Ứng dụng Matlab trong khảo sát tính ổn định của hệ thống

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP HỒ CHÍ MINH KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN TỰ ĐỘNG ĐIỀU KHIỂN -⸙∆⸙ - BÀI BÁO CÁO SỐ CHƯƠNG 2: Ứng dụng Matlab khảo sát tính ổn định hệ thống GVHD: NGUYỄN PHONG LƯU SVTH: NGUYỄN TẤN TÀI MSSV: 19151282 Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2022 Bài 1: Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Bode Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vịng hở G(s) a Với K=10, vẽ biểu đồ Bode biên độ pha hệ hở khoảng tần số (0.1, 100) b Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ Lưu biểu đồ Bode thành file *.bmp, chèn vào file word để viết báo cáo Chú ý phải rõ giá trị tìm biểu đồ Bode c Hãy xét tính ổn định hệ thống kín, giải thích d Hãy vẽ đáp ứng độ hệ thống với đầu vào hàm nấc đơn vị khoảng thời gian t=0÷10s để minh họa kết luận câu c Lưu hình vẽ để báo cáo e Với K=400 thực lại yêu cầu từ câu a→d BÀI LÀM: K=10 a) Với K=10, vẽ biểu đồ Bode biên độ pha hệ hở khoảng tần số (0.1, 100) - Code MATLAB: g=tf([10],conv([1 0.2],[1 20])); bode(g,{0.1,100}); grid on; margin(g) b) Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ Tần số cắt biên: 4.65 rad/s Pha dự trữ: 24.8 dB Tần số cắt pha: 0.455 rad/s Biên dự trữ.: 103 deg c) Hãy xét tính ổn định hệ thống kín, giải thích d) Hệ thống ổn định có hàm truyền hở có độ dự trữ biên độ dự trữ pha biểu đồ bode mô tả hệ thống dương e) Hãy vẽ đáp ứng độ hệ thống với đầu vào hàm nấc đơn vị khoảng thời gian t=0÷10s Step Response 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Time (seconds) 10 K=400 a) Với K=400, vẽ biểu đồ Bode biên độ pha hệ hở khoảng tần số (0.1, 100) Code matlab: clear clc g=tf([400],conv([1 0.2],[1 20])); figure; bode(g,{0.1,100}); grid on; margin(g) figure; gf=feedback(g,1) step(gf,10) b) Dựa vào biểu đồ Bode tìm tần số cắt biên, pha dự trữ, tần số cắt pha, biên dự trữ Tần số cắt biên: 4.65 rad/s Pha dự trữ: -7.27 dB Tần số cắt pha: 6.73 rad/s Biên dự trữ.: -23.4 deg c) Hãy xét tính ổn định hệ thống kín, giải thích Hệ thống bất ổn định độ dự trữ biên độ dự trữ pha biểu đồ bode mô tả hệ thống âm d) Hãy vẽ đáp ứng độ hệ thống với đầu vào hàm nấc đơn vị khoảng thời gian t=0÷10s Nhận xét: Hệ thống khơng ổn định hệ thống có hàm truyền hở có độ độ dự trữ pha dự trữ biên nhỏ Bài 2: Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Nyquist Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vịng hở G(s) a Với K=10, vẽ biểu đồ Nyquist hệ thống b Dựa vào biểu đồ Nyquist tìm pha dự trữ, biên dự trữ (theo dB) So sánh với kết câu 2.1.2 Lưu biểu đồ Bode thành file *.bmp, chèn vào file word để viết báo cáo c Hãy xét tính ổn định hệ thống kín, giải thích d Với K=400 thực lại yêu cầu từ câu a→c BÀI LÀM: K=10 a) Với K=10, vẽ biểu đồ Nyquist hệ thống Code matlab: clear clc g=tf([10],conv([1 0.2],[1 20])); nyquist(g) 1.5 Imaginary Axis 0.5 Nyquist Diagram dB dB -4 dB dB dB 10 dB 20 dB -0.5 -1 -2 dB -6 dB System: G Gain -10 dBMargin (dB): 24.8 At frequency (rad/s): 4.65 -20 Closed dB loop stable? Yes System: G Phase Margin (deg): 103 Delay Margin (sec): 3.97 At frequency (rad/s): 0.455 Closed loop stable? Yes -1 -0.5 