SKKN phương pháp giải một số dạng toán bằng cách lập phương trình

Mục lục TT NỘI DUNG Phần Đặt vấn đề Lý chọn đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu thời gian nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần Những biện pháp đổi để giải vấn đề Cơ sở lý luận thực tiễn Thực trạng dạy học trường THCS Mơ tả, phân tích giải pháp Kết Phần Kết luận khuyến nghị Kết luận Khuyến nghị Phần Tài liệu tham khảo Phụ lục TRANG 1 2 2 2 13 14 14 15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Mơn đại số nói riêng, mơn tốn học nói chung có vị trí quan trọng trường phổ thơng Các kiến thức phương pháp Tốn học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo Trong dạy học Tốn, song song với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí, việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Toán trường phổ thông Đối với học sinh Trung học sở, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Chính việc hướng dẫn học sinh kĩ tìm tịi sáng tạo q trình giải tốn cần thiết thiếu Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường Trung học sở tơi nhận thấy: Trong chương trình tốn Trung học sở "Các tập giải toán cách lập phương trình" đa dạng, phong phú thú vị, có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học "Các tập giải toán cách lập phương trình" phần trọng tâm chương trình đại số lớp 8, lớp Những năm gần toán chiếm 20 phần trăm số điểm thi vào lớp 10 Trung học phổ thông Thế thực trạng học sinh khơng có hứng thú với loại tốn này, lẽ gặp dạng tốn em thấy lúng túng trình bày tìm lời giải, em không theo hướng Hầu hết học sinh ngại gặp tốn khơng biết vận dụng để giải tập khác Vậy nên qua tìm tịi thử nghiệm, giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm giảng dạy Tôi mạnh dạn viết đề tài: "Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình" học sinh lớp Trung học sở mà áp dụng thành cơng Mục đích nghiên cứu: - Để giúp học sinh có nhìn tổng qt dạng tốn giải tốn cách lập phương trình sau học xong chương trình tốn Trung học sở phải nắm loại toán biết cách giải chúng - Rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác giúp học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn - Học sinh thấy mơn tốn gần gũi với mơn học khác thực tiễn sống - Giúp giáo viên rút kinh nghiệm cho thân, tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học mơn tốn Trang 2/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình Nội dung nghiên cứu: Trong q trình giảng dạy mơn Đại số việc giúp học sinh phân loại dạng tập chủ đề việc quan trọng thiếu Đề tài nghiên cứu với nội dung nhằm mục đích tích luỹ kinh nghiệm cho thân phục vụ cho cơng tác giảng dạy chương trình đại số lớp 8, Đồng thời hình thành cho em kĩ phân loại dạng tập theo chủ đề tất môn học để mang lại kết cao học môn học làm sở cho phương pháp dạy học năm Đối tượng nghiên cứu thời gian nghiên cứu: a) Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường Trung học sở - nơi công tác b) Thời gian nghiên cứu: Tiến hành tìm hiểu nghiên cứu thực tế thời gian giảng dạy năm học 2017-2018 2018-2019 Phạm vi nghiên cứu: - Trong chun đề tơi đưa số dạng tốn hướng dẫn học sinh giải, định hướng cho học sinh phương pháp giải cách lập phương trình Phương pháp nghiên cứu: a) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, phân loại, hệ thống hóa tài liệu - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Phương pháp điều tra, quan sát, vấn …nhằm khảo sát đánh giá thực trạng dạy học giáo viên học sinh - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Đánh giá hiệu sử dụng biện pháp đề xuất c) Phương pháp nghiên cứu tốn học Xử lí kết thực nghiệm toán thống kê xác xuất PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận thực tiễn : Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo có tính nhân văn cao Để đào tạo lớp người vậy, việc dạy cho học sinh biết phương