Luận văn thạc sĩ VNU UET mã lưới cho kênh fading rayleigh

Mô hình hệ thống

Giả sử mô hình kênh không dây là một kênh fading phẳng Rayleigh độc lập [1, 2, 7].

Giả thiết rằng thông tin về tình trạng kênh (Channel State Information) được biết tại phía thu và không có sự xuất hiện của nhiễu xuyên ký hiệu Mô hình rời rạc theo thời gian của kênh như sau: r 0 =α 0 x+n 0 , (1.1) trong đó x là một ký hiệu (symbol) từ tập hợp tín hiệu phức, n 0 là nhiễu Gauss trắng phức và α 0 là hệ số fading phức theo phân bố Gauss trung bình 0 (hình 1.1) Các hệ số fading đối với một ký hiệu được giả thiết là độc lập đối với các ký hiệu tiếp theo.

Vì phía thu biết được CSI nên các pha ϕ của các hệ số fading α 0 = |α|e iϕ có thể được loại bỏ, do đó ta có: r=αx+n, (1.2)

Hình 1.1: Mô hình kênh [7] trong đó α=α 0 là hệ số fading thực theo phân bố Rayleigh và n=n 0 e − jϕ vẫn là nhiễu Gauss trắng phức Với mô hình (1.2), ta có thể giả sử rằngx∈Rvàn là biến ngẫu nhiên thực và các hệ số fading là độc lập giữa một ký hiệu thực được phát và ký hiệu tiếp theo.

Khi xem xét quá trình truyền dẫn mã, mỗi từ mã là một vector thực n chiều x = (x1, x2, , xn) được lấy ra từ chòm sao tín hiệu hữa hạn S ⊆ R n Mỗi thành phần vector bị ảnh hưởng bởi một hệ số fading thực độc lập.

Xét hệ thống truyền dẫn như hình vẽ (1.2): Bộ ánh xạ (mapper) kết hợp một bộ

Hình 1.2: Mô hình hệ thống truyền dẫn [7] các bit đầu vào với một điểm u ∈ Z n Tiếp theo đó u được ánh xạ đến một điểm x sử dụng mã hóa lưới.

Như vậy, x thuộc chòm sao tín hiệu n chiều S lấy ra từ tập hợp các điểm lưới Λ ={x=uM}, trong đó u là một vector nguyên,M là ma trận sinh của lưới.

Các điểm chòm sao được phát qua kênh fading Rayleigh độc lập như đã mô tả ở phần trước: r=xH+n, (1.3) trong đó r = (r1, r2, , rn) là điểm thu được; n = (n1, n2, , nn) là vector nhiễu, có các thành phần thực ni là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss với trung bình 0 và phương sai bằngN0,Hlà ma trận fading kênh có dạng đường chéoH=diag(α1, α2, , αn), với αi giá trị thực là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Rayleigh với moment bậc hai bằng1.

Với giả thiếtCSI được biết tại phía thu, giải mã trên cơ sở hợp lẽ tối đa (Maximum Likelihood - ML) yêu cầu tối thiểu hóa độ đo sau: m(x|r, α) Xn 1

Nói cách khác, điểm giải mãxˆ phải thỏa mãn: ˆ x= arg min x ∈ S kr−xHk 2 = arg min x 0 ∈ S 0 r−x 0 2 (1.5) trong đó S 0 =HS.

Việc tối thiểu hóa (1.5) là một phép toán có độ phức tạp cao đối với một chòm sao tín hiệu bất kỳ, với số lượng nhiều điểm Trong trường hợp của chúng ta là mã lưới, một thuật toán giải mã dựa trênMLhiệu quả hơn đó là giải mã hình cầu mà chúng ta sẽ bàn tiếp trong phần cuối của chương này.

Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới

Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp

Để đưa ra các tiêu chí cho việc thiết kế mã cho hệ thống như đã đề cập ở phần trước, trước hết chúng ta ước lượng xác suất lỗi của nó [1, 8].

Ký hiệuPe(S)là xác suất lỗi khi phát một điểm của chòm sao tín hiệu hữu hạn S, và P (x→x)ˆ là xác suất lỗi cặp, đây là xác suất mà khi x được phát, điểm nhận được gần vớixˆ hơn so vớix theo độ đo đã xác định trong công thức (1.4). Đối với một chòm sao tín hiệu S bất kỳ, với |S| là số phần tử của chòm sao, ta có:

Công thức này có thể đơn giản hơn nhiều trong trường hợp mã lưới Vì một lưới vô hạn là đồng dạng hình học, chúng ta có thể viết một cách đơn giản xác suất lỗi khi phát một điểm thuộc lưới Pe(Λ) =Pe(Λ|x) cho bất kỳ điểm x∈Λ được phát Giả sử rằng S là một chòm sao hữu hạn lấy ra từΛ, ta có:

Tức là, xác suất của hợp các biến cố nhỏ hơn hoặc bằng tổng các xác suất của các biến cố thành phần.

Trước hết, chúng ta đưa ra biên trên của xác suất lỗi có điều kiệnP (x→ˆx|α) Một lỗi xuất hiện, trong khi giải mã với quy tắcML, nếu điểm nhận được r gần với xˆ hơn x.

Có nghĩa là,m(ˆx|r,α)≤m(x|r,α) Xác suất lỗi cặp có điều kiện là:

! Đặt χ Xn i=1 αi(xi−xˆi)ni là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Gaussni.

Ta có χ là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình bằng 0 và phương sai bằng: σ χ 2 =N0

Xn i=1 αi(xi−xˆi) 2 là hằng số Chúng ta có thể viết xác suất lỗi cặp có điều kiện theoχ và A.

P (x→xˆ|α) =P (χ≥A) =Q(A/σχ), trong đó hàm Q(x) được định nghĩa bởi Q(x) = (2π) − 1

Z ∞ x exp −t 2 /2 dt Vì Q(x) bị chặn trên với 1

, xác suất lỗi cặp có điều kiện trở thành:

Xác suất lỗi cặp được tính bằng trung bìnhP (x→xˆ|α) qua hệ số fading α:

Thay P (α)dα = P (α1) P(αn)dα1 dαn, trong đó P (αi) = 2αie −α 2 i là phân bố Rayleigh chuẩn, vào biểu thức cuối cùng chúng ta thu được:

2α i exp −C i α i 2 dα i trong đó Ci = 1 + (xi−xˆi) 2

8N 0 Tính tích phân ta được:

(1.6) Đối với trường hợp tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SN R) lớn thì:

(8N0) ` d ` p (x,x)ˆ 2 (1.7) trong đód ` p (x,x) =ˆ Q x i 6=ˆ x i|xi−xˆi|là khoảng cách (`−product distance) giữax vàxˆ khi hai điểm khác nhau` thành phần

Trong (1.8),Llà số thành phần khác nhau nhỏ nhất của hai điểm bất kỳ thuộc chòm sao và được gọi là độ phân tập điều chế (modulation diversity) hay bậc phân tập (diversity order) của chòm sao lưới. Để hạn chế biên trên của bất đẳng thức (1.8), các tiêu chí của chúng ta là tối đa hóa L và vàdp,min (với dp,min= mind (L) p ).

Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới

Để thiết kế chòm sao lưới, hai hoạt động quan trọng là tạo nhãn bit (bit labelling) và tạo hình dạng chòm sao (constellation shaping) Hai vấn đề này có quan hệ chặt chẽ với nhau và có sử thỏa hiệp giữa độ phức tạp và hiệu suất thực hiện.

Quá trình gán nhãn bit bao gồm quá trình ánh xạ các bit đầu vào với một điểm thuộc chòm sao tín hiệu Nếu chúng ta muốn tránh sử dụng một bảng tìm kiếm (look-up table) lớn để thực hiện gán nhãn bit thì chúng ta cần một thuật toán đơn giản hơn để kết hợp các bit với các điểm tín hiệu.

