Bang tom tat cong thuc toan 12

Giaovienvietnam.com TĨM TẮT KIẾN THỨC TỐN 12 I.BẢNG ĐẠO HÀM u  v 1)  '  u ' v ' '  u  u '.v  u.v '   v2 2)  v  3) ( c) ' = 15)  u.v  '  u '.v  u.v ' 16)  k u  '  k u ' 17) ( x) ' =1 x n ) ' = n.x n- ( 4) u n ) ' = n.u n- 1.u ' ( 18) ' ổử 1 ữ ỗ =ữ ỗ ỗ ữ x2 5) ốx ứ ' ổử u' ữ ỗ =ữ ỗ ỗ ữ u2 19) ốu ứ ( ) ' x = 6) x ( ) ' u = 20) u' u 7)  sin x  '  cos x 21)  sin u  '  u '.cos u 8)  cos x  '   sin x 22)  cos u  '  u '.sin u 9)  tan x  '  10)   tan x cos x  cot x  '  e 'e 11) x 1     cot x  sin x 13) 14)  ln x  '   cot u  '  u ' sin u u x x  log a x  '  24) u' cos u  e  '  u '.e 25) x  a  '  a ln a 12) x 23)  tan u  '   a  '  u '.a ln a 26) u 27) x.ln a u 28)  ln u  '  u u' u  log a u  '  u' u.ln a Giaovienvietnam.com ' 29) ' sin x    sin x 30) ' cos x     sin x 31) a.d  b.c  a.x  b     c.x  d   c.x  d  '  ax  bx  c  ( ab ' a ' b) x  2( ac ' a ' c) x  (bc ' b ' c)   2 a ' x  b ' x  c ' ( a ' x  b ' x  c ')   32) Cách nhớ công thức 32 : “anh ba, ăn cơm hai lần, ba chén” a; b II DẠNG TỐN TÍNH GTLN, GTNN CỦA HS: y  f ( x) TRÊN ĐOẠN   a; b -Hàm số xác định liên tục   x , x ,   a; b  -Tính y’, gpt y’= Tìm nghiệm -Tính f (a), f (b), f (x ), f (x ) … -Số lớn GTLN, số nhỏ GTNN Chú ý: 1) Nếu đề yêu cầu tính GTLN, GTNN khoảng số khoảng kết luận  a; b  ta lập BBT hàm 2) Nếu đề không cho đoạn, khoảng ta tìm TXĐ III Các hàm tính chất: 1) Hàm bậc y  a.x  b y  a.x  b a) HSDB tren ¡  a  HSNB tren ¡  a  b) Không cực trị, không tiệm cận 2) Hàm y  a.x  b.x  c.x  d  a   a   a) HSĐB R b  3ac  a   b) HSNB R b  3ac  a   c) HS có cực trị b  3ac  d) ĐTHS có cực trị, khơng có tiệm cận y  ax  bx  c  a   3) Hàm bậc bốn cuc tri a.b  cuc tri a.b  a) HS không ĐB, NB R d) ĐTHS có cực trị, khơng có tiệm cận Giaovienvietnam.com a.d  b.c  d  a.x  b y '  D¡ \  y  ad  bc  0; c   cx  d   c   c.x  d 4) Hàm a)TXĐ: , tính b) Hàm số ĐB khoảng XĐ  y '  0x  D  a.d  b.c  c) Hàm số NB khoảng XĐ  y '  0x  D  a.d  b.c  a d x c ; TCĐ: c d) ĐTHS có đường tiệm cận TCN: 5) DẠNG TỐN Tìm m để hs đạt cực trị x y  y '  x    y ''  x   - Tính y ' , Tính y '' Hs đạt cực trị x  Giải tìm m 6) DẠNG TỐN Tìm m để hs đạt cực tiểu x  y '  x    y ''  x   - Tính y ' , Tính y '' Hs đạt cực tiểu x  Giải tìm m 7) DẠNG TỐN Tìm m để hs đạt cực đại x  y '  x    y ''  x   - Tính y ' , Tính y '' Hs đạt cực đại x  Giải tìm m 8) Cách tìm tiệm cận hàm số  x  x1 MS    x  x2  x  a) y TS MS x1 TS cal x2 kq  b)Nhập MR loại, lại TCĐ 1010 TS cal MS 1010 kết số y số TCN c)Nhập IV LŨY THỪA-MŨ-LOGA 1) a mn  a a m a n mn 2) am  n a a  3) m n  a m.n n 4) a n b n   a.b  n 5) m an  n am an  a    n b b 6) a n 7) 9) a n n a b      a 8)  b   n a f(x) Giaovienvietnam.com  b  f ( x )  loga b 10) a a f ( x )  b   