pháp học toán giải tốn từ biết vận dụng tốn vào thực tiễn cần thiết Trong chương trình Giáo dục phổ thơng nước ta nhìn chung tất mơn học cho tiếp cận với khoa học đại khoa học ứng dụng Đặc biệt mơn tốn, mơn khoa học khơng thể thiếu q trình học tập, em tiếp thu kiến thức xây dựng tinh thần tốn học đại Trong có nội dung xuyên suốt trình học tập em phương trình Ngay từ cắp sách đến trường em làm quen với phương trình dạng đơn giản điền số thích hợp vào trống cao tìm số chưa biết đẳng thức cao lớp 8, lớp em phải làm số toán phức tạp Lên đến lớp 8, lớp 9, đề tốn chương trình đại số phương trình Trang 3/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình khơng đơn giản nữa, mà có hẳn loại tốn có lời văn Các em vào lời tốn cho phải tự thành lập phương trình giải phương trình Kết tìm khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình mà phụ thuộc nhiều vào việc thành lập phương trình.Số lượng tập nhiều việc phân loại dạng toán với phương pháp giải việc làm cần thiết, giúp em biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt đồng thời tích lũy cho em nhiều kinh nghiệm q trình giải tốn mơn học khác 2.Thực trạng dạy học trường Trung học sở: a Cơ sở vật chất, trang thiết bị nhà trường - Thuận lợi: Có đầy đủ thiết bị dạy học thước kẻ, com pa, thước đo độ, ê ke - Khó khăn: Một số thiết bị dạy thực hành giác kế thiếu số lượng số bị hỏng Bên cạnh phịng dạy học có máy chiếu hạn chế nên ko sử dụng thường xun cơng nghệ thông tin vào dạy học b Thực trạng dạy học giáo viên học sinh * Về phía giáo viên: - Đầu năm học có giáo viên tốn có giáo viên biên chế giáo viên hợp đồng có đồng chí nghỉ thai sản - Ưu điểm: Phần lớn giáo viên trẻ, nhiệt tình với cơng việc, ln tự rèn luyện, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn, chủ động áp dụng phương pháp dạy học tích cực phù hợp với đối tượng học sinh - Nhược điểm: Nhiều giáo viên hợp đồng, nhỏ lại xa nên ảnh hưởng đến trình dạy học * Về phía học sinh: - Ưu điểm: + Đa số gia đình quan tâm đến việc học tập học sinh Học sinh có ý thức tự giác học tập - Nhược điểm: + Một số học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán chậm đặc biệt dạng tốn có lời văn giải tốn cách lập phương trình + Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh kiến thức khơng có đủ mẫu cho dạng + Một số em hoàn cảnh gia đình mà khơng dành nhiều thời gian cho việc học tập + Đa số em chưa biết cách sử dụng hiệu phương pháp học tập với môn toán c Điều tra thực tế trước thực - Tôi tiến hành khảo sát học sinh lớp trường Trung học sở dạy năm học với đối tượng học sinh: Khá, trung bình, yếu số tập nâng cao Trang 4/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình Năm học Sĩ số HS giỏi HS Khá HSTB HS biết cách giải tốn cách lập phương trình ≈ ≈ ≈ 2017-2018 34 = 0% 10 29% 16 47% 24% 18 ≈ 53% 2018-2019 33 ≈ 21% 10 ≈ 30% 13 ≈ 39% ≈ 10% 21 ≈ 64% Qua kết điều tra thấy tỉ lệ học sinh học khá, giỏi mơn tốn cịn thấp, đặc biệt giải tốn cách lập phương trình em cịn thấp Do việc đưa số dạng toán phương pháp giải cho dạng tốn vơ quan trọng cấp thiết trình giảng dạy trường Trung học sở mà công tác Mô tả, phân tích giải pháp: 3.1 Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giải toán cách lập phương trình sau: + Giải tốn cách lập phương trình phiên dịch tốn từ ngơn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số dùng phép biến đổi đại số để tìm đại lượng chưa biết thoả mãn điều kiện đề + Để giải tốn cách lập phương trình phải dựa vào quy tắc chung gồm bước sau: * Bước 1: Lập phương trình (gồm cơng việc sau): - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) đặt điều kiện cho ẩn - Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết - Lập phương trình diễn đạt quan hệ đại lượng toán * Bước 2: Giải phương trình: Tuỳ phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn phù hợp * Bước 3: Nhận định kết trả lời (Chú