Trong quá trình thiết kế chòm sao lưới cho kênh fading, các chòm sao có hình khối là một lựa chọn tối ưu trong nghĩa là lưới thiết kế là một phiên bản quay của lưới Z n

Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh

Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh

Trong phần trước, chúng ta đã xét các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới, cụ thể như sau:

1 Tối đa hóa bậc phân tập L.

2 Tối đa hóa giá trịdp,min= min d (L) p (x,x)ˆ

3 Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Z n

Ta xây dựng lưới thỏa mãn các tiêu chí trên thông qua trường số đại số Điều này xuất phát từ những cơ sở và phương thức thực hiện như sau:

1 Tối đa hóa bậc phân tập L: Xây dựng lưới đại số thực trên vành OK, do lưới đại số xây dựng trên trường số thực có bậc phân tập lớn nhất L=n, với n là bậc của trường số K (xem Định lý 9 phần Phụ lục A) Từ cơ sở nguyên thuộc OK, nhúng vào R n qua phép nhúng chính tắc để nhận được một lưới đại số (xem Định nghĩa

2 Tối đa hóadp,min: Để đánh giá tiêu chí vềdp,min, ta xây dựng lưới từ một ideal thuộc vành OK, vì ideal của vành OK cũng có cơ sở nguyên n thành phần (xem Định lý

10, Phục lục A) Đặc biệt trong trường hợp lưới sinh ra từ cơ sở nguyên của một ideal chính (ideal được sinh ra từ một phần tử) của vành OK thì dp,min của lưới có thể được tính một cách tường minh và chỉ phụ thuộc vào dK (Xem Định nghĩa và Tính chất của ideal chính của một vành, Phụ lục A) Do đó ta phải tối thiểu hóa biệt thức của trường số dK (xem Định nghĩa 25, Phụ lục A).

3 Các chòm sao lưới là một phiên bản của lướiZ n : Với một giá trịn cho trước, chúng ta phải xác định một trường sốK bậcnvà một idealI⊆OK sao cho lướiΛ = (I, qβ) là tương đương với Z n (xem Định nghĩa 31, Phụ lục A) Một phiên bản tỷ lệ của

Z n có dạng: (√ cZ) n ,c∈Z, do đó định thức của lưới này làdet (G) = c n

Ta lại có: (Công thức (8), Phụ lục A) det (Λ) =N(β)N(I) 2 |dK|

Như vậy, ta phải xác định β thỏa mãn (1.9).

Xây dựng mã lưới từ trường vòng

Phần này trình bày tổng quát việc xây dựng mã lưới từ trường vòng (xem [7])Q(ζp), trong đó ζ = ζ p = e − 2iπ/p là căn bậc p của đơn vị, và quan tâm đến trường hợp p ≥ 5

[7, 8] Bậc củaQ(ζp) trên Qlà (p−1) Trường K =Q ζp +ζ p − 1 là một trường con của

Q(ζ p ), được sinh ra bởi phần tử ζ p +ζ p − 1 = 2 cos (2π/p) Đây là trường thực và có bậc trên Qlà n= (p−1)/2 và biệt thức của nó được xác định bằng: d K =p (p−3)/2 (1.10)

Trường K có vành nguyên là OK =Z ζp +ζ p −1

. Một cơ sở nguyên của K được xác định như sau: ej =ζ p j +ζ p − j n j=1 Có n phép nhúng của K vào Cđược xác định là: σk(ej) = ζ p kj +ζ p − kj (1.11) Điều kiện cần để có được một lưới ideal Z n là tìm một phần tử β thỏa mãn:

Phần tử β= (1−ζp) 1−ζ p −1 có N(β) = p. Định lý sau chỉ ra rằng, với việc sử dụng thành phần này, chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng lướiZ n Định lý 1.1.

Cho K = Q ζ p +ζ p − 1 và β = (1−ζ p ) 1−ζ p − 1 thì Λ OK, 1 p q β tương đương với Z n , trong đó qβ =Tr(βxy)

Ta chứng minh định lý này bằng cách tính trực tiếp:

(1.13) σj(ζp)và σj =σj(β)với j = 1, , n là các liên hiệp của ζp và β.

Chúng ta tính tiếp qβ(eiej) với i=j và i6=j sử dụng (1.14) và (1.15): q β (e i e i ) =Pn j=1β j σ j ζ p 2i +ζ p − 2i + 2

Với kết quả trong phần chứng minh trên, ta suy ra ma trận củaqβ trong cơ sở{e1, , en} là:

Ma trận này mà một đồng hình của ma trận đơn vị, ta có thể kiểm tra điều này bằng cách chọn cơ sở mới{e 0 1 , , e 0 n } mà e 0 n =e n và e 0 j =e j +e 0 j+1 ,j = 1, , n, ma trận trên trở thành ma trận Gram của lướiZ n

Ma trận chuyển đổi cơ sở từ e j sang e 0 j là:

Như vậy, lưới Z n tương ứng thu được như sau:

Lưới sinh ra bởi vành nguyên có ma trận sinh n×n, trong đó n là số phép nhúng trườngK:

Mk,j =σk(ej) = ζ p kj +ζ p −kj = 2 cos

Thành phần β biểu diễn dưới dạng ma trận đường chéo:

A =diagp σk(β) Kết quả cuối cùng, ma trận sinh của lướiZ n quay là:

Giải mã hình cầu

Tổng quan

Giải mã hình cầu [7, 9, 10] là phương thức giải điều chế trên cơ sởMLcho các chòm sao tín hiệu lưới bất kỳ Nó giải quyết vấn đề điểm lưới gần nhất: tức là tìm các điểm lưới gần nhất với một điểm nhận được.

Vấn đề có tính chất chìa khóa tạo nên tính hiệu quả của giải mã hình cầu là số lượng các điểm lưới tìm thấy trong một hình cầunhỏ hơn rất nhiều so với số lượng điểm trong hình lập phương chứa hình cầu này. Để tránh liệt kê tất cả các điểm của chòm sao tín hiệu, thuật toán giải mã lưới tìm trong các điểm thuộc lướiΛnhững điểm nằm trong hình cầu với bán kính √

C cho trước, tâm tại mỗi điểm nhận được Sau đó, chỉ tính độ đo đối với những điểm thuộc hình cầu này.

Những bước chủ yếu của thuật toán này là:

1 Thiết lập điểm gốc tại điểm nhận được r.

3 Định nghĩa hàm Q(u) = kxk 2 = xx T = uGu T trong đó G = M M T là ma trận Gram của lưới.

4 Tìm tất cả các điểm trong hình cầu bán kính √

C bằng cách giải bất đẳng thức:

5 Chọn x thỏa mãn minkr−xk 2

Thuật toán giải mã hình cầu

Chúng ta xem lưới Λ như là kết quả của phép biến đổi tuyến tính Vấn đề đặt ra là phải giải phương trình: minx ∈Λkr−xk 2 = min w ∈ r −Λkwk 2 (1.18) Điều này có nghĩa là: Vì lướiΛ là kết quả của biến đổi tuyến tính nên r−Λ cũng là một lưới và chúng ta phải xác định vectorw ngắn nhất thuộc lưới này.

Ta có: x=uM với u∈Z n Đặt: r=ρM với ρ= (ρ1, , ρn)∈R n w=ξM với ξ = (ξ 1 , , ξ n )∈R n

Ta có w = Pn i=1ξivi trong đó vi là các vector cơ sở của lưới và ξi = ρi −ui, i 1, , n là sự dịch chuyển các trục tọa độ.

C, tâm tại điểm nhận được được biến đổi thành hìnhellipsoid với tâm lại gốc của hệ tọa độ mới được xác định bằngξ: kwk 2 =Q(ξ) =ξM M T ξ T =ξGξ T Xn i=1

. Phân tích Cholesky ma trận Gram G=M M T đưa raG=R T R, trong đó R là ma trận tam giác trên, đo đó:

Thế qii =r 2 ii với i= 1, , n và qij =rij/rii với i= 1, , n, j =i+ 1, , n, ta có thể viết lại như sau:

Xn j=i+1 rijξj) 2 Xn i=1 qiiU i 2 ≤C, (1.21) trong đó, hệ tọa độ mới được định nghĩa là:

Xn j=i+1 r ij ξ j , i= 1, , n, (1.22) xác định một elipsoid với hình dạng chính tắc Bắt đầu từ Un và tính lùi, chúng ta thu được các công thức xác định biên củaelipsoid như sau:

− sC−qnnUn q n−1,n−1 ≤ Un − 1 ≤ sC−qnnUn q n−1,n−1 (1.23)

Các khoảng tương ứng của thành phần nguyênun và un − 1 xác định bằng cách thay ξi =ρi−ui trong (1.22) và (1.23):

% trong đódxe là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn x và bxc là giá trị nguyên lớn nhất nhỏ hơn x Đối với thành phần nguyên thứ i ta có:

 (1.24) Để đơn giản, ta thiết lập gốc của tọa độ r = 0 (có nghĩa là ρi = 0, i= 1, , n), lúc đó thuật toán giải mã hình cầu trở thành thuật toán đếm điểm Finke-Pohst [9].

