MÔ HÌNH XÍCH MARKOV và ỨNG DỤNG TRONG THUẬT TOÁN xếp HẠNG

Header Page of 132 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THANH BÌNH MƠ HÌNH XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG THUẬT TOÁN XẾP HẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 132 Header Page of 132 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hà Bình Minh, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phòng sau Đại học, thầy, giáo dạy Cao học chun ngành Tốn ứng dụng, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2016 TÁC GIẢ Lê Thanh Bình Footer Page of 132 Header Page of 132 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn "Mơ hình xích Markov ứng dụng thuật tốn xếp hạng" hồn thành hướng dẫn Tiến sĩ Hà Bình Minh Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 10 năm 2016 TÁC GIẢ Lê Thanh Bình Footer Page of 132 Header Page of 132 Mục lục Mở đầu Chương Mơ hình xích Markov rời rạc 1.1 Xích Markov ma trận chuyển 1.1.1 Định nghĩa xích Markov ma trận chuyển 1.1.2 Phân phối xác suất xích Markov 1.2 Xích Markov quy 11 1.2.1 Định nghĩa xích Markov quy 12 1.2.2 Vector trạng thái dừng xích Markov quy 15 1.2.3 Các tốn áp dụng có chứa xích Markov 19 Chương Áp dụng mơ hình xích Markov cho thuật tốn xếp hạng PageRank 25 2.1 Mô hệ thống trang web đơn giản dạng đồ thị 25 2.1.1 Đồ thị có hướng 25 2.1.2 Mô tả hệ thống trang web đơn giản dạng đồ thị 26 2.1.3 Ma trận biểu diễn đồ thị có hướng 26 2.1.4 Mơ hình xích Markov cho đồ thị có hướng 27 2.1.5 Hạn chế ma trận chuyển xích Markov 28 2.2 Thuật tốn PageRank dựa xích Markov 30 2.2.1 Ma trận Google 30 2.2.2 Tính tốn phân phối dừng ma trận Google xếp hạng trang web 31 Chương Áp dụng với ví dụ thực tế 34 3.1 Đặt toán 34 3.2 Mô dạng đồ thị Mơ hình hóa xích Markov 38 3.3 Tính tốn ma trận chuyển, trạng thái dừng xếp hạng chuyên đề phần mềm Matlab 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 Footer Page of 132 Header Page of 132 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thuật toán xếp hạng tiếng PageRank Google phát triển tảng tốn học mơ hình xích Markov Gần đây, ý tưởng thuật tốn PageRank ứng dụng việc xếp hạng tạp chí khoa học, dẫn đến đời số Eigen-Factor, bên cạnh số thông dụng khác Impact-Factor, H-Index, Việc hiểu rõ ý tưởng, sở toán học thuật toán xếp hạng mục tiêu luận văn Cấu trúc luận văn: Luận văn chia làm 03 chương, chương luận văn dành để giới thiệu mơ hình xích Markov rời rạc với khái niệm liên quan Chương trình bày chi tiết việc áp dụng mơ hình xích Markov cho thuật tốn xếp hạng PageRank Chương chúng tơi trình bày áp dụng vào tốn Sắp xếp chun đề tốn chương trình tốn bậc trung học sở Việt Nam Mục đích nghiên cứu Sử dụng mơ hình xích Markov thuật tốn xếp hạng Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov thuật tốn xếp hạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mơ hình xích Markov ứng dụng Footer Page of 132 Header Page of 132 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng mơ hình xác suất rời rạc, ngơn ngữ lập trình MATLAB, Đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống, chi tiết mơ hình xích Markov rời rạc áp dụng mơ hình vào thuật toán xếp hạng trang web Google Luận văn trình bày số ví dụ cụ thể mặt lập trình, thực thuật tốn Luận văn tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm tới mơ hình xích Markov thuật tốn xếp hạng trang web Google Footer Page of 132 Header Page of 132 Chương Mô hình xích Markov rời rạc Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết quả, ví dụ mơ hình xích Markov Nội dung chương viết dựa chương 10 tài liệu tham khảo [5] 1.1 Xích Markov ma trận chuyển 1.1.1 Định nghĩa xích Markov ma trận chuyển Để đưa định nghĩa mô hình xích Markov, trước tiên ta xét mơ hình sau Trong hình 1.1 gồm bốn phịng, phịng có màu khác đánh số theo thứ tự 1, 2, 3, Ta thả chuột vào phịng quan sát Vì hành vi chuột khơng thể dự đốn được, ta dùng xác suất để mơ tả chuyển động chuột Ta coi Hình 1.1: phòng trạng thái, trạng thái thứ i, (i = 1, 2, 3, 4) tương ứng với chuột phòng thứ i, (i = 1, 2, 3, 4) kí hiệu pij xác suất di chuyển từ trạng thái i tới trạng thái j khoảng quan sát Chẳng hạn, xác suất p12 mà chuột di chuyển từ trạng thái tới trạng thái p12 = 21 , xác suất di chuyển từ trạng thái tới trạng thái phải p13 = 41 Ta có p14 = khơng có đường trực tiếp từ phịng tới Khi p11 = 41 Footer Page of 132 Header Page of 132 xác suất mà chuột lại phòng khoảng quan sát Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi ma trận  p11  p21 P = p  31 p41 p12 p22 p32 p42 p13 p23 p33 p43  p14  p24   p34   p44 ma trận chuyển phép thử nghiệm Trong ví dụ trên, với trạng thái P ma trận kích thước × Ta có cách điền giá trị xác suất, ma trận P là:   1  41 22    6 P = 1 1 3 3 1 4 Ta biểu diễn phần tử P cách sử dụng sơ đồ Ở hình 1.2 đây, phần tử P xác suất có điều kiện biểu diễn xác suất mà chuột tới phòng cho trước mà ta biết chuột Đây ý tưởng cốt yếu di chuyển từ trạng thái tới trạng thái khác với xác suất tạo thành sở xích Markov Định nghĩa 1.1.2 (Xích Markov) Một xích Markov dãy phép thử nghiệm mà kết phép thử nghiệm số trạng thái ta đánh số 1, 2, , m Xác suất trạng thái riêng phụ thuộc vào trạng thái trước chiếm giữ Nếu pij xác suất di chuyển từ trạng thái i tới trạng thái j, ma trận chuyển P = [pij ] xích Markov ma trận kích thước: m × m   p11 p12 p1m    p21 p22 p2m   P =     pm1 pm2 pmm Footer Page of 132 Header Page of 132 Hình 1.2: Lưu ý rằng, ma trận chuyển P ma trận vuông với phần tử xác suất, giá trị phần tử pij (1 ≤ i, j ≤ m) Hơn nữa, tổng phần tử dịng ln Ma trận chuyển xích Markov chứa thơng tin cần thiết cho phép ta dự đốn điều xảy ta biết điều xảy trước Như vậy, để biết điều ta cần đặc biệt hóa tình lúc bắt đầu phép thử nghiệm Nghĩa ta cần phải có giá trị xác suất ban đầu lúc bắt đầu phép thử nghiệm Chẳng hạn, ta cần phải đặc biệt hóa phịng mà chuột lúc bắt đầu phép thử dịng vector sử dụng để biểu diễn mục đích Định nghĩa 1.1.3 (Phân phối xác suất ban đầu) Trong xích Markov với m trạng thái, phân phối xác suất ban đầu × m dịng vector v (0) , có phần tử thứ i xác suất phép thử trạng thái i lúc bắt đầu Chẳng hạn, chuột có khả đặt phòng lúc bắt đầu, ta có v (0) = [ 14 41 14 14 ] Nếu chuột luôn vị trí ban đầu phịng số 1, ta có v (0) = [1 0 0] Footer Page of 132 Header Page 10 of 132 1.1.2 Phân phối xác suất xích Markov Trong mục ta trình bày cách tìm phân phối xác suất xích Markov Ta minh họa qua ví dụ sau: Ví dụ 1.1.1 Trong hình 1.1, giả sử ta điền xác suất chuyển từ phòng tới phòng 1, 2, 3, là: 1 { 0} 3 Ở đây, chuột bắt đầu phòng 1, xác suất 13 lần lại phịng thời gian khoảng quan sát, 13 xác suất vào phịng 2, xác suất vào phịng Vì chuột khơng thể tới phòng trực tiếp từ phòng 1, xác suất Tương tự, xác suất chuyển từ phòng 2, phòng phòng tương ứng sau: 1 { }; 3 1 { }; 3 1 } {0 3 Ta tìm: Ma trận chuyển P ; Nếu vị trí ban đầu chuột phịng 4, tìm phân phối xác suất ban đầu; Phân phối xác suất sau hai lần quan sát, giả thiết vị trí ban đầu chuột phòng 4? Lời giải: Ma trận chuyển P  1  3 1 3 3 Footer Page 10 of 132  0 1 3 ; 1  3 