Đối tượng, phạm vi mục đích học phần Cơ học chất lưu

Chương MỞ ĐẦU 1.1 Đối tượng, phạm vi mục đích học phần Cơ học chất lưu môn khoa học thuộc lĩnh vực học, nghiên cứu quy luật chuyển động đứng yên chất lưu q trình tương tác với vật khác Chất lưu bao gồm chất lỏng khí giống mơi trường liên tục, cấu tạo từ nhiều phân tử (chất điểm) Khác với vật rắn, phân tử chất lưu chuyển động hỗn loạn bên khối chất lưu, chất lưu ln có hình dạng thay đổi phụ thuộc hình dạng bình chứa Chất khí khác với chất lỏng chỗ thể tích khối khí thay đổi phụ thuộc thể tích bình chứa, khối lượng riêng hay mật độ phân tử chất lỏng lớn hàng ngàn lần so với chất khí Ở điều kiện bình thường, phân tử chất lỏng ln giữ khoảng cách trung bình cố định trình chuyển động hỗn loạn, chất lỏng xem không chịu nén tác động ngoại lực Đối với chất khí, lực đẩy phân tử xuất khoảng cách phân tử giảm nhỏ, điều kiện bình thường chất khí bị nén dễ dàng Phạm vi nghiên cứu học phần học chất lưu trạng thái vật lý, qui luật vận động tương tác chất lưu trạng thái tĩnh động Mục đích học phần học chất lưu Trang bị cho người học hiểu biết tảng tượng Vật lý xảy chất lưu, có kiến thức để giải toán học chất lưu Có thể vận dụng kiến thức để làm việc nhiều lĩnh vực khác như: thiết kế phương tiện vận chuyển; tính tốn cho cấp, nước, cơng trình thủy lợi xây dựng, thiết kế thiết bị thủy lực, … 1.2 Tính chất vật lý chất lưu 1.2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích Khối lượng riêng trung bình chất lưu theo định nghĩa khối lượng đơn vị thể tích chất lưu:   m V (1.1) tích V khối lượng riêng trung bình, m khối lượng khối chất lưu Trong khối chất lưu có phân bố mật độ khơng đồng đều, khối lượng riêng  điểm chất lưu tính bởi: m dm  V 0 V dV   lim (1.2) Trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị kg/m3 Trọng lượng riêng  chất lưu lực trọng trường tác dụng lên đơn vị thể tích chất lưu:  = g (1.3) với g gia tốc trọng trường vị trí khối chất lưu Trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị N/m3 Trong thực tế dùng đơn vị kgf/m3, kgf = 9,81 N Tỉ trọng  chất lưu tỉ số khối lượng riêng  chất lưu khối lượng riêng nước:   n (1.4) Tại vị trí g = const, đó:   n (1.4’) Ví dụ: Nước có n = 1000 kg/m3  n = 9,81.103 N/ m3 Cồn có  = 780 kg/m3  tỉ trọng cồn  = 0,78 Thể tích riêng Vi chất lưu định nghĩa thể tích đơn vị khối lượng chất lưu: Vi   (m3/kg) (1.5) Chú ý: khối lượng vật không thay đổi trọng lượng (riêng) thay đổi gia tốc trọng trường g thay đổi theo vĩ độ độ cao mặt đất 1.2.2 Tính nén Đối với chất lỏng hệ số (suất hay modun) đàn hồi K định nghĩa: K  V dp dV (1.6) Do M = ρV => dM = ρdV + Vdρ = 0, nên: K dp d (1.6’) Ví dụ: 20o C nước có suất đàn hồi Knước = 2,2 109 N/m2 Chất lưu xem không nén khối lượng riêng thay đổi không đáng kể ( = const) Chất lỏng thường xem không nén hầu hết tốn kỹ thuật Ví dụ: Một xilanh chứa 0,1 lít nước 20 oC Nếu ép pitton để thể tích giảm % thí áp suất xilanh