Minh họa hình học của phương pháp được thể hiện như hình 1.3, 1.4 và 1.5.

362 The Sphere Decoder inside the ellipse in Fig 4.4 are visited from the bottom to the top and from left to right. v v 1

Fig 4.2 The sphere is centered at the origin and includes the lattice points to be enumer- ated.

The search algorithm proceeds very much like a mixed radix counter on the digits u i , with the addition that the bounds change whenever there is a carry operation from one digit to the next In practice, the bounds can be updated recursively by using the following equations

= T i −q ii (S i −u i ) 2 Hình 1.3: Hình cầu bao gồm những điểm phải đếm [7]

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Fig 4.3 The sphere is transformed into an ellipsoid in the integer lattice domain.

This value is compared to the minimum square distance d 2 (initially set equal toC) found so far in the search If it is smaller then we have a new candidate closest point and the search can go on using a new sphere with smaller radius.

The advantage of this method is that we never test vectors with a norm greater than the given radius Every tested vector requires the computation of its norm, which entails n multiplications and n−1 additions The increase in the number of operations needed to update the bounds (4.7) is largely compensated for by the enormous reduction in the number of vectors tested especially when the dimension increases.

In order to be sure to always find a lattice point inside the sphere we must select √

C equal to the covering radius of the lattice Otherwise, we dobounded distance decodingand the decoder can signal an erasure whenever no point is found inside the sphere A judicious choice of C can greatly speed up the decoder In practice the choice of C can be adjusted according to the noise varianceN 0 so that the probability of

Hình 1.4: Hình cầu chuyển thành hình elipsoid trong miền lưới nguyên [7]

Fig 4.4 The coordinate rotation enables to enumerate the Z n –lattice points. a decoding failure is negligible If a decoding failure is detected, the operation can either be repeated with a greater radius or an erasure can be declared.

The kernel of the Sphere Decoder (the enumeration of lattice points inside a sphere of radius √

C) requires the greatest number of opera- tions The complexity is obviously independent of the constellation size, i.e the number of operations does not depend on the spectral efficiency of the signal constellation.

The complexity analysis presented in [27] shows that ifd −1 is a lower bound for the eigenvalues of the Gram matrix G, then the number of arithmetical operations is

Hình 1.5: Hình elipsoid với tọa độ nguyên có thể đếm được [7]

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Tiếp theo, ta thực hiện việc tìm kiếm trên cácui với biên được xác định như (1.24).

Các biên được cập nhật liên tục qua các tham số sau:

Khi có một vector nằm trong hình cầu được tìm thấy, bình phương khoảng cách từ điểm trung tâm là: dˆ 2 =C−T1+q11(S1 −u1) 2

Khoảng cách này được so sánh với khoảng cách tối thiểud 2 (Được thiết lập ban đầu bằng C) Nếu kết quả của phép so sánh là nhỏ hơn, chúng ta có điểm ứng cử gần nhất và quá trình tìm kiếm được tiếp tục với sử dụng hình cầu mới với bán kính nhỏ hơn.

Trong môi trường fading, chúng ta áp dụng giải mã hình cầu với một lưới mới Λc với ma trận sinh được xác định là:

Mỗi điểm lưới của Λ c được xác định bằng: x (c) = (x (c) 1 , x (c) n ) = (α 1 x 1 , α n x n ). Độ đo phải tối thiểu là: m(x|r, α) Xn i=1

Lưu đồ thuật toán của giải mã hình cầu thể hiện như hình 1.6, chương trình thực hiện thuật toán này bằng Matlab được trình bày trong Phụ lục B.

T i /q ii + S i m − 1 ui =ui+ 1 i=i+ 1 i=i−1 ui > Li? yes no no i=n? yes

Hình 1.6: Lưu đồ thuật toán giải mã hình cầu [7]

MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH MIMO

Chương này trình bày việc xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh MIMO, cụ thể làSpace - Time Block Codes (STBC) được xây dựng từ công cụ đại số chia được tuần hoàn (Cyclic Division Algebras) Thuật ngữ công nghệ mã Space - Time xuất phát từ việc thực hiện mã hóa trên cả không gian (nhiều antenna) và thời gian.

Nội dung chương này tập trung trình bày mô hình kênh (phần 2.1), các tiêu chí xây dựng mã lưới (phần 2.2) và xây dựng mã lưới (phần 2.3) Phần 2.4 trình bày cách biểu diễn STBC theo cấu trúc lưới để từ đó áp dụng phương thức giải mã hình cầu như đã trình bày trong chương1 Phần 2.5 trình bày tính toán và mô phỏng mã Golden cho kênh fading Rayleigh MIMO2×2.

Mô hình kênh MIMO fading Rayleigh

Hệ thống sử dụng nhiều antenna phát và nhiều antenna thu nổi lên như là một công nghệ hứa hẹn cải thiện hiệu suất của hệ thống truyền dẫn số không dây Nguồn tài nguyên giới hạn của hệ thống truyền thông không dây, ví như phổ và công suất, có thể được sử dụng hiệu quả với nhiều antenna để cung cấp chất lượng tốt và dung lượng cao cho một khoảng rộng các ứng dụng yêu cầu tốc độ dữ liệu cao.

Xét hệ thống có n t antenna phát và n r antenna thu Ta có thể mô hình hệ thống như sau [8, 11, 12]: y(k) = H(k)x(k) +z(k), (2.1) trong đó: y(k)∈C n r là vector thu tại thời điểm k,

H(k)∈C n r × n t biểu diễn ma trận kênh, x(k)∈C n t là đầu vào kênh, z(k)∈C n r là nhiễu Gauss trắng độc lập và đồng nhất cùng phân bố trung bình 0.

Giả sử rằng mô hình là fading phẳng Rayleigh, các thành phần của H là các biến ngẫu nhiên độc lập đồng nhất cùng phân bố Gauss phức với trung bình bằng0và phương sai bằng 1 Trong thời gian T ký hiệu, kênh là bất biến, có nghĩa là H(k) = H Giả sử CSI là biết được ở phía thu Mô hình (2.1) trở thành:

Từ mã X được phát trong khoảng thời gian T ký hiệu lấy từ bảng mã C, H là ma trận kênh với các phần tử là các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập đồng nhất cùng phân bố;Z là ma trận nhiễu với các phần tử là các biến ngẫu độc lập đồng nhất cùng phân bố Gauss Phần tử xik tương ứng là tín hiệu được phát từ antenna thứ i tại symbol thứ k,

1≤k ≤T (T được gọi là thời gian liên kết -cohenrence time).

Các tiêu chí thiết kế mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO

Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi

Một STBC là tập hợp hữu hạnC của các ma trậnX có kích thước n t ×T |C| là số lượng ma trận.

Với điều kiện phía thu biết được CSI, thuật toán giải mã là việc chọn một từ mã X thỏa mãn tối thiểu độ đo: minX ∈CkY−HXk Ước lượng xác suất lỗi thu được sử dụng bất đẳng thức:

X →Xˆ là xác suất lỗi cặp, đó là xác suất mà khi từ mã X được phát, nhưng ở phía thu lại chọn sai làX Biến đổi cuối cùng ta có:ˆ

, (2.4) với E s là công suất tín hiệu phát ở mỗi antenna Trong trường hợp SNR cao, ta có:

, (2.5) trong đó ∆ =Qr j=1λj,λi là các trị riêng khác 0 của ma trận:

X,Xˆ i,j =xj,i−xˆj,i, i= 1, , nt, j = 1, , T. Viết gọn (2.5) ta được:

Từ việc tối thiểu hóa xác suất lỗi ở trên, ta thu được hai tiêu chí cho việc thiết kế mã:

1 Tiêu chí về bậc: Để thu được độ đa dạng tối đan t n r thì ma trận B

X,Xˆ phải là bậc đầy đủ đối với cặp từ mã bất kỳ X và X.ˆ

2 Tiêu chí về định thức: Tối đa hóa giá trị nhỏ nhất của định thức det (A)

Chú ý: Ma trận A được tính trên tất cả các cặp từ mã phân biệt thuộc C, nhưng để đơn giản thực hiện và để có thể sử dụng giải mã hình cầu, ta chỉ quan tâm đến trường hợp mã tuyến tính, do đó ta đưa trường hợp tính A đối với hai từ mã phân biệt thuộc lưới về trường hợp tính đối với một từ mã bất kỳ thuộc lưới và 0.