f ( x )  log b  a a 1  log a  b1 b2   log a b1  log a b2 17) log a b  m.log a b a 21) 23) log a log a b1  log a b1  log a b2 b2 log b m 16) 18) m log a b n log a b  11) a f ( x )  a g( x )   f ( x )  g( x )   a   14) m log n b m   a g( x )  f ( x )  g( x ) a f ( x )  b  f ( x )  log b  a  a    12) a f ( x )  a g( x )   f ( x )  g( x )  a   13) 15) f(x) 20) log c b log c a a 19) log a b.log b c  log a c log a b  22) f ( x )  b  f ( x )  ab log a b m logb a 24)  f ( x )  g( x ) loga f ( x )  loga g( x )    g( x )  hoac  f ( x )0  25) Nếu đề chưa cho dạng CT nghiệm ta đặt điều kiện sau áp dụng CT biến đổi pt dạng CT nghiệm a V BẢNG TÓM TẮT HÀM SỐ LŨY THỪA y = u  nguyên duong TXD: u  R y  u   nguyên âm TXD: u   không nguyên TXD: u  Giaovienvietnam.com NGUYÊN HÀM CĂN BẢN 1)  2)  adx  ax  C dx  x  C   x dx  x 1  C (  -1)  1 x x C ; (ax  b)1  (ax  b) dx   C (  -1)  a  1 dx   ax  b a ln | ax  b | C dx  ln | x | C  x 3) e dx  e 4)  BẢNG NGUYÊN HÀM NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG e x dx  e x  C e ax  b ax ax  b x +C dx  e  C ; ò a dx = a ln a 5)  sin xdx   cos x  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 6)  cos xdx  sin x  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx  7) sin x dx  8) cos  9) x dx   cot(ax  b)  C (ax  b) a   cot x  C  sin  tan x  C  cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C dx 2 x C x  10) x 1 dx    C x dx  dx  a.x  b  C a.x  b a   a.x  b  1 dx   C a a.x  b Giaovienvietnam.com ln cos ( a.x + b ) + C a tan xdx =- ln cos x + C 11) ò ò tan ( a.x + b) dx =- cot xdx = ln sin x + C 12) ò òco t ( a.x + b) dx = a ln sin ( a.x + b) + C 13) ò x.e dx = x.e x x - e + c = ( x - 1) e + c x x òln x.dx = x.ln x - x +c VI Định nghĩa tính chất: 1) Định nghĩa nguyên hàm: ' Nếu ( F(x)) = f (x) F(x) gọi nguyên hàm f (x) 2) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN: -Giả sử F(x) nguyên hàm f (x) đoạn [ a;b ] b Khi hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b hàm số f (x) , kí hiệu b ịf (x)dx a b òf (x)dx =F(x) a = F(b) - F(a) a 3)Các tính chất: 3.1) ( ) , ị f ( x) dx = f ( x) 3.3) ò k f ( x) dx = k ò f ( x ) dx 3.2) ò f '( x ) dx = f ( x) + c (k số khác 0) éf ( x) ± g ( x) ù.dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx ò ò û 3.4) ò ë f a x + b dx = F ( a.x + b) + c ( a ¹ 0) ( ) ị a 3.5) b 3.6) b òk f ( x) dx =k ò f ( x) dx a a (k số) Chỉ tính chất nguyên hàm tích phân khác nhau, cá tính chất cịn lại giống 3) Dạng 3: Vận dụng phương pháp tính NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: Giaovienvietnam.com -Nếu hai hàm u = u(x); v = v(x) có đạo hàm liên tục, v (x)dx = dv;u (x)dx = du Ta có cơng ' b thức tính tích phân phần: ịudv = uv b a ' b - a ò vdu a -Các bước tính nguyên hàm phần: Đặt u = dv = ' u(x) DH ắắ đ du = u (x)dx phần lại NH v = v(x) ¾¾® Thế vào cơng thức *Một số kỹ thuật tính NGUN HÀM TỪNG PHẦN : ị p(x).sin xdx ị p(x).ln xdx ò x a ln xdx ò p(x).cos xdx ( p(x) đa thức) ( a ¹ - 1) ò p(x).e dx x u= p(x) ln x dv = Phần cịn lại Tóm lại: Đặt u theo thứ tự ln, đa, lượng = mũ b -Hình phẳng giới hạn y = f (x), trục hoành Ox, x = a, x = b tính S = ị f (x)dx a b -Hình phẳng giới hạn y = f1 (x), y = f (x) , x = a, x = b tính S = ị f1 (x) - f (x)dx a *Để tính diện tích hình phẳng ta cần tìm đủ đường; hai đường y , hai đường x Nếu thiếu đương x ta tìm cách giải phương trình hồnh độ giao điểm 2) Tính thể tích vật thể trịn xoay: -Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn y = f (x) , hai đường thẳng b x = a;x = b quanh trục hồnh: V = p.ị y 2dx a Chú ý: Đối với tốn tính thể tích vật thể trịn xoay khơng giải phương trình hồnh độ giao điểm tích phân có đủ hai cận * cơng thức tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox a < b) điểm x = a , x = b ( có diện tích thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Giaovienvietnam.com a Ox ( a £ x £ b) điểm có hồnh độ x S ( x) V = ò S ( x) dx Thể tích : b Phần 4: SỐ PHỨC I Định nghĩa tính chất -Số i: i =- n r -Với n = 4q + r , ta có: i = i -Số phức z = a + bi với a, b  R , a gọi phần thực, b gọi phần ảo 2 -Môđun số phức z  a  bi  a  b -Điểm biểu diễn z = a + bi M(a; b) -Số phức z = a + bi có số phức liên hợp là: z  a  bi -Hai số phức phần thực phần thực, phần ảo phần ảo a  c a  b.i  c  d i   b  d ìï z + z = 2a ï í ïï z.z = a + b -Lưu ý î -Số phức z = bi với b  R  b   gọi số ảo -Cộng trừ hai số phức  a  bi    c  di    a  c    b  d  i -Phép nhân hai số phức thực nhân hai số thực với lưu ý i =- -Phép chia số phức thực cách nhân tử mẫu cho số phức liên hợp với mẫu -Căn bậc hai số thực a âm i | a | -Phương trình bậc hai ax  bx  c  với trường hợp   b  4ac  pt có hai nghiệm phức xác định công thức x1,2  b  i |  | 2a 2 *Chú ý: Phương trình bậc hai ax  bx  c  với trường hợp   b  4ac  có hai nghiệm phức hai số phức hai số phức liên hợp Phần 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN I Lý thuyết 1) Giaovienvietnam.com uuuu r r r r uuu r OM  x.i  y j  z.k  M  x; y; z  AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  Cho r a   a1 ; a2 ; a3  2) Độ dài vecto , r b   b1 ; b2 ; b3  A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  C  xC ; yC ; zC  , , r a  a12  a22  a32 3) Độ dài đoạn AB: AB= 4) Góc hai vecto: uuu r AB   xB  x A  rr a.b cos   r r a.b xG  6) Gọi G trọng tâm  ABC :   yB  y A    z B  z A  2 (tích vơ hướng chia tich độ dài) xI  5) Gọi I trung điểm AB: x A  xB y  yB z z , yI  A , zI  A B 2 x A  xB  xC y  y B  yC z z z , yG  A , zG  A B C 3 rr r r a b  a b  a b  a b a 1 2 3 7) Tích vơ hướng hai vecto: Suy ra:  b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  r r a  a, b       b2 8) Tích có hướng hai vecto: a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2   b2  r r r r r r éa;bù.a = 0; éa;bù.b = ê ú ê ë ú û -Chú ý: +Tích có hướng vecto vng góc hai vecto ë û r r r r r éa;bù= Û ê ë ú û +Hai vecto a;b phương ( r r ur Û u; +Ba vecto v; w đồng phẳng r r ur éu; vù.w = ê ë ú û 9) A, B, C đỉnh tam giác (không thẳng hàng) 10) A, B, C, D đỉnh tứ diện ) uuur uuur r   AB, AC   uuur uuur uuur   AB, AC  AD   V ABCD uuuur uuuur   SABC   AB, AC  uuuur uuuur uuuur   AB, AC  AD uuu r uuur uuur'  V  AB , AD  AA ' ' ' ' ' ' ' ' 11) Thể tích hình hộp ABCD A B C D bằng: ABCD A B C D  12) Khoảng cách từ d  M0, P   M o  xo , yo , zo  P : Ax  By  Cz  D  đến mp   là: Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 13) Cho đường thẳng () qua M r u có VTCP Khoảng cách từ M o  xo , yo , zo  đến (  ) là: Giaovienvietnam.com uuuuuu r r M 0M , u    d  M0,   r u ur uu r M , VTCP u1 ,    qua M , VTCP u2 ur uu r uuuuuur u1 , u2  M 1M    d  1 ,    ur uu r ur uu r uuuuuur u1 , u2  1 ,  chéo  u1 , u2  M 1M     14) Cho đường thẳng   qua  S 15) PTMC tâm I  a; b; c  bán kính R PT: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  PTMC 2  DK dê (S) ptmc : a 2   S  :  x  a    y  b   z  c   R2  S tâm I  a; b; c  R  a  b2  c  d  b2  c  d    Muốn viết PTMC cần biết tâm bán kính   S a) Mặt cầu tâm I qua A tâm I R  IA   x A  xI    y A  y I    z A  z I  uu r (R độ dài đoạn IA hay AI hay độ dài vecto IA đúng) I  x0 ; y0; z0  b) Mặt cầu tâm tiếp xúc mp(P):  P  : Ax  By  Cz  D  tâm I   S R  d  I ;( P )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C c) Mặt cầu (S) đường kính AB:   S  x  xB y A  y B z A  z B  tâm I  A ; ;  trung diem AB 2   R AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  d) Mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D R = IA = IB = uur AB Giaovienvietnam.com -Nêu dạng  S : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Thế tọa độ điểm vào (S) hệ pt ẩn Giải hệ tìm ẩn a, b, c, d 2 16) Phương trình mặt phẳng r *VTPT vecto khác có giá vng góc với mp Muốn viết ptmp: u r -Cần M o  xo ; yo ; zo   (P) VTPT n   A; B; C  (P) có dạng: A  x  xo   B  y  yo   C  z  zo   , biến đổi dạng: Ax + By + Cz + D = u r Hoặc cần VTPT n   A; B; C  điều kiện khác, suy (P): Ax  By  Cz  D  Từ điều kiện khác giải tìm D ( Oyz) : x = ( Oxz) : y =  Đặc biệt: Mp ( Oxy) : z = A ẻ ( Oxy) ị A(a1;a ;0) ;B ẻ ( Oxz ) ị B(b1;0;b3 ) ;C ẻ (Oyz) ị C(0;c ;c3 ) x y z + + = a ¹ 0;b ¹ 0;c ¹ A a;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c ( ) ( ) ( ) ( ) a b