ý đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện đặt ra; thử lại vào đề toán kết luận) + Trong trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực theo bước giải toán + Sắp xếp toán theo dạng toán cấp độ khó khác + Xây dựng phương pháp giải dạng * Đối với học sinh yếu kém: - Củng cố kiến thức - Đọc kĩ đề trước giải, tóm tắt đề - Hướng dẫn học sinh cách phân tích đề bài, cách lập bảng biểu diễn mối liên hệ giá trị tập đơn giản, biết cách chọn ẩn, tìm điều kiện cho ẩn * Đối với học sinh đại trà : - Vận dụng phát triển kỹ - Phân tích đề bài, lập bảng biểu diễn mối liên hệ giá trị dạng toán bản, từ lập phương trình * Đối với học sinh khá, giỏi : - Phát triển tư - Giải tốn cách lập phương trình số dạng phức tạp - Phân tích biện luận cách giải Trang 5/15 HS yếu SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình - Giải tốn cách khác, tìm cách giải hay 3.2 Một số ví dụ hướng dẫn học sinh giải số dạng toán cách lập phương trình - Một số dạng tốn giải tốn cách lập phương trình thường gặp: + Dạng tốn chuyển động + Dạng toán liên quan đến số học + Dạng toán làm việc chung, riêng + Dạng toán suất, tăng giảm, phần trăm + Dạng tốn có yếu tố hình học + Một số dạng tốn khác Dạng toán chuyển động Hướng dẫn lập bảng giải: - Nhìn chung mẫu bảng dạng tốn chuyển động gồm cột: Quãng đường (S), vận tốc(v), thời gian(t) Ba đại lượng liên hệ với theo công thức: S = v.t, v = S S ,t= t v - Các trường hợp xảy như: Quãng đường đầu, quãng đường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn đại lượng tham gia chuyển động ghi hàng ngang - Tùy trường hợp mà người ta chọn ẩn cho phù hợp thường tốn hỏi đại lượng ta đặt đại lượng làm ẩn a) Dạng tốn chuyển động đường Loại toán đa dạng, số dạng thường gặp sau: 1,Tốn có nhiều phương tiện tham gia nhiều tuyến đường 2,Toán chuyển động thường 3,Tốn chuyển động có nghỉ ngang đường ( lưu ý: Tổng thời gian hết quãng đường thời gian phương tiện chuyển động hết quãng đường cộng với thời gian nghỉ) 4,Toán chuyển động ngược chiều ( lưu ý: Hai phương tiện gặp tức tổng quãng đường hai phương tiện độ dài quãng đường) 5,Toán chuyển động chiều 6,Toán chuyển động phần quãng đường Ví dụ: Một người xe đạp từ A đến B cách 24 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Hướng dẫn Cho học sinh tìm đối tượng tham gia vào toán đại lượng liên quan ? Đặt làm ẩn? Các đại lượng quan hệ với theo cơng thức ? Từ lập bảng để biểu diễn đại lượng toán ? Điền đại lượng biết vào bảng ? Tìm đại lượng chưa biết? Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B x (km/h) Lập bảng: Trang 6/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình Xe từ A đến B Xe từ B A Vận tốc (km/h) x Thời gian (h) Quãng đường (km) 24 24 x 24 x+4 24 x+4 24 24 Vì thời gian thời gian 30’ = h nên ta có: - = x x+4 Lời giải: Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B x (km/h,x >0) Thời gian xe đạp hết quãng đường từ A đến B là: 24 (h) x Vận tốc xe đạp từ B A x + (km/h) Thời gian xe đạp hết quãng đường từ B A là: Vì thời gian thời gian 30’ = 24 (h) x+4 h nên ta có phương trình: 24 24.2.( x + 4) x( x + 4) 24.2 x 24 ⇔ − = x = x ( x + 4) x( x + 4) x( x + 4) x+4 2 ⇒ 48 x + 192 − x − x = 48 x ⇔ x + x − 192 = ⇔ ( x + x + 4) − 196 = ⇔ ( x + 2) − 14 = ⇔ ( x + + 14)( x + − 14) = ⇔ ( x + 16)( x − 12) = ⇔ x+16 = x -12 = ⇔ x = -16(không thỏa mãn) x = 12(thỏa mãn) Vậy vận tốc xe đạp từ A đến B 12 (km/h) Củng cố cho học sinh cách giải toán cách lập phương trình, cách trình bày lời giải dạng Lưu ý giải cần ý đến việc chọn ẩn thích hợp *Một sớ tập vận dụng cho dạng toán này: Bài tập 1: Quãng đường từ A đến B dài 90km Một người xe máy từ A đến B, người nghỉ 30 phút quay trở lại A với vận tốc lớn vận tốc lúc 9km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B?( Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà Nội năm học 2013 – 2014) Bài tập 2: Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ôtô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe.( Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018) b) Dạng tốn chuyển động đường sơng * Kiến thức cần nhớ - Vận tốc xi dịng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước - Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước Trang 7/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình - Vận tốc xi – vận tốc ngược = lần vận tốc dòng nước *Chú ý: Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Ví dụ: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng giờ.(Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà Nội năm học 2015 – 2016) Hướng Dẫn: - Bài tốn có đại lượng tham gia? Mối quan hệ chúng? - Đặt đại lượng làm ẩn? Khi tàu xi dịng? Ngược dòng ta biểu diễn đại lượng qua ẩn? Gọi vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng x (km/h).Ta lập bảng sau: Vận tốc Thời gian (h) Quãng đường (km/h) (km) 48 Xi dịng x+2 48 Ngược x+2 60 x−2 x–2 60 dịng Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có: 48 60 x+2 + = x−2 Lời giải: Gọi vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng x (km/h,x >2) Vận tốc tàu tuần tra xuôi dòng là: x + (km/h) Vận tốc tàu tuần tra ngược dòng là: x - (km/h) 48 (h) x+2 60 Thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km là: (h) x−2 Thời gian tàu tuần tra chạy xi dịng 48 km là: Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có: nên ta có phương trình: 48 48.( x − 2) ( x − 2)( x + 2) 60( x + 2) 60 ⇔ + = x+2 + = ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x−2 ⇒ 48 x − 96 + x − = 60 x + 120 ⇔ x − 12 x − 220 = ⇔ x − 22 x + 10 x − 220 = ⇔ x ( x − 22) + 10( x − 22) = ⇔ ( x − 22)( x + 10) = ⇔ x - 22 = x + 10 = ⇔ x = 22 (thỏa mãn) x = -10(không thỏa mãn) Vậy vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng 22 (km/h) *Một số tập vận dụng cho dạng toán này: Bài tập 1: Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km, lẫn Trang 8/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình 8h20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng? Biết vận tốc dòng nước 4km/h Bài tập 2: Từ bến sông A bè trôi bến B với vận tốc dòng nước km/h, lúc thuyền chạy từ A đến B quay lại gặp bè điểm cách bến A km Tính vận tốc thực thuyền biết khoảng cách từ bến A đến B 24km Dạng tốn liên quan đến sớ học * Kiến thức cần nhớ + Tổng bình phương hai số a b a2 + b2 + Bình phương tổng hai số a b (a + b)2 + Dạng phân số : Phân số nghịch đảo + Cho tổng hai số, hiệu hai số + Số có hai chữ số : ab = 10.a + b( Đk: < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ N ) + Số có ba chữ số: abc =100.a+10b+c( Đk: < a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ 9; a, b, c ∈ N ) Ví dụ : (Bài tập 34 SGK toán tập - trang 25) Mẫu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị phân số Tìm phân số ban đầu ? Giải : Gọi tử số phân số ban đầu x ( điều kiện x > 0, x ∈ N) Mẫu số phân số ban đầu x + x x+3 x+2 x+2 = Phân số x +3+ x +5 Vì phân số nên ta có phương trình: x+2 ⇔ (x+2) = x +5 ⇔ 2x +4 = x +5 = x+5 ⇔ 2x - x = - ⇔ x = (Thỏa mãn đk ẩn) Phân số ban đầu Vậy : Phân số ban đầu là: Cho học sinh củng cố lại cách giải, nêu cách giải khác *Một sớ tập vận dụng cho dạng tốn này: Bài tập 1: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Bài tập : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết viết thêm số 12 vào bên trái số ta số lớn gấp 26 lần số phải tìm Bài tập 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết viết thêm chữ số xen chữ số hàng chục hàng đơn vị số đó, ta số lớn gấp 10 lần số cần tìm, viết thêm chữ số vào bên trái số vừa nhận số lại tăng thêm lần Trang 9/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình Dạng tốn làm việc chung, riêng - Kiến thức cần nhớ - Coi tồn cơng việc (cv) - Nếu hai đội làm xong công việc x (h) hai đội làm công việc x - Tương tự thiết lập công việc đội I, đội II thiết lập phương trình Ví dụ : Hai đội công nhân làm chung cơng việc hồn thành cơng việc 24 Nếu đội thứ làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 hai đội làm nửa cơng việc Tính thời gian đội làm để xong cơng việc đó.