Các tiêu chí khác

Giả sử rằng mã STBC mã hóa các thông tin từ chòm sao tín hiệu Q - QAM hoặc

Q - HEX, trong đóQ= 2 q , q là số lượng bit thông tin chứa đựng trong một ký hiệu.

Gọi κ là số lượng các ký thiệu thông tin (QAM hoặc HEX) được mã hóa vào trong bảng mã STBC Tối độ mã hóa là:

Bộ mã được gọi là tốc độ đầy đủ (full rate) nếu Rc= 1.

Ví dụ về bộ mã tốc độ đầy đủ: nt=nr =T =n.

Khi vector hóa một mã STBC, mỗi từ mã sẽ tương đương với một điểm trong không gian nhiều chiều Nếu mã STBC có số chiều là m×n thì khi vector hóa, mỗi từ mã sẽ tương đương với một điểm trong không gianm×n chiều Theo [3, 11], ta quan tâm đến hình dạng khối là hình dạng vừa thỏa mãn tính chất dễ dàng cho sự gán nhãn bit và có hệ số hình dạng tốt.

Một tiêu chí khác cần bàn ở đây là một tính chất cần thiết cho thiết kế mã, đó là tính chất “định thức không triệt tiêu” (non-vanishing determinant): Một hệ thống điều chế tương thích sẽ yêu cầu truyền nhiều chòm sao tín hiệu với kích thước khác nhau Điều quan trọng là hệ số mã hóa không phụ thuộc vào kích thước chòm sao tín hiệu Trong trường hợp đặc biệt, chúng ta quan tâm đến mã vô hạn với ∆min 6= 0 Chúng ta gọi tính chất này là tính chấtnon-vanishing determinant [13].

Khái niệm mã STBC hoàn hảo [8]

Một mã n×n STBC được gọi là hoàn hảo nếu và chỉ nếu:

− Nó là mã tuyến tính tốc độ đầy đủ sử dụng n 2 t ký hiệu thông tin hoặc QAM hoặc HEX.

− Giá trị nhỏ nhất của định thức của mã vô hạn là khác 0

− Năng lượng cần thiết để phát tổ hợp tuyến tính của các ký hiệu thông tin trên mỗi lớp tương tự với năng lượng sử dụng để phát ký hiệu của nó.

− Tất cả các ký hiệu mã trong ma trận mã có năng lượng trung bình bằng nhau.

Xây dựng mã STBC hoàn hảo

Cách xây dựng mã STBC hoàn hảo

Mã hóa các ký hiệu thông tin QAM hoặc HEX, những chòm sao này có thể được xem là tập con hữu hạn của Z(i)hoặc Z(j), do đó ta chọn trường cơ sở K hoặc làQ(i) hoặc làQ(j).

Với nt là số lượng antenna phát, ta xây dựng một algebra tuần hoàn A (xem định nghĩa 35, phụ lục A) được xác định như sau:

A= (L/K, σ, γ) trong đó mở rộngL/K có bậcn =n t

Ta chọn γ sao cho |γ| = 1 để thỏa mãn về chuẩn hóa năng lượng phát cho mỗi antenna. Để bộ mã có tính chấtnon-vanishing determinant, ta xác định cách lập mã sao cho có một cận dưới lớn hơn0 của det (X) Khi phát các ký hiệu thông tin QAM hoặc HEX,

K hoặc là Q(i) hoặc làQ(j), khi đó vành nguyênOK tương ứng sẽ làZ(i) hoặc làZ(j), do đó chọn γ ∈OK. Trong tất cả các phần tử của A, ta quan tâm đến trường hợpx=x 0 +ex 1 + .+ e n − 1 xn − 1, trong đó xi ∈I là một ideal củaOK.

Như vậy, từ mã sẽ có dạng:

Mỗi lớp của từ mã có dạng: (x ` , σ(x ` ), , σ n − 1 (x ` )), ` = 0, , n−1 Do đó ta phải chọn Isao cho chòm sao tín hiệu trên mỗi lớp là một phiên bản quay của lưới Z[i] n hoặc làZ[j] n Cách thực hiện này tương tự như phần tạo mã lưới ở chương 1. Để có được một algebra Alà khả đảo, ta phải xác định γ sao choγ, , γ n−1 không là norm thuộc L.

Ta quan tâm đến một trường hợp đặc biệt là L/K = L 0 K/K khi L là trường nhỏ nhất chứa cả L 0 và K, lúc đó ta gọi L là compositum của L 0 và K Trong trường hợp này, ta có: det (Λ) =|N(β)| 2 |dL 0 | (2.9) Như vậy, ta phải xác định β thỏa mã đẳng thức:

Từ phần tửβ xác định ở trên, chúng ta tiến hành xác định ma trận GramM M T [Tr(βωiω¯j)] và đảm bảo ma trận Gram là một ma trận đơn vị.

Mã Golden

Xác định:Mã Golden là mã STBC hoàn hảo 2×2.

Mã Golden được xây dựng bằng cách sử dụng algebra vòng:

2 Trước khi tạo dạng, từ mã từ algebra này có dạng:

Vì i không là norm của thành phần nào thuộc Q i,√

5 do đó bộ mã thu được là bộ mã bậc đầy đủ vàA là một algebra vòng chia được.

Chúng ta tìm cách thêm tính chất về hình dạng của bảng mã như đã xây dựng bởi

Chúng ta phải tìm thành phần β sao cho NL/K(β) 2 = 5 Để xác định thành phần này, chúng ta phân tích5 trong OL như sau:

Do đó chúng ta chọn β = 1 +i−iθ Ma trận sinh của nó là:

Kết quả tính toán trực tiếp ta được:M M + = 5I 2 Do đó: √ 1

5M là ma trận đơn vị, từ đó cho ta thuộc tính hình dạng như mong muốn.

Như vậy, một từ mã X của mã Golden sau khi thêm tính chất hình dạng có dạng như sau:

# , trong đó a, b, c, d là các ký hiệu QAM.

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức Tính giá trị nhỏ nhất của định thức của mã vô hạn Từ ββ = 2 +i, ta có: det (X) = 2 +i

Vì việc xác địnha, b, c, dtừ QAM do đó giá trị nhỏ nhất của|a 2 +ab−b 2 −i(c 2 +cd+d 2 )| 2 là1, do đó ta có: δmin(C∞) = min

5 vì β được chọn sao cho: N L/K (β) 2 = 5.

Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 3 × 3 antenna

Xác định Đối với trường hợp3 antenna, chúng ta sử dụng ký hiệu HEX Do đó, trường cơ sở làK = Q(j), trong đó j là nghiệm bậc 3 của phương trình đơn vị Cho θ = ζ7 +ζ 7 −1 2 cos 2π 7 và Llà Q(j, θ)là một compositum của K và Q(θ).

Biệt thức của Q(θ)làd Q (θ) = 49, đa thức tối thiểupθ(X) = X 3 +X 2 −2X−1 Mở rộng L/K là vòng với phần tử sinh σ:ζ7+ζ 7 − 1 7→ζ 7 2 +ζ 7 − 2

Algebra vòng tương ứng với bậc 3 là:A= (L/K, σ, γ), viết dạng tường minh:

A=L⊕eL⊕e 2 L, với e ∈A thỏa mãn: e 3 =γ ∈K ∗ và λe =eσ(λ) với mọi λ ∈L Để thu được mã STBC hoàn hảo, ta chọn γ =j Vì j và j 2 không là norm trong L/K, do đó bộ mã xây dựng được là mã có bậc đầy đủ.

