BẢNG tóm tắt CÔNG THỨC TOÁN 12

Tài Liệu Ơn Thi Group BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12 CÔNG THỨC LŨY THỪA Cho số dương a , b vaø m, n    a0 1 Ta có: a.a a với n  an * n thừa số  (a )  a m n mn  (a n ) m  a a  a m n m n an  a n   am  a m n n a  a b  (ab) n n a a   n b b n n  n  m an  a  a  a2 n m  a  a3 CÔNG THỨC LOGARIT Cho số a , b  0, a  Ta coù:   log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a   log a a   log a a  b  log a b  n log a b  log a m b n   log a (bc)  log a b  log a c b  log a    log a b  log a c c  log a b.logb c  log a c  a loga b  b   log c log a a b  c b  log a b  logb a  log a m b  log a b m b n log a c  logb c log a b n log a b m HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT HÀM LŨY THỪA  Dạng: y  x yu  với u đa ax y u a với a a Nếu ĐK u Nếu ĐK u ÑK u ax y a x ln a y au y a x ln a u Đặc biệt: Nếu a y  x   y   x 1  1 (e x ) ex (eu ) eu u  Sự biến thiên: y  Đạo hàm:  y   u y  u  y treân u ax hàm đồng biến Nếu a hàm nghịch biến  Dạng: y log a x y log a u  Đặc biệt: a a  Đạo hàm:  Tập xác định:   Dạng: y HÀM SỐ LOGARIT  Tập xác định: D thức đại số Nếu HÀM SỐ MŨ 10 y e với y log x a a ln x ; lg x  Điều kiện xác định: u  Đạo hàm: y log a x y x ln a u y log a u y u ln a (ln x) x Đặc biệt: u (ln u) u  Sự biến thiên: y log a x Nếu a (0; : hàm đồng biến ) Nếu a hàm nghịch biến (0; https://TaiLieuOnThi.Net 1: ) Tài Liệu Ôn Thi Group ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ  Ta thấy: a x  Ta thấy: cx c 1; bx a 1; dx ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT d b  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d  Vậy b a d c  Ta thaáy: log a x a 1; logb x  Ta thaáy: log c x c 1; log d x b 1 d  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c  Vậy a b d c PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Phương trình mũ  Dạng bản: a f ( x)  a g ( x)  f ( x)  g ( x)  Dạng logarit hóa: Phương trình Logarit  Dạng bản: log a f ( x)  log a g( x)  f ( x)  g ( x)   Dạng mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  a a f ( x)  b  f ( x)  log a b b (không cần điều kiện) a f ( x)  b g ( x)  f ( x)  g ( x).log a b BAÁT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit  Dạng bản: a 1  Dạng bản:  a f ( x)  a g ( x)  f ( x)  g ( x) a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 a 1  a f ( x)  a g ( x)  f ( x)  g ( x) 0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x) CÔNG THỨC ĐẠO HÀM  k  Với k số  e   e    e   e u  x x u u  ( x )   x   1  (u )   u 1 u  a   a ln a    a   a ln a u  x x u u         u   2uu u        u u       x  x  x  sin x  cos x    sin u   u cos u https://TaiLieuOnThi.Net  x2  cos x   sin x    cos u    u sin u Tài Liệu Ôn Thi Group   1  cot x sin x u    cot u      u  cot u sin u  tan x    tan x cos x u    tan u    u  tan u cos u      cot x     CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    k f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)dx     x 1 C x dx   1 f ( x)dx   g ( x)dx 2dx  x  C     kdx  kx  C (3)dx  3x  C x4 x dx   C x2   2)  C  x C   xdx   x dx  3/ (ax  b) 1 MR (1  x)11 (1  x)11 10    (ax  b) dx  C C  C   (1  x) dx   1 a 11 2 22 1 1 MR 3)  dx  ln x  C    dx  ln  3x  C  dx  ln ax  b  C  3x 3 x ax  b a 1 1 1 1 1 MR dx   C dx  C   C 4)  dx    C    2 x x a ax  b (ax  b) (2 x  3) 2x  4x   x3  1  10 x dx      ln x   10 x  C   x x2  x MR 5)  e xdx  e x  C    eaxb dx  eaxb  C a  ax C 6)  a dx  ln a a bxc MR bx c   C a dx  b ln a x  7)         32 x5 32 x5 C  C 32 x5 dx  ln 2ln sin xdx   cos x  C        sin(ax  b)  C a  3sin x  2cos x dx  3cos x  2sin x  C  dx   dx   9x dx  C ln x 1 6x x C dx   dx  3 3ln x x     sin  x   dx   cos  x    C 2 2          cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3   3  a 1; b    2x x1 x a  4; b  cos xdx  sin x  C MR    cos(ax  b)dx   5x dx  C ln MR    sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 