Luận án tiến sĩ HUS nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Văn Khương PGS.TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn PGS TS Vũ Văn Khương PGS TS Đặng Đình Châu Các kết công bố 05 báo, có 04 báo viết chung đồng tác giả cho phép sử dụng luận án Các kết phát biểu luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình tác giả khác Tác giả Mai Nam Phong LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tâm quý báu PGS TS Vũ Văn Khương PGS TS Đặng Đình Châu Các Thầy dành nhiều cơng sức, dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học, động viên khích lệ tác giả vượt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc Thầy Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án, tác giả nhận quan tâm, động viên, giúp đỡ Thầy, Cơ mơn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Cơ Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học KHTN Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ đồng nghiệp Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Giao thông Vận tải quan tâm, động viên giúp đỡ, giúp cho tác giả có thời gian điều kiện để chuyên tâm nghiên cứu khoa học Luận án khơng thể hồn thành thiếu cảm thông, động viên, giúp đỡ người thân gia đình Tác giả xin trân trọng kính tặng Gia đình thân u q tinh thần với lòng biết ơn chân thành sâu sắc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình sai phân cấp cao 1.1.1 Các định nghĩa ổn định 1.1.2 Ổn định tuyến tính hóa 1.1.3 Các khái niệm dao động 1.2 Hệ phương trình sai phân 1.2.1 Các định nghĩa ổn định 1.2.2 Một số kết ổn định hệ hai phương trình sai phân 18 Chương Ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.2 12 12 12 14 15 16 16 2.1.1 Đặt vấn đề 2.1.2 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.4) 2.1.3 Dạng tiệm cận nghiệm phương trình (2.5) Tính ổn định dạng phương trình sai phân hữu tỷ 2.2.1 Đặt vấn đề 2.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân 20 20 20 22 27 33 33 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1 3.2 50 Tính bị chặn ổn định dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.1.1 Đặt vấn đề 3.1.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (3.3) 3.1.3 Các ví dụ minh họa Tính bị chặn, tính ổn định tốc độ hội tụ nghiệm dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 Đặt vấn đề Dáng điệu toàn cục nghiệm hệ phương Các ví dụ minh họa Tốc độ hội tụ Các ví dụ minh họa trình sai phân 50 50 52 65 71 72 73 76 82 86 Danh mục cơng trình tác giả có liên quan tới luận án 94 Tài liệu tham khảo 95 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CÁC KÝ HIỆU R tập số thực Rk không gian vectơ thực k−chiều N tập số tự nhiên x chuẩn vectơ x xT chuyển vị vectơ x ∈ Rk ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B (B ⊃ A) tập A tập B A tập A không tập B B A∩B giao hai tập A B A∪B hợp hai tập A B A := B A định nghĩa B ∃x tồn x ∀x với x lim inf xn giới hạn dãy số {xn }n lim supxn giới hạn dãy số {xn }n n→∞ n→∞ tr trang ✷ kết thúc chứng minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI MỞ ĐẦU Phương trình sai phân chiếm vị trí quan trọng hệ động lực rời rạc Các phương trình sai phân xuất cách tự nhiên mơ hình rời rạc hay nghiệm số phương trình vi phân-mơ hình nhiều tượng khác lĩnh vực: sinh học, vật lý, kỹ thuật, kinh tế, Việc nghiên cứu định tính phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến tiến hành từ lâu, song phát triển mạnh mẽ từ năm 90 kỷ XX thập kỷ đầu kỷ XXI Ở nước ngồi, đến nghiên cứu R.P Agarwal [1], G Ladas, A.M Amleh, E.A Grove, D.A Georgiou, R.C DeVault, S.W Schultz [3, 17, 18, 33, 40, 41], L Berg [6, 7, 8, 9, 12], E.M Elsayed [21, 22, 23], M R S Kulenovi´c, O Merino, M Nurkanovi´c, Z Nurkanovi´c [36, 37, 38, 39], G Papaschinopoluos, M.A Radin, C.J Schinas, G Stefanidou [50, 53], X Li, D Zhu [43, 44, 45, 46], S Stevi´c [54, 55, 56, 57, 58, 59, ˇ 60, 61], S Stevi´c, J Diblík, B Iriˇcanin, Z Smarda [62, 63], Ở nước, kết phương trình sai phân phi tuyến xem nghiên cứu Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Sinh Bảy [4, 5, 51], Đặng Vũ Giang, Đinh Công Hướng [24, 25, 28], Vũ Văn Khương [30, 31, 32] Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức nghiên cứu tính chất dáng điệu nghiệm chúng mà không cần xác định công thức nghiệm tường minh Như biết, số lớp phương trình có dạng đặc biệt tìm cơng thức nghiệm tường minh Do đó, nói chung việc xác định công thức nghiệm dạng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phương trình sai phân thường gặp khó khăn, xác định cơng thức thường dạng phức tạp, dẫn đến hạn chế định việc nghiên cứu tính chất chúng Một số vấn đề tiêu biểu mà lý thuyết định tính phương trình sai phân quan tâm là: tính dao động, tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính bị chặn, khoảng bất biến nghiệm, Trong nghiên cứu phương trình sai phân phi tuyến nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn ln đóng vai trị quan trọng, số nguồn gốc cho phát triển lý thuyết dáng điệu tồn cục phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ kết phương trình sai phân hữu tỷ Một số quy luật phát triển vật, tượng thực tế rời rạc hóa dạng phương trình hệ phương sai phân hữu tỷ, kể đến số mơ hình sau đây: • Mơ hình sinh trưởng loại hàng năm, xem [33]: xn+1 = λxn , n = 0, 1, 2, , (1 + axn )p + bλxn (1) tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) giá trị ban đầu x0 số thực dương • Mơ hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass, xem [33]: xn+1 = αxn + β , xpn−k n = 0, 1, 2, , (2) α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ giá trị ban đầu x−k , , x0 ∈ [0, ∞) • Mơ hình mơ tả mối quan hệ vật chủ ký sinh R.M May LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đề xuất, xem [36]: αxn , + βyn n = 0, 1, 2, , βxn yn = , + βyn xn+1 = yn+1 (3) α, β ∈ (0, ∞) giá trị ban đầu x0 , y0 số thực dương Năm 2001, chuyên khảo [35], M R S Kulenovi´c G Ladas tổng hợp kết nghiên cứu tính bị chặn, tính ổn định tồn cục tính tuần hồn lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai có dạng xn+1 = α + βxn + γxn−1 , n = 0, 1, 2, , A + Bxn + Cxn−1 (4) tham số α, β, γ, A, B, C giá trị ban đầu x−1 , x0 số thực không âm cho mẫu số dương Trong số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở dạng phương trình nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu: • Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = α + βxn , n = 0, 1, 2, , A + Bxn (5) với tên gọi Phương trình sai phân Riccati, phương trình nghiên cứu [1, 19, 33] • Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành xn+1 = βxn , n = 0, 1, 2, , A + Cxn−1 (6) có tên Phương trình sai phân Pielou, tính chất nghiệm trình bày [33] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hình 3.21: Minh họa lim n→∞ en+1 = |λi (JT (E))| en Ví dụ 3.8 Ta xét trường hợp hệ số hệ (3.65) chọn Ví dụ 3.5, tức a = 2000, b = 0.05, c = 1.5, (b < c) giá trị ban đầu x0 = 50, y0 = 10 Khi hệ (3.65) trở thành hệ (3.80) xn+1 2000 + 0.05e−xn 2000 + 0.05e−yn = , yn+1 = 1.5 + yn 1.5 + xn Môđun giá trị riêng ma trận Jacobian JT (E) |λ1 | = |λ2 | = 0.9670167638 88 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hình 3.22: Minh họa en hệ phương trình (3.80) hội tụ Hình 3.23: Minh họa lim n→∞ n en = |λi (JT (E))| 89 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hình 3.24: Minh họa lim n→∞ en+1 = |λi (JT (E))| en Qua minh họa Ví dụ 3.7 Ví dụ 3.8 trên, ta thấy trường hợp nghiệm hội tụ điểm cân hệ (3.79) (3.80) tương ứng hệ thức (3.85) (3.86) Định lý 3.10 hoàn toàn thỏa mãn Kết luận chương Nội dung chương nhằm nghiên cứu tính chất nghiệm hệ phương trình sai phân phi tuyến dạng mũ (3.3) (3.65) Một số kết thu sau: Thiết lập điều kiện đủ cho tính bị chặn bền vững nghiệm, xác định tập bất biến, số điều kiện đủ cho tồn điểm cân dương tính ổn 90 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com định tiệm cận toàn cục điểm cân dương lớp hệ phương trình (3.3) Đồng thời đưa số ví dụ minh họa cho tính ổn định điểm cân dương lớp hệ Thiết lập điều kiện đủ cho tính tồn điểm cân dương tính ổn định tiệm cận tồn cục điểm cân dương hệ phương trình (3.65), đưa số ví dụ minh họa cho tính ổn định điểm cân dương Xác định tốc độ hội tụ nghiệm đến điểm cân dương hệ (3.65) đưa số ví dụ minh họa cho kết thu 91 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Luận