giao trinh ky thuat nhiet dien lanh 4815

.Chơng dẫn nhiệt ổn định 9.1 định luật fourier hệ số dẫn nhiệt 9.1.1 Định luật fourier hệ số dẫn nhiệt Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đà chứng minh định luật dẫn nhiệt nh sau: Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ Biểu thức định luật có dạng vectơ là: q = gr adt , dạng vô hớng là: q = gradt = dt tn Theo định luật này, nhiệt lơng Q đợc dẫn qua diện tích F mặt đẳng nhiệt giây đợc tính theo công thức: Q = F t dF n Khi gradt không đổi bề mặt F, công thức có dạng: Q = t dF n Định luật Fourier định luậtcơ để tính lợng nhiệt trao đổi phơng thức dẫn nhiƯt 9.1.2 HƯ sè dÉn nhiƯt λ HƯ sè cđa định luật Fourier = q , W/mK đợc gọi lµ hƯ sè dÉn nhiƯt gradt HƯ sè dÉn nhiƯt đặc trng cho khả dẫn nhiệt vật Giá trị phụ thuộc vào chất kết cấu vật liệu, vào độ ẩm nhiệt độ, đợc xác định thực nghiệm với vật liệu cho sẵn theo quan hệ với nhiệt độ bảng thông số vật lý vật liệu 9.2 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 9.2.1 Nội dung phơng trình vi phân dẫn nhiệt Phơng trình vi phân dẫn nhiệt phơng trình cân nhiệt cho phân tố nằm hoàn toàn bên vật dẫn nhiệt 9.2.2 Thiết lập phơng trình Xét cân nhiệt cho phân tố dV bên vật dẫn, có khối lợng riêng , nhiệt dung riêng Cv, hệ số dẫn nhiệt , dòng nhiệt phân tố q , công suất phát nhiệt qv 95 Theo định luật bảo toàn lợng, ta có: [Độ biến thiên nội dV] = [Hiệu số nhiệt lợng (vào-ra) dV] + [lợng nhiệt sinh dV], tức là: t = −divq.dV.dτ + q v dV.dτ , ∂τ ρ.dV.C v hay: q ∂t = divq + v ∂τ ρ.C v .C v Theo định luật fourier q = gr adt, λ = const ta cã: divq = div(−λgr adt ) = −λdiv(gr adt ) Trong ®ã: Div(gr a dt) = ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=∇ t, ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ Víi: ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ + + , (trong toạ dộ vuông gãc víi x, y, z) ⎪ ∂x ∂y ∂z ∇ t=⎨ t t ∂2t ∂2t ∂ ∂ ⎪ + + + , (trong to¹ dé trô r, ϕ, z) ⎪⎩ ∂r r ∂r r z Phơng trình vi phân dẫn nhiệt phơng trình kết hợp hai định luật nói trên, có dạng: q q t = ∇ t + v = a⎜ ∇ t + v ⎟ ∂τ ρ.C v ρ.C v λ ⎠ với a = , m2/s., đợc gọi hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc trng cho mức độ .C v tiêu tán nhiệt vật 9.2.3 Các dạng đặc biệt phơng trình vi phân dẫn nhiệt với qv = Khi vật ổn định nhiệt, t = , phơng trình có dạng t = Trong vách phẳng rộng vô hạn ổn định nhiệt có = const, trờng nhiệt độ t(x) đợc xác d2t = Trong điều kiện = const ổn định nhiệt, định theo phơng trình dx trờng nhiệt độ t(r) vách trụ tròn dàI vô hạn đợc xác định theo phơng trình vi phân dẫn nhiệt toạ độ trụ: d t dt + = dx r dr 9.3 Các điều kiện đơn trị 96 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt nói chung phơng trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn hàm phân bố nhiệt ®é t(x, y, z, τ) NghiƯm tỉng quat cđa nã chứa nhiều số tuỳ ý chọn để xác định nghiệm riêng phơng trình vi phân dẫn nhiệt, cần phải cho trớc số điều kiện, gọi điều kiện đơn trị 9.3.1 Phân loại điều kiện đơn trị Tuỳ theo nội dung, điều kiện đơn trị