0.5 Real Axis 1.5 2.5 b) Dựa vào biểu đồ Nyquist tìm pha dự trữ, biên dự trữ (theo dB) So sánh với kết câu 2.1.2 Biên dự trữ = 24.8 (dB) Pha dự trữ = 103 (độ) c) Hãy xét tính ổn định hệ thống kín, giải thích Hệ thống kín ổn định biểu đồ khơng bao điểm (-1,0j) K=400 a) Với K=400, vẽ biểu đồ Nyquist hệ thống Code matlab: clear clc g=tf([400],conv([1 0.2],[1 20])); nyquist(g) b) Dựa vào biểu đồ Nyquist tìm pha dự trữ, biên dự trữ (theo dB) So sánh với kết câu 2.1.2 Nyquist Diagram dB System: G2 Phase Margin-2 (deg): dB dB -23.4 System: G2 Delay Margin (sec): 0.873 Gain Margin (dB): -7.27(rad/s): 6.73 At frequency dB -4 dB At frequency (rad/s): dB Closed -6 dB loop4.65 stable? No 10 dB dB No Closed loop-10 stable? Imaginary Axis -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Real Axis Pha dự trữ, biên dự trữ giống với câu 2.1.2 c) Hãy xét tính ổn định hệ thống kín, giải thích Hệ thống kín khơng ổn định biểu đồ bao điểm (-1,0j) Bài 3: Khảo sát hệ thống dùng biểu đồ Nyquist Hãy xét tính ổn định hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vịng hở là: a b BÀI LÀM: Hàm truyền 1.5 Imaginary Axis 0.5 Nyquist Diagram dB dB -2 dB -4 dB dB -6 dB dB -10 dB 10 dB -20 dB 20 dB -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 Real Axis 0.5 1.5 1.5 Vì biểu đồ khơng bao điểm (-1,0j) nên hệ kín ổn định Hàm truyền 0.6 dB2 dB0 dB-2 dB-4 dB dB 0.4 Imaginary Axis Nyquist Diagram -6 dB -10 dB 10 dB 0.2 -20 dB 20 dB -0.2 -0.4 -0.6 -1 -0.5 Real Axis 0.5 Vì biểu đồ khơng bao điểm (-1,0j) nên hệ kín ổn định Bài 4: Khảo sát hệ thống dùng phương pháp quĩ đạo nghiệm số Khảo sát hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền vịng hở G(s) a Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) hệ thống Dựa vào QĐNS tìm Kgh hệ, rõ giá trị hình Lưu QĐNS thành file *.bmp để báo cáo b Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = c Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 d Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25% e Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s Hàm truyền hở có pha dự trữ = -41 độ nhỏ nên hệ kín không ổn định BÀI LÀM: A) Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) hệ thống Code matlab: clear clc g=tf([1],conv([1 0.2],[1 20])); figure; rlocus(g) Kgh = margin(g) line([-1 -1],[10 -10]) grid on Root Locus 0.9 0.81 0.7 0.56 0.4 0.2 System: G Gain: 172 Pole: -0.00482 + 4.64i Damping: 0.00104 Overshoot (%): 99.7 Frequency (rad/s): 4.64 -1 Imaginary Axis (seconds ) 0.955 0.988 10 -1 -2 System: G Gain: 174 Pole: 0.00636 - 4.66i Damping: -0.00137 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/s): 4.66 0.988 -3 0.955 -4 0.9 -5 -10 0.81 -8 0.7 -6 0.56 -4 0.4 -1 0.2 -2 Real Axis (seconds ) B) Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = Root Locus 0.9 0.81 System: 0.56 0.4G 0.2 Gain: 8.09 Pole: -3.72 + 1.45i Damping: 0.931 Overshoot (%): 0.0322 Frequency (rad/s): 0.7 -1 Imaginary Axis (seconds ) 0.955 0.988 10 -1 -2 0.988 -3 0.955 -4 0.9 -5 -10 0.81 -8 0.7 -6 0.56 -4 0.4 -1 -2 Real Axis (seconds ) K=8.09 tần số dao động tự nhiên ωn = 0.2 C) Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 Root Locus 0.9 0.81 0.7 0.56 0.4 -1 Imaginary Axis (seconds ) 0.955 