8)  1 x5  x5  dx    x4   dx   ln x  C x x  e xdx  e x  C  e x  C 1 x  ex1  2 exdx    e2 x1  2ex  dx  12 e2 x1  2e x  C    sin xdx   1 1  cos x dx   x  sin x   C 2  (hạ bậc) dx   1  tan x dx  tan x  C cos x 1 MR   dx  tan  ax  b   C a cos  ax  b  9)       2cos x   dx      dx  tan x  x  C 2 cos x  cos x  1 dx  tan 3x  C cos 3x https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group MR    1  tan  ax  b   dx  tan  ax  b   C a     1  tan   x  dx  tan   x  C   2 a 2; b     x sin x  x2  dx x dx     cot x  C  sin x   sin x  1   dx   cot x  C sin x 1 MR 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x dx   cot 3x  C sin x  cos x     dx   dx      dx  tan x  cot x  C 2 2 sin x cos x sin x cos x  cos x sin x   sin x dx   1  cot x dx   cot x  C 1 MR   dx   cot  ax  b   C sin  ax  b  a 10)  DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) ,  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục Ox , x  a , x  b có diện tích: y  g ( x) , x  a , x  b có diện tích: b b S   f ( x) dx S   f ( x)  g ( x) dx a a  y  f ( x)  Khi xoay hình phẳng  quanh Ox , x  a, x  b ta khối trụ tròn tích  y  f ( x)   Khi xoay hình phẳng  y  g ( x) quanh Ox , x  a, x  b  ta khối trụ tròn tích b V    f ( x)dx b V    f ( x)  g ( x) dx a a  Xét hình khối giới hạn hai mặt phẳng x  a , x  b Khi cắt khối ta thiết diện có diện tích S( x) (là hàm liên tục [a;b]) Thể tích khối  a ; b là: V   b a S( x)dx CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG Xét hàm quảng đường S(t ), hàm vận tốc v(t ) hàm gia tốc a (t ) Ba hàm biến thiên theo t  S(t )   v(t )dt  v(t )  S(t )  v(t )   a (t )dt  a (t )  v(t ) CÔNG THỨC LƯNG GIÁC Hệ thức bản:  sin 2  cos2    tan   cos   tan   sin  cos    cot   cos  sin  sin(  k 2 )  sin    cos(  k 2 )  cos   cot   sin   tan cot   tan(  k )  tan    cot(  k )  cot  Cung liên kết: Đối:   Bù:     Phụ:    Khaùc pi:  ;    https://TaiLieuOnThi.Net Khaùc  Pi : ;  2 Tài Liệu Ôn Thi Group   sin      cos  2  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  Sin Bù Phụ Chéo Cos Đối sin(   )   sin    cos      sin  2    tan      cot  2    sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2  cos(   )   cos  tan(   )  tan    cot       tan  2  cot(   )  cot  Khaùc pi Tang, Cotang Khaùc pi chia Sin bạn cos Công thức cộng:  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)   cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức nhân đôi, nhân ba: cos 2  cos   sin  sin 2  2sin  cos  tan 2   2cos     2sin  2 cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  tan 3  tan   tan  3tan   tan   3tan  Công thức hạ bậc  cos 2 sin   cos    cos 2 tan    cos 2  cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: a b a b cos 2 a b a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   cos a  cos b  2cos a b a b sin 2 a b a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin     sin   cos   sin       cos       4 4 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) Cos.Cos Cos cộng cộng Cos trừ  sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) Sin.Sin Cos trừ trừ Cos cộng sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) Sin.Cos Sin cộng cộng Sin trừ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC u  v  k 2 u  v  k 2 sin u  sin v   (k  )  cos u  cos v   k  u    v  k 2 u  v  k 2 https://TaiLieuOnThi.Net  Tài Liệu Ôn Thi Group sin u   u    k 2 sin u  1  u   Đặc biệt: sin u   u  k   cos u   u  k 2 k    k 2 cos u  1  u    k 2 Đặc biệt: cos u   u  tan u  tan v  u  v  k k     k    k k   cot u  cot v  u  v  k TỔ HP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta cộng kết lại HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn  n ! với n  CHỈNH HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (không xếp thứ tự), ta có TỔ HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (có xếp thứ tự), ta số số cách chọn Cnk  Cách tính: Cnk   Cách tính: n!  1.2  n  1 n  Quy ước sốc: 0!  