Bài toán đếm TOÁN RỜI RẠC

Bài tốn đếm TỐN RỜI RẠC GIỚI THIỆU  Việt Nam có tỉnh, thành phố?  Có tỉnh có tên bắt đầu chữ A?  Lớp có sinh viên?  Có bạn thi qua mơn tốn rời rạc?  Đơn giản  Có số chẵn có chữ số khác nhau?  Có cách xếp người ngồi quanh bàn tròn? GIỚI THIỆU Xác định độ phức tạp thuật toán  Xác định xem số điện thoại / địa IP / số chứng minh nhân dân… có đủ đáp ứng nhu cầu sử dụng?  Khả trúng số độc đắc?  Khả nhiễm bệnh?  BÀI TOÁN  Xác định lực lượng (hay nhiều) tập hơp thỏa mãn số điều kiện cho trước  Bài toán đếm phân chia thành tốn nhỏ hơn, dễ tìm lời giải CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN NGUYÊN LÝ CỘNG  Có cơng việc A B Các việc làm tương ứng n1, n2 cách làm đồng thời Khi số cách làm việc n1 + n2  Cơng thức: Cho tập hợp A, B | A ∩ B = Ø 𝑁 𝐴∪𝐵 =𝑁 𝐴 +𝑁 𝐵  Tổng quát: Cho A1,…, An phân hoạch A 𝑁 𝐴 = 𝑁 𝐴1 + ⋯ + 𝑁 𝐴𝑛 NGUN LÝ CỘNG  Ví dụ: Hơm có tập mơn GT, mơn TRR, mơn ĐS Hỏi có cách chọn tập để bắt đầu? Sau thực đoạn CT sau k = ? k := 0; for i1 := to n1 k := k+1; for i2 := to n2 k := k+1; … for im := to nm k := k+1; NGUYÊN LÝ NHÂN  Giả sử nhiệm vụ tách thành việc A B Nếu việc A làm n1 cách, việc B làm (sau A) n2 cách, có n1.n2 cách thi hành nhiệm vụ cho  Cơng thức: 𝑁 𝐴 × 𝐵 = 𝑁 𝐴 × 𝑁 𝐵  Tổng quát: 𝑁 𝐴1 × ⋯ × 𝐴𝑛 = 𝑁 𝐴1 × … × 𝑁 𝐴𝑛 NGUYÊN LÝ NHÂN  Có cách xếp có thứ tự gồm n phần tử?  Có cách chọn có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử cho trước?  Có cách chọn khơng có thứ tự gồm k phần tử từ n phần tử cho trước? NGUYÊN LÝ NHÂN  Ví dụ; Theo cách đặt biển số xe HN cấp tối đa biển? (sử dụng 20 chữ cái) + Kí hiệu: 29, 30, 31, 32, 33, 40 + Sử dụng 15 chữ cái: F, H, K, L, M, N, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z Số p1n1.p2n2….p3n3 (pi số nguyên tố phân biệt, ni số nguyên dương) có ước số? 10 VÍ DỤ  Hàm  ax hàm sinh {1, a, a2,…}   ax  a x   ax Khi ax   x  ; a  a 45 CÁC KHAI TRIỂN THƯỜNG DÙNG   x  x  x  1 x 1 x e   x  x  x  1! 2! 3! ln 1  x   x  x  x  x  46 PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI HÀM SINH Cho f(x), g(x) hàm sinh {ai} {bi}  Cộng: f(x) + g(x) hàm sinh {ai + bi}  f  x   g  x    ai  bi x i i 0  Nhân với số: αf(x) hàm sinh {α.ai}   f x     x i i 0   k  k f  x g  x      bk i  x k 0  i 0   Tích:  Đạo hàm: f’(x) hàm sinh {a1, 2a2, 3a3,…} 47 PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI HÀM SINH  Dịch trái: f x   i  k 1 x a x i 0 k i i hàm sinh {ak, ak+1,…}  Dịch phải: xn.f(x) hàm sinh {0,…,0, a0, a1, a2,…}  Thay αx cho x: Hàm f(αx) hàm sinh {a0,αa1,α2 a2,…}  Thay xn cho x: Hàm f(xn) hàm sinh {a0,0,…,0,a1,0,…,0,a2,…} (n-1 số bộ) 48 HỆ SỐ NHỊ THỨC MỞ RỘNG  Với u số thực, k số nguyên không âm: hệ số nhị thức mở rộng xác định sau:  u  u u  1 u  k  1 k 0 k !      