BÀI TẬP LỚN THỐNG KÊ XÃ HỘI HỌC - Biến ngẫu nhiên liên tục

UBND TỈNH QUẢNG NINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẠ LONG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THỐNG HỘI HỌC LỚN KÊ XÃ ĐỀ TÀI: Biến ngẫu nhiên liên tục Giảng viên hướng dẫn : Trần Đức Chiển Sinh viên thực : Vũ Thị Ngọc Anh Lớp : ĐH Quản Lý Văn Hóa K1-A MSSV: HLU.DHN02.004 Quảng Ninh, tháng 02 /2016 PHIẾU CHẤM ĐIỂM Điểm, chữ kí (Ghi rõ họ tên) cán chấm thi Cán Cán chấm thi chấm thi số số Điểm thống thi Bằng số Bằng chữ Chữ kí xác nhận cán nhận thi MỤC LỤC Lời nói đầu Chương : Các khái niệm xác suất Chương : Biến ngẫu nhiên liên tục 14 Chương : Bài tập 16 Chương : Tài liệu tham khảo 24 LỜI NÓI ĐẦU Xác suất Thống kê chun ngành khó Tốn học, lại chuyên ngành có nhiều ứng dụng thực tiễn công cụ nghiên cứu nhiều chuyên ngành khác Các chuyên ngành đại học thuộc khối Xã hội Nhân văn tất trường Cao đẳng, theo chương trình khung Bộ giáo dục Đào tạo học môn Thống kê xã hội học minh chứng rõ ràng cho nhận định Thống kê xã hội học môn học quan trọng cung cấp kiến thức thống kê số liệu có ý nghĩa trực tiếp thực tiễn , vận dụng nhiều đời sống học tập nghiên cứu Thống kê xã hội có ý nghĩa đặc biệt ngành dùng nhiều số liệu phục vụ cho công tác nghiên cứu giảng dạy Mơn học đóng vai trị quan trọng ngành Quản lý Văn hóa, cơng cụ khơng thể thiếu ta nói đến dự báo, bảo hiểm, cần đánh giá may, nguy rủi ro Với lượng kiến thức học xác suất thống kê dễ dàng tính tốn quy luật nghiên cứu khoa học áp dụng vào để kiểm định tính xác mơ hình , kiểm định độ tin cậy thang đo, lựa chọn phương án cho thuận lợi nhất, rủi ro Mơn học Thống kê xã hội học mơn khó sinh viên học ban xã hội nói chung , sinh viên chuyên ngành Quản lý Văn hóa nói riêng, bạn thường khó khăn việc phân tích tốn thực tế , cơng thức khó thuộc hay phép tính dài dịng, điều làm cho bạn khơng giải xác tốn, u cầu đặt dẫn đến kết môn thấp kiến thức môn thống kê xã hội học chưa bạn áp dụng vào thực tế Vậy cần làm để nâng cao chất lượng học tập môn Thống kê xã hội học ? Mỗi sinh viên nên dành thời gian để nghiên cứu môn học Thống kê xã hội học Cần vận dụng kiến thức học, nghiên cứu để đưa vào thực tế, ứng dụng vào thực tiễn giúp sinh viên hiểu hơn, khơng cịn thấy khó khăn với mơn học khó Bài tiểu luận tơi sau giới thiệu dạng biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên liên tục tốn xác suất thống kê Vì nhiều lý do, chắn tiểu luận không tránh khỏi sai xót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Chương 1: Các khái niệm xác suất 1.1 Bổ túc giải tích tổ hợp 1.1.1 Các nguyên lý đếm a) Ngun lý cộng Giả sử có k cơng việc, việc thứ có n cách làm, việc thứ hai có n2 cách làm, , việc thứ k có nk cách làm, công việc không làm đồng thời Khi ta có n + n2+ + nk cách làm k công việc b) Nguyên lý nhân Giả sử hành động H thực qua k giai đoạn liên tiếp H1,H2,H3, ,Hk Giai đoạn H1 có n1 cách làm, ,Hk có nk cách làm Khi n1.n2 nk cách làm cơng việc H 1.1.2 Hốn vị Định nghĩa Cho tập M có n phần tử, cách xếp n phần tử theo thứ tự định gọi hoán vị tập M G ọi số hoán vị tập M là: Pn = n! = 1.2.3 (n − 1)n Ví dụ a) Ta có người A, B, C xếp vào chỗ ngồi Khi ta có 3! = 3.2.1 = cách xếp sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA b) Số cách xếp cho 80 sinh viên vào 80 chỗ ngồi P80= 80! 