với  Công thức: P ( X )  XÁC SUẤT Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta nhân kết giai đoạn n, k k n cách chọn Ank n!  n  k  !k !  Cách tính: Ank  với n( X ) n ( ) n, k k n n!  n  k !  Tính chất:  P ( X)  Trong đó: n( X ) : số phần tử P ()  0; P ()  tập biến cố X; n() : số phần tử P ( X )   P ( X ) với X biến cố đối X không gian mẫu P ( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  Khai triển dạng liệt kê: Trong công thức bên, ta có n  , n   a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2   Cnn1abn1  Cnnbn  Đặc biệt: 1  x  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cnn1 xn1  Cnn xn (*) n  Heä quaû 1: Cn0  Cn1  Cn2  Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1 Khai trieån tổng quát: Trong công thức bên, ta có n  , n   Khai trieån: n  a  b    Cnk a nkbk Số hạng tổng quát: Tk1  Cnk a nkbk n k 0  Phân biệt hệ số số haïng: Cnk ( 1)k a n kbk x HỆ SỐ SỐ HẠNG Nhớ số hạng không chứa x ứng với CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Định nghóa: Định nghóa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân un1  un  d với n  * un 1  un q với n   Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , *  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q công sai d Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n  Số hạng tổng quát: *  un  u1.q n 1 với n  Tính chất số hạng:  uk 1  uk 1  2uk với k  k  * Tính chất số hạng:  uk 1.uk 1  uk2 với k  Tổng n số hạng đầu tiên: k  Tổng n số hạng đầu tieân: (u  un )n  Sn  u1  u2   un   Sn  u1  u2   un  u1 (1  q n ) với q  1 q KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM BẬC BA XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho y  Tìm nghiệm x1 , x2  Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị  y( x0 )  ( x0 ; y0 )    y( x0 )  y0  Neáu f ( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực đại x  Nếu f ( x0 ) f ( x0 ) x0 hàm số f ( x) đạt cực tiểu x  Đạo hàm y  3ax  2bx  c y ax  b (ad  bc  0) cx  d  Hàm số đồng biến tập xác định  y  0, x  a      Đạo haøm y  ad  bc (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  Hàm số nghịch biến tập xác định  y  0, x  a      ad  bc   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc  CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax  bx  cx  d (a  0) y  ax4  bx2  c (a  0)  Đạo hàm y  3ax  2bx  c  Hàm số có hai cực trị (giả thiết hàm số liên tục x0 ) f ( x0 ) y  ax3  bx2  cx  d (a  0) HÀM NHẤT BIẾN a  (*)   y  f ( x) x0 TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a ; b  Điều kiện cực trị Ba cực trị Một cực trị  Để tìm điều kiện cho hàm số cực trị: Bước 1: làm theo công thức (*) Bước 2: phủ định kết  Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y  Đạo haøm y  4ax  2bx f ( x) f ( x) 18a ab  ab   2 a  b  a  b2  Có cực trị  Cho A, B, C ba điểm cực trị, ta có: cos BAC  SABC  b3  8a b3  8a b5 32a TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a ; b) https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group  Bước 1: Tính y  Bước 1: Tính y f ( x) (a;b) cho f ( x) Tìm nghiệm xi x  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b] a  Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b] max f ( x) f (a) f ( x) f (a) f ( x) f (b) x [a;b] x [a;b] TIỆM CẬN ĐỨNG  Định nghóa: x x0 TIỆM CẬN NGANG (x hữu hạn, y vô hạn), y ta có tiệm cận đứng x x0 Lưu ý: điều kiện x0 thay x hạn bên trái) x ax cx x0 nghiệm b với (c d 0, ad x y bc (x vô hạn, y hữu hạn), y0 ta có tiệm cận ngang y Bước 2: CALC CALC mẫu số mà nghiệm tử số x x0 TCĐ đồ thị  Đồ thị hàm số y  Định nghóa: y0  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy x0 (giới x0 (giới hạn bên phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x b x f (b) x [a;b] x baèng (; ) ta tính thêm lim y ) max f ( x) x [a;b]  Bước 2: Cần tính lim y, lim y (Neáu thay (a ; b) (nếu có)  Bước 3: So sanh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ x (a;b) cho f ( x) Tìm nghiệm xi  Bước 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), ĐẶC BIỆT f ( x) NEXT NEXT X X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y y0 0) có TCĐ: x d , TCN: y c a c  Nên nhớ, đồ thị có nhiều tiệm cận đứng, có tối đa tiệm cận ngang TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ f (x ) (C ) : y g(x ) Xét hai đồ thị (C1 ) : y  Bước : Lập phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) (*)  Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , (nếu có), suy y1 , y2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tuyến có hệ số góc k tuyến qua A( xA; yA)  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với có hệ số góc k y ( x0 )  Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y k( x x0 ) y0 điểm tính đạo hàm y  Bước 2: Cho y ( x0 ) k , từ tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 )  Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến : https://TaiLieuOnThi.Net y0  f ( x0 )  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0  Bước 3: Thay x0 tìm vào Tài Liệu Ơn Thi Group k( x y (*) để viết phương trình tiếp tuyến y0 x0 ) SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN Số phức có dạng: z a, b bi với a i2 Thành phần (i: đơn vị ảo) Ký hiệu tập số phức: Hình học  Phần thực: a Nếu a z bi gọi số ảo  Phần ảo: b Nếu b z a số thực  Khi a b z vừa số ảo vừa số thực Số phức liên hợp – Số phức nghịch đảo Cho z a bi Khi đó:  Số phức liên hợp Minh họa  Điểm M (a;b) biểu diễn cho z hệ trục Oxy  Mô-đun: z a2 OM b2 Căn bậc hai  Căn bậc hai a  Căn bậc hai a z a bi  Số phức nghịch đảo 1 z z a bi a b i 2 a b a b2 Phương trình bậc hai  Phương trình z2 a là x yi với x 2 y xy b a có a hai nghiệm phức z  Phương trình z i a  Căn bậc hai số phức z a bi hai số phức dạng w a a hai nghiệm phức z có i a  Phương trình az bz c 0 có hai nghiệm với phức là: z1,2 b i 2a KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN: Tam giác vuông: Pitago A B C H AC (đối/huyền) BC sin B cos B Tam giác đều: AB AC AC2 CH.BC AH AB2 AB (kề/huyền) BC Đường cao: AH a a K AG G H BC2 AB2 BH.BC AH BH.CH AC2 AH tan B AC (đối/kề) AB AB.AC AB AC cot B AB (kề/đối) AC Giả sử tam giác ABC có cạnh a; trọng tâm G; đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK A B C a Tam giaùc thường: AH BK a (caïnh) a ; GH (caïnh)2 ABC Giả sử tam giác ABC có a Diện tích: S a AH a a2 BC, b AC, c a AB ; đường cao , hb , hc ứng với cạnh a, b, c Ký hiệu R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group a sin A Định lí Cô-sin: a2 b c 2R sin B sin C b2 c2 2bc.cos A ; Định lí Sin: b2 Diện tích: S S ABC ABC a2 c2 2ac.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC 1 1 1 a hb b hc c ; S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ; 2 2 2 abc a b c (nửa chu vi) pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) với p 4R Công thức Hê Rông Hình vuông: Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N trung điểm CD, AD; I tâm hình vuông Đường chéo: IA IB AC BD AC BD IC (cạnh) Hình chữ nhật: ABN a nên I tâm đường tròn qua ID bốn đỉnh hình vuông Diện tích: SABCD (cạnh)2 Vì a 2 a2 ; chu vi: p 4a BN ADM , ta chứng minh được: AM Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB a, AD b BD a2 b2 IA IB IC ID a b2 nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D Đường chéo: AC Diện tích: SABCD Hình thoi: a.b ; chu vi: p 2(a b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a Đường chéo: AC Diện tích: SABCD BD; AC AI AC.BD ; SABCD 2 AB.sin ABI 2S ABC 2S 2a.sin ABI ACD 2S ABD Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 ( A C 1200 ) ACD ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC AC a S ABC S ACD a2 ; SABCD 2S a2 ABC II THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: Hình chóp: 7.1 