LỜI NÓI ĐẦU:…………………………………………………………………………………. 3 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ………………………………………………. 8 CHƯƠNG 2: MŨ VÀ LOGARIT CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ……….……………………………………………….. 16 CHỦ ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT…..…………………………….. 33 CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ……...…………………………………….. 41 CHỦ ĐỀ 5: ĐỌC ĐỒ THỊ BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ………………..…..……………………….. 48 CHỦ ĐỀ 6: TƯƠNG GIAO ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM…………………………………….. 54 CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM – SỰ TIẾP XÚC...…………………………………….. 68 CHỦ ĐỀ 8: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………….. 81 CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA………………………….……………………………………………. 95 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨ VÀ LOGARIT…………….………………………………………. 97 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ………. ……………………. 107 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT..……………………. 119 CHỦ ĐỀ 5: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………….. 141 CHỦ ĐỀ 1: MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN………..……………………………………. 150 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM……...…………………………………. 157 CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN CƠ BẢN……………………………………………………………. 164 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN……...……………………………………. 176 CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC CHỦ ĐỀ 5: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN…………………………………. 192 CHỦ ĐỀ 6: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI…………. 206 CHỦ ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC………….………………………………………. 219 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VỚI HỆ SỐ PHỨC..………………………………. 223 CHỦ ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC…...…………………………………. 228 CHỦ ĐỀ 4: MAX – MIN CỦA MODUN SỐ PHỨC…..……………………………………. 237 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Lời giải Chọn A Từ giả thiết 2 f x f x x f x . cos . 1 2 . cos 1 f x f x x f x 2 . d sin 1 f x f x x x C f x Đặt 2 2 2 t f x t f x 1 1 t t f x f x x d d . Thay vào ta được d sin sin t x C t x C 2 1 sin f x x C . Do f 0 3 C 2.Vậy 2 2 2 1 sin 2 sin 4sin 3 f x x f x x x 2 f x x x sin 4sin 3 , vì hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 . Ta có 1 sin 1 6 2 2 x x , xét hàm số 2 g t t t 4 3 có hoành độ đỉnh t 2 loại. Suy ra 1 ;1 2 max g t g 1 8 , 1 ;1 2 1 21 min 2 4 g t g . Suy ra ; 6 2 2 2 2 max f x f , ; 6 2 21 min 6 2 f x g . Lời giải Chọn A Ta có: 2 f x ax bx c 3 2 có 2 3 f x b ac . Hàm số f x nghịch biến trên khi và chỉ khi 2 2 3 0 0 0 f x 0 3 0 3 a a a b ac b ac . VÍ DỤ 1: Cho hàm số f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 , thỏa mãn f 0 3 và 2 f x f x x f x . cos . 1 , 0; 2 x . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f x trên đoạn ; 6 2 . A. 21 2 m , M 2 2 . B. 5 2 m , M 3 .C. 5 2 m , M 3 . D. m 3 , M 2 2 . VÍ DỤ 2 : Cho hàm số 3 2 f x ax bx cx d với a b c d , , , là các hệ số thực và a 0 . Hàm số f x nghịch biến trên khi và chỉ khi: A. 2 0 3 a b ac . B. 2 0 3 a b ac . C. 2 0 3 a b ac . D. 2 0 3 a b ac . CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 9 Lời giải Chọn C Ta có 2 y f x x 2 2 y x f x x 2 2 2 2 y f x x 2 2 2 y f x x 0 2 0 f x x 2 2 2 . Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y x 2 cắt đồ thị y f x tại hai điểm có hoành độ nguyên liên tiếp là 1 2 1 2 3 x x và cũng từ đồ thị ta thấy f x x 2 trên miền 2 3 x nên f x x 2 2 2 trên miền 2 2 3 x 1 0 x . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 0. Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 2 2 2 y x m x n x x m n x m n 3 3 3 3 2 . Hàm số đồng biến trên ; 0 0 0 a mn . Trường hợp 2: 0 0 0 m mn n . Do vai trò của mn, là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m 0. 2 1 1 1 4 2 1 4 16 16 P n n n . Trường hợp 2: m n m n 0 0; 0 . VÍ DỤ 3: Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x được cho như hình bên. Hàm số 2 y f x x 2 2 nghịch biến trên khoảng 2 3 3 2 1 4 1 O 5 x y A. 3; 2. B. 2; 1. C. 1; 0. D. 0; 2. VÍ DỤ 4: Hàm số 3 3 3 y x m x n x đồng biến trên khoảng ; . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P m n m n 4 bằng A. 16. B. 4 . C. 1 16 . D. 1 4 . CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 10 Ta có 2 1 1 1 2 2 4 2 4 16 16 P m n n . Từ 1 , 2 ta có min 1 16 P . Dấu xảy ra khi và chỉ khi 1 ; 0 8 m n hoặc 1 0; 8 m n . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 1 2 ; 0 2 x m y x m x m m y x m . Do đó ta có bảng biến thiên: . Để hàm số nghịch biến trên 0;1 thì 0;1 ; 2 m m 0 1 0 2 1 m m m . BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÂU 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm y f x như hình vẽ. xét hàm số 2 g x f x 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số f x đạt cực trị tại x 2 . B. Hàm số f x nghịch biến trên ;2 . C. Hàm số g x đồng biến trên 2; . D. Hàm số g x đồng biến trên 1;0 . CÂU 2. Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau 1 1 2 O x y 2 VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 2 1 2 3 3 y x m x m m x nghịch biến trên khoảng 0;1 . A. 1; . B. ;0 . C. 1;0. D. 0;1 . CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 11 Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số g x f x 2 2 ? I. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 4; 2 . II. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . III. Hàm số g x đạt cực tiểu tại điểm 2 . IV. Hàm số g x có giá trị cực đại bằng 3. A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . CÂU 3: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số 2 y
CHINH PHỤC CÂU HỎI VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO CHUN ĐỀ VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 LỜI NĨI ĐẦU Xin chào toàn thể cộng đồng học sinh 2k2! Đầu tiên, thay mặt toàn thể Admin group “CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020” chân thành cảm ơn em đồng hành GROUP ngày tháng vừa qua Cuốn sách em cầm tay công sức tập thể đội ngũ Admin Group, tay anh chị sưu tầm biên soạn câu hỏi hay nhất, khó từ đề thi sở, trường chuyên nước Thêm vào đó, câu hỏi anh chị thiết kế ý tưởng riêng Giúp bạn ơn tập, rèn luyện tư để chinh phục 8+ mơn Tốn kì thi tới Sách gồm chương phần Giải tích lớp 12 bao gồm: Hàm số toán liên quan, Hàm số mũ Logarit, Nguyên hàm – tích phân Ứng dụng, Số phức Đầy đủ dạng, thuận lợi cho em trình ơn tập Trong q trình biên soạn, tài liệu khơng thể tránh sai xót, mong bạn đọc em 2k2 thông cảm Chúc em học tập thật tốt! Tập thể ADMIN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU:………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ……………………………………………… CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ……….