(Đề kiểm tra học kì II lớp trường Trung học sở Lê Lợi, Hà Đông năm học 2018-2019) * Hướng dẫn giải - Giả sử gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x đội I làm phần công việc? Trong đội hai làm phần công việc? Tại sao? Dựa vào kiện đề để lập phương trình? Ta có bảng: Thời gian Phần cơng Phần cơng việc làm làm xong việc làm thời gian tương ứng công việc 10h 15h Cả hai đội 24 Đội I x 24 x Đội II  1 1:  −   24 x  1 − 24 x Theo ta có phương trình: 10 x  1 15. −   24 x  10  1 + 15 −  = x  24 x  * Lời giải Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x (giờ, x>24) cơng việc x Trong hai đội làm công việc 24 1 − công việc Trong đội II làm 24 x 10 Trong 10 đội I làm công việc x  1 Trong 15 đội II làm 15. −  công việc  24 x  Trong đội I làm Vì đội thứ làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 hai đội làm nửa công việc nên ta có phương trình: 10  1 + 15 −  = x  24 x  Trang 10/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình ⇔ 10 15 15 + − = ⇔ = ⇒ x = 40 x 24 x x 24 Ta thấy x = 40 thoả mãn điều kiện ẩn Vậy thời gian đội I làm xong cơng việc 40 đội làm  1 −  = 60  24 x  xong công việc :  * Chú ý: Ở dạng toán học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước Từ lập phương trình giải phương trình *Một sớ tập vận dụng cho dạng tốn này: Bài tập 1: Hai tổ công nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc định Họ làm chung với tổ thứ điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc? Bài tập 2: Hai vòi nước chảy vào bể nước (khơng có nước) sau 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vòi thứ hai bể nước Hỏi mở riêng vịi thời gian để vòi chảy đầy bể bao nhiêu? Bài tập 3: Nếu hai người làm chung công việc 12 xong việc Nếu người làm người thứ hồn thành công việc nhanh người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc.(Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà Nội năm học 2012 – 2013) Dạng toán xuất, tăng giảm, phần trăm * Kiến thức cần nhớ Năng suất lao động:Là lượng công việc làm đơn vị thời gian Lượng công việc = thời gian × suất ⇒ Năng suất = lượng công việc : thời gian Năng suất thời gian tỉ lệ nghịch với Làm nhanh ( suất cao hơn) thời gian hơn; Làm chậm ( suất thấp hơn) nhiều thời gian Về phần trăm sản phâm - Dự kiến ngày làm x (sản phẩm) Thực tế ngày tăng a % nghĩa là: + Số sản phẩm tăng thêm ngày a%.x (sản phẩm) + Thực tế ngày làm x + a%.x (sản phẩm) Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng cần sản xuất sản phẩm? (Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà Nội năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn: Trang 11/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình - Có đại lượng? Đối tượng? Chọn làm ẩn? - Biểu diễn đại lượng khác qua ẩn, lập bảng mơ tả, giải phương trình Năng Tổng số ngày hoàn Tổng số sản suất thành sản phẩm phẩm 1100 Kế hoạch x 1100 Thực tế x 1100 x+5 x+5 1100 Vì phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày nên ta có PT: 1100 1100 − =2 x x+5 Lời giải: Gọi số sản phẩm ngày xưởng cần làm theo kế hoạch x(sp, x ∈ N * ) Trên thực tế số sản phẩm ngày phân xưởng làm là: x + 5(sản phẩm) 1100 ( ngày) x 1100 Trên thực tế số ngày xưởng hoàn thành sản phẩm là: ( ngày) x+5 Theo kế hoạch số ngày xưởng hồn thành sản phẩm là: Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày nên ta có PT: 1100 1100 − = ⇒ x + 10 x − 5500 = x x+5 ⇔ x + x − 2750 = ⇔ ( x − 50)( x + 55) = ⇔ x = 50; x = −55 Vì x = -55 khơng thỏa mãn điều kiện ẩn nên x = 50 Số sản phẩm theo kế hoạch ngày xưởng làm 50 (sản phẩm) Ví dụ 2: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai tổ vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy, tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? * Hướng dẫn giải: Biết số chi tiết máy hai tổ tháng giêng 720 Nếu biết hai tổ tính tổ Tính số chi tiết máy sản xuất vượt mức tổ tổ tháng hai từ xây dựng phương trình * Lời giải: Gọi số chi tiết máy tổ sản xuất tháng giêng x(chi tiết, x ∈ N * ,x < 720) Khi tháng giêng tổ sản xuất được: 720 - x ( chi tiết ) 15 x ( chi tiết ) 100 12 (720 − x) ( chi tiết ) Tháng tổ hai sản xuất vượt mức 100 Tháng tổ sản xuất vượt mức Số chi tiết máy tháng hai tổ vượt mức: 819 - 720 = 99 ( chi tiết ) Trang 12/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình Theo ta có phương trình: ⇔ 15x + 8640 - 12x = 9900 ⇔ 3x = 1260 ⇔ x = 420 15 12 x + (720 − x) = 99 100 100 ⇔ 3x = 9900 - 8640 Ta thấy x = 420 (thoả mãn điều kiện ẩn) Vậy, tháng giêng tổ sản xuất 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất 720 - 420 = 300 chi tiết máy *Một số tập vận dụng cho dạng toán này: Bài tập 1: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội trở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày trở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội trở hàng hết ngày? (Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà Nội năm học 2011 – 2012) Bài tập 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 150 hàng Khi khởi hành xe phải điều làm cơng việc khác, nên xe cịn lại phải chở nhiều hàng so với dự định Tính số xe dự định tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau)( Đề kiểm tra HK II toán , Thanh Oai năm học 2017 – 2018) Bài tập 3: Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt số thảm len 20 ngày Do áp dụng kĩ thuật nên suất xí nghiệp tăng 20% Vì 18 ngày, khơng xí nghiệp hồn thành số thảm cần dệt mà dệt thêm 24 Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng? Dạng tốn liên quan đến hình học - Kiến thức cần nhớ Các kích thước hình: độ dài cạnh hình Phải thuộc hệ thức, công thức, định lý, hệ … liên quan đến hình để vận dụng vào tốn Đới với hình chữ nhật: Chu vi = ( dài + rộng) ; diện tích = dài × rộng Dài = chu vi - rộng ; Rộng = chu vi - dài Đối với tam giác vuông: - Diện tích nửa tích độ dài hai cạnh góc vng - Định lí pytago: Bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Ví dụ : Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất đó.( Đề thi vào 10 Trung học phổ thơng, Thành phố Hà Nội năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn: - Hai cạnh đường chéo mảnh đất hình chữ nhật tạo thành hình gì? - Đặt cạnh làm ẩn? Áp dụng kiến thức để lập phương trình? Lời giải Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất là: x (m,x > 0) Chiều dài mảnh đất : x + (m) Trang 13/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình Vì chiều dài, chiều rộng đường chéo mảnh đất tạo thành tam giác vuông nên áp dụng định lí pytago ta có: x2 + (x + 7)2 = 132 ⇔ x2 + 7x – 60 = ⇔ (x + 12)(x – 5) = ⇔ x + 12 = x – = ⇔ x = -12( không thỏa mãn điều kiện) x = 5(thỏa mãn điều kiện ẩn) Vậy chiều rộng mảnh đất 5m, chiều dài mảnh đất + = 12m Nêu cách giải khác? Cho học sinh củng cố lại cách giải *Một sớ tập vận dụng cho dạng tốn này: Bài tập 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn.(Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà nội năm 2016-2017) Bài tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m Đường chéo hình chữ nhật dài 10m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất (Đề thi vào lớp 10 Trung học phổ thông, thành phố Hà nội năm 2018-2019) Một sớ dạng tốn khác Ví dụ : Một miếng hợp kim đồng thiếc có khối lượng 12kg, chứa 45% đồng Hỏi phải thêm vào thiếc nguyên chất để hợp kim có chứa 40% đồng? Hướng dẫn - Hợp kim chứa 45% đồng nghĩa nào? Trong 12kg có đồng? - Đặt làm ẩn? Dựa vào kiện đề để lập phương trình? Lời giải Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm là: x(kg, x>0) Khối lượng