tăng lên bao nhiêu? Giải: Ở 20o C, suất đàn hồi nước Kn = 2,2.109 N/m2 Thể tích giảm %  dV  -1/100 V Vậy áp suất tăng: dP = – K n dV = 2,2.109.10-2 = 2,2.107 N/m2 V Hệ số nén p xác định biểu thức: p   dV / Vo dp (1.7) với p áp suất tuyệt đối, Vo thể tích ban đầu chất lưu Suất đàn hồi K thường dùng cho chất lỏng, số, phụ thuộc vàp áp suất nhiệt độ Hầu hết loại chất lỏng khó nén nên xem chất lưu khơng nén Một dịng khí chuyển động với vận tốc nhỏ thay đổi khối lượng riêng khơng đáng kể nên xem chất lưu không nén Khi dịng khí chuyển động với vận tốc lớn 0,3 lần vận tốc âm ( 100 m/s) xem chất lưu nén Đối với chất khí, hầu hết khí thực điều kiện bình thường xem khí lý tưởng, chúng tn theo phương trình trạng thái khí lý tưởng: pV = RT Hay: p = RT Trường hợp nén khí đẳng nhiệt thì: pV = const Trường hợp nén khí đoạn nhiệt thì: pV = const với  hệ số poisson hay số đoạn nhiệt Vận tốc truyền âm chất lưu: c  dp  d K  1.2.3 Tính nhớt chất lưu Chất lưu khơng có khả chịu lực cắt, có lực tác dụng, chảy xuất lực ma sát bên Ứng suất ma sát lớp chất lưu song song chuyển động tương đối lớp phụ thuộc vào gradient vận tốc du/dy Hình 1.1 Chất lỏng Newton chảy tầng Để đặc trưng cho ma sát phần tử chất lưu chuyển động, ta xét chất lỏng Newton chảy tầng theo phương vng góc với y (hình 1.1), theo định luật ma sát nhớt Newton ta có biểu thức:   du dy (1.8) Trong đó: τ ứng suất ma sát (đơn vị N/m2) µ hệ số nhớt động lực học u vận tốc chất lưu, phụ thuộc vào y Trong hệ đơn vị SI, đơn vị µ N s kg Trong thực tế  Pa.s  ms m dùng đơn vị poise, poise = 0,1 Pa.s Ngồi hệ số động lực học µ, người ta cịn sử dụng hệ số nhớt động họcυ, định nghĩa:    (1.9) Đơn vị υ hệ SI m2/s hay stoke, stoke = 1cm2/s = 10-4 m2/s Có hai loại chất lưu (hình 1.2): Hình 1.2 + Chất lưu Newton: có ứng suất ma sát tỉ lệ thuận với suất biến dạng, hay độ nhớt động lực học µ = const + Chất lưu phi Newton: có ứng suất ma sát khơng tỉ lệ với suất biến dạng, hay độ nhớt động lực học µ  const Độ nhớt động lực học µ = chất lưu lý tưởng Hệ số nhớt µ phụ thuộc vào nhiệt độ áp suất Khi nhiệt độ tăng chất lỏng µ giảm, cịn chất khí ngược lại Khi áp suất tăng µ chất lỏng tăng, cịn chất khí µ không thay đổi áp suất tăng Hầu hết loại chất lưu thông thường nước, xăng, dầu, … thỏa mãn công thức Newton, nhiên số chất lỏng linh động hắc ín, nhựa nóng chảy, dầu thơ, khơng tn theo công thức Newton gọi chất lỏng phi Newton Đối với chất lỏng thông thường chảy trạng thái chảy rối không tuân theo công thức Newton Với khái niệm hệ số nhớt định nghĩa chất lưu lý tưởng chất lưu có hệ số nhớt (ma sát) khơng, cịn chất lưu thực có hệ số nhớt (ma sát) ln khác khơng Ðộ nhớt chuyển động chất lưu thực có hai vai trò: Thứ tạo truyền chuyển động từ lớp qua lớp kia, nhờ mà vận tốc dòng chất lưu thay đổi liên tục từ điểm qua điểm khác Thứ hai chuyển phần dòng thành nội nó, tức tạo khuếch tán 1.2.4 Áp suất lỏng Áp suất áp suất cục phần bề mặt tiếp