phan tich binh luan 111 bai toan bat dang thuc nguyen cong loi

2 TUYỂN CHỌN 111 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC SẮC Trong chủ đề n|y, tuyển chọn v| giới thiệu số b|i to{n bất đẳng thức hay v| khó, với l| qu{ trình ph}n tích để đến hình th|nh lời giải cho b|i to{n bất đẳng thức Từ c{c b|i to{n ta thấy qu{ trình ph}n tích đặc điểm giả thiết b|i to{n bất đẳng thức cần chứng minh, từ có nhận định, định hướng để tìm tịi lời giải v| c{ch trình b|y lời giải cho b|i to{n bất đẳng thức Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1      a  b  c  b  c  a  c  a  b  2a 2b 2c Phân tích lời giải Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c Có thể nói đ}y l| bất đẳng thức hay nhiên khơng thực khó Quan s{t bất đẳng thức ta có c{ch tiếp cận b|i to{n sau Cách Từ chiều bất đẳng thức, ý tưởng l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM để đ{nh gi{ Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho bao nhiều số? Để ý bên vế tr{i bất đẳng thức có chứa 1 v| bên vế phải lại chứa nên ta sử dụng bất đẳng thức AM a a – GM cho hai số, ta cần triệt tiêu c{c đại lượng bc Chú ý đến bảo to|n dấu đẳng bc thức ta có đ{nh gi{ sau bc bc bc bc  2   a  b  c  4bc a  b  c  4bc a Thực tương tự ta có ca ca ab ab   ;   b  c  a  4ca b c  a  b  4ab c Cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta bc ca ab bc ca a  b 1         a  b  c  b  c  a  c  a  b  4bc 4ca 4ab a b c THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Để ý l| bc ca a  b 1 1 1      , lúc n|y ta thu 4bc 4ca 4ab  a b c  bc ca ab 1 1 1 1           a  b  c  b  c  a  c a  b  a b c  a b c  Hay bc ca ab 1      a  b  c  b  c  a  c  a  b  2a 2b 2c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c Cách Ý tưởng thứ hai l| {p dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức ta  ab  bc  ca  bc ca ab    a  b  c  b  c  a  c  a  b  abc a  b  c   b  c  a   c  a  b  Bất đẳng thức chứng minh ta  ab  bc  ca  1    abc a  b  c   b  c  a   c  a  b  2a 2b 2c Biến đổi vế tr{i ta  ab  bc  ca   ab  bc  ca      abc a  b  c   b  c  a   c  a  b  2abc  ab  bc  ca  2a 2b 2c 2 Điều n|y có nghĩa l| bất đẳng thức chứng minh Cách Ý tưởng l| sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh b|i to{n Chú ý đến phép biến đổi bc ab  bc  ca , ta thu bất đẳng thức cần   a b  c a a b  c chứng sau ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  1         2a b c a2  b  c  b c  a  c a  b  Biến đổi vế tr{i ta lại chứng minh th|nh  1   ab  bc  ca     Đến lúc n|y ta đưa b|i to{n cần  a b c  2abc 1    a  b  c  b  c  a  c  a  b  2abc Đến đ}y ta biến đổi bất đẳng thức c{ch nh}n hai vế với tích abc ta THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC bc ca ab    ab  ca bc  ab ca  bc Bất đẳng thức cuối l| bất đẳng thức Neibitz Điều n|y đồng nghĩa với việc bất đẳng thức chứng minh Cách Ta tiếp tục ph}n tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy bc  a b  c , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại th|nh 1 2 a    b c 1 1 1 1         1 1 1 1 1 2a b c a    b2    c    b c c a a b 1 Đến đ}y ta đặt x  ; y  ; z  Khi bất đẳng thức trở th|nh a b c y2 xyz x2 z2    yz zx xy Bất đẳng thức cuối l|m ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức  x  y  z  x  y  z y2 x2 z2    y  z z  x x  y  x  y  z 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a  b3  c    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a Phân tích lời giải Quan s{t c{ch ph{t biểu b|i to{n ý tưởng l| sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức v| ta   a  b3  c a5 b5 c5    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a a  b3  c  a b  ab  b 2c  bc  c 2a  ca Như ta cần  a  b3  c  a  b3  c  a b  ab2  b2 