đồng có 12kg hợp kim là: 12.45% = 5,4(kg) Khối lượng hợp kim sau thêm thiếc vào : x + 12(kg) Lượng đồng khơng thay đổi chiếm 40% nên ta có phương trình: 5,4 : (12+x) = 40% ⇔ 12 + x = 13,5 ⇔ x = 1,5 (thỏa mãn điều kiện ẩn) Vậy số thiếc nguyên chất phải thêm 1,5kg * Một số tập khác Bài tập 1: Trong buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành hai tốp: Tốp thứ trồng tốp thứ hai làm vệ sinh Tốp trồng đông tốp làm vệ sinh người Hỏi tốp trồng có học sinh? Bài tập 2: Ơng Bình Bình 58 tuổi Nếu cộng tuổi bố Bình hai lần tuổi Bình tuổi ơng tổng số tuổi ba người 130 Hãy tính tuổi Bình Trên tơi đưa số dạng toán "giải toán cách lập phương trình" thường gặp chương trình tốn lớp lớp Mỗi dạng tốn có đặc điểm khác Dựa vào nội dung toán mà tơi chia dạng Mỗi dạng tốn, tơi chọn số tốn điển hình có tính chất giới thiệu việc thiết lập phương trình Tuy nhiên, ví dụ mang tính chất tương đối Trang 14/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình Kết sau thực đề tài Qua kết nghiên cứu giảng dạy Tôi nhận thấy : - Học sinh rèn phương pháp tự học, tự phát vấn đề, tự tìm kiến thức cách độc lập, biết nhận dạng số dạng toán, nắm vững cách giải Kĩ trình bày tốn khoa học, rõ ràng Đa số em u thích Tốn học, nhiều học sinh tích cực xây dựng - Học sinh có hứng thú để giải tốn cách lập phương trình nói riêng Tốn học nói chung Đối với toán đưa em ln tìm tịi nhiều cách giải khác lựa chọn cách giải tối ưu để làm - Trước kết giảng dạy lớp đạt 50% đến 60% trung bình, sử dụng kinh nghiệm Kết giảng dạy tăng lên từ 70% đến 90% từ trung bình trở lên - Kết cụ thể: Năm học Sĩ số HS giỏi HS Khá HSTB HS yếu HS biết cách giải toán cách lập phương trình 2017-2018 34 ≈ 6% 14 ≈ 41% 15 ≈ 44% ≈ 9% 29 ≈ 85% 2018-2019 33 ≈ 28% 14 ≈ 42% 10 ≈ 30% = 0% 30 ≈ 91% PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I Kết luận nội dung, ý nghĩa, hiệu SKKN : Việc hệ thống dạng toán "giải toán cách lập phương trình" khơng thể dạy tiết, hai tiết, … mà q trình dạy tốn Mỗi học đến vấn đề người giáo viên hướng dẫn cho học sinh phạm vi đó, từ học sinh lĩnh hội kiến thức cách có hệ thống vận dụng hợp lí dạng tập Trong thực tế dạng toán thường có nhiều phương án giải quyết, phương pháp có nhiều ưu điểm, nhược điểm riêng Đối với đối tượng học sinh khá, giỏi giáo viên nên khuyến khích tìm tịi nhiều cách khác để qua em củng cố kiến thức, rèn kĩ năng, phát triển tư toán học, vận dụng kiến thức học vào việc giải toán cách lập phương trình Với học sinh trung bình làm tập điểm hình, đơn giản Với học sinh giỏi em có thói quen tư sâu Đặc biệt nhiều học sinh hứng thú học tốn, có học sinh tìm tập để làm đề nghị giáo viên tập khó * Những kinh nghiệm rút ra: Thực tiễn thực trường THCS, nhiều năm với hai lớp đạt kết từ 70% học sinh biết suy nghĩ tìm cách cách lập phương trình Trong trình thực đề tài, Tôi nhận thấy để làm tốt đề tài yêu cầu giáo viên học sinh phải thực tốt số nội dung sau: - Đối với giáo viên: + Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, nâng cao Tránh số sai lầm mà học sinh hay vướng mắc Trang 15/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình + Giúp học sinh suy nghĩ để giải tập chủ yếu + Trong trình làm tập rèn luyện cho học sinh làm thành thạo tập sách giáo khoa để em nắm lí thuyết, sau nâng dần tập lên giúp em tư cao + Trước làm tập giáo viên phải nghiên cứu thật kĩ giải nhiều phương pháp + Khi đưa toán yêu cầu học sinh giải nhiều cách (nếu có thể) sau tìm lời giải hay - Đối với học sinh: + Học sinh phải nắm kiến thức bản, cách học lí thuyết trước làm tập Rèn thói quen không phụ thuộc nhiều vào sách + Đứng trước tốn lập phương trình phải đọc kĩ đề bài, tìm hiểu xem vận dụng phương pháp học cho phù hợp + Với toán phải rút học cho thân Trên đề tài Tơi đưa với mục đích nghiên cứu hiểu sâu chất số dạng toán "Giải tốn cách lập phương trình" chương trình tốn Trung học sở Ngồi sách giáo khoa