xúc với chất Nếu khơng gian kín bề mặt chất lỏng, phần tử chất lỏng bốc đạt đến trạng thái bão hoà cân động với phân tử chất lỏng ngưng tụ áp suất khoảng khơng gian kín gọi áp suất bão hòa pbh Áp suất bão hồ tăng theo nhiệt độ Ví dụ 25o C, nước có pbh = 0,025 at; 100o C, pbh = 1at Khi áp suất tác dụng lên bề mặt chất lỏng  áp suất bão hồ chất lỏng bắt đầu sơi (hố hơi) Ví dụ cho nước sôi 25 o C hạ áp suất xuống cịn 0,025at Tại số vùng dòng chảy áp suất tuyệt đối nhỏ giá trị áp suất chất lỏng sủi bọt Các bọt khí vỡ gây tổn hại đến bề mặt thành rắn gọi tượng xâm thực khí 1.2.5 Sức căng mặt ngồi tượng mao dẫn Khoảng cách phân tử chất lỏng nhỏ so với chất khí, lực hút phân tử chất lỏng lớn lực hút phân tử chất lỏng với phân tử chất khí Vì lớp phân tử nằm mặt thoáng chất lỏng chịu lực tác dụng hướng vào chất lỏng ực tác dụng lên phân tử lớp mặt chất lỏng ép lên phân tử chất lỏng phía gây nên áp suất gọi áp suất phân tử Hiện tượng làm bề mặt chất lỏng giống màng mỏng bị căng, tạo sức căng bề mặt chất lỏng Theo định nghĩa, sức căng bề mặt  lực căng đơn vị chiều dài nằm bề mặt cong chất lỏng vng góc với đường bề mặt chất lỏng Đơn vị hệ SI  N/m Chính sức căng bề mặt mà giọt chất lỏng tự nhiên thường có dạng cầu Cũng sức căng bề mặt mà gây nên tượng chất lỏng làm ướt không làm ướt chất rắn, hệ tượng mao dẫn (hình 1.2) ọi h chiều cao cột chất lỏng dâng lên (hay hạ xuống) ống mao dẫn, r bán kính ống mao dẫn, bán kính cong mặt khum chất lỏng,  góc làm ướt, theo cơng thức urin (hình 1.2) ta có: h 2 cos r g (1.10) Hình 1.2 Hiện tượng mao dẫn Từ công thức (1.10) ta thấy: + Nếu   < /2, cos > chất lỏng dâng lên + Nếu /2 <   , cos chất lỏng hạ xuống Với chất lỏng xác định, nhiệt độ xác định khối lượng riêng   không đổi, ống nhỏ (r bé) chiều cao cột chất lỏng lớn Hiện tượng mao dẫn có vai trị quan trọng tự nhiên kỹ thuật Chương TĨNH HỌC CHẤT LƯU 2.1 Áp suất thủy tĩnh 2.1.1 Khái niệm Tĩnh học chất lưu nghiên cứu chất lưu trạng thái cân bằng, khơng có chuyển động tương đối phần tử Một khối chất lưu gọi trạng thái tĩnh tuyệt đối nằm trạng thái cân chịu tác dụng ngoại lực trọng lực Một khối chất lưu gọi trạng thái tĩnh tương đối: nằm trạng thái cân chịu tác dụng nhiều ngoại lực (trọng lực, lực quán tính, lực ly tâm, ….) 2.1.2 Áp suất thủy tĩnh Khi có vật rắn tiếp xúc với chất lỏng phân tử chất lỏng tác dụng lực vào vật rắn tiếp xúc với ực tác dụng phân bố tồn diện tích tiếp xúc vng góc với bề mặt tiếp xúc gọi áp lực Hình 2.1 Xét diện tích S khối chất lưu, ọi áp lực tác dụng vuông góc lên S (hình 2.1) Theo định nghĩa, áp suất thủy tĩnh trung bình tác dụng lên S là: p F S (2.1) Áp suất thủy tĩnh điểm là: F d F  S 0 S dS p  lim (2.2) 2.1.3 Tính chất - Từ định nghĩa ta thấy áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực hướng vào diện tích - Trị số áp suất thuỷ tĩnh khơng phụ thuộc vào hướng diện tích chịu lực Ta chứng minh điều này: Xét cân thể tích vi phân