c  bc  c 2a  ca  a  b3  c 3  Hay a  b3  c  a b  ab2  b2c  bc  c 2a  ca THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Dễ thấy a  b3  ab  a  b  ; b3  c  bc  b  c  ; c  a  ca  c  a  Cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta   a  b3  c  a b  ab2  b2c  bc  c 2a  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c a5 Ý tưởng thứ hai l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM, để ý đến đại lượng a  ab  b2 bên vế tr{i v| đại lượng a3 bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng AM – GM cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức xẩy a  b  c v| cần triệt tiêu a  ab  b2   a a  ab  b2 a5 nên ta chọn hai số l| Khi ta ; a  ab  b2     a a  ab  b2 a a  ab  b2 a5 a5 2a  2   9 a  ab  b2 a  ab  b2 Áp dụng tương tự ta có     b b2  bc  c c c  ca  a b5 2b3 c5 2c   ;   c  ca  a b2  bc  c Để đơn giản hóa ta đặt A  a5 b5 c5   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a Cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta A Hay A   a a  ab  b2    bb  bc  c   c c    ca  a a  b3  c  a b  ab2  b2 c  bc  c 2a  ca   a  b3  c   Phép chứng minh ho|n tất ta    a  b3  c  a b  ab2  b2 c  bc  c 2a  ca   a b c 3   a b  ab2  b2 c  bc  c 2a  ca a  b3  c 3 Đến đ}y ta thực tương tự c{ch Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 1     30 2 a  b  c ab bc ca THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Phân tích lời giải Trước hết ta dự đo{n đẳng thức xẩy a  b  c  Quan s{t bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy c{c biến nằm mẫu nên tự nhiên ta nghĩ đến c{c bất đẳng thức AM – GM, Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức, … Cách Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức với ý tưởng đ{nh gi{ bất đẳng thức AM – GM Để ý đến bảo to|n dấu đẳng thức ta có a  b2  c2  ab  bc  ca nên để tạo đại lượng ab  bc  ca ta có đ{nh gi{ quen thuộc l| Do ta có bất đẳng thức 1    ab bc ca ab  bc  ca 1 1      2 2 a  b  c ab bc ca a  b  c ab  bc  ca Như ta cần phải chứng minh   30 2 a  b  c ab  bc  ca Lại ý đến đ{nh gi{ tương tự ta cần cộng c{c mẫu cho viết th|nh  a  b  c  điều n|y có nghĩa l| ta cần đến  ab  bc  ca  Đến đ}y ta hai hướng l|:   1 2 + Thứ l| đ{nh gi{     , Tuy nhiên 2 2  ab  bc  ca   a  b  c  a b c   đ{nh gi{ n|y không xẩy dấu đẳng thức + Thứ hai l| đ{nh gi{ 1     2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c 2 Bất đẳng thức chứng minh ta Tuy nhiên, dễ thấy Do ta a  b  c   21 ab  bc  ca  ab  bc  ca  ab  bc  ca   21 Vậy bất đẳng thức chứng minh ab  bc  ca Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức, ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 1 1 16      2 2 a  b  c 3ab 3bc 3ca a  b  c   ab  bc  ca  THCS.TOANMATH.com 16  12 2 a  b  c   a  b  c  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bất đẳng thức chứng minh ta 2 1      18   ab bc ca  Để ý tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta 2 1  6      18   ab bc ca  ab  bc  ca a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh 1    ab bc ca ab  bc  ca Cách Theo đ{nh gi{ quen thuộc ta có Do ta có bất đẳng thức 1 1      2 2 a  b  c ab bc ca a  b  c ab  bc  ca Áp dụng tiếp đ{nh gi{ ta  1    a  b2  c  2ab  2bc  2ca    2  a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca   Hay    Mặt kh{c ta lại có  21 2 ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca Cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta 1 1     30 2 a  b  c ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b  b c  c a 3 Phân tích lời giải Trước hết để dấu ta đặt x  a; y  b; z  c , từ giả thiết ta có x2  y2  z2  v| bất đẳng thức viết lại th|nh x2 y2 z2    Quan s{t bất đẳng y z x thức v| dự đo{n dấu đẳng thức xẩy x  