3  Header Page 36 of 132 sử dụng giá trị p = 0.85 cho ma trận Google Trong mô hình trang web, từ (2.2.1) ma trận Google tính sau   0 0 0   1/2 0 1/2 0     1/3 1/3 1/3      G = 0.85 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7     1/2 0 1/2     1/3 1/3 1/3  1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7     +0.15 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7     1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7   021429 021429 84429 142857 021429 021429 021429   .446429 021429 304762 142857 446429 021429 021429   .021429 304672 021429 304672 021429 304762 021429     = .142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857   .021429 446429 021429 021429 021429 446429 021429     .021429 021429 304762 021429 304762 021429 304762 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857 Tiếp theo, ta tính tốn trạng thái dừng v∞ cho ma trận G cách dựa vào công thức sau đây: v∞ = 1(I − G + Q)−1 32 Footer Page 36 of 132 (2.2.2) Header Page 37 of 132    1      1  , I =  = 1 , Q =        1 Áp dụng công thức (2.2.2) với ma trận G trên, ta thu được: 0       v∞ = 116293 168567 191263 098844 164054 168567 092413 Ta tới định nghĩa sau hạng trang web: Định nghĩa 2.2.1 Hạng trang web i thứ hạng tần i suất v∞ vectơ v∞ Như vậy, theo định nghĩa thứ hạng trang web, trang web quan trọng theo thuật toán PageRank trang ứng với giá trị lớn vector v∞ Như vậy, ta xếp hạng trang web theo thứ tự 3, 6, 5, 1, 33 Footer Page 37 of 132 Header Page 38 of 132 Chương Áp dụng với ví dụ thực tế 3.1 Đặt toán Trong mục chúng tơi xét tốn Xếp hạng chun đề tập chương trình tốn Trung học sở (THCS) sau: Giả sử chương trình tốn bậc THCS Việt Nam chia thành 100 chuyên đề tập theo bảng STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tên Chuyên đề Tập hợp; Các tập hợp số: Tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực, Các phép tính (cộng, trừ, nhân chia, ) tập hợp số tính chất; Lũy thừa, phép tính lũy thừa; Thứ tự thực phép tính; Quy tắc phá dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế; Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 8, 9, Ước bội; Số nguyên tố, hợp số; Số phương; Phân số; Giá trị tuyệt đối; Tỉ lệ thức, tính chất tỉ lệ thức; Dãy tỉ số nhau, tính chất dãy tỉ số nhau; Số thập phân hữu hạn, vơ hạn tuần hồn (khơng tuần hồn); Đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch; Hàm số đồ thị (mức độ đơn giản); Thống kê; Đơn thức, phép tính đơn thức; Đa thức, phép tính đa thức; 34 Footer Page 38 of 132 Header Page 39 of 132 STT 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Tên Chuyên Đề Nghiệm đơn thức, đa thức biến; Những đẳng thức đáng nhớ; Phân tích đa thức thành nhân tử; Phân thức đại số, phép toán phân thức đại số; Biến đổi biểu thức hữu tỉ; Rút gọn phân thức; Phương trình bậc nhất; Phương trình tích; Phương trình chứa ẩn mẫu; Phương trình nghiệm ngun; Phương trình hàm; Giải tốn cách lập phương trình; Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Phương trình vơ tỉ; Phương trình bậc cao; Bất phương trình; Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Căn bậc 2; phép biến đổi thức; Biến đổi biểu thức vô tỉ (chứa bậc hai); Hàm số bậc nhất, đồ hàm số bậc nhất; Hệ phương trình bậc ẩn cách giải; Hệ phương trình bậc ẩn cách giải; Giải tốn cách lập hệ phương trình; Phương trình bậc cách giải; Hệ thức Vi-et ứng dụng; Bất đẳng thức; Các tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức; Các phép toán chia hết số nguyên; Hoán vị; Sơ đồ Horno (phép chia đa thức); 35 Footer