Mã lưới cho kênh Fading Rayleigh : Luận văn ThS. Kỹ thuật điện tử - Viễn thông: 60 52 70

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TRƯƠNG MINH CHÍNH MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội, 2010 i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TRƯƠNG MINH CHÍNH MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH Lattice coding for Rayleigh fading channels Ngành: Công nghệ Điện tử - Viễn thông Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử Mã số: 60.52.70 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN LINH TRUNG Hà Nội, 10/2010 ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Nguyễn Linh Trung, người hướng dẫn tơi tận tình, chu đáo q trình thực luận văn Sự bảo tận tâm thầy mang lại cho hệ thống phương pháp, kiến thức kỹ quý báu để hồn thiện đề tài cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Nhà trường, q thầy giáo, giáo phịng Đào tạo Sau đại học thầy giáo, cô giáo khoa Điện tử viễn thông, trường đại học Công nghệ, đặc biệt thầy giáo Bộ môn Xử lý thông tin, khoa Điện tử viễn thông người mà thời gian qua dạy dỗ, truyền thụ kiến thức khoa học, giúp bước trưởng thành Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Nhà trường, khoa Vật lý, khoa Sư phạm Kỹ thuật phòng Kế hoạch Tài trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế hỗ trợ suốt thời gian học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình bạn bè - người hỗ trợ nhiều vật chất lẫn tinh thần để tơi học tập đạt kết tốt thực thành công luận văn Luận văn nằm khuôn khổ hỗ trợ đề tài nghiên cứu khoa học số QG.10.44 cấp ĐHQG Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2010 Trương Minh Chính iii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thực Những kết từ tác giả trước mà sử dụng luận văn trích dẫn rõ ràng, cụ thể Khơng có khơng trung thực kết tính tốn Nếu có sai trái, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2010 Học viên Trương Minh Chính iv TĨM TẮT Nhiệm vụ luận văn tìm hiểu mã lưới cho kênh fading Rayleigh, cụ thể tìm hiểu chịm tín hiệu cấu trúc lưới (lattice constellation) cho kênh fading Rayleigh đơn antenna mã Space - Time Blocks Code (STBC) hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO Luận văn vào tìm hiểu mơ hình kênh fading Rayleigh đơn antenna fading Rayleigh MIMO, tiêu chí thiết kế mã lưới, sở toán học thiết kế mã lưới (Algebraic Number Theory Cyclic Division Algebras) xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna, mã STBC hồn hảo cho kênh MIMO Đối với chịm tín hiệu cấu trúc lưới, giải mã hình cầu sở giải mã hợp lẽ cực đại (Maximum Likelihood ) phương thức giải mã tốt Luận văn thực mô mã Golden (là mã STBC hồn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO × 2) mơ so sánh giải mã hình cầu giải mã hợp lẽ cực đại Bên cạnh, luận văn