bao gồm loại sau: - Điều kiện hình học cho biết thông số hình học đủ để xác định kích thớc, hình dạng, vị trí cđa hƯ vËt V - §iỊu kiƯn vËt lý cho biết luật phân bố thông số vật lý theo nhiệt độ điểm M V, tức cho biÕt (ρ, Cv, λ, a ) = f(t, M V) - Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ thời điểm = điểm M V, tức cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z) - Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ cân nhiệt điểm M biên W hệ V thời điểm NÕu ký hiƯu dßng nhiƯt qλ dÉn vËt V ®Õn M ∈ W lµ q λ = −λ ∂t = .t n , điều kiện biên cho ë ∂n d¹ng: t w = t (M, τ) M Ư W, (0, ) q λ = −λt n (M, τ) = q (M, ) Điều kiện hình học, vật lý điều kiện biên cần phải cho trớc toán Riêng điều kiện ban đầu cần cho toán không ổn định 9.3.2 Các loại điều kiện biên Tại mặt biên Wi W = Wi vật V, tuỳ theo cách phân bố nhiệt độ cách trao đổi nhiệt với môi trờng khác nhau, điều kiện biên đợc cho theo loại sau đây: - ĐKB loại 1: cho biết luật phân bố nhiệt ®é t¹i mäi ®iĨm M1 ∈ W1 ë d¹ng: tw1 = t(M1, ) - ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M2 W2 là: q(M2, ) = -.tn.(M2, ) Đặc biệt W2 đợc cách nhiệt tuyệt đối mặt đối xứng toán, tn(M2, ) = hàm t đạt cực trị M2 W2 - ĐKB loại 3: cho biết biên W3 tiếp xúc chất lỏng có nhiệt độ tf với hệ số toả nhiệt luật cân b»ng nhiƯt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ] - ĐKB loại 4: cho biết biên W4 tiếp xúc với môi trờng rắn có phân bố nhiệt độ t4 luật cân nhiệt W4 W4 qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ) 97 - ĐKB loại 5: cho biết biên W5 có trao đổi chất khuyếch tán hay chuyển pha (chẳng hạn hoá lỏng, hoá rắn thăng hoa, kết tinh) Khi biên W5 di chuyển khối lợng vật V thay đổi phơng trình cân nhiệt điểm M5 biên W5 di động có dạng: q = q + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r ρ dx d đó: dx tốc ®é di chun cđa ®iĨm M5 ∈ W5, dτ r nhiệt chuyển pha j/kg - ĐKB loại 6: cho biết biên W6 tiếp giáp với môi trờng chân không, ë ®ã chØ xÈy sù trao ®ỉi nhiƯt b»ng xạ phơng trình cân nhiệt W6 ∈ W6 cã d¹ng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =0T4(M6, ) - ĐKB loại 7: cho biết biên W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiƯt ®é Tk, ë ®ã cã sù trao ®ỉi nhiƯt b»ng c¶ ®èi l−u xạ Phơng trình cân nhiệt W7 ∈ W7 cã d¹ng: qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) T4k] ĐKB loại qui loại viêt phơng trình dạng: q = α(Tw − Tk ) víi α = α + εσ (Tw4 − Tk4 ) /(Tw − Tk ) , đợc gọi hệ số toả nhiệ phức hợp ĐKB loại loại ĐKB không tuyến tính 9.3.3 Mô hình toán dẫn nhiệt Bài toán dẫn nhiệt đợc mô tả hệ phơng trình vi phân (t) gồm phơng trình vi phân dẫn nhiệt phơng trình mô tả đIều kiện đơn trị nh đà nêu mục (9.3): ∂t ⎪ = a∇ t ( t )⎨ ∂τ Các phong trinh mô tả dkdt Giải toán dẫn nhiệt tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) thoả mÃn phơng trình hệ (t) nói 9.4 Dẫn nhiệt ổn định vách phẳng 9.4.1 Vách lớp, biên loại 9.4.1.1 Bài toán Cho vách phẳng rộng vô hạn, dày , (0 x ), làm vật liệu đồng chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt độ hai mặt vách phân bố t1, t2 không đổi Tìm phân bố nhiệt độ t(x) bên vách Bài toán dẫn nhiệt ổn định đợc mô tả hệ phơng trình (t) có dạng: 98 ⎧ d2t ⎪ =0 ⎪ dx ( t ) ⎨ t ( 0) = t ⎪ t ( δ) = t ⎪ ⎩ (1) (2) (3) 9.4.1.2 Tìm phân bố nhiệt độ t(x) Nghiệm tổng quát phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng t(x) = C1x + C2 C¸c h»ng sè C1, C2 đợc xác định theo ĐKB (2) (3): t (0) = C = t ⎪ ( t )⎨ t ( δ ) = C δ + C = t → C = (t − t ) 2 ⎪⎩ δ Vậy phân bố nhiệt độ vách t(x) = t − ( t − t ) x , có dạng đờng thẳng qua điểm (0 t1) (, t2) 9.4.1.3 Tính dòng nhiệt dẫn qua vách Theo định luật Fourier ta có: q = −λ víi R = dt t − t ∆t = , (W/m2), = ρ dx R λ δ , (m2K/W) gọi nhiệt trở vách phẳng 9.4.2 Vách n lớp, biên loại 9.4.2.1 Bài toán 99 Cho vách phẳng n lớp, lớp thứ i dày , có hệ số dẫn nhiệt , mặt biên có nhiệt độ không đổi, phân bố b»ng t0, tn cho tr−íc TÝnh dßng nhiƯt q qua vách nhiệt độ mặt tiếp xúc ti, i = ữ (n-1) 9.4.2.2 Lời giải Khi ổn định, dònh nhiệt q qua lớp không đổi: q= t − t t i − t i +1 t n −1 − t n = = δ1 i n i n Đây hệ n phơng trình đại số tuyến tính ẩn số ti q b»ng c¸ch khư c¸c Èn sè ti, ∀ i = ữ (n-1), tìm đợc: q= t0 tn = n δi ∑ i =1 λ i ∆t , (W/m2) R i Thay q vào lần lợt phơng trình ta tìm đợc nhiệt độ mặt tiÕp xóc: ti = ti-1 - ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = ữ n i Phân bố nhiệt độ lớp thứ I đoạn thẳng có dạng: ti(x) = ti-1 - ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = ÷ n δi 9.4.3 Vách lớp, biên loại 9.4.3.1 Bài toán Cho vách phẳng rộng vô hạn, dày , hệ số dÉn nhiƯt λ = const, mỈt x = tiÕp xóc víi chÊt láng cã nhiƯt ®é tf1 víi hệ số toả nhiệt 1, mặt x = tiếp xóc víi chÊt láng cã nhiƯt ®é tf2 víi hệ số toả nhiệt 2, tìm phân bố nhiệt độ t(x) vách Mô hình toán có dạng: 100 ⎧ d2t ⎪ =0 ⎪ dx dt (0) ⎪ ( t )⎨α [t f − t (0)] = −λ dx ⎪ dt ⎪α [t (δ) − t ] = −λ (δ) f2 ⎪⎩ dx (1) (2) (3) 9.4.3.2 Tìm phân bố t(x) Nghiệm tổng quát (1) là: t(x) = C1x + C2 Các số C1, C2 đợc xác định theo (2) (3): α ( t f − C ) = − λC ⎨ ⎩α (C1δ + C − t f ) = −λC1 Gi¶i hƯ ta đợc: t f1 t f ⎪C1 = λ λ +δ+ ⎪ α1 α2 ⎨ ⎪ λ C1 ⎪ C = t f1 + α2 Do phân bố t(x) có dạng: t (x ) = t f − ⎛ λ ⎞ ⎜⎜ x + ⎟ λ λ ⎝ α ⎟⎠ +δ+ t f1 t f Đồ thị t(x) đoạn thẳng qua điểm ⎛ ⎞ ⎞ λ R ⎜⎜ − , t f ⎟⎟ vµ R ⎜⎜ δ + , t f ⎟⎟ α2 ⎝ α1 ⎝ ⎠ ⎠ đợc gọi điểm định hớng ĐKB loại 9.4.3.3 Tính doang nhiệt q Theo định luật Fourier ta cã: q = −λ t f1 − t f dt , (W/m2), = −λ C1 = δ dx + + α1 λ α Theo biÓu thức t(x) tính nhiệt độ mặt v¸ch theo: t f1 − t f ⎧ ⎪ t w1 = t (0) = t f − αδ α ⎪ 1+ + λ α2 ⎪ ⎨ ⎪t w = t (δ) = t f − t f − t f ⎛⎜ δ + λ ⎞⎟ λ λ ⎜⎝ ⎪ α ⎟⎠ + δ + ⎪ α1 α2 ⎩ 101 9.5 Dẫn nhiệt vách trụ 9.5.1 Trụ lớp, biên loại Bài toán: Cho vách trụ lớp đồng chất, bán kính r1, r2, = const, hai mặt biên có nhiệt độ t1, t2 Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trụ nhiệt lợng ql = Q , (W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ Trong toạ độ trụ, mô hình toán l cã d¹ng: ⎧ d t dt =0 ⎪ + r dr dr ⎪ ( t )⎨ t (r1 ) = t ⎪ t (r ) = t ⎪ ⎩ (1) (2) (3) 9.5.1.2 T×m phân bố t(r) dt phơng