y  z  , ta có số ý tưởng tiếp cận b|i to{n sau Cách Từ c{ch ph{t biểu vế tr{i ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức Tuy nhiên cần ý đến giả thiết x2  y2  z2  , ta có đ{nh gi{ THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC   x2  y2  z2 y4 x2 y2 z2 x4 z4        2 y z x x y y z z x x y  y z  z x x y  y2z  z2x Ta quy b|i to{n chứng minh    x2 y  y2 z  z2 x 2 x yy zz x M| theo bất đẳng thức AM – GM ta x3  xy2  2x2 y; y3  yz2  2y2 z; z3  zx2  2z2 x  Do ta có x3  y3  z3  x2 y  xy2  x2 z  xz2  y2 z  yz2  x2 y  y2 z  xz2  M| ta có đẳng thức quen thuộc x  y2  z2  x  y  z  x   y  z3  x2 y  xy  x2 z  xz  y z  yz   Do ta x2  y2  z2  x  y  z   x2 y  xz2  y z  Để ý tiếp đến giả thiết x2  y2  z2  , ta có x  y  z  x2 y  y2 z  xz2   Mà ta có x  y  z  x2  y  z  suy  x2 y  y z  z2 x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Cách Cũng từ c{ch ph{t biểu vế tr{i ta nghĩ đến đ{nh gi{ bất đẳng thức AM – GM, nhiên {p dụng trực tiếp ta cần ý l|m triệt tiêu c{c mẫu số v| đ{nh gi{ bình phương c{c biến Do ta đ{nh gi{ sau y2 x2 z2  x2 y  2x2 ;  y z  2y ;  z x  2z y z x Cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta x2 y2 z2    x2 y  y z  z2 x  2x  2y  2z  y z x Hay   x2 y2 z2     x2 y  y2 z  z2 x y z x   B|i to{n chứng minh ta  x2 y  y z  z2 x  hay  x2 y  y z  z2 x Đến đ}y ta l|m c{ch thứ Cách Cũng {p dụng bất đẳng thức AM – GM, nhiên tình n|y ta bình phương hai vế trước THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Đặt A  x2 y2 z2   , ta y z x  x2 y2 z2   x2 y y2 z z2 x  x4 y4 z4 A         2    x x y  y z x  y z  z Đến đ}y ta ý đến c{ch ghép cặp sau 4 y2 z y2 z x4 x2 y x2 y z2 x z2 x 2 y 2 z    z  4x ;    x  4y ;    y  4z z z x x y y y2 z2 x2 Cộng theo vế c{c bất đẳng thức ta     A2  x  y  z  x  y  z  A   A  x2 y2 z2 Hay    Vậy bất đẳng thức chứng minh y z x Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Cách Trong c{c hướng tiếp cận ta thực đ{nh gi{ sau qu{ trình đổi biến m| quên đ{nh gi{ quan trọng l| b  b  , ta có a b  2a Đ}y l| đ{nh b1 gi{ chiều m| bảo to|n dấu đẳng thức, ta thử thực tiếp xem a Theo bất đẳng thức AM – GM ta có b  b c  c a  2a 2b 2c   b1 c 1 a 1 Bất đẳng thức chứng minh ta 2a 2b 2c    Nhìn b1 c 1 a 1 c{ch ph{t biểu bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức ta có a  b  c  a  b  c  2a 2b 2c     b  c  a  ab  bc  ca   a  b  c 2  Ta cần chứng minh a  b  c  a  b  c   2 3 Hay  a  b  c    a  b  c     a  b  c    a  b  c  2 Đẳng thức cuối l| giả thiết Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c l| c{c số thực không }m Chứng minh rằng: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 a  b2  c  2abc    ab  bc  ca  Phân tích lời giải Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c  , quan s{t bất đẳng thức ta nghĩ đến số ý tưởng tiếp cận sử dụng nguyên lí Dirichlet, sử dụng tính chất tam thức bậc hai, sử dụng bất đẳng thức AM – GM,…, b}y ta ph}n tích ý tưởng để tìm lời giải cho b|i to{n Cách Trước hết ta thấy ta để ý đến đẳng thức xẩy a  b  c  điều n|y có nghĩa l| đẳng thức xẩy a  1; b  1; c  0, ngo|i ta bất đẳng thức chứa c{c đại lượng ac, bc,abc, nên ta nghĩ đến tích c  a  1 b  1 , nhiên ta chưa thể khẳng định tích có khơng }m hay khơng nên ta sử dụng ngun lí Dirichlet Theo nguyên lí Dirichlet ba số a  1; b  1; c  tồn tai hai số dấu, khơng tính tổng qu{t ta giả sử hai l| a  1; b  , ta có a  1 b  1   c a  1 b  1   abc  ac  bc  c  Khi ta có a  b2  c  2abc    a  b   1  c    abc  ac  bc  c    ab  bc  ca  2 Dễ thấy  a  b   1  c    abc  ac  bc  c   nên ta có a  b 2  2ab  1  c   2c  2abc  2ac  2bc   bc  ca   ab  bc  ca  Suy a  b2  c  2abc    ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Cách Dễ thấy bất đẳng thức có