de hoc sinh gioi huyen toan 8 nam 2014 2015 phong gddt nho quan ninh binh

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2014 – 2015 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 150 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3  a  4a  b) 2a  7a 2b  7ab  2b3   x  1 2x Cho biểu thức: A     :   x x  1  x2  x2  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  A  Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x   x  1 x  1 x    b) 15x 12   1 x  3x  x  x  Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh biểu thúc Q  (a  1)(b  1)(c  1) bình phương số hữu tỷ Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  y  16  Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a  b)3  (b  c)3  (c  a )3  210 Tính giá trị biểu thức B  a  b  b  c  c  a Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, M khác C ) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC , AB chúng cắt AB, AC D E a) Chứng minh tứ giác ADME hình bình hành Xác định vị trí điểm M cạnh BC để hình bình hành ADME hình thoi b) Chứng minh BD.EC  DM ME c) Cho S BDM  9cm , SCME  16cm Tính S ABC ( ký hiệu S diện tích tam giác) d) Chứng minh AM BC  AC.BM  AB.CM Câu (2,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn điều kiện  x  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P  x2  x2   x2  x2 -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2014 - 2015 Đáp án Câu Điểm (2,0 điểm) a) a3  a  4a   a (a  1)  4(a  1)  (a  1)(a  2)(a  2) b) 2a  7a 2b  7ab  2b3 =   a  b   a  ab  b   7ab  a  b    a  b   2a  2b  5ab    a  b   2a  4ab  2b  ab    a  b   2a  a  2b   b  b  2a   2   a  b  2a  b  a  2b  0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 (3,0 điểm)   x  1 2x   :   x x  1  x2  x2  a) A   ĐKXĐ: x  1, x  Câu (5,0điểm)   x   x  x   2(1  x)  (5  x)  x  = A   :   x2  1 2x   x x  1  x2  x2   2 x  =   x  x  2x b) Để A nguyên nguyên   2x ước  2x Ư(2)= 2; 1;1; 2 *)  2x = -1  x  (loại) *)  2x =  x  (TM) 1 *)  2x =  x  (loại) Vậy x  A nhận giá trị nguyên c) A  A   A   A  A  *)  2x = -2  x  (loại) Đối chiếu với ĐKXĐ ta có x  giá trị cần tìm   x   2 x  1  x  a) (1,5 điểm) *) Nếu x  , phương trình cho trở thành  x   x  1 x  1 x      x  1 x    `  x  5x2   x  x  5   x  l     x   tm    x    l  *) Nếu x  , phương trình cho trở thành 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25   x  x  1 x  1 x      x   x  1 x  1 x    4 5    x  1 x    4  x  x     x     vơ nghiệm 2  KL: Phương trình có nghiệm x  2 b) (1,5 điểm) §KX§: x  4 ; x  15x 12 15x 12   1    1 x  3x  x  x   x   (x  1) x  x  Câu (4,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,5  15x  12  x  1   x    x  3x  0,25 x   x  4x   x  x       x  4 0,25 x = (thỏa mãn ĐK) ; x = - (không thỏa mãn ĐK) Vậy pt có nghiệm x  0,25 (1,0 điểm) Vì ab  bc  ca  nên a   a  ab  bc  ca  (a  b)(a  c) 0,25 b   b  ab  bc  ca  (a  b)(b  c) 0,25 2 c   c  ab  bc  ca  (b  c)(c  a ) 2 0,25 Do Q  (a  1)(b  1)(c  1) =  (a  b)(b  c)(c  a)  ĐPCM 2 2 0,25 (1,5 điểm) x  xy  y  16   ( x  y )2  16  y (1) Từ (1) suy 16  y   y  16  y  0 ; 4; ; 16 0,25 *) y   y   x  4 0,25 *) y   y  2  x   ( L) *) y   y  3  x   ( L) *) y  16  y  4  x  8 Vậy Pt cho có cặp nghiệm nguyên (4;0) , (4;0), (8; 4), (8; 4) (1,5 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt a  b  x; b  c  y ; c  a  z  x  y  z   z  ( x  y ) Ta có: x3  y  z  210  x3  y  ( x  y )3  210  3 xy ( x  y )  210  xyz  70 Ta có: x3  y  z  210  x3  y  ( x  y )3  210  3xy ( x  y )  210 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz  70  (2).(5).7 nên 0,5 0,25 x, y, z  2; 5; 7 0,5 A  a  b  b  c  c  a  14 0,25 A E Câu (6,0 điểm) D B M C a) (1,0 điểm) Ta có ME//AB, MD//AC(giả thiết) nên tứ giác ADME hình bình hành Để hình bình hành ADME hình thoi đường chéo AM phân giác   M chân đường phân giác BAC  DAE b) (1,0 điểm)   EMC  , DMB   ECM  (vì đồng vị) Xét BDM MEC có DBM  BDM đồng dạng với MEC (g.g) BD DM    BD.EC  DM ME ME EC 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 c) (2,0 điểm) Từ BDM đồng dạng với MEC theo chứng minh 2 0,5 S MB  MB     BDM        S MEC  MC    MC MB MB     MB  MC  BC 0, Mặt khác MD//AC  BDM  BAC   S BAC  S BDM  MB        S BAC  BC    49   49(cm ) d) (2,0 điểm) Theo chứng minh ADME hình bình hành  DM  AE ME CM   ME.CB  CM AB (1) ME / / AB  AB CB MD BM   MD.BC  AC.BM (2) MD / / AC  AC BC Cộng theo vế (1) (2) ta có BC ( ME  MD)  CM AB  AC.BM  BC ( ME  AE )  CM AB  AC.BM Lại có  AM  ME  AE  BC AM  BC ( ME  AE )  CM AB  AC.BM 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Đặt x  a ,  a  Biểu thức cho trở thành a 1 a a 1 a 2   1 1   2  a 1 a  a 1 a  a 1 a     3 =  2  1    1  (2  a )(1  a)    a (1  a )  P Câu (2,0điểm) 3  2  a  x   Đẳng thức xảy  Vậy Max P = x  x  a  x  *) Vì  a   P    1   a  nên a  a hai số không âm (a   a )  Áp dụng BĐT Cauchy ta có a(1  a)  4  P  2(  1)  2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đẳng thức xảy a   a  a  hay x  Vậy Min P = x  1 x 2 0,25 0,25 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm  ...UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2014 - 2015 Đáp án Câu Điểm (2,0 điểm) a) a3  a  4a ... x   ( L) *) y   y  3  x   ( L) *) y  16  y  4  x  ? ?8 Vậy Pt cho có cặp nghiệm nguyên (4;0) , (4;0), (8; 4), (? ?8; 4) (1,5 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt a  b  x; b  c  y ; c... sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình