Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham sốSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số

Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số MỤC LỤC Tên Phần I: Mở đầu Lý chọn đề tài Phần II: Nội dung Cơ sơ lý luận vấn đề nghiên cứu Thực trạng ban đầu vấn đề Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Vấn đề Dùng đạo hàm tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu Trang 1 2 3 khoảng cho trước Bài tập tương tự Vấn đề Dùng đạo hàm để xét số nghiệm phương trình chứa tham số Phương trình đa thức Phương trình vơ tỉ Phương trình mũ logarit Bài tập tương tự Vấn đề Dùng đạo hàm để xét nghiệm bất phương trình chứa 6 15 18 18 tham số Bất phương trình vơ tỉ Bất phương trình mũ logarit Bài tập tương tự Phần III: Kết luận Tài liệu tham khảo Phần đánh giá hội đồng khoa học cấp 18 21 22 23 24 25 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Hiện chương trình tốn THPT kì thi tuyển sinh đại học, dạng tốn liên quan đến tham số xếp vào nhóm kỉ bậc cao tư thực hành học sinh, học sinh thường lúng túng đụng tới vấn đề liên quan đến tham số để giải Để giải tốn dạng: Điều kiện có nghiệm; số nghiệm; nghiệm với x ∈ D … phương trình; …địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả suy xét phán đoán lập luận chặt chẽ giải dạng toán Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Cách giải loại tốn thơng thường quy tam thức bậc hai, biện luận khả xảy sử dụng điều kiện so sánh nghiệm, xét dấu nghiệm…để tìm đáp số,cũng giải phương pháp đánh giá tùy theo loại toán Xong, để giải dạng toán cịn cơng cụ mạnh dựa vào chiều biến thiên hàm số, giá trị lớn nhất, gái trị nhỏ hàm số thông qua việc ứng dụng đạo hàm để giải Hiện nay, với chương trình phân ban sách giáo khoa viết theo tinh thần giảm tải cho học sinh lượt bỏ nội dung so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai chương trình đại số 10 nên việc giải toán liên quan đến so sánh nghiệm thường quy xét dấu nghiệm Cách làm không né tránh khỏi phức tạp đa số tốn chứa tham số Với lí nên giảng dạy cho học sinh lớp 12 ơn tập chương trình, tơi định hướng cho học sinh khai thác ứng dụng đạo hàm giải toán, đặc biệt “ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số” nhằm trang bị thêm cho em phương pháp giải giãm nhẹ mức sai sot cho học sinh giải tốn Hi vọng sễ giúp ích nhiều cho em q trình ơn tập kiến thức PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu Mệnh đề Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục miền D đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D Khi phương trình f ( x) = m; x ∈ D có f ( x) ≤ m ≤ max f ( x) nghiệm xmin ∈D x∈D Mệnh đề Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục miền D đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D Nếu f (a) f (b) < phương trình f ( x) = có nghiệm ( a; b ) Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Mệnh đề Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục miền D đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D f ( x) a Bất phương trình m ≤ f ( x) có nghiệm D m ≤ max D