b}c hai biến ta viết lại bất đẳng thức dạng đa thức biến a, cịn b v| c đóng vai trị tham số Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh l| a   bc  b  c  a  b2  c  2bc   Xét f(a)  a   bc  b  c  a  b2  c  2bc  Quan s{t đa thức f(a) ta nhận thấy bc  b  c  ta ln có f(a)  , tức a   bc  b  c  a  b2  c  2bc   B}y ta xét trường hợp sau bc  b  c  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11   Khi ta có 'a   bc  b  c   b2  c  2bc  Để ý đến hệ số hạng tử bậc hai l| số dương nên để f(a)  ta phải   'a   bc  b  c   b2  c  2bc   Hay bc  b   c     Để ý đến bc  b  c  ta  b  1 c  1  , lúc n|y xẩy ta c{c khả sau + Cả  b  1 ;  c  1 nhỏ hay b, c nhỏ 2, theo bất đẳng thức Cauchy ta b   b  b   b   1; c   c  c   c  1 Suy bc  b   c    nên ta có bc  b   c     + Trong hai số  b  1 ;  c  1 có số lớn v| số nhỏ b, c có số lớn v| số nhỏ suy bc  b   c    nên ta có bc  b   c     Như hai khả cho 'a  nên bất đẳng thức chứng minh Vậy b|i to{n chứng minh xong Cách Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có đ{nh gi{ 2abc   abc  abc   3 a b2c Lúc n|y ta bất đẳng thức a  b2  c  2abc   a  b2  c  3 a b2c Ta cần a  b2  c  3 a b2c   ab  bc  ca  Để l|m bậc ta đặt a  x3 ; b2  y3 ; c  z3 , bất đẳng thức viết lại th|nh x3  y3  z3  3xyz   x3 y3  y3 z3  z3 x3  Để ý đến đ{nh gi{ xy  x  y ta viết   x3 y3  y z3  z3 x3  xy  x  y   yz  y  z   zx  z  z  Bất đẳng thức chứng minh xong ta x3  y3  z3  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   zx  z  z  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 83 Đ{nh gi{ cuối l| đ{nh gi{ Vậy b|i to{n chứng minh xong Bài 43 Cho a, b, c l| c{c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b  bc ac c  ab   a b c  Phân tích lời giải Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c , Quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy có số nhận xét sau + Bất đẳng thức có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức + Bất đẳng thức chứa c{c bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy + Đ}y l| bất đẳng thức đồng bậc nên ta nghĩ đến phép đổi biến Từ nhận xét ta tìm hiểu c{c hướng tiếp cận b|i to{n sau Cách Trước hết ta bắt đấu với bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức đ{nh gi{ a b  bc ac  c ab   a b c  a b  bc  ca Như phép chứng minh ho|n tất ta  a b c  a b  bc  ca Hay    a b c   a  b  c  a b  bc  ca Tuy nhiên đ{nh gi{ cuối lại l| đ{nh gi{ sai, ta khơng thể dụng trực tiếp vậy, điều n|y l|m ta nghĩ đến việc biến đối bất đẳng thức trước a Để ý l| bc  abc bc  b  c , ho|n to|n tương tự ta viết vế tr{i bất đẳng thức l| a bc  b ac   1   a  b  c      ab ab ac   bc c  bc  ac  ab  Do bất đẳng thức viết lại th|nh  a  b  c    bc THCS.TOANMATH.com  ab    ac    bc  ac  a b   a b c  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 84 Đến đ}y theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  a  b  c    bc  ab a  b  c    ac  a b  bc  ca  Phép chứng minh ho|n tất ta a  b  c   a b  bc  ca   a b  bc  ca   a b c  a  b  b  c  c  a  3.2  a  b  c  Để ý l| theo bất đẳng thức Cauchy ta Do ta có a  b  c  a b  bc  ca a Suy ta bc a  b  c   a  b  c  b  ac  c ab a  b  c   a  b  c      a b c  a b c   Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Cách B}y ta thử {p dụng bất đẳng thức Cauchy xem có chứng minh b|i to{n khơng Để ý ta thấy c{c ph}n số có mẫu chứa c{c bậc hai v| ta phải đ{nh gi{ cho bất đẳng thức thu chiều với bất đẳng thức cần chứng minh Điều n|y l|m ta liên tưởng đế bất đẳng thức Cauchy dạng xy  x  y Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh th|nh  a b c      2a  2b  2c  b  c ac ab  Lúc n|y ta cần đ{nh gi{ c{c mẫu theo kiểu khai triển đẳng  2a  2b  2c thức  2a b  c  2a  2b  2c b  c  2a b  c  