Vì chúng ta sử dụng các ký hiệu HEX, do đó ta xác định một lưới Z[j] là một lưới

Xuất phát từ điều kiện: det (Λ) = NL/K(β) 2 d Q ( √ θ )

= 7 2 NL/K(β) 2 Điều kiện cần để thu được một phiên bản quay của lưới Z[j] 3 là tồn tại phần tử β mà NL/K(β) 2 = 7.

Một cơ sở của (β)OL là: βθ k 2 k=0 ={(1 +j) +θ,(1 +j)θ+θ 2 ,1 + 2θ+jθ 2 }. Chú ý trong cơ sở này, thành phần thứ 3đã được rút gọn nhờ sử dụng đa thức tối thiểupβ(θ) Sử dụng phép chuyển đổi cơ sở bằng cách sử dụng ma trận:

 ta thu được cơ sở sau:

7Tr L/ Q (j) (νkνl) =δkl k, l= 1,2,3 sử dụngTr Q (θ)/ Q(1) = 3, Tr Q (θ)/ Q(θ) = −1,Tr Q (θ)/ Q(θ) 2 = 5 Tính ví dụ cho các thành phần thuộc đường chéo:

Ma trận sinh dưới dạng số là:

Từ mã X∈Cmã hóa 9ký hiệu HEX x0, , x9 là:

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức

Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 4 × 4 antenna

Tương tự như trường hợp mã Golden, quan tâm trường hợp truyền các ký hiệu QAM, theo đó trường cơ sở là K =Q(i) Cho θ=ζ15+ζ 15 − 1 = 2 cos 2π 15 và Llà Q(i, θ), làcompositum của Q(i) và Q(θ) Ta có: [Q(θ) :Q] = 4, do đó [Q(i, θ) :Q(i)] = 4 Biệt thức của Q(θ) là d Q (θ) = 1125 và đa thức tối thiểu pθ(X) = X 4 −X 3 −4X 2 + 4X+ 1.

Mở rộngL/Q(i)là vòng với phần tử sinh σ:ζ 15 +ζ 15 − 1 7→ζ 15 2 +ζ 15 − 2 Algebra vòng tương ứng của bậc 4 là:A= (L/K, σ, γ)tức là:

A=L⊕eL⊕e 2 L⊕e 3 L, với e ∈ L mà e 4 = γ ∈ K ∗ và λe = eσ(λ) với mọi λ ∈ L Để thu được mã STBC hoàn hảo, ta chọn: γ = i Vì ±i và −1 không là norm trongL/K, do đó mã tạo thành là mã có độ đa dạng đầy đủ.

Sử dụng điều kiện (2.9) ta có: det (Λ) = NL/K(β) 2 d Q ( √ θ )

Ta phải xác địnhβ sao cho: NL/K(β) 2 = 3 2 5 Phân tích3 và 5 trongOL:

Chọn β = β3β5 = (1−3i) +iθ 2 Một Z[i] - basis của (β) là {βθ i } 3 i=0 Sử dụng phép chuyển đổi cơ sở bởi ma trận như sau:

 chúng ta có được cơ sở mới Z[i]- basis:

Tính trực tiếp ta có:

Tr Q (θ)/ Q (θ 3 ) = 1, Tr Q (θ)/ Q (θ 4 ) = 29 Các phần tử thuộc đường chéo:

Ma trận sinh của lưới dưới dạng số như sau:

Một từ mã X∈C mã hóa16ký hiệu QAM x0, , x15, cụ thể như sau:

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức

15 4 Với cách chọn β như trên, ta có: δmin(C) = 1

Giải mã

Phần này trình bày cách biểu diễn mã STBC về cấu trúc lưới, để từ đó có thể áp dụng giải mã hình cầu như đã trình bày chi tiết trong chương1. Định nghĩa hàm vec(.) là hàm xác định một vector cột biễu diễn tách biệt phần thực và phần ảo như sau: vec(Y) = (R(y11),J(y11), ,R(yn r 1),J(yn r 1), ,

Và một hàm chuyển đổi ma trận từ dạng số phức sang dạng số thực ri(.) thay thế mỗi thành phần phức của ma trận H= (hij)với một ma trận thực kích thước 2×2.

Từ đó ta có: vec(Y) 

Với cách biểu diễn này thì một từ mã trong STBC sẽ tương ứng với một điểm x trong không gianN = 2ntT chiềuR N Từ đó ta xác định một lưới sinh ra bởi ma trậnR như sau:

C∞= Λ x=Ru:u∈Z N Các từ mã tương ứng là một chòm sao hữu hạn lấy ra từ lưới vô hạn Λ.

C x=Ru:u= (u1, , uN), uk+iuk+1 ∈Q−QAM, với k= 1, , N/2

Tính toán mô phỏng mã golden

Tính toán các tham số mô phỏng

Xuất phát từ biểu thức, từ mã Golden có dạng:

Thay các biểu thức (2.16), (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) vào (2.15) ta được:

Nhắc lại hàmvec(.)đã trình bày trong phần giải mã ở chương trước: vec(Y) = (R(y11),J(y11), ,R(yn r 1),J(yn r 1), ,

Từ đó ta có: vec(X) = 1

Lưu ý trong phần tính toán này: i 2 =−1 và θθ¯=−1

Ma trận kênh Hchuyển đổi về H như sau:

Như vậy, có thể áp dụng giải mã hình cầu (phụ lục B) đối với lưới có ma trận sinh được xác định bởi:M =H T R T

Mô phỏng mã Golden

Chương trình mô phỏng trong hệ thống fading Rayleigh MIMO 2×2.

Tại mỗi SNR, phát ngẫu nhiên 100000 bits.

Kết quả mô phỏng so sánh 4-QAM và mã Golden như hình 2.1, kết quả so sánh giải mã hình cầu và giải mã ML cho mã Golden như hình 2.2

Simulation of BER for Golden code and 4−QAM in 2 x 2 MIMO Rayleigh channel

BER of 4−QAM BER of Golden code

Hình 2.1: Mô phỏng mã Golden cho hệ thống fading Rayleigh MIMO 2×2

Simulation of BER for Golden code in 2 x 2 MIMO Rayleigh channel

Hình 2.2: So sánh giải mã hình cầu và giải mã ML, số lượng bits lỗi trong hai phương pháp giải mã bằng nhau và bằng [5153 973 281 68 18 0 0 0 0 0]

Một số nhận xét từ kết quả mô phỏng:

Kết quả mô phỏng trên được thực hiện trong một hệ thống không có mã hóa kênh (“hệ thống uncoded”), mục đích là so sánh việc phát thu các chòm sao tín hiệu 4-QAM và 4-QAM sau khi được mã hóa dưới dạng STBC (tức là mã Golden) Cụ thể là thông qua BER trong hai trường hợp để thấy được ưu điểm của mã Golden.

Kết quả chỉ ra trong hình 2.1 cho ta thấy rằng:

1 BER trong trường hợp phát thu mã Golden rất nhỏ so với trường hợp phát thu 4-QAM;

2 Đường cong BER trong trường hợp phát thu mã Golden có độ dốc lớn;

3 Khi SN R lớn hơn12 dB thì BER trong trường hợp phát mã Golden bằng0 tức là hầu như không có lỗi;

Hình 2.2 là kết quả BER trong trường hợp phát thu mã Golden, sử dụng hai hình thức giải mã khác nhau là giải mã hình cầu và giải mã ML Giải mã hình cầu là phương thức giải mã trên cơ sở ML Đồ thị trên hình 2.2 chứng minh rằng hai phương thức giải mã này có kết quả hoàn toàn giống nhau.

Một điểm bàn thêm về hai thuật toán này chưa được đề cập trong luận văn là về độ phức tạp của hai thuật toán giải mã.

1 Đối với giải mã ML, phía thu phải thực hiện tính độ đo và so sánh đối với tất cả các điểm thuộc lưới, và vì vậy khi số điểm thuộc lưới tăng lên thì số lượng phép tính và so sánh sẽ tăng lên rất nhiều.

2 Đối với giải mã hình cầu, phía thu chỉ thực hiện tính độ đo và so sánh đối với những điểm thuộc hình cầu bán kính cho trước, do vậy phương thức giải mã này sẽ giảm mức độ phức tạp so với ML Tuy nhiên, phương thức này chỉ áp dụng đối với chòm sao tín hiệu có cấu trúc lưới.

TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH

VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO

Chương này trình bày tổng quan về kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính và mối quan hệ với mã hóa STBC Kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính là quá trình kỹ thuật khai thác CSI tại phía phát (CSIT) bằng cách tác động lên tín hiệu đã mã hóa trước khi phát Một bộ tiền mã hóa tuyến tính có chức năng cơ bản giống như một bộ tạo các chùm nhiều chế độ, làm tối ưu sự phù hợp giữa tín hiệu phát và kênh truyền Nó thực hiện chức năng này bằng cách chia tín hiệu phát thành những chùm trực giao và ấn định một công suất phát của từng chùm phụ thuộc vào loại CSIT.

Thuật ngữ CSIT bao hàm những thông tin tức thời về tình trạng kênh và những tham số kênh theo nghĩa thống kê.

Tiền mã hóa tuyến tính cho mã STBC đã được nghiên cứu nhiều [5, 6] Trong các công trình này, bộ tiền mã hóa được thiết kế sau khi đã có mãSTBC, và do đó việc thiết kế bộ tiền mã hóa là độc lập so với STBC.

Chương này trình bày tổng quan về cấu trúc hệ thống khai thác CSIT (phần 4.1),thiết kế tiền mã hóa tối ưu (phần 4.2) và một số nhận định nhằm tìm ra một hướng mới cho đề tài (phần 4.3).

Cấu trúc hệ thống

Cấu trúc của bộ lập mã

Một bộ lập mã bao gồm khối mã hóa kênh, khối xen (interleaving) và khối ánh xạ ký hiệu từ đó đưa ra các ký hiệu vector đến khối tiền mã hóa Chúng ta phân thành hai loại cấu trúc của bộ lập mã dựa trên khối ánh xạ ký hiệu: Hợp kênh không gian và mã hóa ST Cấu trúc của hợp kênh không gian phân kênh các bit đầu ra của khối mã hóa kênh và khối interleaving thành những dòng bit độc lập Những dòng bit này sau đó ánh xạ vào những ký hiệu vector và đưa vào trực tiếp cho khối tiền mã hóa như hình vẽ 3.2. the transmitter, and they can both agree on a precoding algo- rithm The capacity of the channel with CSIT (now denoted by

U) can then be achieved by a single Gaussian codebook designed for a channel without CSIT, provided that the code symbols are dynamically scaled by a power-allocation function determined by the CSIT

, ( 10 ) where the expectation is taken over the joint distribution of h and U In other words, the combination of this power-allocation function f ( U ) and the channel creates an effective channel, out- side of which coding can be applied as if the transmitter had no CSIT This insight, in fact, can be traced back to Shannon in [4].

For a scalar fading channel, therefore, the optimal use of CSIT is for temporal power allocation.

This result has been subsequently extended to the MIMO fad- ing channel [6] Under similar assumptions, the capacity-optimal input signal with CSIT can be decomposed as the product of a codeword optimal for a channel without CSIT and a weighting matrix dependent on the CSIT The optimal use of CSIT is now linear precoding, which allocates power in both spatial and tem- poral dimensions In other words, the capacity-optimal signal is zero-mean Gaussian distributed with the covariance determined by means of the precoding matrix This optimal configuration is shown in Figure 5.

These results establish important properties of capacity- optimal signaling for a fading channel with CSIT First, it is optimal to separate the function that exploits CSIT and the channel code, which is designed for a channel without CSIT. Second, a linear precoder is optimal for exploiting the CSIT. These separation and linearity properties are the guiding prin- ciples for MIMO frequency-flat precoder designs In particular, this article focuses on designing a precoder based on the CSIT, given predetermined channel coding and detection technique. Before discussing about specific designs, however, the structure of a system with precoding is analyzed next.

The transmitter in a system with precoding consists of an encoder and a precoder, as depicted in Figure 5 The encoder intakes data bits and performs necessary coding for error correc- tion by adding redundancy, then maps the coded bits into vector symbols The precoder processes these symbols before transmis- sion from the antennas At the other side, the receiver decodes the noise-corrupted received signal to recover the data bits, treating the combination of the precoder and the channel as an effective channel The structures of these processing blocks are discussed in detail next.

An encoder contains a channel coding and interleaving block and a symbol-mapping block, delivering vector symbols to the pre- coder We classify two broad structures for the encoder: spatial multiplexing and ST coding, based on the symbol mapping block. The spatial multiplexing structure de-multiplexes the output bits of the channel coding and interleaving block to generate inde- pendent bit streams These bit streams are then mapped into vec- tor symbols and fed directly into the precoder, as shown in Figure 6 Since the streams are independent with individual SNR, per-stream rate adap- tation can be used.

In ST coding structure, on the other hand, the output bits of the channel coding and interleaving block are first mapped directly into symbols. These symbols are then processed by a

ST encoder (such as in [38], [39]), pro- ducing vector symbols as input to the precoder, shown in Figure 7 If the ST code is capacity lossless for a channel with no CSIT (for example, the Alamouti code for a 2 × 1 channel [38]), then this structure is also capac- ity optimal for the channel with CSIT. The ST coding structure contains a single data stream; hence, only a single rate adap- tation is necessary The rate is controlled by the FEC-code rate and the constellation design.

The difference between these two encoding structures therefore lies in the temporal dimen- sion of the symbol-level code Spatial multiplexing spreads symbols over the spatial dimension alone,

[FIG5] An optimal configuration for exploiting CSIT

[FIG7] A space-time (ST) encoding structure

IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE [92] SEPTEMBER 2007

Authorized licensed use limited to: QUEENSLAND UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Downloaded on July 31,2010 at 16:34:04 UTC from IEEE Xplore Restrictions apply

Hình 3.2: Cấu trúc mã hóa hợp kênh không gian [5, 6]

Trong cấu trúc mã hóa ST, dòng bit ra của mã hóa kênh và khối interleaving trước hết ánh xạ trực tiếp thành các ký hiệu Những ký hiệu này sau đó được xử lý bằng mã hóa ST (như trình bày trong chương 2 là một ví dụ) tạo nên các ký hiệu vector và đưa vào bộ tiền mã hóa như hình vẽ 3.3.

U) can then be achieved by a single Gaussian codebook designed for a channel without CSIT, provided that the code symbols are dynamically scaled by a power-allocation function determined by the CSIT

, ( 10 ) where the expectation is taken over the joint distribution of h and U In other words, the combination of this power-allocation function f ( U ) and the channel creates an effective channel, out- side of which coding can be applied as if the transmitter had no CSIT This insight, in fact, can be traced back to Shannon in [4].

For a scalar fading channel, therefore, the optimal use of CSIT is for temporal power allocation.

This result has been subsequently extended to the MIMO fad- ing channel [6] Under similar assumptions, the capacity-optimal input signal with CSIT can be decomposed as the product of a codeword optimal for a channel without CSIT and a weighting matrix dependent on the CSIT The optimal use of CSIT is now linear precoding, which allocates power in both spatial and tem- poral dimensions In other words, the capacity-optimal signal is zero-mean Gaussian distributed with the covariance determined by means of the precoding matrix This optimal configuration is shown in Figure 5.

These results establish important properties of capacity- optimal signaling for a fading channel with CSIT First, it is optimal to separate the function that exploits CSIT and the

These separation and linearity properties are the guiding prin- ciples for MIMO frequency-flat precoder designs In particular, this article focuses on designing a precoder based on the CSIT, given predetermined channel coding and detection technique. Before discussing about specific designs, however, the structure of a system with precoding is analyzed next.

The transmitter in a system with precoding consists of an encoder and a precoder, as depicted in Figure 5 The encoder intakes data bits and performs necessary coding for error correc- tion by adding redundancy, then maps the coded bits into vector symbols The precoder processes these symbols before transmis- sion from the antennas At the other side, the receiver decodes the noise-corrupted received signal to recover the data bits, treating the combination of the precoder and the channel as an effective channel The structures of these processing blocks are discussed in detail next.