……………………………………………… 16 CHỦ ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT… …………………………… 33 CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ…… …………………………………… 41 CHỦ ĐỀ 5: ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ……………… … ……………………… 48 CHỦ ĐỀ 6: TƯƠNG GIAO ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM…………………………………… 54 CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM – SỰ TIẾP XÚC …………………………………… 68 CHỦ ĐỀ 8: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………… 81 CHƯƠNG 2: MŨ VÀ LOGARIT CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA………………………….…………………………………………… 95 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨ VÀ LOGARIT…………….……………………………………… 97 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ……… …………………… 107 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT …………………… 119 CHỦ ĐỀ 5: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………… 141 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1: MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN……… …………………………………… 150 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM…… ………………………………… 157 CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN CƠ BẢN…………………………………………………………… 164 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN…… …………………………………… 176 CHỦ ĐỀ 5: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN………………………………… 192 CHỦ ĐỀ 6: CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI………… 206 CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC CHỦ ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC………….……………………………………… 219 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC VỚI HỆ SỐ PHỨC ……………………………… 223 CHỦ ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC… ………………………………… 228 CHỦ ĐỀ 4: MAX – MIN CỦA MODUN SỐ PHỨC… …………………………………… 237 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ 1: Cho hàm số f x liên tục, không âm đoạn 0; , thỏa mãn f 2 f x f x cos x f x , x 0; Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số 2 f x đoạn ; 6 2 A m 21 , M 2 2 B m , M 3 C m , M D m , M 2 Lời giải Chọn A Từ giả thiết f x f x cos x f x f x f x 1 f x cos x f x f x 1 f x dx sin x C Đặt t f x t f x tdt f x f x dx Thay vào ta dt sin x C t sin x C f x sin x C Do f C Vậy f x sin x f x sin x 4sin x 3 f x sin x 4sin x , hàm số f x liên tục, không âm đoạn 0; 2 Ta có x sin x , xét hàm số g t t 4t có hồnh độ đỉnh t 2 loại 21 Suy max g t g 1 , g t g 1 1 2 ;1 ;1 2 21 Suy max f x f 2 , f x g 2 6 ; ; 6 VÍ DỤ : Cho hàm số f x ax3 bx cx d với a, b, c, d hệ số thực a Hàm số f x nghịch biến a A b 3ac khi: a B b 3ac a C b 3ac Lời giải Chọn A Ta có: f x 3ax 2bx c có f x b 3ac Hàm số f x nghịch biến a D b 3ac a0 a0 3a b 3ac b 3ac f x GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÍ DỤ 3: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x cho hình bên Hàm số y 2 f x x nghịch biến khoảng y 1 O x 2 A 3; B 2; 1 C 1; D 0; Lời giải Chọn C Ta có y 2 f x x y x f x x y f x x y f x x f x x Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y x cắt đồ thị y f x hai điểm có hồnh 1 x1 độ nguyên liên tiếp từ đồ thị ta thấy f x x miền x 2 x nên f x x miền x 1 x Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1; VÍ DỤ 4: Hàm số y x m x n x3 đồng biến khoảng ; Giá trị nhỏ 3 biểu thức P m2 n2 m n A 16 B C 1 16 D Lời giải Chọn C 2 Ta có y x m x n 3x x m n x m n a Hàm số đồng biến ; mn m * Trường hợp 2: mn n Do vai trò m, n nên ta cần xét trường hợp m 1 1 P 4n2 n 2n 1 16 16 *Trường hợp 2: m n m 0; n GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1 1 Ta có P 2m 4n2 n 16 16 1 Từ 1 , ta có Pmin Dấu " " xảy m ; n m 0; n 16 VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x m 1 x m 2m x nghịch biến khoảng 0;1 A 1; B ;0 C 1;0 D 0;1 Lời giải Chọn C x m Ta có: y x m 1 x m2 2m; y x m Do ta có bảng biến thiên: m Để hàm số nghịch biến 0;1 0;1 m; m 1 m m BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÂU Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm y f x hình vẽ xét hàm số g x f x Mệnh đề sai? y 1 O x 2 A Hàm số f x đạt cực trị x B Hàm số f x nghịch biến ; C Hàm số g x đồng biến 2; D Hàm số g x đồng biến 1;0 CÂU Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên sau GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 10 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC M OB OI R M m m OA OI R CÂU 6: Chọn B Gọi M x; y biểu diễn số phức z x iy M thuộc đường trịn C1 có tâm I1 1;1 , bán kính R1 N x; y biểu diễn số phức w x iy N thuộc đường trịn C2 có tâm I 2; 3 , bán kính R2 Giá trị nhỏ z w giá trị nhỏ đoạn MN Ta có I1 I 1; 4 I1I 17 R1 R2 C1 C2 MN I1 I R1 R2 17 CÂU 7: Chọn A Vì z z.z z nên ta có z z Từ đó, P z z z z z z z z z z z Do z nên z x y 1 x, y Đặt z x iy , với x, y Khi P x iy x iy x iy x 2x 2x x 1 y2 2x 1 Do P Lại có 1 x x 1 x P Vậy M z 1 m z i Suy M m 2 CÂU 8: Chọn D Đặt z1 a bi; a, b z2 b z1 z2 a b b a i Nên z1 z2 a b b a 2 z1 Ta lại có z1 i z1 i z1 z1 Suy z1 z2 z1 2 a b 1 Vậy m z1 z2 2 Dấu " " xảy CÂU 9: Chọn A Ta có z z 15i i z z a bi a bi 15i i a bi a bi 1 8b 15 2a 1 15 1 z 3i 2 2 suy b 2a 1 2b 6 2 1 8b 15 4b2 24b 36 4b 32b 21 2 GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 244 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC Xét hàm số f x x 32 x 21 với x f x x 32 0, x 15 suy 15 f x hàm số đồng biến 15 ; nên 15 4353 f x f 16 15 1 4353 Do z 3i đạt giá trị nhỏ b ; a 2 16 Khi F a 4b CÂU 10: Chọn A Đặt t z z nên t 0; 2 Do z nên z.z P z z z z.z z z z Ta có t z z 1 z 1 z.z z z z z nên z z t Vậy P f t t t , với t 0; 2 2t t t t t Khi đó, f t nên f t t t t t t f t t 13 f 0 ; f ; f ; f 2 2 Vậy M 13 13 ; m nên M m 4 CÂU 11: Chọn A Ta có z1 3i 2iz1 10i 1 ; iz2 2i 3z2 3i 12 Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ 1 suy điểm A nằm đường trịn tâm I1 6; 10 bán kính R1 ; điểm B nằm đường tròn tâm I 6;3 bán kính R2 12 A B I1 I2 Ta có T 2iz1 3z2 AB I1 I R1 R2 122 132 12 313 16 Vậy max T 313 16 CÂU 12: Chọn B Gọi z1 x1 y1i z2 x2 y2i , x1 , y1 , x2 , y ; đồng thời M1 x1 ; y1 M x2 ; y2 điểm biểu diễn số phức z1 , z2 GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 245 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC x12 y12 144 Theo giả thiết, ta có: 2 x2 3 y2 25 Do M thuộc đường trịn C1 có tâm O 0;0 bán kính R1 12 , M thuộc đường trịn C2 có tâm I 3; 4 bán kính R2 O C2 Mặt khác, ta có nên C2 chứa C1 OI R1 R2 M2 (C2) M1 I O (C1) Khi z1 z2 M 1M Suy z1 z2 M1M min M 1M R1 R2 CÂU 13: Chọn C Gọi z a bi , a, b z 3i a ib 3i a b 3 i a b 3 2 Khi tập hợp điểm M a; b biểu diễn số phức z a bi thuộc vào đường trịn C có tâm I 4; 3 , R Ta có OI 32 42 Suy z max OI R , z OI R Gọi đường thẳng qua hai điểm OI ta có phương trình : 3x y Gọi M N hai giao điểm C cho OM ON 12 28 21 z1 i OM OI M ; 5 S 28 12 5 ON OI N 28 ; 21 z 12 i 5 5 CÂU 14: Chọn D z 2i Ta có z z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i Do tập hợp điểm N biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy điểm A 0; đường trung trực đoạn thẳng BC với B 0; 2 , C 1; 2 1 Ta có BC 1;0 , M ;0 trung điểm BC nên phương trình đường trung trực BC 2 : 2x 1 Đặt D 3; , DA , d D, GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 246 CHƯƠNG 3: SỐ PHỨC Khi P z 2i DN , với N điểm biểu diễn cho z Suy P DA, d D, CÂU 15: Chọn C Xét A 1;1 , B 8;3 ta có AB 53 điểm biểu diễn z đoạn thẳng AB P z 2i MM với M điểm biểu diễn số phức z , M điểm biểu diễn số phức z 1 2i Phương trình đường thẳng AB : 2 x y 87 13 Hình chiếu vng góc M lên AB M1 ; 53 53 Ta có A nằm M B nên P MM lớn MM lớn M B z 3i Pmax 106 CÂU 16: Chọn A Gọi z x yi, x, y Theo giả thiết, ta có Suy 2 x, y Khi đó, P z z z z 4i P2 x 1 1 x y2 z x2 y x 1 y2 y 2 x 1 y2 y2 y 22 1 y y Dấu “ ” xảy x Xét hàm số f y y y đoạn 2; 2 , ta có: f y 2y 1 y2 1 y 1 y2 1 y2 ; f y y Ta có f ; f 2 ; f 3 Suy f y y 2; 2 Do P 2 Vậy Pmin z GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 i Trang 247 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) CỰC TRỊ SỐ PHỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bất đẳng thức tam giác: • |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, dấu "=" z1 = kz2 với k ≥ • |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, dấu "=" z1 = kz2 với k ≤ • |z1 + z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||, dấu "=" z1 = kz2 với k ≤ • |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||, dấu "=" z1 = kz2 với k ≥ Công thức trung tuyến: |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) Tập hợp điểm: • |z − (a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r • |z − (a1 + b1 i)| = |z − (a2 + b2 i)|: Đường trung trực AB với A(a1 ; b1 ), B(a2 ; b2 ) • |z − (a1 + b1 i)| + |z − (a2 + b2 i)| = 2a: – Đoạn thẳng AB với A(a1 ; b1 ), B(a2 ; b2 ) 2a = AB – Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn 2a 2a > AB √ x2 y Đặc biệt |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E) : + = với b = a2 − c2 a b B CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp đại số VÍ DỤ (Sở GD Hưng Yên 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 2i| = Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ |z + + i| Tính S = M + m2 A S = 34 B S = 82 C S = 68 D S = 36 LỜI GIẢI Ta có √ = |z + + i − (3 + 3i)| ≥ ||z + + i| − |3 + 3i|| = ||z + + i| − 2| ⇒ √ |z + + i| ≤ + = M √ |z + + i| ≥ − = m Khi S = M + m2 = 68 Đáp án C VÍ DỤ (Sở GD Hà Tĩnh 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − (2 + 4i)| = 2, gọi z1 z2 số phức có mơ đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1 z2 A 8i B C −8 D https://www.facebook.com/luong.d.trong LỜI GIẢI Ta có √ √ √ ≥ ||z| − |2 + 4i|| = ||z| − 5| ⇒ − ≤ |z| ≤ + √ √ Giá trị lớn |z| − z = k(2 + 4i) với (k − 1) = ⇒ k = + √ Do z1 = 1+ √ (2 + 4i) √ √ Giá trị nhỏ |z| − z = k(2 + 4i) với (1 − k) = ⇒ k = − √ Do z2 = 1− √ (2 + 4i) Như vậy, tổng hai phần ảo z1 , z2 + √ Đáp án D +4 1− √ = VÍ DỤ (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z + 4| = 2|z| Kí hiệu M = max w = M + mi √ mô đun số phức √ √ √ |z|, m = |z| Tìm B |w| = C |w| = D |w| = A |w| = LỜI GIẢI Ta có 2|z| ≥ |z|2 − ⇔ |z|2 − 2|z| − ≤ ⇒ |z| ≤ + √ 2|z| ≥ − |z|2 ⇔ |z|2 + 2|z| − ≥ ⇒ |z| ≥ −1 + √ √ Vậy |w| = M + m2 = Đáp án A = M √ = m VÍ DỤ (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017) Trong số phức z thỏa mãn |2z +z| = |z −i|, −1 tìm số phức √ có phần thực khơng âm cho |z | đạt giá √ trị lớn √ i i i i A z = + B z = C z = + D z = + 2 8 LỜI GIẢI Gọi z = a + bi (a ≥ 0) z = a − bi Khi √ 9a2 + b2 = Ta có |z −1 | = a2 + (b − 1)2 ⇔ 2b = − 8a2 ⇔ b = − 4a2 √ lớn |z| = a2 + b2 nhỏ |z| √ 7 |z|2 = a2 + = 16a4 − 3a2 + = 4a2 − + ≥ ⇒ |z| ≥ 64 64 √ √ a2 = ⇒ a = 6 i 32 + Do số phức z cần tìm thỏa mãn Vậy z = 1 8 b = − 4a2 = Đáp án D − 4a2 2 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) Phương pháp hình học VÍ DỤ (THPT Phan Bội Châu-Đăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = Mô đun lớn số phức z là: A B C D LỜI GIẢI y N I M x O Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(3; 4) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do max |z| = OI + r = + = Đáp án B VÍ DỤ (THPT Đồng Quan-Hà Nội 2017,THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam 2017) Trong số phức z thỏa mãn |z − − 4i| = |z − 2i| Tìm số phức z có mô đun nhỏ A z = − 2i K B z = + i C z = + 2i D z = − i LỜI GIẢI y A I B H x O Gọi A(2; 4), B(0; 2), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiết đề đường trung trực d AB có phương trình x + y − = Khi |z| = OM nhỏ M hình chiếu O d H(2; 2) Đáp án C VÍ DỤ (THPT Trần Phú-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10 Giá trị nhỏ |z| A B C D LỜI GIẢI Gọi A(−3; 0), B(3; 0) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến |z|2 = M O2 = M A2 + M B AB − https://www.facebook.com/luong.d.trong Ta có M A2 + M B ≥ (M A + M B)2 = 50 Do m= 50 36 − = 4 Vậy |z| = Đáp án B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI (Sở GD Long An 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Tìm giá trị lớn |z| √ √ √ √ A + 13 B 13 C + 13 D 13 − BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Tìm giá trị lớn |z| biết −2 − 3i z + = − 2i A √ B C D BÀI (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn |z − i| = Tìm giá √ trị lớn |z| √ √ A B C 2 D BÀI (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Xác định số phức z thỏa mãn |z − √ − 2i| = mà |z| đạt giá trị lớn A z = + i B z = + i C z = + 3i D z = + 3i BÀI (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017) Cho số phức z √ thỏa mãn |z − − 3i| = Giá trị nhỏ |z + + i| √ A 13 − B C D 13 + BÀI (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z + 2z + 2| = |z + − i| Biểu thức √ |z| có giá trị lớn √ √ B C + D − A + BÀI (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z| √ Đặt m = |z|, tìm giá trị lớn m √ √ A + B C − D BÀI (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn z + giá trị lớn nhỏ √ |z| Tính√M + m? A B C 13 4i = Gọi M, m z D √ Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + − 4i| = |z2 + − i| = Tính tổng Giá trị lớn Giá √ √ trị nhỏ biểu thức |z1 − z2 | A 18 B C D BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2) Cho số phức z thỏa 2z − i mãn |z| ≤ Đặt A = Mệnh đề đúng? + iz A |A| < B |A| ≤ C |A| ≥ D |A| > BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017) Cho số phức z thỏa mãn z.