án đạt kết sau: Xây dựng tiệm cận nghiệm dạng đa thức hai dạng phương trình sai phân hữu tỷ Chứng minh nghiệm cân dương dạng phương trình sai phân hữu tỷ ổn định tiệm cận toàn cục Chỉ khoảng bất biến nghiệm, thiết lập số điều kiện đủ để hai dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến có nghiệm cân dương điểm cân ổn định tiệm cận toàn cục Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến 92 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kiến nghị số hướng nghiên cứu Tiếp theo kết luận án, tác giả thấy có số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu • Nghiên cứu tính chất tuần hồn nghiệm phương trình sai phân phi tuyến • Nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷ với hệ số dãy có tính tuần hồn • Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm khác dạng đa thức phương trình sai phân phi tuyến • Nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân lĩnh vực sinh học, kinh tế, môi trường, 93 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CĨ LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN V.V Khuong, M.N Phong (2010), "On the global asymptotic staxn−1 xn−3 + x2n−1 + a bility of the difference equation xn+1 = ", Comxn−1 xn−3 + xn−1 + a mun Appl Anal 14 (4), pp 597-606 V.V Khuong, M.N Phong (2010), "A note on boundedness, periodic nature and positive nonoscilatory solution of rational difference equation", PanAmer Math J 20(2), pp 53-65 (Scopus) V.V Khuong, M.N Phong (2011), "A note on global behavior of solutions and positive nonoscillatory solution of a difference equation", Comm App Nonlinear Anal 18(4), pp 77-88 (Scopus) V.V Khuong, M.N Phong (2013), "On a system of two difference equations of exponential form", Int J Difference Equ 8(5), pp 215-223 M.N Phong (2015), "A note on a system of two nonlinear difference equations", Electronic Journal of Mathematical Analysis and Applications, 3(1), pp 170 -179 94 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] R.P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities, Second Ed Dekker, New York [2] M.T Aboutaleb, M.A El-Sayed, A.E Hamza (2001), "Stability of the recursive sequences xn+1 = (α − βxn )/(γ + xn−1 )", J Math Anal Appl., 261, pp 126-133 [3] A.M Amleh, E.A Grove, D.A Georgiou, G Ladas (1999), "On the xn−1 recursive sequence xn+1 = α + ", J Math Anal Appl 233, pp xn 790-798 [4] N S Bay, V N Phat (1999), "Stability of nonlinear discrete timevarying retarted systems", Vietnam J Math 27(4), pp 373-377 [5] N S Bay, V N Phat (2003), "Stability analysis of nonlinear retarted difference equations in Banach spaces", Comput Math Appl 45, pp 951-960 [6] L Berg (2002), "On the asymptotics of nonlinear difference equations", Z Anal Anwendungen 21, pp 1061-1074 [7] L Berg (2004), "Inclusion theorems for nonlinear difference equations with applications", J Differ Equations Appl 10, pp 399408 95 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [8] L Berg (2005), Corrections to "Inclusion theorems for nonlinear difference equations with applications", J Differ Equations Appl 11(2), pp 181-182 [9] L Berg, S Stevi´c (2011), "On the asymptotics of the difference equation yn (1 + yn−1 yn−k+1 ) = yn−k ", J Differ Equations Appl 17(4), pp 577-586 [10] K Berenhaut, S Stevi´c (2006), "A note on positive nonoscillatory xpn−k solutions of the difference equation xn+1 = α + p ", J Differ xn Equations Appl 12, pp 495-499 [11] K Berenhaut, S Stevi´c (2007), "The difference equation xn+1 = xn−k α + k−1 has solutions converging to zero", J Math Anal c x i=0 i n−i Appl 326, pp 1466-1471 [12] L Berg, S Stevi´c (2011), "On some systems of difference equations", Appl Math Comput 218, pp 1713-1718 ˇ Burgi´c, Z Nurkanovi´c (2009), "An example of globally asymp[13] DZ totically stable anti-monotonic system of rational difference equations in the plane", Sarajevo Journal of Mathematics 5(18), pp 235-245 [14] E Camouzis, G Ladas (2008), Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton, London [15] E Camouzis, G Papaschinopoluos (2004), "Global asymptotic behavior of positive solutions on the system of rational