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập M có n phần tử, ≤ k ≤ n, chỉnh h ợp chập k n phần tử thứ tự (phân biệt) lấy từ n phần tử cho ký hiệu Akn = Ví dụ a) Cho ba phần tử 2,3,5 Các chỉnh hợp chập c ba ph ần tử là: 23, 25, 32, 35, 52, 53 b) Mỗi lớp phải học môn, ngày học môn Hỏi có cách xắp xếp thời khóa biểu cho ngày Giải: Vì cách xắp xếp thời khóa biểu ngày ghép môn mơn Các cách mơn khác thứ tự xếp trước sau hai mơn Vì cách xếp ứng với chỉnh hợp chập A26 = 30 1.1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho phần tử có mặt 1,2, 3, k lần nhóm tạo thành Ký hiệu Ākn = nk Ví dụ a) Cho ba phần tử 2,3,5 Các chỉnh hợp lặp chập ba phần tử là: 22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55 b) Để đăng ký loại máy người ta dùng số số 1,2, Hỏi đánh số máy Mỗi số máy chỉnh hợp lặp chập số: Ākn = 93 = 729 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa Tổ hợp chập k n phần tử, ≤ k ≤ n tập k phần tử lấy từ n phần tử cho ký hiệu Ckn = Akn /k! = Ví dụ Có 10 đội bóng đá thi đấu với theo thể thức vòng tròn lượt Hỏi có trận đấu? Giải: Ta thấy trận đấu đội đấu với tổ hợp chập 10 phần tử (Vì hai đội đấu với không cần xếp thứ tự) C210 = 45 1.2 Phép thử ngẫu nhiên biến cố 1.2.1 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên hành động mà ta chưa biết trước kết Tuy chưa biết trước kết phép thử biết tập tất khả ký hiệu Ω gọi không gian biến cố sơ cấp Mỗi ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Ta ký hiệu phép thử G Ví dụ a) Tung đồng tiền Ω = {S,N } b) Tung xúc xắc: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1.2.2 Biến cố Khi thực phép thử có nhiều câu hỏi liên quan đến kết Một kiện liên quan đến phép thử mà việc xảy hay khơng xảy phụ thuộc hồn toàn vào phép thử gọi biến cố ngẫu nhiên Ký hiệu A,B, C, - Biến cố sơ cấp ω gọi thuận lợi cho biến A kết phép thử ω A xảy - Biến cố biến cố xảy ký hiệu là: ∅ - Biến cố chắn: biến cố xảy thực phếp thử, ký hiệu là: Ω Ví dụ Tung xúc xắc ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố xuất mặt chấm lẻ A ⇒ A = {1, 3, 5} Biến cố xuất mặt chấm nhỏ B: ⇒ B = {1, 2, 3, 4} 1.2.3 Quan hệ phép toán biến cố a Quan hệ kéo theo Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B b Quan hệ Hai biến cố A, B gọi Ký hiệu A=B A ⊂ B, A⊃B c Giao hai biến cố Giao hai biến cố biến cố xảy A, B đồng thời xảy Ký hiệu A ∩ B AB TQ: A1 ∩ A2 ∩ ∩ An biến cố xảy với An xảy d Hợp hai biến cố Hợp hai biến cố biến cố xảy A B xảy Ký hiệu A ∪ B TQ: A1 ∪ A2 ∪ ∪ An biến cố xảy Ai xảy e Hiệu hai biến cố Hiệu hai biến cố A B ký hiệu A \ B biến cố xảy A xảy B không xảy g Biến cố đối Biến cố đối biến cố A Ā, biến cố xảy A không xảy h Biến cố xung khắc Hai biến cố A B xung khắc chúng không đồng th ời xảy ra, tức AB = ∅ Biến cố đối xung khắc k Nhóm đầy đủ biến cố Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi nhóm đầy đủ biến cố nếu: i Chúng xung khắc với đôi AiAj = ∅, (i ≠ j ) ii Hợp chúng biến cố chắn A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω Ví dụ Hai xạ thủ người bắn viên đạn vào đích Gọi A i biến cố người thứ i trúng đích Hãy viết biến cố sau qua A1,A2 a Biến cố người thứ trúng đích: A1Ā2 b Có người bắn trúng đích: A1Ā2 ∪ A2Ā1 c Có người bắn trúng đích: A1 ∪ A2 d Khơng có bắn trúng: Ā1Ā2 1.3 Các định nghĩa xác suất 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển Giả sử không gian biến cố sơ cấp Ω phép thử G có n kết đồng khả có m kết thuận lợi cho biến cố A Khi xác suất biến cố A ký hiệu định nghĩa P (A) = Ví dụ Một hộp có 16 cầu đen cầu đỏ lấy ngẫu nhiên cầu Hãy tính xác suất a) Lấy hai cầu đen b) Lấy cầu đen, đỏ Giải: a) Gọi A biến cố lấy hai cầu đen Khi n = C220 , m = C216 ⇒ P (A) = C216 / C220 b) Gọi B biến cố lấy đen, đỏ P (B) = C116C14 / C220 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất thống kê Một phép thử thực n lần mà có m biến cố A xuất tỷ số m/n gọi tần suất biến cố A Khi n thay đổi, tần suất