0.988 10 -1 -2 System: G 0.2 Gain: 22.9 Pole: -1.64 + 1.66i Damping: 0.702 Overshoot (%): 4.52 Frequency (rad/s): 2.34 0.988 -3 0.955 -4 0.81 0.9 -5 -10 -8 0.7 -6 0.56 -4 0.4 -1 0.2 -2 Real Axis (seconds ) K =22.9 hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 D) Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25% Root Locus 0.9 0.81 0.7 0.56 0.4 -1 Imaginary Axis (seconds ) 0.955 0.988 10 -1 -2 System: G Gain: 43.8 0.2Pole: -1.14 + 2.6i Damping: 0.402 Overshoot (%): 25.2 Frequency (rad/s): 2.84 0.988 -3 0.955 -4 0.9 -5 -10 0.81 -8 0.7 -6 0.56 -4 0.4 -1 -2 Real Axis (seconds ) K = 43.8 hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25% 0.2 E) Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s K = 52.7 hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s Root Locus 0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16 G System: Gain: 52.7 Pole: -1 + 2.85i Damping: 0.332 Overshoot (%): 33.1 Frequency (rad/s): 3.03 0.94 Imaginary Axis (seconds -1 ) 0.985 -1 System: G Gain: 52.9 Pole: -1 - 2.86i Damping: 0.331 Overshoot (%): 33.2 Frequency (rad/s): 3.03 0.985 -2 -3 System: G Gain: 10.4 Pole: -1.01 Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/s): 1.01 0.94 -4 0.86 -5 -9 0.76 -8 -7 -6 0.64 -5 -4 0.5 -1 Real Axis (seconds ) -3 0.34 -2 0.16 -1 Bài tập Thực khảo sát hệ thông điều khiển QĐNS với hàm truyền: a Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) hệ thống Dựa vào QĐNS tìm Kgh hệ, rõ giá trị hình Lưu QĐNS thành file *.bmp để báo cáo b Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = c Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 d Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25% e Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s BÀI LÀM: a) Hãy vẽ quĩ đạo nghiệm số (QĐNS) hệ thống Root Locus 15 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12 0.88 -1 Imaginary Axis (seconds ) 10 0.97 14 System: G 12 Gain: 103 10 Pole: 0.00398 + 4.3i Damping: -0.000926 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/s): 4.3 -5 0.97 0.88 -10 10 0.76 -15 -15 0.62 0.48 -10 0.36 -5 0.24 0.12 -1 Real Axis (seconds ) 12 14 b) Tìm K để hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = K = 78.6 hệ thống có tần số dao động tự nhiên ωn = Root Locus 15 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12 0.88 -1 Imaginary Axis (seconds ) 10 0.97 14 System: G Gain: 78.6 10 Pole: -0.203 + 4i Damping: 0.0508 Overshoot (%): 85.2 Frequency (rad/s): 4 12 -5 0.97 0.88 -10 10 0.76 -15 -15 0.62 0.48 -10 0.36 -5 0.24 0.12 -1 Real Axis (seconds ) 12 14 c) Tìm K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 Khơng tồn K để hệ thống có hệ số giảm chấn ξ = 0.7 d) Tìm K để hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25% K =9.15 hệ thống có độ vọt lố σmax% = 25% Root Locus 15 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12 0.88 -1 Imaginary Axis (seconds ) 10 0.97 14 12 System: G Gain: 9.15 10 Pole: -1.24 + 2.8i Damping: 0.404 Overshoot (%): 25 Frequency (rad/s): 3.06 -5 0.97 0.88 -10 10 0.76 -15 -15 0.62 0.48 -10 0.36 -5 0.24 0.12 -1 12 14 Real Axis (seconds ) e) Tìm K để hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s K = 19.3 hệ thống có thời gian