x  y   x  y  v| 2b  2c  b  c;  bất  đẳng 2b  2c thức   b  c  ? Để ý l| b  c Do theo bất Cauchy ta 2a  b  c Nên ta có  2a  2b  2c  b  c  2a b  c   THCS.TOANMATH.com  2b  2c  bc 2a  b  c 2a  5b  5c  b  c b  c  2 TÀI LIỆU TỐN HỌC 85 Từ suy   a 2a  2b  2c b 2a  2b  2c  ca  2a Áp dụng tương tự ta có 2a  5b  5c  bc  2b ; 2b  5c  5a c  2a  2b  2c  ab  2c 2c  5a  5b Đến đ}y cộng theo vế c{c bất đẳng thức  a b c  2a 2b 2c       2a  2b  2c  b  c ac a  b  2a  5b  5c 2b  5a  5c 2c  5a  5b Phép chứng minh ho|n tất ta 2a 2b 2c    2a  5b  5c 2b  5a  5c 2c  5a  5b Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức ta 2a 2b 2c   2a  5b  5c 2b  5a  5c 2c  5a  5b  a  b  c  2a  2b  2c 2 a  b  c    10ab  10bc  10ca a  b  c  2  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Cách Bất đẳng thức cần chứng minh l| bất đẳng thức đồng bậc phép đổi biến x  ta sử dụng 3a 3b 3c Khi ta x  y  z  ; y ; z abc abc abc Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 abc  a  b  c    ac ab  abc  bc abc Hay x yz  y zx  z xy   x y z  a b c   Kết hợp với điều kiện x  y  z  , bất đẳng thức trở th|nh x 3x Dễ d|ng chứng minh THCS.TOANMATH.com  y 3x t 3t  z  t 3x    x y z   t  1 với  t  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 86 Áp dụng bất đẳng thức ta x 3x y  3y  z 3z    x y z   x  y  z  3   x y z  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 44 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh rằng: a b c    a  2b  b  2c  c  2a  2 Phân tích lời giải Dễ d|ng dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Quan s{t bất đẳng thức ta liên tưởng đến đ{nh gi{ quen thuộc a2  2b   a   2b   2a  2b  Áp dụng tương tự ta a b c 1 a b c         a  2b  b  2c  c  2a   a  b  b  c  c  a   Như ta cần chứng minh a b c   1 a  b1 bc 1 c a 1 Để có c{c đ{nh gi{ hợp lý trước hết ta đổi chiều bất đẳng thức Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1 a b c 1 1  1  a  b1 bc 1 c a 1 Hay b1 c 1 a 1   2 a  b1 bc 1 c a 1 Bất đẳng thức l|m ta liên tưởng đề bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức  b  1  c  1  a  1 b1 c 1 a 1      a  b  b  c  c  a   b  1 a  b  1  c  1 b  c  1  a  1 c  a  1 2 a  b  c  3   a  1 a  c  1   b  1 b  a  1   c  1 c  b  1 Phép chứng minh ho|n tất ta a  b  c  3 2  a  1 a  c  1   b  1 b  a  1   c  1 c  b  1 Để ý đến giả thiết a  b2  c2  ta có THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 87  a  1 a  c  1   b  1 b  a  1   c  1 c  b  1  a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c    2   2 a  b2  c  ab  bc  ca   a  b  c     a  b  c   2 a  b  c  3 a  b  c     a  1 a  c  1   b  1 b  a  1   c  1 c  b  1  a  b  c   Khi ta 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 45 Cho a, b, c l| c{c số thực dương tùy ý Chứng minh a ab  b  b bc  c  a ca  a  Phân tích lời lời giải Quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức để đ{nh biểu thức vế tr{i l| sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đ{nh gi{ mẫu, trước hết để có đ{nh gi{ đảm bảo dấu đẳng thức ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c Đầu tiên ta tiếp cận với bất đẳng thức Bunhiacopsxki dạng ph}n thức Để ý l| ta khơng nên sử dụng trực tiếp mẫu có c{c đại lượng mũ nên trội Do ta đ{nh gi{ sau a ab  b2  b bc  c  a ca  a  a  b  c  a ab  b2  b bc  c  c ca  a Như phép chứng minh ho|n tất ta a  b  c  a ab  b2  b bc  c  c ca  a  2 Để dễ d|ng ta ý đên đ{nh gi{ mẫu trước Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta có 2b  a  b Do {p dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2b  a  b   2b   a  b   a  3b Ho|n to|n tương tự ta a ab  b2  b bc  c  c ca  a  THCS.TOANMATH.com a  3ab 2  b2  3bc 2  c  3ca 2 TÀI LIỆU TỐN HỌC 88 Khi ta a  b  c  a  b  c  a ab  