difference equations", Appl Math Lett 17, pp 733-737 96 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [16] D Clark, M R S Kulenovic (2002), "A coupled system of rational difference equations", Comput Math Appl 43, pp 849-867 [17] R.C DeVault, G Ladas, S.W Schultz (1998), "Necessary and sufficient conditions for the boundedness of xn+1 = A xpn + xpB ", J Differ n−1 Equations Appl (3), pp 259-266 [18] R.C DeVault, G Ladas, S.W Schultz (1998), "On the recursive sequence xn+1 = A xn + xn−2 ", Proc Amer Math Soc 126, pp 3257- 3261 [19] S Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, 3rd ed., Springer-Verlag, New York [20] E El-Metwally, E.A Grove, G Ladas, R Levins, M Radin (2001), "On the difference equation, xn+1 = α + βxn−1 e−xn ", Nonlinear Anal 47, pp 4623-4634 [21] E.M Elsayed (2014), "Solution for systems of difference equations of rational form of order two", Comput Appl Math 33, pp 751–765 [22] E.M Elsayed (2015), "New method to obtain periodic solutions of period two and three of a rational difference equation", Nonlinear Dyn 79, pp 241–250 [23] E.M Elsayed (2016), "Dynamics and behavior of a higher order rational difference equation", J Nonlinear Sci Appl 9, pp 1463–1474 97 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [24] D V Giang, D C Huong (2005), "Nontrivial periodicity in discrete delay models of population growth", J Math Anal Appl 305, pp 291-295 [25] D V Giang, D C Huong (2005), "Extinction, persistence and global stability in models of population growth", J Math Anal Appl 308, pp 195-207 [26] E A Grove, C M Kent, G Ladas, R Levins, S Valicenti (2000), "Global stability in some population models", Proceedings of the Fourth International Conference on Difference Equations and Applications, August, 27-31, 1999, Poznan, Poland, Gordon and Breach Science Publishers, pp.149-176 [27] E.A Grove, G Ladas (2005), Periodicities in Nonlinear Difference Equations, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, London [28] D C Huong (2012), "On a nonlinear delay difference equation with periodic coefficients", Journal of Emerging Trends in Computing and Information Sciences 3(12), pp 1638-1641 [29] S Kalabusi´c, M.R.S Kulenovi´c (2011), "Dynamics of certain anticompetitive systems of rational difference equations in the plane", J Difference Equ Appl 17(11), pp 1599-1615 [30] V V Khuong (2008), "On the positive nonoscillatory solution of p xn−k the difference equations xn+1 = α + ", Appl Math J xn−m Chinese Univ 24, pp 45-48 98 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [31] V V Khuong (2009), "On the positive nonoscillatory solution of the α p xn−2 difference equations xn+1 = + ", Comm Appl Anal xn xn 12, pp 199-208 [32] V V Khuong (2009), "A note on the difference equation xn+1 = k xn−k ", Panamer Math J 19, pp 67-77 α+ k−1 x n−i i=0 [33] V.L Kocic, G Ladas (1993), Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications, Kluwer Academic, Dordrecht [34] Y.K Kuang, J.M Cushing (1996), "Global stability in a nonlinear difference-delay equation model of flour beetle population growth", J Differ Equations Appl (1), pp 31-37 [35] M.R.S Kulenovi´c, G Ladas (2001), Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, Chapman & Hall/ CRC, Boca Raton, London [36] M.R.S Kulenovi´c, O Merino (2002), Discrete Dynamical Systems and Difference Equations with Mathematica, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Fla, USA [37] M.R.S Kulenovi´c, M Nurkanovi´c (2003), "Global asymptotic behavior of a two dimensional system of difference equations modeling cooperation", J Differ Equations Appl (1), pp 149-159 [38] M.R.S Kulenovi´c, M Nurkanovi´c (2006), "Asymptotic behavior of a competitive system of linear fractional difference equations", Adv Difference Equ Art ID 19756, pp 1-13 99 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [39] M.R.S Kulenovi´c, Z Nurkanovi´c (2005), "The rate of convergence of solution of a three dimensional linear fractional systems of difference equations", Zbornik radova PMF Tuzla - Svezak Matematika 2, pp 1-6 [40] G Ladas (1996), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 