N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + ) tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5n( n – 1)( n + ) với n N ) (0,5 ®) Vì ( ; ) = nên n5 – n 2.5 tức n5 – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,25 ®) Bài a) 1,0 điểm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 (0,5 ®) 1 ( x 4) ( x 7) 18 => 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = => x = -13 hc x = ( Thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy PT đà cho có hai nghiệm x1=-13; x2=2 (0,25 đ) (0,25 đ) b) 1,0 điểm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x y 0 y z 0 z x 0 x y z x2009 = y2009 = z2009 (0,25 ®) (1) (0,25 ®) Theo bµi ta cã x 2009 y 2009 z 2009 32010 (2) 2009 2010 2009 2009 Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z = z =3 z =3 Vậy x = y = z = Bµi Chứng minh rằng: Nếu a, b, c số dương thoả mãn: (0,25 ®) (0,25 ®) 1 a b c a b c th× ta có bất đẳng thức a b c 3abc Ta cã 1 bc ca ab a b c a b c a b c abc ab bc ca (a b c )abc (*)(v× a,b,c > nên abc>0) Mà a b 2ab; c b 2cb ; a c 2ac nên cộng theo vế bất đẳng thức ta ®ỵc 2(a b c ) 2(ab bc ca ) a b c ab bc ca ) (1) L¹i cã (a b c)2 a b c 2(ab bc ca ) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (a b c) 3(ab bc ca ) (**) Tõ (*) vµ(**) ta cã (a b c)2 3abc(a b c) a b c 3abc (V× a,b,c > nên a + b + c> 0) Bài ( 1,0 điểm) Cho 6a - 5b = 1.(1) Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Đặt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x 6a - 5b = nên (3x+ y)2 =(6a 5b)2 = áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã: 2 2 2 (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 DÊu b»ng xÈy Tõ (1) vµ (2) => b 10 Hay 4a2 + 25b2 10 x y 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2) ; 50 a 20 Bµi Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b) NC NB 1 AN AB C F a) ANC vuông N (vì MN =AM = M N A E B AC ) CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v Mà MNA = NAC => CNM = BAN Mặt khác CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN => BNE BAN b) Trên tia đối tia MN lấy ®iĨm F cho FM = MN Tø gi¸c ANCF hình chữ nhật (vì có đờng chéo cắt trung điểm đờng) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) => BAN BFA => FA BF NC FN NB NC AB NB NC NB 1 AN BA AN AB AN AB AN AB CN AC (§pcm) AN C¸ch kh¸c: b) Ta cã: ACN EAN => AN EA EN BNE Tõ BAN => AN BA BE NB (2) va (3) Tõ (1) vµ (2) => BN = AE NE BN BN AB CN AC CN AB AE EB EB EB 1 1 4 AN EA AN AE AE AE BN Từ (3) (4) => (1) CN NB (Đpcm) AN AB ... vµ (2) ta cã a2-b2 3 (3) (0,5 ®) 6 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã a -b = (a -b )[(a ) +a b +(b ) ] = (a -b )[( a ) - 2a b +(b ) +3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m a2-b2 => (a2-b2)2 mà 3a2b2... (x+13)(x-2) = => x = -1 3 x = ( Thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy PT đà cho có hai nghiệm x1 =-1 3; x2=2 (0,25 ®) (0,25 ®) b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = (x-y)2... víi mäi a Z nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4) Tõ (3) vµ (4) suy (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a6-b6 (0,5 ®) b) (1,0 ®iĨm) Ta cần chứng minh: n5 – n 10 * Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2