b2  b bc  c  c ca  a  a  3ab  2 a  b  c  V| ta cần phải chứng minh a  b  c  b2  3bc  2 c  3ca 2 a  3ab  b  3bc  c  3ca 2  Hay   ab  bc  ca  , đ{nh gi{ n|y l| đ{nh gi{ đúng, bất đẳng thức chứng minh B}y ta thử tiếp cận với bất đẳng thức Cauchy với đ{nh gi{ c{c mẫu xem Để ý a  ab  a  a  b  , tích n|y l|m ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng quen thuộc xy  x  y Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 2b  a  b   Áp dụng tương tự ta a ab  b2  2b   a  b  b bc  c 2  a  3b a  ca  a  2a 2b 2c   a  3b b  3c c  3a Phép chứng minh ho|n tất ta 2a 2b 2c a b c hay       a  3b b  3c c  3a a  3b b  3c c  3a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}m thức ta a  b  c  a b c    a  3b b  3c c  3a a  b2  c  3ab  3bc  3ca Ta cần phải chứng minh Hay a  b  c  a  b  c  3ab  3bc  3ca 2   4  a  b  c   a  b2  c  3ab  3bc  3ca  Khai triển v| thu gọn ta a  b2  c2  ab  bc  ca , đ}y l| đ{nh gi{ Vậy b|i to{n chứng minh Nhận xét Trong tốn hai ý tưởng tiếp cận nhau, khác chỗ dùng cơng cụ trước thơi Ngồi ta dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức a b c    a  3b b  3c c  3a THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 89 Đặt x  a  3b; y  b  3c; z  c  3a Từ suy a x  3y  9z y  3z  9x z  3x  9y ;b  ;c  28 28 28  x y z y z x Bất đẳng thức viết lại thành           Các bạn thử chứng y z x x y z minh tiếp xem sao? Bài 46 Cho a, b, c l| c{c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a     b2  c    a  b  c  1 Phân tích lời giải Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c  , quan s{t bất đẳng thức ta thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Cách Để ý l| a2   a    , Do {p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có    b  c 2  b  c 2    bc bc   1   1.a  a    1     1.1    a  b  c  1      2       2  b  c      a  b  c  1 Hay a          2  b  c    B|i to{n quy chứng minh b  c           2  Mặt kh{c, {p dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có b        c   3b2  3c  b2 c   2b2  2c  b  c  b c     b  c 2   2b  2c  2bc  2bc    b  c      2     2   b  c 2    a    a  b  c  1 Như ta a  b  c              Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Cách Ngo|i ta {p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki sau THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90    b  c  2  b  c  2  b  c  2  a    1         3           b  c 1 b  c 1 b  c 1   1.a     3     b  c  1     a  b  c  1 Hay a           Ta cần chứng minh   b  c  1   b  c   1        Thật vậy, biến đổi tương đương ta    b  c  1    3b c  b  c   b  c   8bc  11  b  c   1            b  c     b  c    bc  1  2 Bất đẳng thức cuối ln đúng, ta có    b  c 2  a  b  c   4   a    a  b  c  1          Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài 47 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   9 ab  bc  ca  Phân tích lời giải Quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy tử c{c ph}n thức chứa c{c đại lượng a  b3 , b3  c3 ,c  a Chú ý đến chiều bất đẳng thức, c{c đại lượng l|m ta liên   tưởng đến bất đẳng thức x3  y   x  y  , ngo|i ý đến tích ab đ{nh gi{  a  b  B}y ta thử xem c{c ph}n tích giả b|i to{n không?   