An encoder contains a channel coding and interleaving block and a symbol-mapping block, delivering vector symbols to the pre- coder We classify two broad structures for the encoder: spatial multiplexing and ST coding, based on the symbol mapping block. The spatial multiplexing structure de-multiplexes the output bits of the channel coding and interleaving block to generate inde- pendent bit streams These bit streams are then mapped into vec- tor symbols and fed directly into the precoder, as shown in Figure 6 Since the streams are independent with individual SNR, per-stream rate adap- tation can be used.

In ST coding structure, on the other hand, the output bits of the channel coding and interleaving block are first mapped directly into symbols. These symbols are then processed by a

Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính

Ta xét cấu trúc tiền mã hóa tuyến tính cho STBC Một bộ tiền mã hóa tuyến tính có chức năng giống như một bộ tổ hợp tạo dạng và bộ tạo chùm chia nhiều chế độ cùng với sự cấp phát công suất cho từng dòng Khai triển một ma trận tiền mã hóa:

Hướng của các chùm trực giao là UF, trong đó mỗi cột của ma trận này biểu diễn một hướng của chùm Công suất của mỗi các chùm trực giao làD 2 Ma trận VF trộn các ký hiệu đầu vào bộ tiền mã hóa để cho vào mỗi chùm và do đó nó được đề cập đến như là ma trận tạo dạng đầu vào Cấu trúc này được minh họa như hình 3.4. resulting in a one-symbol-long input block, while ST coding usual- ly spreads symbols over both the spatial and the temporal dimen- sions While these two structures have different implications on rate adaptation, this issue is not discussed in this article.

Therefore, for precoding analysis and design, we will treat spatial multiplexing as a special case of ST coding with the block length of one Assuming a Gaussian-distributed codeword C of size N × T with a zero mean, we define the codeword covariance matrix as

, ( 11 ) where P is the transmit power (here we assume that the code- word has been scaled by the transmit power, so this definition provides the normalized covariance), and the expectation is taken over the codeword distribution When C is spatial multi- plexing, Q = I.

Of particular interest is ST block code (STBC), usually designed to capture the spatial diversity in the channel, assum- ing no CSIT Diversity determines the slope of the error proba- bility versus the SNR and is related to the number of spatial links that are not fully correlated [42] High diversity is useful in a fading link since it reduces the fade margin, which is needed to meet required link reliability A STBC can be charac- terized by its diversity order; a full-diversity code achieves the maximum diversity MN in a channel with N transmit and M receive antennas There is, however, a fundamental trade-off between the diversity and the multiplexing orders in ST coding

[43] The multiplexing order relates to rate-adaptation; it is the scale at which the transmission rate asymptotically increases with the SNR A fixed-rate system therefore has a zero multi- plexing order (Recently there has been new development of the diversity-multiplexing trade-off at finite [low] SNRs with a mod- ified definition of multiplexing order [46].) Without CSIT, STBC design achieving the optimal diversity-multiplexing trade-off is an active research area (see [44], [45] for some examples).

With CSIT, on the other hand, precoding focuses on extracting a coding gain (an SNR advantage) from the CSIT; hence it is independent of, and complementary to, the diversity-multi- plexing trade-offs for ST codes.

The precoder is a separate transmit processing block from chan- nel and ST coding It depends on the CSIT, but a linear precoder has a general structure A linear precoder functions as a combi- nation of an input shaper and a multimode beamformer with per-beam power allocation Consider the singular value decom- position (SVD) of the precoder matrix

The orthogonal beam directions are the left singular vectors U F , of which each column represents a beam direction (pattern).

Note that U F is also the eigenvectors of the product FF ∗ , thus the structure is often referred to as eigen-beamforming The beam power loadings are the squared singular values D 2 The right singular vectors V F mix the precoder input symbols to feed into each beam and hence is referred to as the input shaping matrix This structure is illustrated in Figure 8 To conserve the total transmit power, the precoder must satisfy tr ( FF ∗ ) = 1 ( 13 )

In other words, the sum of power over all beams must be a con- stant The individual beam power, however, can differ according to the SNR, the CSIT, and the design criterion.

Essentially, a precoder has two effects: decoupling the input signal into orthogonal spatial modes, in the form of eigen- beams, and allocating power over these beams, based on the CSIT If the precoded, orthogonal spatial-beams match the chan- nel eigen-directions (the eigenvectors of H ∗ H ), there will be no interference among signals sent on different modes, thus creat- ing parallel channels and allowing transmission of independent signal streams This effect, however, requires the full channel knowledge at the transmitter With partial CSIT, the precoder tries to approximately match its eigen-beams to the channel eigen-directions and therefore reduces the interference among signals sent on these beams This is the decoupling effect.

Moreover, the precoder allocates power on the beams For orthogonal eigen-beams, if all the beams have equal power, the total radiation pattern of the transmit antenna array is isotropic.

Figure 9(a) shows an example of this pattern using a uniform linear antenna array If the beam powers are different, however, the overall transmit radiation pattern will have a specific, non- circular shape, as shown in Figure 9(b) By allocating power, the precoder effectively creates a radiation shape to match to the channel based on the CSIT, so that higher power is sent in the directions where the channel is strong and reduced or no power in the weak More transmit antennas will increase the ability to finely shape the radiation pattern and therefore will likely to deliver more precoding gain.

[FIG8] A linear precoder structure as a multimode beamformer

IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE [93] SEPTEMBER 2007

Authorized licensed use limited to: QUEENSLAND UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Downloaded on July 31,2010 at 16:34:04 UTC from IEEE Xplore Restrictions apply

Hình 3.4: Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính [5, 6] Để bảo toàn tổng năng lượng phát, bộ tiền mã hóa phải thỏa mãn: tr(F F ∗ ) = 1 (3.2)

Nói cách khác, tổng công suất trên tất cả các chùm là một hằng số Tuy nhiên, công suất của các chùm riêng lẻ là khác nhau tùy thuộc vàoSNR, SCIT và các tiêu chí thiết kế.

Cấu trúc thu

Xét một hệ thống với một bộ lập mã tạo nên một từ mã Cvà một bộ tiền mã hóa

F tại phía phát như được mô tả trong hình 3.1 Ở phía thu, tín hiệu nhận được có dạng:

Y=HFC+N (3.3) trong đó N là một vector của các nhiễu Gauss trắng cộng tính Qua công thức trên, ta thấy rằng, trong hệ thống có tiền mã hóa thì HF được phía thu đối xử như là ma trận kênh hiệu dụng.

Phía thu phát hiện và giải mã tín hiệu nhận được để thu được một ước lượng của từ mã đã phátC Phía thu có thể sử dụng một trong số các phương pháp phát hiện, dựa vào mức độ thực hiện và độ phức tạp thuật toán yêu cầu Thuật toán giải mã trên cơ sở

MLsẽ thu được từ mã thỏa mãn:

Thiết kế tiền mã hóa tối ưu

Một bộ tiền mã hóa tuyến tính bao gồm một ma trận tạo dạng đầu vào, một ma trận tạo các chùm và cấp phát năng lượng trên các chùm này Ma trận tạo dạng đầu vào tối ưu chỉ phụ thuộc vào mã đầu vào bộ tiền mã hóa Ma trận tạo các chùm phụ thuộc vàoCSIT và bộ cấp phát năng lượng phụ thuộc vào cả từ mã và CSIT.

Ta quan tâm đến ma trận tạo dạng đầu vào vì liên quan trực tiếp đến việc thiết kế STBC Bộ mã hóa tạo dạng ma trận hiệp phương sai của từ mã đưa đến bộ tiền mã hóa.

Bộ tiền mã hóa tương ứng chọn ma trận tạo dạng đầu vào để phù hợp với hiệp phương sai này Gọi ma trận hiệp phương sai của từ mã là Q và giả sử có khai triển trị riêng

Q=U Q Σ Q U Q , ma trận tạo dạng đầu vào tối ưu sẽ là:

Ma trận tạo dạng đầu vào này là kết quả trực tiếp từ ma trận Q, trong nhiều công trình thiết kế tiền mã hóa cho STBC, giả thiết đưa ra là Q được xác định từ trước và không là tham số thiết kế Ma trận hiệp phương saiQđặc trưng cho từ mã của hệ thống.

Bằng việc phù hợp hiệp phương sai từ mã đầu vào, bộ tiền mã hóa làm phù hợp với tín hiệu đầu vào và lựa chọn tối ưu năng lượng đầu vào.