trình vi phân dẫn nhiƯt (1) cã d¹ng: dr du u du dr =− + = hay u dr r r §ỉi biến u = Lấy tích phân lần ta có: Lnu = - ln r + ln C1 = ln C1 C dt dt hay = u = → dt = C1 ln r r r dr LÊy tích phân lần ta có nghiệm tổng quát (1) là: t(r) = C1ln r + C2, Các số C1, C2 đợc tính theo ĐKB (2) (3): t − t2 ⎧ C =− t (r1 ) = t = C1 ln r1 + C ⎫ ⎪⎪ r ln ⎬→⎨ t (r2 ) = t = C1 ln r2 + C ⎭ ⎪ r1 ⎪⎩C = t − C1 ln r1 Vậy phân bố nhiệt độ vách trụ cã d¹ng: t (r ) = t − t1 − t r ln r r1 ln r1 Đờng cong t(r) có dạng logarit qua điểm (r1, t1) (r2, t2) 9.5.1.3 Tính nhiệt lợng Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ bán kính r lµ: q = −λ λ( t − t ) , w/m2, C dt = −λ = r dr r r ln r1 102 giảm r tăng Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kÝnh r bÊt kú lµ: (t − t ) Q q.2πrl ∆t , (w/m), = = −2πλC1 = = r Rl l l ln 2πλ r1 Víi R l = ln r2 , (mK/W) lµ nhiƯt trë cđa 1m trơ V× ql = const víi r1 ql = mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên ql đợc coi đại lợng đặc trng cho dẫn nhiệt qua vách trụ 9.5.2 Trụ n lớp biên loại 9.5.2.1 Bài toán Cho v¸ch trơ n líp, b¸n kÝnh r0, r1, ri, rn, cã hÖ số dẫn nhiệt i, có nhiệt độ mặt biên không đổi t0, tn Tìm lợng nhiệt ql , qua 1m dài mặt trụ, nhiệt độ ti, i = ữ (n-1) mặt tiếp xúc phân bố nhiệt độ ti(r) lớp 9.5.2.2 Lời giải Vì ql = const với lớp nên có hệ phơng tr×nh: ql = ( t i −1 − t i ) , ∀i = ÷ n, n ri ln ∑ ri −1 i =1 2πλ i B»ng c¸ch khư (n-1) Èn ti, ∀ i = ÷ (n-1) se thu đợc: (t t n ) , , (W/m) ri ln ∑ ri −1 i =1 πλ i n ®ã: R l = ∑ ln ri , , (mK/W) lµ tỉng nhiƯt trë cđa 1m v¸ch trơ n líp ri −1 i =1 πλ i ql = n TÝnh ti, ∀ i = ữ (n-1) lần lợt theo ql ta đợc: t l = t l −1 − r ln i , ∀i = ÷ (n − 1), 2πλ i ri Phân bố nhiệt độ lớp thø i cã d¹ng: t l (r ) = t l − r t i − t i −1 ln , ∀i = ÷ (n − 1), ri ri ln ri 103 đờng cong logarit đI qua điểm (ri-1, ti-1) (ri, ti) 9.5.3 Vách trụ lớp biên loại 9.5.3.1 Bài toán Tìm phân bố nhiệt độ t(r) vách trụ đồng chất cã r1, r2, λ cho tr−íc, mỈt tiÕp xóc với chất lỏng nóng có tf1, 1, mặt tiếp xóc víi chÊt láng l¹nh cã tf2, α2 Trong to¹ độ trụ, mô hình toán có dạng: d t dt + =0 ⎪ dr r dr ⎪ ( t )⎨ α [t f − t (r1 )] = −λt r (r1 ) ⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) f2 r ⎪ 2 ⎩ (1) (2) (3) 9.5.3.2 Tìm phân bố t(r) Nghiệm tổng quát (1) là: t(r) = C1x + C2 C¸c h»ng sè C1, C2 đợc xác định theo ĐKB (2) (3): C1 ⎧ ⎪⎪ α ( t f − C1 ln r1 − C ) = −λ r ⎨ C1 ⎪α (C1 ln r2 + C − t f ) = −λ ⎪⎩ r2 Gi¶i ta đợc: C1 = t f t f1 ; vµ C2 = tf2 + C1; r2 λ λ + + ln r1 α r1 α r2 VËy: t (r ) = t f − t f1 − t f r λ λ + + ln α r1 α r2 r1 ⎛ r λ ⎞ ⎜⎜ ln + ⎟⎟ r r α 1 ⎠ ⎝ ⎛ λ ⎞ Đồ thị t(r) có dạng loarit tiếp tuyến r1 qua điểm R r1 , t f ⎟⎟ vµ tiÕp α ⎛ λ tuyến r1 qua điểm R r2 + , t f ⎟⎟ α2 ⎝ ⎠ 9.5.3.3 Tính nhiệt lợng q1 Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi bằng: 104 ... dẫn nhiệt phơng trình mô tả đIều kiện đơn trị nh đà nêu môc (9.3): ⎧ ∂t ⎪ = a∇ t ( t ) Các phong trinh mô tả dkdt Giải toán dẫn nhiệt tìm hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) thoả mÃn phơng trình