xác lập (tiêu chuẩn 2%) txl = 4s Root Locus 15 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12 0.76 12 10 10 System: G Gain: 19.3 Pole: -1 + 3.01i Damping: 0.315 System: G Overshoot (%): 35.2 Gain: Inf Frequency (rad/s): 3.18 Pole: -1 Damping: System: G Overshoot (%): Gain: 19.3 Frequency (rad/s): Pole: -1 - 3.01i Damping: 0.315 Overshoot (%): 35.2 Frequency (rad/s): 3.17 0.88 -1 Imaginary Axis (seconds ) 14 0.97 0.97 2 -5 0.88 -10 10 12 0.76 0.62 -15 -15 0.48 0.36 -10 0.24 -5 0.12 14 -1 Real Axis (seconds ) Khảo sát hệ thống biều đồ bode Magnitude (dB) Bode Diagram Gm = 5.98 dB (at 4.29 rad/s) , Pm = 37.7 deg (at 3.07 rad/s) -50 Phase (deg) -100 -45 -90 -135 -180 -225 -270 10-1 100 Frequency (rad/s) 101 102 Nhận xét: Hệ thống ổn định độ dự trữ biên độ dự trữ pha biểu đồ bode mô tả hệ thống dương Khảo sát hệ thống biều đồ nyquist Nyquist Diagram 1.5 dB dB -2 dB -4 dB dB Imaginary Axis dB 0.5 -6 dB 10 dB -10 dB 20 dB -20 dB -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 Real Axis 0.5 Nhận xét: Vì biểu đồ qua điểm (-1,0j) nên hệ kín biên giới ổn định Câu hỏi mở: 1) So sánh các phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển - Nyquist cung cấp số lượng hạn chế trực quan để giải thích hệ thống ổn định hay không ổn định, làm để biến hệ thống từ không ổn định sang ổn định Các kỹ thuật biểu đồ Bode, tổng qt, đơi lại cơng cụ thiết kế hữu ích - Phương pháp QĐNS phức tạp có thể khảo sát được nhiều thông số ảnh hưởng đến chất lượng hệ thống so với phương pháp còn lại 2) Khi nào sử dụng các phương pháp khảo sát điều khiển - Nhìn vào biểu đồ Nyquist hệ thống vịng hở, áp dụng mà khơng cần tính tốn cách rõ ràng cực zero hệ thống vịng kín hệ thống vịng hở Nó áp dụng cho hệ thống xác định hàm hàm phân thức, chẳng hạn hệ thống có độ trễ Ngược lại với biểu đồ Bode, xử lý hàm truyền với kỳ dị mặt phẳng bên phải - Phương pháp quỹ đạo nghiệm số dùng để khảo sát ảnh hưởng của thông số thay đổi đến chất lượng hệ thống 3) Chỉ mối liên hệ giữa biểu đồ Bode và Nyquist - Dựa vào biểu đồ Nyquist vẫn có thể xác định được độ dự trữ pha và độ dự trữ biên biểu đồ Bode nên có thể áp dụng tiêu ch̉n Bode 4) Giải thích muốn tìm K có txl =4, tương ứng có ξωn =1 ta nhấp chuột vị trí giao điểm QĐNS với đường thẳng song song với trục tung cắt trục hồnh -1 - Khi có thời gian Txl =4 , tương ứng với ξωn =1, ta xác định giá trị phần thực -1, cặp nghiệm phức, nên vị trí giao điểm QĐNS với đường thẳng song song với trục tung cắt trục hồnh -1, cặp nghiệm phức định, Nên ta nhấp chuột vào ta xác định giá trị K để có cặp nghiệm phức 5) Giải thích muốn tìm K có tần số dao động tự nhiên ta nhấp chuột vị trí giao điểm QĐNS với đường trịn tâm O bán kính Chọn giao điểm gần trục ảo để giá trị K làm hệ thống có tính dao động - Vì từ vị trí cặp cực định đến gốc toạ độ O ωn, nên để có số dao động tự nhiên ta nhấp chuột vào vị trí giao điểm QĐNS với đường trịn tâm O bán kính 4, chọn gần trục ảo nghiệm cặp nghiệm định 6) Giải thích muốn tìm K có hệ số giảm chấn 0.7 ta nhấp chuột vị trí giao điểm QĐNS với đường thẳng qua gốc O có ξ=0.7 -Vì ta có ξωn = suy hệ số góc =ξ=0.7 nên để hệ số giảm chấn 0,7 ta nhấp giao điểm QĐNS với đường thẳng qua gốc O có hệ số góc 0,7