chất lưu hình tứ diện vng góc có cạnh x, y, z, s đặt gốc toạ độ (hình 2.2) Các lực lên phần tử chất lưu gồm: ực mặt: pxyz; pyxz; pzyx; psys ực khối: Fxyz với  khối lượng riêng chất lưu, F lực khối đơn vị Hình 2.2 Do khối chất lưu nằm cân nên tổng lực tác dụng lên theo phương phải không, chẳng hạn phương x: pxδyδz – psδyδz + p –p + x s ρFxδxδyδz = Fxx = (2.3) với: pxδyδz lực p tác dụng lên mặt ABCD theo phương Ox x – psδyδz lực p tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox: s – p y.s.sin = – p ysz/s = –p y z s s s ρFxδxδyδz lực khối tác dụng lên phần tử chất lưu chiếu lên phương Ox Từ phương trình (2.3) ta thấy x  px = ps Chứng minh tương tự cho phương khác, Cuối ta có: px = py = pz = pn (2.4) Biểu thức (2.4) điều phải chứng minh 2.1.4 Đơn vị áp suất Trong hệ đơn vị SI đơn vị áp suất là: [p] = N/m2 = Pa Ngoài thực tế dùng đơn vị: kgf/cm2, atmotphe kỹ thuật (at), dyn atmotphe vật lý (atm), m nước, mHg, cm at = kgf/cm2 = 10 m nước = 736 mHg = 9,81.104 Pa tor = mHg = 133 Pa áp suất gây nên cột thuỷ ngân cao mm atm áp suất gây nên cột thuỷ ngân cao 760 mHg = 1,01.105 Pa dyn N   0,1 Pa cm2 10 m2 2.1.5 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư áp suất chân không Áp suất tuyệt đối ptđ : giá trị đo áp suất so với chuẩn chân khơng tuyệt đối, giá trị áp suất thực, ví dụ áp suất khơng khí p k = 98100 N/m2 Áp suất dư pd: giá trị đo áp suất so với chuẩn áp suất khí trời (p ) vị a trí đo (còn gọi áp suất tương đối) hay áp suất so sánh với áp suất khí quyển: pd = ptđ – pa (2.3) Áp suất chân không pck: áp suất thiếu cần phải thêm vào cho áp suất khí trời: pck = pa – ptđ = 98100 N/m2 – ptđ = – pd 10 (2.4) 2.1.6 Lực khối lực mặt Ngoại lực tác dụng lên phần tử chất lỏng tỉ lệ với khối lượng chất lỏng gọi lực khối ọi lực khối tác dụng lên thể tích V chất lưu có khối lượng riêng  (hình 2.3) Theo định nghĩa vector cường độ lực khối điểm khối chất lưu là: Ví dụ lực khối như: Hình 2.3 - Trọng lực: F  g - ực quán tính: F  a - ực ly tâm: F   r Ngoại lực tác dụng lên phần tử thể tích chất lưu tỉ lệ với diện tích bề mặt bao bọc chất lưu gọi lực mặt ọi lực mặt tác dụng lên diện tích S chất lưu (hình 2.4), vector ứng suất  điểm S định nghĩa:   lim S 0 f S Ví dụ lực mặt như: - Áp suất - Ứng suất ma sát Hình 2.4 Trong trường hợp tổng quát  tenxo hạng hai:  xx  xy  xz        yx  yy  yz  với (ij = ji)      zx zy zz  Ứng suất diện tích biểu diễn: 11  n   n nx   y ny   z nz 2.2 Phương trình vi phân chất lỏng cân 2.2.1 Phương trình vi phân Xét khối chất lỏng vi phân khối lượng riêng  dạng khối hộp có cạnh dx, dy, dz nằm cân (hình 2.5) ực khối tác dụng lên khối chất lỏng ) ực tác dụng lên khối hình hộp theo phương x gồm: - ực khối: - ực mặt: .dxdydz.Fx p   p.dydz   p  dx  dydz x   Hình 2.5 Khối chất lỏng cân ực tổng cộng tác dụng lên khối chất lưu theo phương x phải 0: .dxdydz.Fx + p.dydz   p   Fx – p  dx  dydz = x  p p =  Fx  =0 x  x (2.5) Chứng minh tương