Page 39 of 132 Header Page 40 of 132 STT 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Tên Chuyên đề Đoạn thẳng, đường thẳng; Ba điểm thẳng hàng, trung điểm đoạn thẳng; Góc, tia phân giác góc; Hai đường thẳng vng góc, song song; Quan hệ vng góc, song song, tiên đề Ơ-Clit đường thẳng song song; Hai tam giác nhau; Các trường hợp hai tam giác; Các trường hợp hai tam giác vuông; Tam giác vuông, định lý Py-ta-go; Tam giác cân, tam giác đều; Diện tích; Cơng thức tính diện tích số hình đơn giản: Tam giác, HCN, HV, Quan hệ cạnh, góc tam giác; BĐT tam giác; Tính chất đường trung tuyến tam giác; Tính chất đường phân giác tam giác; Tính chất đường cao tam giác; Tính chất đường trung trực tam giác; Hình thang, hình thang cân; Đường trung bình hình thang, tam giác; Hình bình hành: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Hình thoi: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Hình chữ nhật: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Hình vng: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, ; Định lý Talet; Tam giác đồng dạng; Các trường hợp đồng dạng hai tam giác; Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vng; Hình hộp chữ nhật; Hình lăng trụ; Hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp đều; 36 Footer Page 40 of 132 Header Page 41 of 132 STT 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tên Chuyên Đề Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vng; Tỉ số lượng giác góc nhọn; Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng; Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn; Đường trịn: Định nghĩa, tính chất bản; Đường kính dây đường trịn; Vị trí tương đối đường tròn; Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây; Quan hệ góc dây cung; Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn; Góc nội tiếp; Cung chứa góc; Góc có đỉnh bên trong, bên ngồi đường trịn; Tứ giác nội tiếp đường tròn; Đường tròn nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp; Tiếp tuyến đường trịn; Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; Độ dài đường trịn, cung trịn; Hình trụ, hình nón, hình cầu; Diện tích xung quanh, thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu; Bảng 3.1: Bảng Chuyên đề tập toán THCS Việt Nam 37 Footer Page 41 of 132 Header Page 42 of 132 3.2 Mô dạng đồ thị Mơ hình hóa xích Markov Để xếp hạng chuyên đề, ta áp dụng thuật tốn PageRank trình bày chương Ở đây, hệ thống chuyên đề tập mơ hình hóa đồ thị có hướng, đỉnh chuyên đề tập, mũi tên (ứng với cạnh) từ chuyên đề j tới chuyên đề i chuyên đề có liên hệ với Với 100 Chuyên đề cho Bảng (3.1) trên, ta giả sử có Đồ thị (của 15 Chuyên đề đầu) sau: Hình 3.1: Đồ thị 15 Chuyên Đề tập toán THCS Theo thuật toán PageRank, tầm quan trọng chuyên đề hiểu sau: "Tầm quan trọng chuyên đề đo kích thước tương đối 38 Footer Page 42 of 132 Header Page 43 of 132 thành phần tương ứng vector trạng thái dừng q cho xích Markov chọn cách phù hợp." Ta thấy rằng, với người làm tập toán chuyên đề, họ bắt đầu tập thuộc chuyên đề đó, người di chuyển từ chuyên đề tới chuyên đề khác ngẫu nhiên Vì việc chọn chuyên đề ngẫu nhiên nên dẫn tới chun đề khơng có liên hệ với chuyên đề khác Do việc người làm tập lựa chọn chuyên đề coi xích Markov 3.3 Tính tốn ma trận chuyển, trạng thái dừng xếp hạng chuyên đề phần mềm Matlab Dựa vào bảng 3.1 ta tính ma trận biểu diễn đồ thị chuyên đề tốn xếp hạng chun đề là: Hình 3.2: Ma trận biểu diễn đồ thị chuyên đề tập tốn THCS Để tìm trạng thái dừng a = (a1 , a2 , , a100 ) ta áp