TOÁN RỜI RẠC

TOÁN RỜI RẠC Cơ sở Logic Nội dung: gồm chương - Chương 1: Cơ sở logic - Chương 2: Quan hệ - Chương 3: Phép đếm - Chương 4: Đại số Bool & Hàm Bool Nội dung: gồm chương Chương 1: Cơ sở logic Chương 2: Quan hệ Chương 3: Phép đếm Chương 4: Đại số Bool & Hàm Bool Cơ sở Logic I Mệnh đề Định nghĩa: • Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định, sai • Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… khơng mệnh đề Ví dụ: - mặt trời quay quanh trái đất - 1+1 =2 - Hôm trời đẹp ! (không mệnh đề) - Học ! (không mệnh đề) - số chẵn phải không? (không mệnh đề) Cơ sở Logic I Mệnh đề Ký hiệu: người ta dùng ký hiệu P, Q, R… để mệnh đề Chân trị mệnh đề:  Một mệnh đề sai, khơng thể đồng thời vừa vừa sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai  Chân trị chân trị sai ký hiệu 1(hay Đ,T) (hay S,F) Cơ sở Logic I Mệnh đề Kiểm tra khẳng định sau có phải mệnh đề khơng? - Paris thành phố Mỹ n số tự nhiên nhà mà xinh thế! số nguyên tố Tốn rời rạc mơn bắt buộc ngành Tin học xBạn + 1có khỏe khơng? X số dương Cơ sở Logic I Mệnh đề Phân loại: gồm loại a Mệnh đề phức hợp: mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết liên từ (và, hay, khi,…) trạng từ “không” b Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác thông qua liên từ trạng từ “khơng” Ví dụ: - khơng số nguyên tố - số nguyên tố (sơ cấp) - Nếu 3>4 trời mưa - An xem phim hay An học - Hôm trời đẹp +1 =3 Cơ sở Logic I Mệnh đề Các phép tốn: có phép toán a Phép phủ định: phủ định mệnh đề P ký hiệu ¬P hay (đọc P “không” P hay “phủ định của” P Bảng chân trị : Ví dụ : • số ngun tố Phủ định: khơng số ngun tố • >2 Phủ định : 1≤ I Mệnh đề Cơ sở Logic b Phép hội (nối liền , giao): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P ∧ Q (đọc “P Q”), mệnh đề định : P ∧ Q P Q đồng thời Bảng chân trị Ví dụ: - 3>4 Trần Hưng Đạo vị tướng (S) - số nguyên tố số chẵn (Đ) - An hát uống nước (S) I Mệnh đề Cơ sở Logic c Phép tuyển (nối rời , hợp): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P ∨ Q (đọc “P hay Q”), mệnh đề định : P ∨ Q sai P Q đồng thời sai Bảng chân trị Ví dụ: - π >4 hay π >5 (S) - số nguyên tố số chẵn (Đ) • “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà rửa chén” • “Hơm nay, đẹp thơng minh ” • “Ba đọc báo hay xem phim” 10 Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Ví dụ phủ định mệnh đề sau “∀x ∈ A, 2x + ≤ 0” “∀ε > 0, ∃ δ > 0, ∀x ∈ R, | x – a| < δ → | f(x) – f(a)| < ε” Trả lời : “∃ x ∈ A, 2x + > 0” “∃ ε > 0, ∀δ > 0, ∃ x ∈ R, | x – a| < δ ∧ (| f(x) – f(a)| ≥ ε)” 60 Cơ sở Logic IV Vị từ lượng từ Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng: Nếu mệnh đề có dạng lượng từ hóa biến x ∈ A bị buộc lượng từ phổ dụng ∀, thay x a ∈ A ta mệnh đề Ví dụ: “Mọi người chết” “Socrate người” Vậy “Socrate chết” ∀x ∈ A, p ( x) a∈ A ∴ p(a) 61 Bài tập Đề thi ĐHBK2000 Kiểm tra lại dạng mệnh đề sau [p→(q ∨ r)] →[(p →q) ∨(p →r)] 2) Đề thi KHTN 2001 Kiểm tra lại tính đắn suy luận sau p q →r p →¬ r _ ∴¬ q 1) 62 62 Bài tập  Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh dạng mệnh đề sau đúng: a) ((p → q) ∧ p) → q b) ((p → q) ∧¬q ) →¬p c) ((p ∨ q) ∧ ¬q) → p d) (p → q) ↔ ((p ∧¬q ) → 0) e) ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) f) ((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∧ (q → r)) g) (p → q) → ((q → r) → (p → r)) 63 63 Bài tập  Cho p, q, r biến mệnh đề Chứng minh: a)((p → r) ∨ (q → r))→(p →r)⇔ p → (q ∨ r) b) ((¬p∧ q ∧¬r) →¬q ) →(p ∨ r)⇔p∨q ∨ r c) ((p → r)∧(q → r))→(p→q) ⇔¬p∨ q ∨ ¬r d) (p → q) ∧ (p → r) ⇔ p → (q ∧ r) 64 64 Bài tập Hãy kiểm tra suy luận sau: a) p→q p→q q q r r ∴p∨ r ∴p∨ r 65 65 Bài tập  b) p∧q p → (r ∧ q) r → (s ∨ t) s ∴t p → (q → r) q→p p ∴r 66 66 c) p↔q q→r r∨s s→q ∴s Bài tập p p→q (q ∧ r) → s t→r ∴s → t 67 67 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CƠ BẢN Chứng minh gì?  Một hệ thống toán học bao gồm tiên đề, định nghĩa, khái niệm không định nghĩa Các tiên đề giả định la` Các định nghĩa sử dụng để xây dựng hay đưa khái niệm sở khái niệm có  Một lập luận (hay lý luận) tính đắn mệnh đề phát biểu định lý gọi chứng minh Các cấu trúc chứng minh thường sử dụng : chứng minh trực tiếp, chứng minh cách phân chia trường hợp (phân chứng), phản chứng, phản ví dụ, chứng minh qui nạp 68 Chứng minh trực tiếp Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh suy diễn trực tiếp dẫn từ giả thiết đến kết luận thông qua việc áp dụng luật suy diễn (hay qui tắc suy diễn), Ta dùng luật suy diễn nào?      Ví dụ 1: 1: Giả sử p, r, s, t, u mệnh đề sau cho ta có mệnh đề sau la` đúng: (1) p →r (2) r → s (3) t v ¬ s (4) ¬ t v u (5) ¬ u Hãy chứng minh mệnh đề p sai, tức chứng minh mệnh đề ? p la` Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (1) (2) ta suy ra:         (6) p → s Áp dụng luật logic phép toán kéo theo ta viết lại (3) dạng:         (7) s → t Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (6) (7) ta suy ra:         (8) p → t Áp dụng luật logic phép tốn kéo theo ta viết lại (4) dạng:         (9) t → u Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (8) (9) ta suy ra: (10) p → u Áp dụng luật suy diễn Modus Tollens, từ (10) (5) ta suy ra: (11) ¬ p Vậy mệnh đề ¬ p la` 69 Chứng minh trực tiếp Ví dụ 2: Cho p(x), q(x) r(x) vị từ theo biến x (x Ỵ A), a phần tử cố định tùy ý tập hợp A Giả sử ta có mệnh đề sau la` đúng: (1) " x ẻ A : p(x) đ q(x) (2) " x ẻ A : q(x) đ r(x) (3) p(a) Chứng minh mệnh đề r(a) la` Chứng minh: Áp dụng kết mệnh đề 2, Bài 2, mục 2.5, từ (1) (2) ta suy ra: (4) " x ẻ A : p(x) đ r(x) p dng kết mệnh đề 1, Bài 2, mục 2.5, từ (3) (4) ta suy ra:           (5) r(a) Vậy mệnh đề r(a) la` 70 V Nguyên lý quy nạp Nguyên lý quy nạp: Mệnh đề “ "n Î ¥, p(n) ” hệ logic “ p (0) ["n ẻ Ơ, p(n) đ p(n + 1)] ” Nguyên lý quy nạp cụ thể hóa thành phương pháp chứng minh quy nạp sau: Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề: bước sau: "n Ỵ ¥, p(n) , ta thực Bước Kiểm tra p(0) mệnh đề (trong thực tế, ta bắt đầu giá trị nhỏ n, khơng thiết phải 0) Bước Với n bất kỳ, giả sử p(n) mệnh đề đúng, ta phải chứng minh p(n+1) mệnh đề 71 72 73 74