thực mục tiêu phụ bước đầu tìm hiểu tiền mã hóa tuyến tính (linear precoding) với hy vọng tìm thấy mối quan hệ kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính kỹ thuật STBC để từ có hướng phát triển MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii LỜI CAM ĐOAN iii TÓM TẮT LUẬN VĂN iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT DANH SÁCH HÌNH VẼ GIỚI THIỆU MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH 1.1 Mơ hình hệ thống 1.2 Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới 10 1.3 1.4 1.2.1 Các tiêu chí dựa xác suất lỗi cặp 10 1.2.2 Tiêu chí hình dạng chịm lưới 13 Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh 13 1.3.1 Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh 13 1.3.2 Xây dựng mã lưới từ trường vòng 14 Giải mã hình cầu 17 1.4.1 Tổng quan 17 1.4.2 Thuật toán giải mã hình cầu 17 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH MIMO 23 2.1 Mơ hình kênh MIMO fading Rayleigh 23 2.2 Các tiêu chí thiết kế mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO 24 2.3 2.2.1 Các tiêu chí dựa xác suất lỗi 24 2.2.2 Các tiêu chí khác 25 Xây dựng mã STBC hoàn hảo 26 2.3.1 Cách xây dựng mã STBC hoàn hảo 27 2.3.2 Mã Golden 28 2.3.3 Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống × antenna 30 2.3.4 Mã STBC hồn hảo cho hệ thống × antenna 32 2.4 Giải mã 34 2.5 Tính tốn mơ mã golden 35 2.5.1 Tính tốn tham số mô 35 2.5.2 Mô mã Golden 37 TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO 40 3.1 Cấu trúc hệ thống 40 3.1.1 Cấu trúc lập mã 41 3.1.2 Cấu trúc tiền mã hóa tuyến tính 42 3.1.3 Cấu trúc thu 43 3.2 Thiết kế tiền mã hóa tối ưu 43 3.3 Một số vấn đề cần bàn luận 44 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 PHỤ LỤC A CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI 48 PHỤ LỤC B GIẢI MÃ HÌNH CẦU BẰNG MATLAB 61 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỉ R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức OK Vành O trường số K R Phần thực số phức J Phần ảo số phức DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT Danh mục cụm từ viết tắt STT Cụm từ viết tắt Cụm từ đầy đủ Nghĩa tiếng Việt BER Bit Error Rate Tỷ lệ lỗi bit CSI Channel State Information Thơng tin tình trạng kênh CSIT Channel State Information Thơng tin tình trạng kênh biết at the Transmitter phía phát ML Maximum Likelihood Hợp lẽ cực đại MIMO Mutilple input - multiple Nhiều đầu vào - nhiều đầu output QAM Quadrature Amplitude Điều chế biên độ vuông góc Modulation SNR Signal to Noise Ratio Tỷ số tín hiệu nhiễu ST Space - Time Khơng gian - thời gian STBC Space - Time Blocks Code Mã khối không gian - thời gian DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Mơ hình kênh 1.2 Mơ hình hệ thống truyền dẫn 1.3 Hình cầu bao gồm điểm phải đếm 19 1.4 Hình cầu chuyển thành