dụng công thức: a = (I − G + Q)−1 39 Footer Page 43 of 132 Header Page 44 of 132 = (1, 1, , 1)t I ma trận đơn vị cấp 100, Q = [1]100×100 ma trận vng cỡ 100 × 100 có tất phần tử Ta chạy đoạn code sau phần mềm Matlab: clear clc A=xlsread(’matranchuyen.xls’, 1, ’C3:CX102’); A(isnan(A)) = 0; n=size(A,1); D=sum(A,2); D=diag(1./D); P=D*A; %Xu ly cac nut Darling, tuc tim Pstar tu P Pstar=P; for i=1:n if P(i,i)==1 for j=1:n Pstar(i,j)=1/n; end end end p=0.85; K=ones(n)./n; G=p*Pstar+(1-p)*K;%Tim ma tran Google matrix1=ones(1,n); I=eye(n); Q=ones(n); vinf=matrix1/(I-G+Q);%vinf=matrix1*(I-G+Q)^{-1} xlswrite(’vinf.xls’, vinf);%Ghi du lieu file vinf.xls 40 Footer Page 44 of 132 Header Page 45 of 132 Ta thu trạng thái dừng ma trận G a = (a1 , a2 , , a100 ) : a1 = 0.030860827 a4 = 0.021832491 a7 = 0.015494826 a10 = 0.013705984 a13 = 0.005800773 a2 = 0.028296884 a5 = 0.02636117 a8 = 0.012609652 a11 = 0.014731892 a14 = 0.004455174 a3 = 0.038549000 a6 = 0.030264486 a9 = 0.018491812 a12 = 0.022814807 a15 = 0.009993797 a16 = 0.003865517 a19 = 0.012882629 a22 = 0.023049985 a25 = 0.011640084 a28 = 0.01633141 a17 a20 a23 a26 a29 a18 a21 a24 a27 a30 a31 a34 a37 a40 a43 = 0.012837794 = 0.013050851 = 0.013342948 = 0.009726534 = 0.020867602 a32 = 0.024503909 a35 = 0.012800563 a38 = 0.013580465 a41 = 0.0123331 a44 = 0.012102175 a33 = 0.015979369 a36 = 0.014094322 a39 = 0.01433111 a42 = 0.013525539 a45 = 0.007571697 a46 = 0.010977126 a49 = 0.004840473 a52 = 0.003529128 a55 = 0.00451498 a58 = 0.004229177 a47 = 0.023379965 a50 = 0.003313183 a53 = 0.005259712 a56 = 0.00449298 a59 = 0.006680989 a48 = 0.0105098 a51 = 0.007267486 a54 = 0.004905842 a57 = 0.004325533 a60 = 0.004596884 a61 a64 a67 a70 a73 a62 = 0.003675113 a65 = 0.004538723 a68 = 0.003091106 a71 = 0.003783624 a74 = 0.00347617 a62 = 0.00473702 a66 = 0.004619478 a69 = 0.003591321 a72 = 0.004763779 a75 = 0.004257751 = 0.003427071 = 0.004031101 = 0.004619478 = 0.003321527 = 0.004628262 = 0.013066011 = 0.015367055 = 0.016915702 = 0.010669241 = 0.016675956 41 Footer Page 45 of 132 = 0.003478552 = 0.021167104 = 0.009929711 = 0.032304371 = 0.018703909 Header Page 46 of 132 a76 = 0.004615935 a79 = 0.002695793 a82 = 0.003020173 a85 = 0.00883734 a88 = 0.004555535 a77 a80 a83 a86 a89 = 0.004973995 = 0.003169199 = 0.004223217 = 0.003779464 = 0.003921481 a78 a81 a84 a87 a90 = 0.003242604 = 0.003856452 = 0.002816169 = 0.004128702 = 0.004612052 a91 = 0.004794334 a92 = 0.004657174 a93 = 0.00464142 a94 = 0.004691103 a95 = 0.004883045 a96 = 0.004881715 a97 = 0.004735675 a98 = 0.004547065 a99 = 0.002761444 a100 = 0.002615339 Như vậy, dựa vào kết tính tốn ta thấy giá trị a3 = 0.038549000 lớn hay chuyên đề (các phép tính (cộng, trừ, nhân chia, ) tập hợp số tính chất) quan trọng Giá trị a100 = 0.002615339 nhỏ nhất, hay chuyên đề 100 (hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp đều) quan trọng Bảng 3.2 bảng 15 chuyên đề quan trọng bảng 3.3 15 chuyên đề quan trọng 42 Footer Page 46 of 132 Header Page 47 of 132 STT Tên chuyên đề Giá trị Các phép tính (cộng, trừ, nhân chia, ) tập hợp số tính chất a3 = 0.038549000 Phương trình bậc a27 = 0.038549000 Tập hợp a1 = 0.030860827 Quy tắc phá dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế a6 = 0.030264486 Các tập hợp số: Tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực, a2 = 0.028296884 Thứ tự thực phép tính a5 = 0.02636117 Giải tốn cách lập phương trình a32 = 0.024503909 Các tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức a47 = 0.023379965 Những đẳng