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = |z + 3z + z| − |z + z| 15 13 B C D A 4 BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu √ √ √ thức T = |z + 1| + 2|z√− 1| B max T = 10 C max T = D max T = A max T = BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T √ = |z + 1| + 3|z − 1| √ √ A max T = 10 B max T = 10 C max T = D max T = √ BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = Tìm giá trị lớn √ √ T = |z + i| + |z − − i| B max T = C max T = D max T = A max T = Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Mô đun lớn số phức z là: √ √ 15(14 − 5) 15(14 + 5) √ √ A 14 + B C 14 − D 5 BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z −1−2i| = Tìm giá√trị nhỏ |z| √ B C D − A BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Cho số phức z, w thỏa mãn |z − + 2i| = |z + √ 5i|, w = iz + 20 Giá trị nhỏ m |w| là√ √ √ 10 10 A m = B m = 10 C m = D m = 10 2 − 2i = z + + 2i 2 Biết biểu thức Q = |z − − 4i| + |z − − 6i| đạt giá trị nhỏ z = a + bi (a, b ∈ R) Tính P = a − 4b 1333 691 C P = −1 D P = A P = −2 B P = 272 272 BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn z + https://www.facebook.com/luong.d.trong BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn iz + + 1−i = Gọi M m Giá trị lớn Giá trị nhỏ |z| Tính i−1 M.m √ √ D M m = A M m = B M m = C M m = 2 iz + BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017) Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10 Gọi M, m tương √ ứng giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m 35 80 50 30 A B C D 15 11 BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2) Cho z số phức thay đổi thỏa mãn √ |z − 2| + |z + 2| = Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N điểm biểu diễn z z Tính giá trị lớn diện tích tam√giác OM N √ √ A B C D 2 BÀI 22 (THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình 2017 L3) Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình |6 − 3i + iz| = |2z − − 9i| thỏa mãn |z1 − z2 | = Giá trị lớn |z1 + z2 | √ 56 31 B C A D 5 D LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP Ta có ≥ |z| − |2 + 3i| = |z| − √ √ 13 ⇒ |z| ≤ + 13 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có 1≥ −2 − 3i −2 − 3i z −1= |z| − = |z| − ⇒ |z| ≤ − 2i − 2i Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có ≥ |z | − |i| = |z|2 − ⇒ |z|2 ≤ ⇒ |z| ≤ Đáp án D GIẢI BÀI TẬP Ta có √ √ √ ≥ |z| − |2 + 2i| = |z| − 2 ⇒ |z| ≤ √ √ √ Dấu "=" z = k(2 + 2i) với 2k − 2 = ⇒ k = Vậy k = + 3i Đáp án C GIẢI BÀI TẬP Ta có |z + + i| = |z + − i| = |(z − − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − − 3i| − |3 + 2i|| = √ Vậy |z + + i| = 13 − Đáp án A √ 13 − Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) GIẢI BÀI TẬP Ta có z+1−i=0 |z + + i| = |z + 2z + 2| = |(z + 1)2 − i2 | = |z + − i|.|z + + i| = |z + − i| ⇔ • Nếu z = i − |z| = √ • Nếu |z + + i| = ≥ |z| − |1 + i| = |z| − √ Do |z| ≤ + √ Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có |z − 1| = 2|z| ≤ |z| + ⇒ |z| ≤ Do max |z| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2|z| ≥ |z|2 − ⇔ |z|2 − 2|z| − ≤ ⇒ |z| ≤ + √ 2|z| ≥ − |z|2 ⇔ |z|2 + 2|z| − ≥ ⇒ |z| ≥ −1 + √ Vậy M + m = Đáp án B = M √ = m GIẢI BÀI TẬP Ta có √ |z1 − z2 | = |(z1 + − 4i) − (z2 + − i) + (3 + 3i)| ≤ |z1 + − 4i| + |z2 + − i| + |3 + 3i| = + = max √ |z1 − z2 | = |(z1 + − 4i) − (z2 + − i) + (3 + 3i)| ≥ |3 + 3i| − |z1 + − 4i| − |z2 + − i| = − = √ Do tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 10 Ta có 2A + Aiz = 2z − i ⇔ (2 − Ai)z = 2A + i ⇒ z = 2A + i − Ai Đặt A = a + bi Suy |z| ≤ ⇒ |2A + i| ≤ |2 − Ai| ⇔ 4a2 + (2b + 1)2 ≤ a2 + (b + 2)2 ⇔ 3a2 + 3b2 ≤ ⇒ |A| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 11 Ta có |z + 3z + z| = |z z + 3z.z + z | = |z + + z | = |(z + z)2 + 1| Suy P = (z + z) + − (z + z) = Vậy giá trị nhỏ P Đáp án C z+z− 2 + 3 ≥ 4 √ a2 + b2 ≤ https://www.facebook.com/luong.d.trong GIẢI BÀI TẬP 12 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có |z + 1|2 + |z − 1|2 = 2|z|2 + |1 + 1|2 = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki √ T ≤ (|z + 1|2 + |z − 1|2 )(12 + 22 ) = 20 ⇒ T ≤ Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 13 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có |1 + 1|2 |z + 1| + |z − 1| = 2|z| + = 2 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki √ T ≤ (|z + 1|2 + |z − 1|2 )(12 + 32 ) = 40 ⇒ T ≤ 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 14 Áp dụng công thức trung tuyến ta có |z + i|2 + |z − − i|2 = 2|z − 1|2 + |2 + 2i|2 = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki T ≤ (|z + 1|2 + |z − 1|2 )(12 + 12 ) = 16 ⇒ T ≤ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 15 y M x O I N Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do √ max |z| = OI + r = + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 16 N y I M x O Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do √ K |z| = OI − r = − Đáp án D GIẢI BÀI TẬP 17 y A x H B C Gọi A (1; −2) , B (0; −5), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x + 3y + 10 = Ta có |w| = |iz + 20| = |z − 20i| = CM √ với M điểm biểu diễn số phức z C(0; 20) Do |w| = d(C.∆) = 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 18 N y M A I x M B Gọi A − ; , B − ; −2 , tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung 2 trực d AB có phương trình x − 4y + = Xét hai điểm M (2; 4), N (4; 6) Q = IM + IN 58 28 với I ∈ d Do Q nhỏ I giao điểm M N với M ;− 17 17 62 24 62 24 điểm đối xứng M qua d Vậy I ; , ứng với z = + i 17 17 17 17 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 19 Ta có ≥ iz + 2 + iz + = |2iz| = 2|z| ⇒ M = 1−i i−1 Theo giả thiết số phức z thỏa mãn z+ 2 + z+ = ⇔ |z + − i| + |z − + i| = i(1 − i) i(i − 1) https://www.facebook.com/luong.d.trong Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến M A2 + M B AB |z|2 = M O2 = − Ta có (M A + M B)2 M A2 + M B ≥ =8 Do 8 √ m= − = 2 √ Vậy M m = 2 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 20 Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến |z|2 = M O2 = M A2 + M B AB − √ 10 − 4a Do Theo giả thiết 4M A + 3M B = 2 Đặt a = M A ⇒ M B = |M A − M B| = |10 − 7a| 16 ≤ AB = ⇒ −6 ≤ 10 − 7a ≤ ⇔ ≤ a ≤ 7 Ta có 2 MA + MB = a + Do − 10 − 4a = (5a − 8)2 + 36 25a2 − 80a + 100 = 9 36 34 1296 ≤ 5a − ≤ ⇒ ≤ (5a − 8)2 ≤ Suy 7 49 • M A2 + M B ≥ nên |z|2 ≥ ⇒ |z| ≥ = m 1296 + 36 340 121 11 • M A2 + M B ≤ 49 = ⇒ |z|2 ≤ ⇒ |z| ≤ = M 49 49 49 60 Vậy M + m = 49 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 21 y M x A O B N Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy N biểu diễn số phức z M, M đối xứng 10 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) qua Ox Diện tích tam giác OM N SOM N = |xy| √ x2 y Do |z − 2| + |z + 2| = nên tập hợp M biểu diễn z Elip (E) : + = Do 1= x2 y + ≥2 √ x2 y |xy| = √ ⇒ SOM N = |xy| ≤ 2 2 Đáp án D 11 ... nhỏ chia diện tích tam giác ABC 15 1 5 1 15 A m B m C m D m 2 2 GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 22 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIẢI CHI. .. THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 39 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Xét hàm số y 125 0 x 25 x với x 25 5000 x3 125 x Ta có y 125 0 x 25 x3 Có y 5000 x3 ? ?125 x4... đạt cực đại x gCĐ g nên IV đúng GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 12 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CÂU 3: Chọn C x x Ta có y f 1