hình elipsoid miền lưới nguyên 20 1.5 Hình elipsoid với tọa độ nguyên đếm 20 1.6 Lưu đồ thuật tốn giải mã hình cầu 22 2.1 Mô mã Golden cho hệ thống fading Rayleigh MIMO × 2.2 So sánh giải mã hình cầu giải mã ML 38 3.1 Cấu trúc hệ thống khai thác CSIT 41 3.2 Cấu trúc mã hóa hợp kênh khơng gian 41 3.3 Cấu trúc STBC 42 3.4 Cấu trúc tiền mã hóa tuyến tính 42 38 49 Một điểm thú vị cấu trúc nhóm điều chắn với hai thành phần nhóm tổng chúng ln thuộc nhóm Và ta nói G nhóm đóng tốn tử nhóm + Định nghĩa Cho v = (v1 , v2 , , vm ) tập vector độc lập tuyến tính thuộc Rn (m ≤ n) Tập hợp điểm m Λ= x= i=1 λi vi , λi ∈ Z gọi lưới với số chiều m {v1 , v2 , , vm } gọi sở lưới Có nhiều cách chọn sở lưới cho Một lưới tập hợp điểm rời rạc Rn Điều dễ dàng thấy tổ hợp tuyến tính nguyên v1 , v2 , , vm Mặt khác, nhóm (Rm , +), tổng hiệu hai vector lưới thuộc lưới Định nghĩa Ô chứa tất điểm θ1 v1 + θ2 v2 + + θn , ≤ θi < gọi ô sở lưới Cho tọa độ vector sở sau: v1 = (v11 , v12 , , v1n ) v2 = (v21 , v22 , , v2n ) vm = (vm1 , v22 , , vmn ) n ≥ m Định nghĩa Ma trận  v11 v12 v1n    v21 v22 v2n M =    vm1 vm2 vmn gọi ma trận sinh (generator matrix ) lưới         Ma trận G = M M T gọi ma trận Gram lưới, (.)T biểu diễn ma trận chuyển vị 50 Một cách ngắn gọn, lưới định nghĩa qua ma trận sinh sau: Λ = {x = λM | λ ∈ Zm } Định nghĩa Định thức lưới định nghĩa định thức ma trận G det (Λ) = det (G) Đây đại lượng bất biến lưới, khơng phụ thuộc vào việc chọn sở lưới Vì ma trận G xác định G = M M T , M chứa vector sở {vi }ni=1 , phần tử (i, j) G tích vi , vj = vi viT Định nghĩa Một lưới Λ gọi lưới nguyên ma trận Gram có hệ số nguyên Trong trường hợp m = n (lúc lưới gọi có bậc đầy đủ − full-rank lattice), ma trận M ma trận vng ta có: det (Λ) = (det (M ))2 Định nghĩa Đối với lưới có bậc đầy đủ, bậc hai định thức volume ô sở, gọi volume lưới ký hiệu vol (Λ) Cho Λ lưới với số chiều n định nghĩa đa thức sinh M Định nghĩa Cho B ma trận ngun kích thước n × n Một lưới Λ Λ định nghĩa là: Λ = {x = λBM | λ ∈ Zm } Vì lưới có cấu trúc nhóm, Λ nhóm Λ Định nghĩa 10 Cho G nhóm H nhóm G Cho a ∈ G Tập con: a + H = {a + h, h ∈ H} Tương ứng H + a = {h + a, h ∈ H} 51 gọi tập cộng bên trái (bên phải) G với module H Nếu G có tính chất Abilian việc phân biệt tập cộng bên trái hay bên phải G module H không cần thiết Định nghĩa 11 Cho lưới Λ, lưới tỷ lệ (scaled lattice) nhận cách nhân tất vector lưới với hệ số: Λ = c.