2, pp 449-452 [41] G Ladas (1998), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 4, pp 497-499 [42] G Ladas (2000), "Open problems and conjectures", J Difference Equa Appl 6, pp 481-483 [43] X Li (2005), "Qualitative properties for a fourth-order rational difference equation", J Math Anal Appl 311, pp 103-111 [44] X Li (2007), "The rule of trajectory structure and global asymptotic stability for a fourth-order rational difference equation", J Korean Math Soc 44, pp 787-797 [45] X Li, D Zhu (2002), "Global asymptotic stability of a kind of nonlinear delay difference equations", Appl Math J Chinese Univ Ser B 17(2), pp 178-183 [46] X Li, D Zhu (2004), "Global asymptotic stability for two recursive difference equations", Appl Math Comput 150, pp 481-492 [47] X Li, D Zhu (2004), "Two rational recursive sequences", Comput Math Appl 47, pp 1487-1494 [48] T Nesemann (2001), "Positive nonlinear difference equations: some results and applications", Nonlinear Anal 47, pp 4707-4717 100 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [49] I Ozturk, F Bozkurt, S Ozen (2006), "On the difference equation yn+1 = (α + βe−yn )/(γ + yn−1 )", Appl Math Comput 181, pp 1387-1393 [50] G Papaschinopoluos, M.A Radin, C.J Schinas (2011), "On a system of two difference equations of exponential form: xn+1 = a + bxn−1 e−yn , yn+1 = c + dyn−1 e−xn ", Math Comput Model 54, pp 2969-12977 [51] V N Phat (1999), "On the stability and stabilizability of nonlinear dynamical systems", Nonlinear Analysis Forum, 4, pp 65-75 [52] M Pituk (2002), "More on Poincare’s and Perron’s theorems for difference equations", J Difference Equ Appl 8, pp 201-216 [53] G Stefanidou, G Papaschinopoluos, C.J Schinas (2010), "On a system of two exponential type difference equations", Comm Appl Nonlinear Anal 17(2), pp 1-13 [54] S Stevi´c (2000), "Behaviour of the positive solutions of the generalized Beddington-Holt equation", Panamer Math J 4, pp 77-85 [55] S Stevi´c (2002), "A note on the difference equation xn+1 = αi k i=0 pi ", J Differ Equations Appl 8, pp 641-647 xn−i [56] S Stevi´c (2002), "On the recursive sequence xn+1 = α+βxn−1 1+g(xn ) ", In- dian J Pure Appl Math.33(12), pp 1767-1774 [57] S Stevi´c (2003), "Asymptotic behaviour of a nonlinear difference equation", Indian J Pure Appl Math 34, pp 1681-1689 101 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [58] S Stevi´c (2006), "Asymptotic behaviour of a class of nonlinear difference equations", Discrete Dyn Nat Soc Article ID 47156, 10 pages [59] S Stevi´c (2006), "On positive solutions of a (k+1)th order difference equation", Appl Math Lett 19, pp 427-431 [60] S Stevi´c (2007), "On a discrete epidemic model", Discrete Dyn Nat Soc Article ID 87519, 10 pages [61] S Stevi´c (2013), "On the system xn+1 = yn xn−k /(yn−k+1 (an + bn yn xn−k )), yn+1 = xn yn−k /(xn−k+1 (cn + dn xn yn−k ))", Appl Math Comput 219, pp 4526-4534 ˇ [62] S Stevi´c, J Diblík, B Iriˇcanin, Z Smarda (2014), "Solvability of nonlinear difference equations of fourth order", Electron J Diff Equ 2014(264), pp 1-14 ˇ [63] S Stevi´c, J Diblík, B Iriˇcanin, Z Smarda (2015), "On the system of difference equation xn = xn−1 yn−2 /(ayn−2 + byn−1 ), yn = yn−1 xn−2 /(cxn−2 + dxn−1 )", Appl Math Comput 270, pp 688-704 [64] I Yalcinkaya (2008), "On the global asymptotic stability of a second-order system of difference equations", Discrete Dyn Nat Soc Article ID 860152, 12 pages [65] D.C Zhang, B Shi (2003), "Oscillation and global asymptotic stability in a discrete epidemic model", J Math Anal Appl 278, pp 194-202 102 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... NHIÊN Mai Nam Phong NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng... tục hướng nghiên cứu dạng phương trình hệ phương trình sai phân phi tuyến thời gian gần đây, luận án này, đề xuất nghiên cứu dạng phương trình có tính chất tổng qt hơn, dạng tương tự, dạng nhằm... tồn cục dạng phương trình sai phân hữu tỷ Chương Tác giả nghiên cứu tính bị chặn, khoảng bất biến nghiệm, tính ổn định điểm cân dương hai dạng hệ hai phương trình sai phân phi tuyến nghiên cứu tốc