b Bất phương trình m ≤ f ( x) nghiệm ∀x ∈ D m ≤ f ( x) D Mệnh đề Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục miền D đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D f ( x) a Bất phương trình m ≥ f ( x) có nghiệm D m ≥ D b Bất phương trình m ≥ f ( x) nghiệm ∀x ∈ D m ≥ max f ( x) D Mệnh đề Cho phương trình f ( x) = g ( x); ∀x ∈ D Giả sử D hàm số y = f ( x) ln đồng biến cịn hàm y = g ( x) nghịch biến Khi phương trình có nghiệm có nghiệm Mệnh đề Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng ( a; b ) a Nếu f '( x) > với x ∈ ( a; b ) hàm số y = f ( x) đồng biến ( a; b ) b Nếu f '( x) < với x ∈ ( a; b ) hàm số y = f ( x) nghịch biến ( a; b ) c Nếu f '( x) = với x ∈ ( a; b ) hàm số y = f ( x) khơng đổi ( a; b ) Thực trạng ban đầu vấn đề Trong kì thi tuyển sinh đại học hay thi học sinh giỏi, thi học kì trường thường xuất tốn chứa tham số mà thường gặp dạng “ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số” Đa số học sinh cịn cảm thấy khó khăn chưa tiếp cận tập dạng trên, chưa khai thác triệt để ứng dụng đạo hàm vào để giải tập nên học sinh lúng túng giải toán chứa tham số Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số trước tình hình đó, định chọn đề tài làm tài liệu nhỏ giảng dạy cho học sinh để nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp cách giải phương trình, bất phương trình chứa tham số đồng thời kích thích sáng tạo phong phú tư giải toán cho học sinh nhằm tạo hứng thú cho học sinh cho giáo viên giảng dạy Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Vấn đề 1: Dùng đạo hàm tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Bài Cho hàm số y = x3 + 3x + ( m + 1) x + 4m Tìm m để hàm số nghịch biến ( −1;1) Giải: Ta có y = x3 + 3x + ( m + 1) x + 4m ⇒ y ' = 3x + x + m + Để hàm số nghịch biến ( −1;1) , ta cần có y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ g ( x) = x + x + m + ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) , (1)  Xét ∆ ' = − 3m ≤ ⇔ m ≥ Khi ⇒ g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ m ≥ loại  Xét ∆ ' = − 3m > ⇔ m < Khi phương trình g ( x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 , giả sử x1 < x2 Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = −2; x1x2 = m +1 Để hàm số nghịch biến ( −1;1) ta phải có x1 ≤ −1 < ≤ x2 ( x1 + 1) ( x2 + 1) ≤  x1 x2 + ( x1 + x2 ) + ≤ ⇒ ( x1 − 1) ( x2 − 1) ≤  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + ≤  Ta có x1 ≤ −1 < ≤ x2 ⇒   m +1  − ≤ m ≤ ⇔ ⇔ m ≤ −10 ( thỏa ) Thay định lí Viet vào ta  m ≤ −10  m +1 + ≤  Vậy m ≤ −10 giá trị cần tìm Nhận xét: Với cách giải học sinh né tránh nội dung định lí đảo tam thức bậc hai Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên, ngồi cách giải ta giải tốn theo cách khác sau: Ta có y = x3 + 3x + ( m + 1) x + 4m ⇒ y ' = 3x + x + m + Để hàm số nghịch biến ( −1;1) , ta cần có y ' < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ x + x + m + ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) hay m ≤ −3 x − x − 1, ∀x ∈ ( −1;1) Xét hàm số f ( x) = −3x − x − ⇒ f '( x) = −6 x − 6; f '( x) = ⇔ x = −1 , Ta có bảng biến thiên sau x −∞ −1 − f '( x ) +∞ f ( x) −10 Từ bảng biến thiên ta suy để m ≤ f ( x) với ∀x ∈ ( −1;1) ta cần có m ≤ f ( x) = f (1) ⇔ m ≤ −10 [ −1;1] Nhận xét: Với cách giải học sinh cần dựa vào việc ứng dụng đạo hàm vào khảo sát tình đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Tìm m để hàm số y = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) x − đồng biến khoảng ( 0;3) Giải: Ta có y = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) x − ⇒ y ' = − x + ( m − 1) x + m + Để hàm số đồng biến ( 0;3) ta cần có y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ − x + ( m − 1) x + m + ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3 ) hay g ( x) = − x + ( m − 1) x + m + ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3 ) Ta cần xét ∆ ' > ( ∆ ' ≤ g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ R , bị loại ) Xét ∆ ' = m − m + > với m Khi phương trình g ( x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ; ( x1 < x2 ) Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = ( m − 1) ; x1x2 = −m − Để hàm số đồng biến ( 0;3) ta phải có x1 ≤ < ≤ x2  x1 x2 ≤  x1 x2 ≤ ⇒ ( x1 − 3) ( x2 − 3) ≤  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + ≤  Ta có x1 ≤ < ≤ x2 ⇒   m ≥ −3  −m − ≤ 12  Thay định lí Viet vào ta −m − − 3.2 m − + ≤ ⇔  12 ⇔ m ≥ ( )  m ≥ 12 Vậy giá trị cần tìm m m ≥ Nhận xét: Với cách giải học sinh né tránh so sánh nghiệm tam thức bậc hai mà chương trình giảm tải Tuy nhiên, ngồi cách giải ta giải tốn phương pháp đạo hàm sau: Ta có y = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) x − ⇒ y ' = − x + ( m − 1) x + m + Để hàm số đồng biến ( 0;3) ta cần có y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ − x + ( m − 1) x + m + ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ x + x − ≤ ( x + 1) m, ∀x ∈ ( 0;3) Vì x ∈ ( 0;3) nên x + > Do ta có x + x − ≤ ( x + 1) m, ∀x ∈ ( 0;3 ) ⇔ m ≥ Xét f ( x) = x2 + 2x − , ∀x ∈ ( 0;3 ) 2x +1 x2 + 2x − x2 + 2x + ⇒ f '( x ) = > 0, ∀x ∈ ( 0;3 ) 2x +1 ( x + 1) Ta có bảng biến thiên sau x −∞ + f '( x ) +∞ 12 f ( x) −3 Từ bảng biến thiên suy m ≥ f ( x) với x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≥ f (3) ⇔ m ≥ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 12 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Bài Tìm m để hàm số y = x3 − ( m + 1) x + m ( m + ) x + đồng biến ( 4;9 ) Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x3 − mx + ( 2m − 1) x − m + nghịch biến ( −2;0 ) Bài Tìm m để hàm số y = − x + 3x + 3mx − nghịch biến ( 0; +∞ ) Vấn đề Dùng đạo hàm để xét số nghiệm phương trình chứa tham số Phương trình đa thức Bài Tìm giá trị m để phương trình mx + 2mx − = có nghiệm x ∈ [ 1; 2] Giải: ( ) Phương trình cho viết lại dạng x + x m = 3;(1) Dễ thấy x = 0; x = −2 khơng nghiệm phương trình (1) Chia hai vế cho x + x ta m = Xét hàm số f ( x) = Ta có f '( x) = ( x + 2x −6 ( x + 1) x2 + 2x ) x + 2x (2) đoạn [ 1; 2] < 0, ∀x ∈ [ 1; 2] suy f ( x) giảm đoạn [ 1; 2] f ( x) = f (1) = f ( x) = f (2) = ; max Suy [ 1;2] [ 1;2] Phương trình (1) có