Λ c ∈ R Nếu c ∈ Z Λ lưới Λ Định nghĩa 12 Nếu lưới nhận từ lưới khác phép quay, phép đối xứng thay đổi tỷ lệ gọi lưới tương đương (equivalent) Một số vấn đề lý thuyết số đại số Trường số đại số Định nghĩa 13 Cho A tập hợp với hai toán tử trong, biểu diễn + · Tập hợp (A, +, ·) vành nếu: (A, +) nhóm Abelian Tốn tử · có tính chất kết hợp có phần tử trung hịa Có tính chất phân phối phép + phép · Vành A giao hoán a · b = b · a, ∀a, b ∈ A Tập hợp phần tử thuộc A có phần tử nghịch đảo phép · gọi tập units A ký hiệu A∗ Định nghĩa 14 Cho A vành mà A∗ = A \ {0}, ta nói A khơng giao hốn Nếu A có tính chất giao hốn A gọi trường Ví dụ tập hợp Q trường 52 Ví dụ khác: Các trường xây dựng từ trường Q Ví số √ khơng phải phần tử Q Chúng ta tạo trường thêm tất bội số lũy √ √ √ thừa vào Q Và trường chứa Q 2, biểu diễn Q Chúng ta gọi mở rộng Q Định nghĩa 15 Cho K L hai trường Nếu K ⊆ L ta nói L mở rộng trường K biểu diễn L/K Chú ý ta có L/K L có chất không gian vector K Theo √ √ √ ví dụ trên, x ∈ Q x = a + b 2, 1, vector sở √ a b thành phần vơ hướng Như Q coi không gian vector với số chiều Định nghĩa 16 Cho L/K mở rộng trường Số chiều L coi không gian K gọi bậc (degree) L K ký hiệu [L : K] Nếu [L : K] hữu hạn ta nói L mở rộng hữu hạn K Định nghĩa 17 Một mở rộng trường Q gọi trường số (number field ) √ Trở với ví dụ trước, nhận thấy nghiệm phương trình X −2 = √ Như vậy, để xây dựng Q , thêm vào Q nghiệm phương trình với √ hệ số nguyên Số gọi algebraic Định nghĩa 18 Cho L/K mở rộng trường cho α ∈ L Nếu tồn đa thức lồi bất khả quy hệ số khác : p ∈ K [X] mà p (α) = α gọi algebraic K Đa thức gọi minimal polynomial α K ký hiệu pα √ Ví dụ đa thức X − = minimal polynomial Q Định nghĩa 19 Nếu tất thành phần K algebraic, nói K mở rộng đại số Q √ √ = a + b , a, b ∈ Q Đơn giản để thấy α ∈ Q √ nghiệm đa thức pα (X) = X − 2aX + a2 − 2b2 với hệ số hữu tỉ Như Q Xét trường Q √ 53 mở rộng đại số Q Chú ý: Có thể chứng minh mở rộng hữu hạn mở rộng đại số ta gọi trường số algebraic number field (trường số đại số) Định lý Nếu K trường số, K = Q (θ), θ ∈ K gọi phần tử nguyên thủy (primitive element) Như hệ quả, K không gian vector sinh từ Q lũy thừa θ Nếu K có bậc n {1, θ, θ2 , , θn−1 } sở K bậc đa thức tối thiểu θ n Định nghĩa 20 Chúng ta nói α ∈ K algebraic nguyên nghiệm đa thức lồi với hệ số thuộc Z Tập hợp algebraic nguyên K gọi vành nguyên K, ký hiệu OK Thực tế algebraic nguyên trường K tạo nên vành, nhiên không đề cập đến cách chứng minh Định lý Nếu K trường số K = Q (θ) algebraic nguyên θ ∈ OK Nói cách khác, ln tìm thấy phần tử nguyên thủy algebraic nguyên, đó, đa thức tối thiểu pθ (X) có hệ số thuộc Z Cơ sở nguyên phép nhúng tắc Trong phần tiếp theo, xem xét cấu trúc OK vành nguyên trường số Chúng ta xác định hai thành phần bất biến trường số biệt √ thức (discriminant) ký số (signature) Trong trường hợp đặc biệt K = Q , OK có sở Z, lúc gọi OK Z−module Định lý Cho K trường số với bậc n Vành nguyên OK K tạo nên Z−module tự bậc n Điều có nghĩa là: Nếu K trường số OK có sở ngun n thành phần Z 54 Định nghĩa 21 Cho {ωi }ni=1 sở Z−module OK , viết phần tử OK dạng n i=1 ωi với ∈ Z Ta nói {ωi }ni=1 sở nguyên K Định nghĩa 22 Cho K/Q L/Q hai mở rộng trường Q