Hình chóp tam giác S h D A Tất cạnh bên Đáy tam giác cạnh a SH ( ABC) với H trọng tâm ∆ ABC Sđ H SH Sđ a2 h Thể tích V a2 h C B V h.Sđ Góc cạnh bên mặt https://TaiLieuOnThi.Net Góc mặt bên mặt đáy: Tài Liệu Ơn Thi Group 7.2 Tứ diện đều: Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V a3 12 ñaùy: SA,( ABC) (SAB),( ABC) SAH SCH SC,( ABC) (SBC),( ABC) 7.3 Hình chóp tứ giác đều: 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy a2 SO h Sđ SA S Thể tích SBO SA.S V ABC SMO SNO Đáy tứ giác đặc biệt ABC SBA SC,( ABC) h.a2 V (SBC),( ABCD) Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABC) Thể tích (SAB),( ABCD) Đáy tam giác h 7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Sđ Góc mặt bên mặt đáy: SAO SB,( ABCD) SNH Tất cạnh bên Đáy hình vuông cạnh a SO ( ABCD) với O tâm hình vuông ABCD Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABCD) SMH SCA h Sđ SA Thể tích SABCD SA.SABCD V Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt Đường cao h SH đường cao ∆SAB Góc cạnh bên mặt đáy: Đường cao h SH đường cao ∆SAB Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABC) SAH SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH SC,( ABC) SCH https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group III THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V Đáy tam giác Đáy tứ giác h.Sđ V Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác AH.S ABC h  Thể tích: V AA h.Sđ với BB CC AH.SA B C D Đáy tứ giác Thể tích: V h AA h.Sđ với BB CC DD 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật 3.2 Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh  V  V abc với a,b, c ba kích thước khác hình hộp chữ nhật h.Sđ AH.SABCD V ABC Đáy tam giác  Thể tích: V Hình hộp:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành AH.S a3 với a cạnh hình lập phương MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h S l h l SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: l r OA OB OM Một số công thức:  Chu vi đáy: p  Diện tích đáy: Sđ  Thể tích: V  Đường sinh: A r O B M Hình thành: Quay vuông l SA SB r h.S đ r2 h r (liên tưởng khối chóp) SM  Góc đỉnh: ASB https://TaiLieuOnThi.Net  Diện tích xung quanh: Sxq rl Tài Liệu Ơn Thi Group SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h r SO OM  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đường sinh mặt đáy: SAO MẶT TRỤ  Diện tích toàn phần: Stp  Đường cao: h OO  Đường sinh: l AD OA BC OC O D hai điểm O, O  Thiết diện qua trục: Là hình Một số công thức: Sxq IA IB 2R Là đường tròn tâm I , bán R2  Thể tích khối cầu: V R3 Sxq 2Sđ r.h r2  Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện kính R  Diện tích mặt cầu: S r.h  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Hình thành: Quay đường tròn tâm I , bán kính AB quanh trục AB , ta có R mặt cầu hình vẽ h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện IM  Đường kính AB h.Sđ  Diện tích toàn phần:  Tâm I , bán kính R r2  Diện tích xung quanh: Stp chữ nhật ABCD MẶT CẦU r  Diện tích đáy: S đ V  Trục (∆) đường thẳng qua Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên r2  Thể tích khối trụ: h OB rl Một số công thức:  Chu vi đáy: p  Bán kính đáy: r Sđ SMO SBO Các yếu tố mặt trụ: Ta có: l Sxq CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh góc vuông  Xét hình chóp có SA ( ABC)  Xét hình chóp có SA ( ABCD) ABCD hình chữ Hình chóp  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao https://TaiLieuOnThi.Net  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO h Tài Liệu Ơn Thi Group nhật hình vuông 900 ABC  Ta coù  Ta coù: SAC SAC SBC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính R SC SBC SDC 900 Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC ,  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b2 2h R b2 2h R SC bán kính R Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán h kính R Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy rđ  Nếu đáy tam giác cạnh a a  Nếu đáy hình vuông rđ  Xét hình chóp có (đáy) SA SA h ; bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy rđ a  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b cạnh a rđ a2 rđ b2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB) (đáy)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp rđ R rb2 d2 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc  Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (1;0;0) (0;1;0) (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u Cho a  a  ka  a  a.b b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 (a1 ; a2 ; a3 ), b b3 ) b b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 yj zk  a a12 a22 ( x; y; z) u (b1 ;b2 ;b3 ) Ta có:  a phương b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a22 https://TaiLieuOnThi.Net a kb (k a1 a2 a3 b1 b2 b3  a2 a R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0) a32 Tài Liệu Ôn Thi Group  a a.b b a1b1 a2b2 Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  AB ( xB xA ; yB zA )  AB  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M xA xB yA ; yB zA ; zB a.b a2b2 2 a a3b3 b22 a b a b32 ( x; y; z) Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a1b1 a.b  cos(a, b) a3b3 x A )2 ( xB yA )2 ( yB ( zB zA )  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; 3 Tích có hướng hai vectơ:  Định nghóa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a, b  Tính chất: [a, b] a2 b2 a3 a3 ; b3 b3 [a, b] a  Điều kiện phương c a hai vectơ a & b a, b với a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 a1b3 ; a1b2 [a, b] b laø [a, b].c a2b1 a b sin a, b  Diện tích tam giác ABC:  Diện tích hình bình hành ABCD: S AB, AD ABCD  Thể tích khối hộp: VABCD A'B'C'D' a3b2 ; a3b1  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c (0;0;0) S a2b3 [ AB, AD] AA' ABC  Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AB, AC AD Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S) : ( x Mặt cầu ( S) có a) (y b) (z c)2 R2 Dạng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Maët cầu ( S) có R2  Phương trình x2 z2 2ax 2by 2cz d Bài toán 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm M  Bước 1: Tính bán kính R  IM 2ax b2 c2 2by 2cz d a2 d laø phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  Bài toán 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB  Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu daïng z2 I (a; b; c) R y2 y2 AB  IA  IB  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng:  Mặt phẳng ( P) trình ( P) : a( x  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n x0 ) b( y (a; b; c) y0 ) phương c( z z0 )  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax by cz d , mặt phẳng có VTPT n (a;b; c) Bài toán 6.2 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group  Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính  AB, AC    tọa độ AB  Bước 2: Phương trình mp( P )  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy qua I VTPT n  AB Bài toán 6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M d  Bước 2: Phương trình mp( P ) Tính  AM , ud    Bước 2: Phương trình mp( P ) x a y b z c qua M VTPT n   AM , ud  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ax0  by0  cz0  d a  b2  c Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( P ) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P ) : ax  by  cz  d   Cho   Khi ñoù: d  M , ( P )    Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chaén ( P) :  VTPT n   AB, AC  Bài toán 6.4 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c  Bước 1: Chọn điểm A d VTCP ud qua A  Cho hai mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Khi đó: d  ( P ), (Q)   d1  d a  b2  c2 với d1  d Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:  Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: ( P ) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P ) & (Q) tính: cos  ( P ), (Q)   nP nQ  nP nQ  a1a  b1b2  c1c2 a  b12  c12 a 22  b22  c22  0  Chú ý:  ( P ), (Q)  90 ( P ) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta coù:  (Q) : a x  b2 y  c2 z  d  a b c d  ( P ) (Q)     a b2 c2 d2 a b c d  ( P )  (Q)     a b2 c2 d  ( P ) & (Q) caét  a1 : b1 : c1  a : b2 : c2  ( P )  (Q)  a1a  b1b2  c1c2   Lưu ý: Các tỉ số có nghóa mẫu khác Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trường hợp 1: d  I , ( P )   R  ( P ) vaø ( S ) điểm chung  Trường hợp 2: d  I , ( P )   R  ( P ) ( S ) có  Trường hợp 3: d  I , ( P )   R  ( P ) caét ( S ) https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group điểm chung Khi ta nói ( P ) tiếp xúc theo giao tuyến đường tròn ( S ) ( P ) tiếp diện ( S) Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R2  IH với IH  d  I ,( P )  Ta coù: IM  ( P ) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA; yA; zA) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  x  xA  u1t   Phương trình tham số d :  y  yA  u2t với z  z  u t A  có: t tham số  Phương trình tắc d:  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá nằm d song song với d x  xA y  yA z  zA   u1 u2 u3 a  d  Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho  b  d với u1.u2 u3  d có VTCP laø: ud   a , b    7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I  u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 song song trùng  u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo qua M VTCP u1 Bước II  u1 ; MN  u1 ; MN qua N , d1 VTCP u2 Kết luận d1 d2 (Hai đường thẳng trùng nhau) d1 d2  u1 ,u2 MN d1 caét d2  u1 ,u2 MN d1 & d2 cheùo 7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1t Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng (P) : ax z z0 u3 t Bước I:  Thay phương trình tham số d vào Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau  PT (*) vô nghiệm https://TaiLieuOnThi.Net by cz d Kết luận d ( P) Tài Liệu Ơn Thi Group phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d  x  x0  PT (*) coù nghieäm   y  y0 z  z  d cắt ( P) điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ; z0 ) (P) d  PT (*) có vô số nghiệm 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)  Bước 2: d  M , d   ud , AM    ud 7.4 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP laø u1 , u2     Ta coù: cos d1 , d  u1.u2 u1 u2 7.5 Góc đường thẳng mặt phẳng:  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P ) có VTPT n     Ta coù: sin d , ( P )  u.n u.n Hình chiếu điểm đối xứng: Bài toán  Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P ) Phương pháp  Gọi d đường thẳng qua A ( P) Viết pt tham số d với VTCP d cũøng VTPT (P)  Gọi H  d  ( P ) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  Tìm điểm A đối xứng với A qua (P )  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   yA  yH  yA z  2z  z H A  A Cách I  Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d)  Tìm t  AH  d  AH ud    Gọi ( P) Cách II qua A ( P) d Vieát pt mp( P)  Goïi H  d  ( P ) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d  xA  xH  xA   Ta coù H trung điểm AA   yA  yH  yA z  2z  z H A  A https://TaiLieuOnThi.Net   Tọa độ H  ... 4sin3  tan 3  tan   tan  3tan   tan   3tan  Công thức hạ bậc  cos 2 sin   cos    cos 2 tan    cos 2  cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: a b a b cos 2 a b a b... CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG Xét hàm quảng đường S(t ), hàm vận tốc v(t ) hàm gia tốc a (t ) Ba hàm biến thiên theo t  S(t )   v(t )dt  v(t )  S(t )  v(t )   a (t )dt  a (t )  v(t ) CÔNG... gian mẫu P ( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  Khai triển dạng liệt kê: Trong công thức bên, ta có n  , n   a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2