thức đáng nhớ a22 = 0.023049985 10 Giá trị tuyệt đối a12 = 0.022814807 11 Lũy thừa, phép tính lũy thừa a4 = 0.021832491 12 Nghiệm đơn thức, đa thức biến a21 = 0.021167104 13 Giải toán cách lập hệ phương trình a43 = 0.020867602 14 Phương trình nghiệm nguyên a30 = 0.018703909 15 Số nguyên tố, hợp số a9 = 0.018491812 Bảng 3.2: 15 chuyên đề quan trọng 43 Footer Page 47 of 132 Header Page 48 of 132 STT Tên chuyên đề Giá trị Đường trung bình hình thang, tam giác a69 = 0, 003591321 Ba điểm thẳng hàng, trung điểm đoạn thẳng a52 = 0, 003529128 Thống kê a18 = 0, 003478552 Định lý Talet a74 = 0, 00347617 Diện tích a61 = 0, 003427071 Hình bình hành: Tính chất, dấu hiệu nhận biết, a70 = 0, 003321527 Sơ đồ Horno (phép chia đa thức) a50 = 0, 003313183 Hình hộp chữ nhật a78 = 0, 003242604 Hình chóp, hình chóp cụt, hình chóp a80 = 0, 003169199 10 Hình thang, hình thang cân a68 = 0, 003091106 11 Tỉ số lượng giác góc nhọn a82 = 0, 003020173 12 Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn a84 = 0, 002816169 13 Hình trụ, hình nón, hình cầu a99 = 0, 002761444 14 Hình lăng trụ a79 = 0, 002695793 15 Diện tích xung quanh, thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu a100 = 0, 002615339 Bảng 3.3: 15 chuyên đề quan trọng 44 Footer Page 48 of 132 Header Page 49 of 132 III KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Trình bày chi tiết mơ hình xích Markov rời rạc với khái niệm liên quan ma trận chuyển, vector trạng thái dừng, cách tìm vector trạng thái dừng vài ví dụ thực tế; Trình bày chi tiết việc áp dụng mơ hình xích Markov cho thuật tốn xếp hạng PageRank, tính tốn ma trận chuyển tìm vector trạng thái dừng qua ví dụ cụ thể; Áp dụng lập trình phần mềm Matlab qua ví dụ, tốn xếp hạng chun đề toán THCS Việt Nam bao gồm phần đại số hình học với số chuyên đề nhiều Trong thời gian tới, tiếp tục quan tâm tới toán xếp hạng chuyên đề xét riêng chuyên đề đại số hình học tốn độc lập Do lực nghiên cứu trình độ thân cịn hạn chế nên luận văn tìm hiểu, xếp trình bày kết theo mục đích luận văn đề Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chân thành cảm ơn! 45 Footer Page 49 of 132 Header Page 50 of 132 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Thái Sơn, (2010) LATEX - Sắp chữ - Vẽ hình & Đại số máy tính, NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh [B] Tiếng Anh [2] Olle Haggstrom (2002), Finite Markov Chains and Algorithmic Applications, Cambridge University Press [3] R Kumar P, K wang Leng, A K Singh (2011), Application of Markov chain in the PageRank algorithm, Conference paper [4] David C Lay, Steven R Lay, Judi J McDonald, (2015) Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Verlag [5] M Sullivan, (), Finite mathematics an applied approach, Chicago state University, Eleventh edition, John wiley & sons, Inc [6] Matlab The language Of Technical Computing - Coppyright 1984 2004, The Mathwords, Inc 46 Footer Page 50 of 132 ... nghiên cứu Sử dụng mơ hình xích Markov thuật tốn xếp hạng Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng mơ hình xích Markov thuật toán xếp hạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mơ hình xích Markov ứng dụng Footer Page... mơ hình xích Markov rời rạc với khái niệm liên quan Chương trình bày chi tiết việc áp dụng mơ hình xích Markov cho thuật tốn xếp hạng PageRank Chương chúng tơi trình bày áp dụng vào toán Sắp xếp. .. thái dừng xích Markov quy 15 1.2.3 Các tốn áp dụng có chứa xích Markov 19 Chương Áp dụng mô hình xích Markov cho thuật tốn xếp hạng PageRank