Chúng ta gọi ϕ : K → L Q− homomorphism ϕ phép đồng cấu vành thỏa mãn: ϕ (a) = a với a ∈ Q Nhắc lại A B hai vành, phép đồng cấu vành ψ : A → B thỏa mãn: • ψ (a + b) = ψ (a) + ψ (b) • ψ (a.b) = ψ (a) ψ (b) • ψ (1) = Định nghĩa 23 Một Q-homomorphism ϕ : K → C gọi phép nhúng (embedding) K vào C Định lý Cho K = Q (θ) trường số bậc n Q Có xác n phép nhúng K vào C: σi : K → C, i = 1, , n định nghĩa σi = θi θi nghiệm phân biệt thuộc C đa thức tối thiểu θ Q Chú ý σ1 = θ1 = θ σ1 ánh xạ đồng (identity map): σ1 (K) = K Khi áp dụng phép nhúng σi đối x thuộc K x = n k=1 ak θk ak ∈ Q nhận (Áp dụng tính chất phép đồng cấu) n n k σi (α) = σi a θk k=1 ak θik = k=1 ảnh x qua phép nhúng xác định C θi Với khái niệm phép nhúng, xác định hai đại lượng quan trọng xem xét lưới đại số, gọi norm trace phần tử đại số Định nghĩa 24 Cho x ∈ K Các thành phần σ1 (x) , σ2 (x) , , σn (x) gọi liên hợp x và: n n N (x) = σi (x) i=1 Tr (x) = σi (x) i=1 55 gọi norm trace x Để tránh nhầm lẫn, ta sử dụng ký hiệu NK/Q TrK/Q Định lý Với ∀x ∈ K, có N (x) Tr (x) thuộc Q Nếu x ∈ OK , có N (x) Tr (x) thuộc Z Định nghĩa 25 Cho {ω1 , ω2 , , ωn } sở nguyên K Biệt thức (discriminant) K định nghĩa là: dK = det (σj (ωi ))ni,j=1 Có thể chứng minh rằng, biệt thức độc lập việc chọn sở Định lý Biệt thức trường số số nguyên Định nghĩa 26 Cho {σ1 , σ2 , , σn } n phép nhúng K vào C Cho r1 số số lượng phép nhúng có ảnh thuộc R, 2r2 số lượng phép nhúng với ảnh C r1 + 2r2 = n Cặp (r1 , r2 ) gọi ký số (signature) K Định nghĩa 27 Chúng ta xếp thứ tự σi cho với ∀x ∈ K, σi (x) ∈ R, ≤ i ≤ r1 , σj+r2 (x) liên hợp phức σj (x) với r1 + ≤ j ≤ r1 + r2 Chúng ta gọi phép nhúng tắc: σ : K → K r1 × C2r2 xác định bằng: σ (x) = (σ1 (x) , , σr1 (x) , σr1 +1 (x) , , σr1 +2r2 (x)) ∈ K r1 × C2r2 Nếu đồng K r1 × C2r2 với Rn phép nhúng tắc viết là: σ : K → Rn σ (x) = (σ1 (x) , , σr1 (x) , Rσr1 +1 (x) , Jσr1 +1 (x) , Rσr1 +r2 (x) , Jσr1 +r2 (x)) ∈ Rn Trong R biểu diễn phần thực cịn J biểu diễn phần ảo 56 Lưới đại số Định lý Cho {ω1 , ω2 , , ωn } sở nguyên K n vector vi = σ (ωi ) ∈ Rn , i = 1, 2, , n độc lập tuyến tính, chúng xác định lưới đại số có bậc đầy đủ Λ = Λ (OK ) = σ (OK ) Trở lại khái niệm trước lưới: Λ = {x = λM ∈ Rn | λ ∈ Zn } Đa thức sinh M viết tường minh sau:  σ (ω ) σr1 (ω1 ) Rσr1 +1 (ω1 ) Jσr1 +1 (ω1 ) Rσr1 +r2 (ω1 ) Jσr1 +r2 (ω1 )  1   σ1 (ω2 ) σr1 (ω2 ) Rσr1 +1 (ω2 ) Jσr1 +1 (ω2 ) Rσr1 +r2 (ω2 ) Jσr1 +r2 (ω2 )     σ1 (ωn ) σr1 (ωn ) Rσr1 +1 (ωn ) Jσr1 +1 (ωn ) Rσr1 +r2 (ωn ) Jσr1 +r2 (ωn )         (5) vi hàng M Với ma trận sinh lưới cho trên, tính định thức lưới Định lý Cho dK biệt thức thức K, Volume ô sở Λ là: vol (Λ) = |det (M )| = 2−r2 |dK | (6) đó: det (Λ) = 2−2r2 |dK | Định lý Lưới đại số có độ đa dạng là: L = r1 + r2 Hệ quả: Lưới đại số xây dựng trường số thực có độ đa dạng lớn bằng: L=n Vấn