k  1 k 0  Khi u = -n (số nguyên âm) −𝑛 −𝑛 − … −𝑛 − 𝑘 + −𝑛 = = −1 𝑘 𝑘! 𝑘 𝑛+𝑘−1 𝑘 49 ĐỊNH LÝ NHỊ THỨC MỞ RỘNG Cho x số thực có |x| < 1; u số thực Khi đó:  ∞ 1+𝑥 𝑢 𝑢 𝑘 =෍ 𝑥 𝑘 𝑘=0 50 VÍ DỤ Cho f(x) = 1/(1-x)2 Tìm hệ số khai triển Taylor? Sử dụng:   x  x  x   1 x Và cơng thức đạo hàm, tích…   k  k  k    1x   k  1x 1  x  k 0  i 0  k 0 51 VÍ DỤ     Tìm số nghiệm nguyên phương trình x1  x2  x3  12 cho  x1,  x2 ,  x3  Xét đa thức:  f(x) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8  g(x) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6  h(x) = x2 + x3 + x4 + x5 Hệ số x12 tích F(x) = f(x)g(x)h(x) số nghiệm phương trình =? Hàm F(x) gọi hàm sinh số nghiệm phương trình 52 VÍ DỤ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 = 20 Thỏa mãn: x1 lẻ, x2 chẵn, x3 > Hàm sinh: F(x) = (x + x3 + x5…)(1 + x2 + x4 +…)(x5 + x6 +…) x x x   2 2  x  x  x  x 1  x    Hệ số x20 = ? 53 VÍ DỤ  Có cách để trả 70k cho máy bán hàng tự động biết máy nhận tiền 10k, 20k 50k  Đổi thành 7, 1, 2,  Hàm sinh:     f  x    x  x   x  x   x  x10 1 1   1  x   x  x 1 x 1 x 1 x Hệ số x7 = ?     54 HÀM SINH VÀ CÔNG THỨC ĐỆ QUY   Ý tưởng: f  x    x i i 0 hàm sinh dãy {ai} cho công thức truy hồi Ta sử dụng công thức truy hồi để biến đổi f(x) đến thu phương trình dễ dàng giải f(x) Công thức f(x) giúp ta xác định hệ số 55 VÍ DỤ Dãy số Fibonaci F0 = 1, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2  Hàm sinh i  f  x    Fi x i 0 Lưu ý:   i 0 i 1 xf  x    Fi x i 1   Fi 1 x i   i 0 i 2 x f  x    Fi x i    Fi  x i  56 VÍ DỤ  Như f  x   F1 x  F2 x  F3 x  F4 x  xf  x   x f x   F1 x  F2 x  F3 x  F1 x  F2 x   f  x   xf  x   x f  x   F1 x  F2  F1 x   F3  F2  F1 x i    x  0.x   Fi  Fi 1  Fi  x i i 3 x 57 VÍ DỤ x A B  f x     1 x  x x a x b 1 1 a ;b  ; 2 1 1 A ;B  5 A B  f x    a 1 x / a b 1 x / b 58 VÍ DỤ A B f x    a 1 x / a b 1 x / b  Vì   1 i i   1 / a  x i ;   1 / b  x i  x / a i 0  x / b i 0 A  B  i i i i  f  x     1 / a  x   1 / b  x a i 0 b i 0  B A i i    1 / a   1 / b  x i b  i 0  a  Dãy Fibonaci là: A B i i Fi   1 / a   1 / b  a b 59