tự cho trục khác: Fy  p 0  y 12 (2.6) Fz  p 0  z (2.7) Các phương trình (2.5 – 2.7) viết gộp lại dạng vecto: F  grad  p   (2.8) (2.8) phương trình vi phân tĩnh học chất lưu Nếu lực khối tác dụng trọng lực, phương trình tĩnh học chất lưu trở thành: (2.9) p  g –  với g gia tốc trọng trường 2.2.2 Phương trình thuỷ tĩnh Xét khối chất lưu tĩnh đặt trường trọng lực (hình 2.6), tác dụng trọng lực, lực khối theo phương là: Fx = Fy = 0; Fz = – g (2.9) Hình 2.6 Theo phương trình (2.8) ta có: p   p = p(x,z) y p   p = p(y,z) x p   g z Đối với chất lưu khơng nén  p = – gz + C 13 , đó: hay: p + z = C  z p  (2.10) gọi cột áp tĩnh (2.10) gọi phương trình thủy tĩnh dạng hay quy luật phân bố áp suất thuỷ tĩnh Thay z = z , p = p vào (2.10), sau biến đổi ta được: o o p = p + γ(z - z) = p + γh o o o (2.10’) (2.10’) gọi phương trình thủy tĩnh dạng phương trình để tính áp suất điểm đó: p áp suất mặt phân chia chất lỏng h độ sâu từ mặt phân chia chất lỏng đến điểm cần tính áp suất Hình 2.7 Xét điểm A B độ cao zA zB tương ứng so với mặt chuẩn (độ cao qui ước z = 0) (hình 2.7) Áp dụng phương trình (2.10) cho điểm A B ta được: PA + gzA = PB + gzB Hay: PB = pA + hAB (2.11) (2.11) phương trình thuỷ tĩnh Từ (2.11) ta suy số hệ sau: – Trên mặt đất mặt đẳng áp chất lưu mặt nằm ngang – Trong khối thể tích có nhiều chất lưu khác nhau, khối lượng riêng khác nhau, khơng trộn lẫn vào mặt phân chia mặt đẳng áp – Độ chênh áp suất hai điểm A B môi trường chất lưu 14 phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng hai điểm Đối với chất khí: Do tính chất nén chất khí nên   const Xét khối khí nằm trường trọng lực, coi chất khí khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái khí lý tưởng: p = RT    p RT Từ đó: dp p dp g  g  dz dx RT p RT Nếu nhiệt độ khối khí thay đổi theo độ cao, ví dụ theo qui luật T = To – az với a > 0, To nhiệt độ ứng với z = (thường lấy mực nước biển) Khi đó: dp g  dz p R(To  az ) tích phân hai vế ta được: Lnp  g Ln To  az   Ln(C ) aR Kí hiệu po áp suất độ cao z = 0, ta có: Lnpo p  g p T  Ln To   Ln(C )  po  C  o   C  og aR  aR  ToaR Cuối ta thu phương trình tĩnh học khí quyển: (2.12) 2.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 2.3.1 Áp kế Áp kế tuyệt đối: Dùng để đo áp suất tuyệt đối khí quyển, nguyên tắc cấu tạo dụng cụ (hình 2.8), áp suất khí pk xác định chiều cao cột thuỷ ngân dâng lên ống hàn kín: Pk = Hggh 15 Định luật hai bình thơng nhau: Một ống hình chữ U hở hai đầu đựng hai chất lỏng khối lượng riêng 1 2 tương ứng (hình 2.9) Từ phương trình thuỷ tĩnh ta có:  pA = pA’ + 2gh2 pB = pB’ + 1gh1 (a) pA = pA’ + 2h2 pB = pB’ + 1h1 (b) Dễ dàng chứng minh pA = pB nằm mặt phẳng ngang chất lỏng Hình 2.8 Áp kế tuyệt đối Hình 2.9 pA’ = pB’ nằm mặt thoáng chất lỏng nên chịu tác dụng áp suất khí bên ngồi Từ phương trình (a) (b) ta suy ra: 1h1 = 2h2 Hay: h1   h2  (2.13) 2.3.2 Định luật Pascal Trạng thái cân chất lưu trạng thái mà khơng có