đề cốt lõi cho việc xây dựng lưới đại số tồn Z− basis K Vì biết OK có sở thế, nhúng vào Rn để nhận lưới đại số Tuy nhiên, tồn tập khác OK có cấu trúc Nó gọi Ideal OK 57 Định nghĩa 28 Một Ideal I vành giao hoán R nhóm cộng R mà bền vững phép nhân với R Có nghĩa là: aI ⊆ I, ∀a ∈ R Trong tất ideal vành, số có tính chất đặc biệt sinh phần tử Chúng ta quam tâm đến Ideal Định nghĩa 29 Một Ideal I R có dạng: I = (x) = (x) R = {xy, y ∈ R, x ∈ I} Ví dụ: Nếu R = Z, có nZ ideal Z với n Định nghĩa 30 Cho I = (x) OK Ideal OK Norm N (I) = |N (x)| Có thể chứng minh tất Ideal OK có Z-basis n thành phần Định lý 10 Tất ideal I = {0} OK có Z − basis {ν1 , , νn } n bậc K Định lý 11 Volume ô sở Λ cho bởi: vol (A ) = |det (M )| = 2−r2 N (I) |dK | Lý thuyết lưới đại số vừa trình bày áp dụng với bậc ký số, nhiên, quan tâm đến việc thu tối đa bậc đa dạng (Vì tiêu chí để thiết kế mã lưới), tơi tập trung vào việc trình bày lưới đại số trường số thực Cho K trường thực bậc n, cho Λ (OK ) lưới đại số xây dựng vành OK Ma trận sinh lưới là:  σ (ω ) σ2 (ω1 ) σn (ω1 )  1   σ1 (ω2 ) σ2 (ω2 ) σn (ω2 )     σ1 (ωn ) σ2 (ωn ) σn (ωn ) Khoảng cách từ x đến là: n d(n) p (0, x) = j=1         n |xj | = j=1 |σj (x)| = |N (x)| 58 với x ∈ OK Vì x = 0, theo định lý N (x) ∈ Z đó: d(n) p (0, x) ≥ Vậy: dp,min (Λ (OK )) = Lưới Ideal Định nghĩa 31 Một lưới Ideal lưới Λ = (I, qβ ) I ⊆ OK ideal OK và: qβ : I × I −→ Z, qβ (x, y) = Tr (βxy) , ∀x, y ∈ I β ∈ K σi (β) > 0, ∀i Cho ω1 , , ωn Z−basic ideal I ⊆ OK Định nghĩa phép nhúng chuẩn vòng sau: σβ : K −→ Rn σβ (x) = β1 σ1 (x) , , βn σn (x) αi = σi (β) , i = 1, , n Sử dụng phép nhúng ma trận sinh lưới Λ = σβ (I) xác định bằng:   √ √ √ β1 σ1 (ω1 ) β2 σ2 (ω1 ) βn σn (ω1 )   √ √   √  β1 σ1 (ω2 ) β2 σ2 (ω2 ) βn σn (ω2 )   M =      √  √ √ β1 σ1 (ωn ) β σ (ω ) β σ (ω )  √ 2 n  n n n β1     n = (σi (ωj ))i,j=1    √  βn (7) Ma trận Gram tương ứng G = M M T = (gij )ni,j=1 gij = Tr (αωi ωj ) Vì ma trận Gram có dạng Tr nên ma trận định nghĩa lưới ideal Trong trường hợp lưới ideal, định thức lưới liên quan đến định thức lưới norm ideal I, cụ thể sau: det (Λ) = N (β) N (I)2 |dK | (8) 59 Định lý 12 Cho I ideal OK , Λ = (I, qβ ) ta có: dp,min (Λ) = det (Λ) dK (9) Cyclic Division Algebras Trường đại số Kết hợp định nghĩa không gian vector với vành, đưa định nghĩa algebra Định nghĩa 32 Một algebra A tập trường K với phép toán: cộng, nhân phép nhân với phần tử K mà có tính chất sau: A không gian vector liên hệ với phép cộng phép nhân với phần tử trường A vành liên hệ với phép cộng phép nhân (λa) b = a (λb) = λ (ab) ∀λ ∈ K, a, b ∈ A Ví dụ: Tập hợp Mn (R) vector kích thước n × n với thành phần số thực algebra R Đây khơng gian vector với số chiều n × n R vành khơng giao hoán với phép cộng phép nhân ma trận Đại số trường số Định nghĩa 33 Một mở rộng trường số