c  Ptmp qua có dạng:  (P) // (Q) : Ax  By  Cz  D   (P) có dạng: Ax + By + Cz + m = 0( m ¹ D) 17) Phương trình đường thẳng ( D ) : r *VTCP vecto khác có giá song trùng ( D ) Muốn viết pt đường thẳng cần M o  xo ; yo ; zo   ( D ) ur VTCP u   a, b, c   x  x  a.t    y  y  b.t   z  z  c.t Pt tham số ( D ) :  x - x y - y0 z - z = = b c -Nếu a ¹ 0;b ¹ 0;c ¹ pt tắc đt ( D ) có dạng: a Đặc biệt: A Ỵ Ox ị A(a;0;0) ;B ẻ Oy ị B(0;b;0) ;C ẻ Oz Þ C(0;0;c) 18) Một số tình tìm VTPT mp, VTCP đường thẳng: uur uuur uuur mp(P) n  AB hoac BA a) vng góc với AB  VTPT P   P b) (P) mp trung trực đoạn AB:  x  xB y A  y B z A  z B  qua I  A ; ;  la td AB 2   uur uuu r uu r uur VTPT : nP  AB hoac IA hoac IB   Giaovienvietnam.com c) mp(P) tiếp xúc mc (S) tâm I bán kính R A   S :    qua d)   P qua A uur uur VTPT : nP  AI uuuur A, B Suy VTCP AB 19) Sáu VTTĐ cần nhớ giúp ta tìm VTPT mp, VTCP đường thẳng uu r uur uu r uur 1)  P    Q   nP  nQ 2)  P  / /  Q   chon nP  nQ uu r uu r uu r uu r 3) d    ud  u 4) d / /   chon ud  u uu r uu r r uu r d / /( P)  uu 5)  P   d  chon nP = ud 6)  u  n  d P d  ( P)  r r r r r n  a  Nêu r r  chon n   a; b  n  b  Phần 7: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Cơng thức tính thể tích cách tìm góc: S 1)Thể tích khối chóp phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao 2)Thể tích khối lăng trụ diện tích đáy nhân với chiều cao VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = V SA SB SC S ABC 3)Tỉ số thể tích: A' A B' C' B C 4)Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng Để xác định hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng ta cần giao điểm điểm vng góc 5)Góc hai mặt phẳng: Cần giao tuyến, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc giao tuyến, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc giao tuyến, góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng tìm II Tam giác a) Tam giác thường: 1 a.b.c 1) SD ABC = BC AH = AB AC.sin A = 2 4R = p.r = p ( p - a )( p - b)( p - c ) SD ABM = S ACM = SD ABC 2) Giaovienvietnam.com 1 AG = AM ; GM = AM = AG 3 3) (G trọng tâm D ABC ) AB + AC BC AM = 4) Độ dài đường trung tuyến: 2 2 5) Định lí cosin: BC = AB + AC - AB AC.cos A a b c = = = 2.R 6) Định lí sin: sin A sin B sin C 7) Gọi D chân đường phân giác góc A Ta có: uuu r DB AB AB uuur = Þ DB =.DC DC AC AC 8) Trực tâm tam giác giao điểm ba đường cao Trọng tâm tam giác giao điểm ba đường trung tuyến Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường trung trực Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm ba đường phân giác b) Tam giác cạnh a 1) 2) SD ABC = AH = ( canh) canh 2 1 AG = AH ; GH = AH = AG 3 3) (G trọng tâm D ABC ) 4) Tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác c) Tam giác vuông A 10) Tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền d) Tam giác vuông cân A Giaovienvietnam.com 1) BC = AB = AC 2) AB = AC = BC 1 3) SD ABC = ( canh huyên) = BC 4 III Tứ giác: a) Hình bình hành: S ABCD = BC AH = AB AD.sin A b) Hình thoi: S ABCD = AC.BD = AB AD.sin A · Đặc biệt: Nếu ABC = 60 D ABC , D ADC S ABCD = 2.SDABC = ( canh) c) Hình chữ nhật: S ABCD = AB AD d) Hình vng: S ABCD = AB Đường chéo: AC = BD = ( canh) = AB d) Hình thang: S ABCD = ( AD + BC ) AH Đặc biệt: Nếu ABCD hình thang cân thì: AD = BC - 2.BH e) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: Diện tích phần tích độ dài hai đường chéo f) Tứ giác có hai đường chéo tạo góc a : Diện tích phần tích độ dài hai đường chéo nhân sin a Phần 8: KIẾN THỨC TRỌNG TÂM PHẦN MẶT TRÒN XOAY Tên Các yếu tố Hình nón trịn xoay Diện tích Giaovienvietnam.com Thể tích Diện tích xung quanh: S xq = p.q Trong p đó: chu vi đáy hình chóp nội tiếp hình nón; q khoảng cách từ O tới cạnh đáy hình chóp V = B.h Trong đó: B diện tích đáy; h chiều cao S xq = p.r.l Diện tích đáy: Các yếu tố gồm: Sd = p.r Đường sinh: l = OM Diện tích tồn phần: Chiều cao: h = OI Stp = S xq + Sd Bán kính đường trịn đáy: r = IM Stp = p.r.( r + l ) Stp = p.r.l + p.r V = p.r h · Góc đỉnh mặt nón: 2.IOM Hình trụ Diện tích xung quanh: S xq = p.h Trong đó: p chu vi đáy trịn xoay hình lăng trụ nội tiếp hình trụ; h chiều cao S xq = 2p.r.l V = B.h Trong đó: B diện tích đáy; h chiều cao Diện tích đáy: S2 d = 2.p.r Các yếu tố gồm: Diện tích toàn phần: Đường sinh: l = CD Stp = S xq + S d Chiều cao: h = l = AB Bán kính đường trịn đáy: Stp = 2p.r.l + 2p.r Stp = 2p.r.( r + l ) V = p.r h Giaovienvietnam.com r = AD = BC Tên Các yếu tố Diện tích Thể tích Mặt cầu V = p.R 3 S = 4p.R Đặc biệt: Một số cách xác định tâm bán kính mặt cầu ( S) ngoại tiếp hình chóp: 1) Đối với hình chóp S.ABCD SA ^ ( ABCD ) có , ABCD hình vng hình chữ nhật; hình chóp S.ABC có SA ^ ( ABC ) , D ABC vng B Khi mặt cầu ( S) có đường kính SC, tâm trung điểm SC, bán kính R= SC 2) Đối với hình chóp có chân đường cao trùng tâm mặt đáy bán kính  canh bên  R   chiêu cao  ( S) ... 14) m log n b m   a g( x )  f ( x )  g( x ) a f ( x )  b  f ( x )  log b  a  a    12) a f ( x )  a g( x )   f ( x )  g( x )  a   13) 15) f(x) 20) log c b log c a a 19) log... cos ( a.x + b ) + C a tan xdx =- ln cos x + C 11) ò ò tan ( a.x + b) dx =- cot xdx = ln sin x + C 12) ò òco t ( a.x + b) dx = a ln sin ( a.x + b) + C 13) ò x.e dx = x.e x x - e + c = ( x - 1) e... b   b1 ; b2 ; b3  A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  C  xC ; yC ; zC  , , r a  a12  a22  a32 3) Độ dài đoạn AB: AB= 4) Góc hai vecto: uuu r AB   xB  x A  rr a.b cos   r