chuyển động tương đối phần khác chất lưu, ta bỏ qua chuyển động hỗn loạn phân tử chất lưu Định luật: Khi chất lưu trạng thái cân áp suất điểm lòng chất lưu phân bố theo phương Nghĩa áp suất điểm phân bố theo phương có độ lớn Từ định luật Pascal chứng minh chất lỏng đứng yên chịu 16 tác dụng áp suất từ bên ngồi áp suất chất lỏng truyền theo phương với độ lớn Điều ứng dụng kỹ thuật máy nén thuỷ lực 2.3.3 Biểu đồ phân bố áp suất Từ công thức (2.10’) biểu diễn thay đổi áp suất diện tích ta biểu đồ phân bố áp suất (hình 2.10) Nếu biểu diễn độ cao áp suất ta biều đồ phân bố áp lực (hình 2.11) Hình 2.10 Biểu đồ phân bố áp suất Hình 2.11 Biểu đồ phân bố áp lực Hình 2.12 biểu diễn số biểu đồ phân bố áp lực mặt cong Hình 2.12 Biểu đồ phân bố áp lực mặt cong Dùng biểu đồ phân bố áp lực theo chiều sâu (hình 2.11) ta xác định áp lực tác dụng lên mặt khối chất lỏng hình hộp chữ nhật có đáy nằm ngang (hình 2.13) 17 a) b) Hình 2.13 Áp lực tác dụng lên mặt khối chất lỏng hình hộp chữ nhật Áp lực tác dụng lên mặt đáy (hình 2.11a): F = hLb Áp lực tác dụng lên mặt bên (hình 2.11b): F = h2b/2 2.4 Áp lực thủy tĩnh 2.4.1 Áp lực thủy tĩnh lên mặt phẳng Áp lực lên thành phẳng tổng hợp lực song song chiều Gọi áp lực tổng hợp P Ta cần xác định độ lớn điểm đặt P (hình 2.14) Kí hiệu C trọng tâm diện tích S,  góc nghiêng diện tích S so với phương nằm ngang, h độ sâu diện tích vi phân dS, po áp suất khí mặt thoáng chất lỏng,  trọng lượng riêng chất lỏng Áp lực tác dụng lên diện tích vi phân dS là: dP = pdS = (po + h)dS = (po + ysin)dS Hình 2.12 Áp lực tác dụng tồn diện tích S là: 18 P    po  y sin   dS  po  dS   sin  ydS S S S  ydS momen tĩnh diện tích S trục Ox Do đó: S  ydS = yCS S Từ đó: P = poS + yCSsin = (po + hC)S Hay: P = pCS (2.14) với po + hC áp suất tác dụng điểm C Kết luận: Áp lực tác dụng lên diện tích phẳng áp suất trọng tâm diện tích nhân với diện tích Xác định điểm đặt áp lực Áp dụng định lý Varignon's: “Mômen hợp lực trục tổng mơmen lực thành phần trục đó” Ở ta lấy mômen trục Ox: Pd yD   dPd y S Sau tích phân ta được: yD  yC  JC yC S (2.15) đó: yD toạ độ điểm đặt áp lực y toạ độ trọng tâm C, h = y sinα C C C h độ sâu trọng tâm C Jc mơmen qn tính S ứng với trục song song với Ox qua trọng tâm C Ví dụ Jc số hình: - Hình trịn đường kính d: J = d /64 c 19 - Hình chữ nhật rộng b cao h: J = b.h /12 c Như điểm đặt áp lực ln sâu trọng tâm hình phẳng 2.4.2 Áp lực chất lỏng lên mặt cong Trường hợp đơn giản: mặt cong chiều abc nằm xiên góc trục Oz Oy, có cạnh ab song song với trục Oy (hình 2.13) ực tổng cộng tác dụng lên mặt cong viết dạng tổng quát: Do ab  Oy nên Fy = ta có: Áp lực dP tác dụng lên diện tích vi phân dS dF = pdS Theo phương Ox dFx = pdSsin = pdSx  Fx =  pdS x = pSx (2.16) S Hình 2.13 Với  góc hợp pháp tuyến dS với phương Oy, Sx hình chiếu mặt cong lên phương thẳng đứng Oz hay diện tích a’b’c Kết luận: ực tác dụng lên mặt cong abc theo phương Ox lực tác 20