m/n thay đổi ln dao động quanh số cố định đó, n lớn m/n g ần số cố định Số cố định gọi xác suất biến c ố A theo nghĩa thống kê Trên thực tế n đủ lớn ta xấp xỉ P (A) m/n tức P (A) = 1.3.3 Tính chất xác suất 1) ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 2) P (Ā) = − P (A) 3) Nếu A ⊂ B P (A) ≤ P (B) với P (B/A) =P (B) − P (A) 4) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) Ví dụ Một hộp cứa cầu trắng, cầu xanh cầu đen kích thước, chọn ngẫu nhiên lúc cầu Tìm xác suất để a) Cả cầu mầu (A) b) Có cầu mầu(B) c) Có hai cầu mầu(C) d) Cả cầu khác mầu nhau(D) Giải: a) Gọi A1 = { cầu rút mầu trắng} A2 = { cầu rút mầu đen} A3 = { cầu rút mầu xanh} Khi đó: A = A1 + A2 + A3 ⇒ P(A1) + P(A2) + P(A3) 10 ⇒ P (A) = C35 + C33 + C34 / C312 = b) Gọi B1 = { cầu rút mầu trắng} B2 = { cầu rút mầu đen} B3 = { cầu rút mầu xanh} ⇒ P (B) = P (B1) + P (B2) + P (B3) = C25C71 + C24C18 + C23C19 / C312 = c) P (C ) = P (A) + P (B) = d) Cách 1: P (D) = − P (C ) Cách 2: làm trực tiếp P (D) = C15C13C14 / C312 = 1.4 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.4.1 Khái niện biến ngẫu nhiên hàm phân phối Khái niệm biến ngẫu nhiên Một đại lượng mà giá trị ngẫu nhiên, khơng dự đốn trước gọi đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) ký hiệu chữ X, Y, Z, Hoặc đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị với xác suất tương ứng gọi đại lượng ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Có hai loại biến ngẫu nhiên là: Biến ngẫu nhiên r ời rạc biến ngẫu nhiên liên tục Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ký hiệu xác định sau: FX (x) = P [X < x] ; x ∈ R • Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc FX (x) = P (X< x) = 11 • Nếu biến ngẫu nhiên liên tục 1.6 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.6.1 Kỳ vọng Định nghĩa Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X ký hiệu EX xác định bởi: • Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất Thì : • Nếu X liên tục với hàm mật độ xác suất p(x) Ý nghĩa kỳ vọng Kỳ vọng biến ngẫu nhiên giá trị trung bình theo xác suất, hệ học kỳ vọng trọng tâm c hệ, nhận xác suất kỳ vọng trung bình số học 12 1.6.2 Phương sai Định nghĩa Phương sai biến ngẫu nhiên X ký hiệu DX xác định DX = E(X − EX )2 Ý nghĩa phương sai Phương sai biến ngẫu nhiên độ lệch trung bình X xung quanh giá trị kỳ vọng EX DX bé giá trị X tập trung xung quanh kỳ vọng, ngược lại DX lớn giá tr ị c X phân tán xung quanh kỳ vọng 13 CHƯƠNG : Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa : Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục nếu: i) FX (x) hàm liên tục ii) Tồn hàm số p(x) ≥ 0, ∀x ∈ R cho FX (x) = , x ∈ R Trong p(x) gọi hàm mật độ xác suất Tính chất hàm mật độ i =1 ii P (a ≤ X < b) = iii p(x) ≥ 0, ∀x ∈ R iv p(x) = F’(x) điểm x mà p(x) liên tục Chú ý: Nếu X liên tục P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) = P (a ≤ X ≤ b) P (X = a) = P (X = b) = Ví dụ : Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 14 Tìm hàm phân phối X ? Giải : Tìm a ta có = Ta có +) Nếu x ≤ F (x) = +) Nếu < x ≤ π/2 → +) Nếu x > π/2 → Vậy 15 Chương : Bài tập Bài tập : Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) = a, Tính P ( X) b, Tìm giá trị a cho P ( X a ) = 0,1 c, Xác định hàm phân phối mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y = Lời giải: Ta tìm FX (x) =  Nếu x FX (x) =  Nếu x > FX (x) = = Vậy FX (x) = a, P ( X ) = – P ( X < 3) = – FX (3) = b, Ta tìm a cho FX (a) = 0,1 tức - = 0,1 Suy a = 0,105 16 c, Ta có: FY (y) = P ( Y< y) =  Nếu y FY (y) =  Nếu y > FY (y) = P ( X < y2) Vậy : Từ : Bài tập : Cho Tính P ( X