sách tập Tơi cịn tham khảo thêm tập nâng cao, đề thi học kì đề thi vào 10 Trung học phổ thông, bên cạnh Tơi tham khảo thêm đồng nghiệp Tơi giảng dạy nghiên cứu toán Trung học sở Tuy nhiên nội dung đề tài không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ thầy giáo,cơ giáo góp ý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện II Khuyến nghị: Trong trình nghiên cứu, trao đổi với đồng chí tổ Tự nhiên nhà trường, đồng chí tổ nhiệt tình ủng hộ góp ý kiến chân thành, trao đổi kinh nghiệm lựa chọn toán hay để tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm áp dụng q trình giảng dạy tốn cho học sinh khối 8, khối trường Để SKKN đạt hiệu cao trình giảng dạy, xin mạnh dạn đề xuất số ý kiến sau: + Đối với cấp quản lý giáo dục: Mong muốn trang bị nhiều sách tham khảo trường, phịng học có máy chiếu, đồ dùng để đáp ứng đủ nhu cầu giáo viên học sinh + Đới với gia đình học sinh: - Cần tạo điều kiện tốt để em có đủ sách vở, sách tham khảo, đồ dùng học tập, thời gian học làm nhà, củng góc học tập yên tĩnh - Thường xuyên quan tâm, động viên học tập, uốn nắn kịp thời biểu lệch lạc bạn bè lôi kéo lứa tuổi mang lại - Thường xuyên kết hợp với giáo viên để nắm bắt kịp thời tình hình học tập em Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết Khơng chép nội dung người khác Trang 16/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình NGƯỜI VIẾT Nguyễn Thị Mai Hường TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Bài tập đại số tập - Nhà xuất giáo dục Tác giả: Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu - Phạm Gia Đức-Nguyễn Duy Thuận 2.Toán nâng cao - Tập Nhà xuất giáo dục Tác giả:Vũ Thế Hựu 3.Ôn tập đại số 8, nhà xuất giáo dục việt nam Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm - Vũ Dương Thụy 4.Các dạng toán phương pháp giải toán tập 2, nhà xuất giáo dục việt nam Tác giả: Tơn Thân - Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh - Bùi Văn Tuyên 5.Nâng cao phát triển toán tập 2, nhà xuất giáo dục việt nam Tác giả: Vũ Hữu Bình 6.Tốn nâng cao chuyên đề đại số Tác giả: Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm Trang 17/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình PHỤ LỤC PHIẾU ĐIỀU TRA KHẢO SÁT VỀ VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I.Thơng tin cá nhân người được điều tra:(Khơng bắt buộc phải điền) Họ tên học sinh: ………………………… Lớp: ……… Trường:………………………………… Quận (Huyện): …………… Tỉnh (Thành phố): ………………………… II.Hệ thống câu hỏi điều tra:Em cho biết ý kiến qua câu hỏi sau: Câu 1: Em có thích học mơn Tốn khơng? (Đánh dấu x vào ô trống ghi ý kiến khác em)  Rất thích  Bình thường  Khơng thích Câu 2: Việc học mơn Tốn em nhận thấy ? (Đánh dấu x vào trống )  Rất thú vị  Bình thường  Rất khô khan,chán Câu 3: Em nhận thấy việc học phần đại sớ tốn học có khó không? (Đánh dấu x vào ô trống )  Rất khó  Khó  Bình thường Câu 4:Theo em mơn Tốn có vai trị thực tiễn sống ? Ý kiến em: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Câu 5: Việc giải toán cách lập phương trình có khó hay khơng? (Đánh dấu x vào ô trống ghi ý kiến khác em)  Rất dễ  Bình thường  Rất khó Câu : Trong dạng giải tốn cách lập phương trình em thích dạng nhất? …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Xin chân thành cảm ơn Trang 18/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng tốn cách lập phương trình Trang 19/15 ... luận cách giải Trang 5/15 HS yếu SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình - Giải tốn cách khác, tìm cách giải hay 3.2 Một số ví dụ hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn cách lập phương. . .SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Mơn đại số nói riêng, mơn... trung bình, yếu số tập nâng cao Trang 4/15 SKKN: Phương pháp giải số dạng toán cách lập phương trình Năm học Sĩ số HS giỏi HS Khá HSTB HS biết cách giải toán cách lập phương trình ≈ ≈ ≈ 2017-2018