Một số vấn đề cần bàn luận

Trong hệ thống MIMO, khối phát trong cấu trúc khai thác CSIT đầy đủ bao gồm mã hóa kênh, mã hóa STBC và tiền mã hóa Các kỹ thuật này có chung một mục đích là giảm tỷ lệ lỗi, tăng dung lượng và hiệu suất đường truyền.

Với cấu trúc STBC hoàn hảo, trong một hệ thống có tiền mã hóa tuyến tính (lúc đó ta phân tích và xem xét HF như là kênh hiệu dụng) thì phía thu vẫn có thể sử dụng giải mã hình cầu, đây mà một lợi thế của mã lưới Hiện nay, các nghiên cứu tiền mã hóa tuyến tính choSTBC giả thiết đã có mã STBC, và xem đây không phải là tham số thiết kế Tôi nghĩ rằng, việc thiết kế đồng thời mã STBC và tiền mã hóa tuyến tính có thể thực hiện được vì hai kỹ thuật này có một số tiêu chí giống nhau (ví dụ xác suất lỗi cặp) Nếu thiết kế đồng thờiSTBC và tiền mã hóa tuyến tính thì có thể làm giảm những ràng buộc khá khắt khe của mãSTBC hoàn hảo, do đó số lượng các bộ mã thỏa mãn yêu cầu thiết kế hệ thống sẽ nhiều hơn.

Khi có thêm mã hóa kênh, số bits thực mang thông tin trong một ký hiệu là ít so với kích thước ký hiệu nhưng lại yêu cầu phía thu xử lý nhiều hơn Do đó, nếu sử dụng cấu trúc lưới, ta có thể áp dụng giải mã hình cầu nhằm giảm khối lượng tính toán ở phía thu.

Khi sử dụng mã lưới, thông tin phát có cấu trúc lưới, một câu hỏi đặt ra là nếu trong môi trường truyền là fading sâu, phía thu chỉ thu được ma trận với số chiều nhỏ hơn ma trận phía phát thì ta có thể dựa vào cấu trúc lưới để khôi phục lại những thông tin đã mất hay không? Ở đây, kỹ thuật lấy mẫu nén (compressed sensing) có thể được áp dụng cho việc khôi phục thông tin đã mất.

Với việc thực hiện luận văn này, tôi đã có được những kiến thức khá chi tiết về mã lưới cho kênh fading Rayleigh đồng thời có một cách nhìn khá toàn diện hệ thống thông tin không dây MIMO, hoàn thiện mục tiêu bước đầu tìm hiểu về hệ thống thông tin không dây. Để nắm bắt vấn đề một cách chi tiết, một việc quan trọng là tìm hiểu công cụ toán học của việc xây dựng mã lưới và mã STBC cho kênh fading Rayleigh đơn antenna và MIMO fading Rayleigh.

Luận văn tập trung tìm hiểu mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna, đặc biệt là mã STBC hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO; luận văn cũng đã bước đầu mô phỏng được hệ thống trong trường hợp đơn giản Kết hợp với những tìm hiểu trong thời gian tới về tiền mã hóa tuyến tính, có thể dẫn ra một ý tưởng nhỏ cho việc kết hợp thiết kế STBC và tiền mã hóa tuyến tính Đây có thể là hướng nghiên cứu tiếp theo của bản thân trong thời gian tới.

[1] C R J Boutros, E Viterbo and J.-C Belfiore, “Good lattice constellations for both rayleigh fading and gaussian channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 42, pp 502–518, 1996.

[2] X Giraud and J C Belfiore, “Constallation mached to the rayleigh fading channel,”

IEEE Transactions on Information Theory, vol 42, pp 106–114, 1996.

[3] J Boutros and E Viterbo, “Signal space diversity: A power and bandwidth efficient diversity technique for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on Informa- tion Theory, 1998.

[4] F O E Bayer-Fluckiger and E Viterbo, “New algebraic constructions of rotated zn-lattice constellations for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on In- formation Theory, 2004.

[5] A P Mai Vu, “Mimo wireless linear precoding,” IEEE Signal Processing Magazine, pp 87–105, 2007.

[6] M Vu, “Exploiting transmit channel side information in mimo wireless systems,”

[7] F Oggier and E Viterbo, “Algebraic number theory and code design for rayleigh fad- ing channels,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, vol 1, 2004.

[8] F Oggier, “Algebraic methods for channel coding,” Ph.D dissertation, Ecole Poly- technique Federare De Lausanne, 2005.

[9] M Pohst, Computational Algebraic Number Theory Verlag, 1993.

[10] E Viterbo and E Biglieri, “A universal lattice decoding algorithm for lattice codes,” pp 611–614, 1993.

[11] F O J C Belfiore and E Viterbo, “Cyclic division algebras: a tool for space-time coding,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, 2007.

[12] N S Vahid Tarokh and A R Calderbank, “Space-time codes for high data rate wireless communication: Performance criterion and code construction,” IEEE Trans- actions on Information Theory, vol 44, pp 744–765, 1998.

[13] J.-C Belfiore and G Rekaya, “Quaternionic lattices for space-time coding,”ITW2003, 2003.

[14] G R Jean-Claude Belfiore and E Viterbo, “The golden code: A 2 x 2 full-rate space-time code with nonvanishing determinants,”IEEE Transactions on information theory, vol 51, pp 1432–1436, 2005.

[15] J.-C B Yi Hong, Emanuele Viterbo, “Golden space-time trellis coded modulation,”

IEEE Transactions on Information Theory, 2007.

[16] J H Conway and N J A Sloane,Sphere Packings, Lattices and Groups Springer- Verlag, New York, 1988.

[17] H Cohn,Advanced Number Theory Dover Publications, New York, 1980.

[18] A Weil,Basic number theory Springer-Verlag, New York, 1974.

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI

Phần phụ lục này trình bày cơ sở toán học của mã lưới: Những khái niệm cơ bản về lý thuyết lưới [7, 16] và lý thuyết số đại số (Algebraic number theory) [7, 17, 18] là cơ sở của mã lưới cho hệ thống đơn antenna; đại số vòng chia được (Cyclic Division Algebras)[11] là công cụ xây dựng mã STBC cho hệ thống MIMO.

Một số định nghĩa toán học cơ bản Định nghĩa 1.Cho G là một tập hợp với một toán tử trong (ký hiệu là +).

(a, b) 7−→ a+b Hợp(G,+) được gọi là một nhóm nếu:

1 Toán tử có tính chất kết hợp: a+ (b+c) = (a+b) +c ∀a, b, c∈G

2 Tồn tại phần tử trung hòa 0mà a+ 0 = 0 +a=a ∀a ∈G

3 ∀a ∈Gthì tồn tại phần tử ngược −a mà a−a=−a+a= 0

Nhóm G được gọi là Abelian nếu a+b =b+a ∀a, b∈G (Tức là toán tử có tính chất giao hoán). Định nghĩa 2.

Cho (G,+) là một nhóm và H là tập con không rỗng của G Ta nói rằng H là một nhóm con củaG nếu (H,+) là một nhóm trong đó + là toán tử trong được kế tục từG.

Một điểm thú vị của cấu trúc nhóm là một điều chắc chắn rằng với hai thành phần bất kỳ nào trong nhóm thì tổng của chúng luôn thuộc nhóm đó Và do đó ta nói rằngG là một nhóm đóng dưới toán tử nhóm+. Định nghĩa 3 Cho v= (v1, v2, , vm) là một tập vector độc lập tuyến tính thuộc

R n (m≤n) Tập hợp điểm Λ ( xXm i=1 λivi, λi ∈Z

) được gọi là một lưới với số chiềum và {v1, v2, , vm} được gọi là cơ sở của lưới.

Có rất nhiều cách chọn cơ sở của một lưới đã cho.

Một lưới là tập hợp các điểm rời rạc trong R n Điều này có thể dễ dàng thấy được vì nó là các tổ hợp tuyến tính nguyên củav 1 ,v 2 , ,v m Mặt khác, nó là một nhóm con của (R m ,+), do đó tổng hoặc hiệu của hai vector trong một lưới vẫn thuộc lưới đó. Định nghĩa 4.Ô chứa tất cả các điểm θ1v1+θ2v2+ +θnvn, 0≤θi