L/K mở rộng Galois với đa thức tối giản K mà nghiệm L tất nghiệm thuộc L Nhóm Galois mở rộng trường số L/K ký hiệu Gal (L/K) nhóm tất tự đồng cấu K hợp thành ánh xạ Trong trường hợp nhóm Galois sinh thành phần, có nghĩa tất thành phần nhóm thu lũy thừa thành phần Chúng ta gọi nhóm nhóm vịng (cyclic group) 60 Định nghĩa 34 Một nhóm vịng G nhóm sinh thành phần Viết theo luật nhân có: G = (g, g , , g n−1 , 1) G có n thành phần Ký hiệu G = g Một số vấn đề cyclic algebras Định nghĩa 35 Cho L/K mở rộng Galois bậc n mà nhóm Galois G = Gal (L/K) nhóm vịng với phần tử sinh σ Biển diễn K ∗ phần tử khác K ta chọn phần tử γ ∈ K ∗ Xây dựng algebra không giao hoán, biểu diễn A = (L/K, σ, γ), sau: A = L + ⊕eL ⊕ ⊕ en−1 L e thỏa mãn: en = γ λe = eσ (λ) với λ ∈ L, phép ⊕ biểu diễn phép cộng trực tiếp Một algebra gọi algebra vịng (cyclic algebra) Nó có số chiều L (A : L) = n Từ định nghĩa này, thấy rằng, algebra A định nghĩa tổng trực tiếp L, điều có nghĩa phần tử x ∈ A viết dạng: x = x0 + ex1 + + en−1 xn−1 , xi ∈ L Vì algebra khơng giao hốn, quy tắc λe = eσ (λ) cách tính thành phần e hệ số nhân bên phải Định nghĩa 36 Một division algebra algebra mà tất thành phần khả đảo Một cyclic algebra mà division algebra gọi cyclic division algebra Mệnh đề Cho L/K mở rộng bậc n với nhóm Galois Gal (L/K) = σ Nếu γ, γ , , γ n−1 ∈ K ∗ norm thành phần L (L/K, σ, γ) cyclic division algebra 61 Phụ lục B GIẢI MÃ HÌNH CẦU BẰNG MATLAB %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Đoạn chương trình thực giải mã hình cầu % Input: % Mc: Ma trận sinh lưới, kích thước n × n % C: Bán kính hình cầu % Ygold: Tín hiệu thu, kích thước × n % Output: % Yestimate: Ước lượng tín hiệu thu, kích thước × n %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mc=RR.’*H.’; % Ma trận sinh lưới radius = C; % Bán kính hình cầu p = size(Mc); n = p(1); % Lấy kích thước ma trận sinh G = Mc*Mc.’; rho = Ygold*pinv(Mc); % Ygold vector thu T(n) = radius; mind = radius; S = rho; R = chol(G); Q = zeros(n,n); for k = 1:n % Tính giá trị phần tử Q(i,j) Q(k,k)=R(k,k)ˆ 2; 62 for t = k+1:n Q(k,t) = R(k,t)/R(k,k); end end Yestimate = ones(1,n); d = 0; found = 0; i = n; while(1) % Vịng lặp ngồi L(i) = floor(sqrt(T(i)/Q(i,i))+S(i)); % Tính cận u(i) = ceil(-sqrt(T(i)/Q(i,i))+S(i))-1; % Tính cận while(1) % Vịng lặp u(i) = u(i)+1; if u(i) > L(i) if i == n found = 1; break; % Thốt khỏi vịng lặp else i = i+1; continue; end else if i > e(i) = rho(i) - u(i); T(i-1)=T(i) - Q(i,i)*(S(i) - u(i))ˆ 2; sum = 0; for k = i:n sum = sum + Q(i-1,k)*e(k); end S(i-1) = rho(i-1) + sum; i = i - 1; break; % Thốt khỏi vịng lặp 63 else d = T(n) - T(1) + Q(1,1)*(S(1)-u(1))ˆ 2; if d < mind mind = d; T(n) = d; Yestimate = u; i = n; break; % Thốt khỏi vịng lặp end end end end if found == break; % Thốt khỏi vịng lặp ngồi end end