Cách Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc x3  y   x  y  ta có   3 a  b a  b3 a  b   ab  4ab  36 4ab  36 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Mặt kh{c, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 4ab   a  b   a  b   36  12  a  b  2 Do ta   3  a  b   a  b  36  a  b   a  b  36 a  b   a  b  a  b3 a  b   ab  4ab  36  a  b 2  36 12  a  b   a  b   36 Áp dụng tương tự ta có b3  c c3  a3  b  c  3;  ca3 bc  ca  Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta a  b3 b3  c c  a    a  b  c    ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c    Cách Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc x3  y   x  y  ta có 3   a  b 3 4ab   ab a  b3  a  b       3   ab  4ab  36  4ab  36 24    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a  b  a  b   4ab    a  b 4ab     33 3 4ab  36 24 4ab  36 24 Do ta Tương tự ta có 3 a  b3  a  b  ab    bc  b3  c 3  b  c  bc c  a 3  c  a  ca    ;    bc  ca  Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức v| kết hợp với đ{nh gi{ quen thuộc , ta  a  b  c   27  a  b3 b3  c c  a ab  bc  ca 27    a  b  c     a  b  c   ab  bc  ca  18 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài 48 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn 1 a  b   abc 1    Chứng minh rằng: a b c 1 b  c   abc 1 c  a    abc Phân tích lời giải THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 92 Dễ d|ng dự đo{n đẳng thức xẩy a  b  c  Quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy phức tạp b|i to{n Để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải đơn giản hóa c{c thức c{c mẫu số, đồng thời khai th{c thật khéo léo c{c giả thiết b|i to{n Quan s{t kỹ giả thiết v| bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy ta đ{nh gi{ vế tr{i đại lượng Dễ thấy từ giả thiết ta suy 1 ; ; xem b|i to{n giải a b c 1    3; abc  B}y ta tìm c{ch đ{nh a b c gi{ c{c mẫu Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy v|o giả thiết ta 3 1  2 2  abc  2 a b c a bc a  b   a  b Do 1  a  b   abc  a  b  1  Để ý l| a  b  1  a  b   1   a  b    a  b   , {p dụng bất đẳng thức   Cauchy ta có a  b a  b Suy Do ta a  b   2 1  a  b   1   a  b    a  b   a  b    1 2 1 a  b  abc hay   abc 1 b  c a  b   1  a  b a  b  Ta cần chứng minh 1  a  b  1   a  b   a  b  1  a  b 1 1  1 Ho|n to|n tương tự ta a  b   abc 1 1         c  a   abc  a  b b  c c  a  1 1    a b bc ca Thật vậy, theo đ{nh gi{ quen thuộc kết hợp với giả thiết ta THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 93 1 1 1 1        a b bc ca a b c  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Cách Để ý thấy có số mẫu nên để dễ đ{nh mẫu ta {p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức để t{ch số khỏi mẫu số Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta 1     a  b   abc 16   1     1  a  b   abc 16  a  b      abc  Để ý lại thấy mẫu số có chứa đại lượng abc nên ta đ{nh gi{ a  b a  b ab đặt nh}n tử chung Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  4ab , ta a  b   a  b  4ab  abc  abc  ab  4a  4b  c  B}y gờ để triệt tiêu bậc hai ta để ý đến bất đẳng thức Cauchy dạng xy  x  y Chú ý l| cần bảo to|n dấu đẳng thức nên ta có ab  4a  4b  c   2 1      9ab  4a  4b  c   9ab 4a  4b  c  Mặt kh{c lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức ta có 1    1  4 1        4a  4b  c 81 4a  4b  c 81  a b c  Do ta a  b 1   abc  4 1       16 32ab 96  a b c  Áp dụng tương tự ta 1 a  b   abc 1 b  c  THCS.TOANMATH.com   abc 1 c  a   abc 3  1   1 1          16 32  ab bc ca  96  a b c  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 94 Ta cần chứng minh 3  1   1 1           16 32  ab bc ca  96  a b c  Thật vậy, Áp dụng hai bất đẳng thức quen thuộc ta 1  1 1 1 1 1         3;      3 a b c ab bc ca a b c  b c a 3  1   1  27              16 32  ab bc ca  96  a b c  16 32 96 Từ suy Bất đẳng thức chứng minh xong Bài 49 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b2  b2  c  c  a     12 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Phân tích lời giải Cách Quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy c{c mẫu số không đồng bậc, ý đến giả thiết b|i to{n ta viết lại a  b2  a  b2    a  b  a  b  c   ab a2  b2  ab  bc  ca Để ý l| a  b2  2  ab  bc  ca 1  2 a  b  ab  bc  ca a  b2  ab  bc  ca Khi {p dụng tương tự ta bất đẳng thức cần chứng minh trở th|nh  ab  bc  ca  ab  bc  ca  ab  bc  ca  2  9 a  b  ab  bc  ca b  c  ab  bc  ca c  a  ab  bc  ca Bất đẳng thức có c{c tử giống nên {p dụng đ{nh gi{ quen thuộc ta  ab  bc  ca  ab  bc  ca  ab  bc  ca  2  2 a  b  ab  bc  ca b  c  ab  bc  ca c  a  ab  bc  ca   ab  bc  ca   2 a  b2  c   ab  bc  ca    Phép chứng minh ho|n tất ta   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  2 1 Để để triệt tiêu c{c đại lượng }m tử số ta ý đến  a  b  c   , ta có   ab  bc  ca  a  b2  c   ab  bc  ca  THCS.TOANMATH.com  a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c   ab  bc  ca  1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Cách Kết hợp với giả thiết ta có biến đổi sau a  b  ab   a  b  a  b  c   ab  a  b2  ab  bc  ca a  b2  a  b2  a2  b2     Do ta có a  b  ab a  b2  ab  bc  ca a  b2  ab  bc  ca a  b2  ab  bc  ca Áp dụng tương tự ta b2  c  b2  c2   2  2 b  c  bc b  c  ab  bc  ca b  c  ab  bc  ca c  ba  c2  a2    c  a  ca c  a  ab  bc  ca c  a  ab  bc  ca Mặt kh{c theo bất đẳng thức Cauchy ta a2  a2   a  b2  ab  bc  ca c  a  ab  bc  ca a2  a2    4 2a  b2  c   ab  bc  ca  a   a  b  c 2     Áp dụng tương tự ta b2  b2   4 b2  c  ab  bc  ca b  a  ab  bc  ca c2  c2   4 b2  c  ab  bc  ca c  a  ab  bc  ca Cộng theo vế c{c kết ta a  b2  b2  c  c  ba     12 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 50 Cho c{c số thực thỏa mãn a, b,c   0;1 abc  1  a 1  b 1  c  Chứng minh rằng: a  b4 b2  c c  a 15    b c a Phân tích lời giải THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Quan s{t bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải đổi biến để l|m c{c dấu trừ bên vế phải, tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến x  a  b; y  b  1; z  c  , nhiên quan s{t kỹ giả thiết ta biến đổi abc  1  a 1  b 1  c   Đến đ}y ta đặt x  1  a 1  b 1  c   abc 1a 1 b 1 c ;y  ;z  a b c Khi ta có xyz  a  1 ;b  ;c  1 x 1 y 1 z Do xyz  nên c{c số x, y, z có hai số nằm phía so với 1, giả sử hai số  x  1 y  1   x  y   xy  z z l| x v| y Khi ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 1  x   1  1  y  1  xy    x  1  xy    y  x y   y x z     1  xy  x  y  1  xy  x  y   xy  z  Từ ta a b c  2 1   1  x  1  y  1  z  2 z   z    2z  1 z 3       2  z 1  z  1  z  4 1  z  2 a b2 c 15    a  b3  c  Bất đẳng thức viết lại th|nh b c a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta   a  b2  c a b2 c a b4 c4       b c a a b b c c a a b  b c  c 2a M| theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức ta a b  b c  c 2a  a a b2 c Từ suy    b c a THCS.TOANMATH.com    a   b2  c   2 a  b2  c a  b2  c   a  b2  c a  b2  c  b  c a b  b c  c 2a     a  b2  c   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 97    Mặt kh{c ta lại có a  b3  c  a  b  c   a  b2  c  2 Từ c{c kết ta a b2 c 3 15    a  b3  c    b c a 8 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  THCS.TOANMATH.com 3     a  b3  c  4    a  b2  c   b2  c  a  b  c  Do ta a  b3  c   ; a TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...  a  c  a  b  2abc Đến đ}y ta biến đổi bất đẳng thức c{ch nh}n hai vế với tích abc ta THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC bc ca ab    ab  ca bc  ab ca  bc Bất đẳng thức cuối l| bất đẳng...  b2 c  bc  c 2a  ca  a  b3  c 3  Hay a  b3  c  a b  ab2  b2c  bc  c 2a  ca THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Dễ thấy a  b3  ab  a  b  ; b3  c  bc  b  c  ; c  a  ca... c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 1     30 2 a  b  c ab bc ca THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Phân tích lời giải Trước hết ta dự đo{n đẳng thức xẩy a  b  c 