nghiệm đoạn [ 1; 2] phương trình (2) có f ( x) ≤ m ≤ max f ( x) ⇔ ≤ m ≤ nghiệm đoạn [ 1;2] ⇔ [ 1;2] [ 1;2] ( ) ( ) Bài Tìm m để phương trình x + x − 4m x + x + 3m + = có nghiệm Giải: Đặt t = x + x = ( x + 1) − ≥ −1 Phương trình cho trở thành t − 4mt + 3m + = ⇔ t + = ( 4t − 3) m;(2) Nhận thấy t = không nghiệm phương trình (2) , Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số 3 t2 +1 ;(3) [ −1; +∞ ) \   Do phương trình (2) viết lại m = 4 4t − ( ) 2t − 3t − t2 +1 ; f '( t ) = ⇒ t = − ;t = Xét hàm số f (t ) = có f '( x) = 4t − ( 4t − 3) Bảng biên thiên t + f '(t ) f (t ) − − 4 − −1 − +∞ − + +∞ −∞ +∞ 3 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ∈ [ −1; +∞ ] \   4 Dựa vào bảng biển thiên ta kết m ≤ − ∨ m ≥ Nhận xét: Những toán dạng học sinh hay mắc lỗi không xác định giá trị giới hạn hàm số x tiến ±∞ x tiến đến giá trị không xác định hàm số Do cần nhấn mạnh phải kiểm tra giới hạn hàm số trước lập bảng biến thiên Với cách giải học sinh né tránh vấn đề phải so sánh nghiệm mà chương trình khơng trang bị Phương trình vơ tỉ Bài Biện luận theo m số nghiệm phương trình x + = m x + Giải: Phương trình ln xác định với số thực x Chia hai vế phương trình cho x + ta Xét hàm số f ( x) = Ta có f '( x) = x +1 x +1 liên tục R có xlim →−∞ 1− x ( x + 1) 2 x +1 ; f '( x) = ⇒ x = Bảng biến thiên x +1 x +1 x +1 x +1 = m;(1) = −1; lim x→+∞ x +1 x +1 =1 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số x −∞ + f '( x ) +∞ − f ( x) −1 Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm phương trình tùy thuộc vào giá trị m sau: Nếu m ≤ −1 m > phương trình (1) vô nghiệm Nếu −1 < m ≤ m = phương trình (1) có nghiệm Nếu < m < phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Trong bảng biến thiên trên, học sinh thường đưa kết biện luận thiếu xác Phải xét kỉ trường hợp có dấu “ = ” xảy Bài Biện luận theo m số nghiệm phương trình x + m = m x + Giải: Phương trình xác định với x ∈ R Ta có x + m = m x + ⇔ x = m ( Nhân hai vế phương trình với ) x2 + −1 x + + ta x ( ) x + + = mx , (1) Dễ thấy x = nghiệm phương trình (1) Xét x ≠ , chia hai vế cho x đưa phương trình dạng x2 + + =m x Xét hàm số f ( x) = x + + R \ { 0} Hàm số liên tục khoảng xác x f ( x) = −1; lim f ( x) = 1; lim− f ( x) = −∞; lim+ f ( x) = +∞ định Ta có xlim →−∞ x →+∞ x →0 x →0 Và ta có f '( x) = −1 − x + x2 x2 + < 0, ∀x ∈ R \ { 0} hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên x −∞ +∞ Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số − − f '( x ) +∞ −1 −∞ f ( x) Dựa vào bảng biến thiên số nghiệm phương trình (1) tùy theo giá trị m sau Nếu m < −1 m > phương trình (1) có nghiệm Nếu −1 ≤ m ≤ phương trình vô nghiệm ( x + 3) ( − x ) x+3 + 6− x − Bài Tìm m để phương trình = m (1) có nghiệm Giải: Nhận xét: Đây tốn chứa tổng tích, thơng thường ta đặt tổng t tích biểu diễn qua tổng Ta giải toán sau: Điều kiện xác định phương trình −3 ≤ x ≤ Đặt x + + − x = t ⇒ ( x + 3) ( − x ) = t − Vì t hàm số theo x nên ngồi cách tìm điều kiện t qua đánh giá cịn sử dụng đạo hàm để tìm miền giá trị t Ta có t = x + + − x ⇒ t '( x) = 6− x − x+3 ( x + 3) ( − x ) , ∀x ∈ [ −3;6] 3 t '( x ) = ⇔ x = ; t '( x) ≥ ⇔ −3 ≤ x ≤ 2 Ta có bảng biến thiên x −3 + t '( x ) − t ( x) 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có miền giá trị t ≤ t ≤ 2 Thay x + + − x = t; ( x + 3) ( − x ) = t − 10 9 ta − t + t + = m 2 (2) Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số x −∞ −1 − t '( x ) 0 +∞ + 2 t ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện theo t ≤ t ≤ Thay + x − − x = t ; − x = − t vào phương trình đầu ta m ( t + 2) = − t + t −t + t + Vì t = −2 khơng nghiệm phương trình nên m = (2) t+2 −t + t + Xét hàm số f (t ) = đoạn 0;  hàm số liên tục t+2 Và có f '(t ) = −t − 4t ( t + 2) ( ) ( < 0, ∀t ∈ 0; hàm số f (t ) nghịch biến 0; ) f (t ) = f (0) = 1; f (t ) = f ( 2) = − Suy max 0;  0;      Phương trình có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn 0;  ⇔ min f (t ) ≤ m ≤ max f (t ) ⇔ − ≤ m ≤   0;  0;  Bài Tìm m để phương trình x − + m x + = x − có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình x ≥ x + > Chia hai vế cho x + ta x −1 x −1 x −1 x −1 + m = 24 ⇔ m = −3 + 24 x +1 x +1 x +1 x +1 Đặt t =  x +1  x −1 > 0; ∀x > ; x ≥ ta có t '( x ) =  ÷ ÷  x −  ( x + 1) x +1 Bảng biến thiên x −∞ +∞ + t '( x ) 13 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số t ( x) −3 Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện t ≤ t < Thay t = x −1 x −1 x −1 ; x ≥ vào phương trình m = −3 + 24 ta x +1 x +1 x +1 m = −3t + 2t (2) Xét hàm số f (t ) = −3t + 2t; t ∈ [ 0;1) ta có f '(t ) = −3t + 2; f '(t ) = ⇔ t = Ta có bảng biến thiên t −∞ + f '(t ) f (t ) 3 +∞ − −1 Phương trình cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ∈ [ 0;1) Dựa vào bảng biến thiên suy −1 < m ≤ Nhận xét: Học sinh đặt t = x −1 ; x ≥ với điều kiện t t ≥ chưa x +1 Vì phải cẩn thận đặt điều kiện cho t cần khảo sát Nếu không khảo sát hàm số t ; ∀x ≥ để tìm điều kiện cho t ta chứng minh: t = x −1 = 1− < ∀x ≥ Vậy ≤ t < x +1 x +1 Bài Tìm m để phương trình − x + x + = m có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình −5 ≤ x ≤ Xét hàm số f ( x) = − x + x + 5; x ∈ [ −5; 4] Có f '( x) = 4− x − x+5 ; −5 < x < f '( x ) = ⇔ − x − x + = ⇔ x = − ( − x ) ( x + 5) 14 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Ta có bảng biến thiên x −∞ − −5 + f '( x ) +∞ − f ( x) 3 Phương trình có nghiệm m = Bài Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + − x + − x = m Giải: Điều kiện xác định phương trình ≤ x ≤ Xét hàm số f ( x) = x + x + − x + − x , x ∈ [ 0;6]  1 − Có f '( x) =  ( 2x )  Đặt u ( x) = ( 2x ) ( − x) − ( − x) 3  ÷+  −  , x ∈ ( 0;6 ) ÷ ÷  x 6− x   , v( x) = 1 − 2x 6− x Ta thấy u ( ) = v ( ) = nên f '(2) = Mặc khác u ( x), v( x) dương khoảng ( 0; ) âm ( 2;6 ) Ta có bảng biến thiên x + f '( x ) − +6 f ( x) + 24 12 + Do phương trình có hai nghiệm + ≤ m ≤ + Phương trình mũ logarit Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm x − m.2 x + − m = 15 (1) Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Giải: 2 Đặt t = x ; t > ta có phương trình t − mt + − m = ⇔ t + − m ( t + 1) = Vì t > ⇒ t + > nên t + − m ( t + 1) = ⇔ m = t2 + t +1 (2) t + 2t − t2 + f '( t ) = ; t > có Xét hàm số f (t ) = ( t + 1) t +1 t = f '(t ) = ⇔ t + 2t − = ⇔  t = −3 Bảng biến thiên t −∞ − f '(t ) +∞ + +∞ f (t ) Từ bảng biến thiên ta có kết f (t ) ≥ ∀t > Vậy để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t >0⇔m≥2 Bài Tìm m để phương trình 91+ 1− x − ( m + ) 31+ 1− x + 2m + = có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình −1 ≤ x ≤ Đặt u = + − x ; −1 ≤ x ≤ ⇒ ≤ u ≤ u u Ta có phương trình − ( m + ) + 2m + = Lại đặt t = 3u Vì ≤ u ≤ ⇒ 31 ≤ 3u ≤ 32 ⇒ ≤ t ≤ Khi ta có phương trình t − ( m + ) t + 2m + = ⇔ m = t − 2t + (2) t −2 t − 4t + t − 2t + f '( t ) = ; f '(t ) = ⇔ t = ∨ t = ; ∀t ∈ [ 3;9] có Xét hàm số f (t ) = ( t − 2) t −2 Bảng biến thiên t f '(t ) −∞ − 16 + +∞ Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số 64 f (t ) Để phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ∈ [ 3;9] ⇔ ≤ m ≤ 64 Nhận xét: Học sinh đặt u = + − x với điều kiện u ≥ chưa x x Bài Tìm m để phương trình m.9 − ( 2m + 1) + m + = có hai nghiệm Giải: Đặt t = 3x > ta phương trình mt − ( 2m + 1) t + m + = ⇔ ( t − 2t + 1) m = t − Vì t = khơng phải nghiệm phương trình nên (t − 2t + 1) m = t − ⇔ m = t −4 (2) t − 2t + −t + 8t − t −4 f '( t ) = ; f '(t ) = ⇔ t = ∨ t = ;0 < t ≠ có Xét hàm số f (t ) = t − 2t + ( t − 2t + 1) Bảng biến thiên t f '(t ) − + −4 f (t ) −∞ −∞ 12 − +∞ Phương trình có hai nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm Khi m < −4 < m < 12 Bài Tìm m để phương trình log 32 x + log 32 x + − 2m − = có nghiệm thuộc đoạn 1;3  17 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Giải: ; t '( x) = ⇔ x = Đặt t = log x; ∀x ∈ 1;3  ta có t '( x) = ( 2log x ) x ln Bảng biến thiên x + t '( x ) 3 t ( x) Vậy điều kiện t ≤ t ≤ Ta có phương trình t + t + − 2m − = ⇔ 2m = t + t + − Xét hàm số f (t ) = t + t + − 1; ∀t ∈ [ 0;3] Có f '(t ) = + t +1 +1 = > ∀t ∈ [ 0;3] t +1 t +1 f (t ) = f (0) = 0; max f (t ) = f (3) = Suy hàm số f (t ) đồng biến có [ 0;3] [ 0;3] Để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 1;3  f (t ) ≤ 2m ≤ max f (t ) ⇔ ≤ m ≤ [ 0;3] [ 0;3] BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Tìm m để phương trình − x + + x + Bài Tìm m để phương trình ( − x) ( + x) = m có nghiệm x + − x + x + − x = m có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ( m − 1) x + ( m − 3) x + m + = 2 Bài Tìm m để phương trình log x + log x − = m ( log x − 3) có nghiệm thuộc khoảng ( 32; +∞ ) Vấn đề Dùng đạo hàm để xét nghiệm bất phương trình chứa tham số Bất phương trình vơ tỉ 18 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Bài Tìm m để bất phương trình mx − x − ≤ m + có nghiệm Giải: Điều kiện xác định phương trình x ≥ Đặt t = x − 3; t ≥ ⇒ t = x − ⇒ x = t + t +1 ( *) t2 + Ta có bất phương trình m ( t + 3) − t ≤ m + ⇔ m ≤ Xét hàm số f (t ) = Có f '(t ) = t +1 ; ∀t ≥ t2 + −t − 2t + ( t + 2) ; f '(t ) = ⇔ t = −1 + t ≥ Bảng biến thiên t + f '(t ) −1 + − +∞ 1+ f (t ) Bất phương trình cho có nghiệm x ≥ bất phương trình ( *) có nghiệm t ≥ ⇔ m ≤ 1+ Nhận xét: Học sinh cần phân biệt điều kiện phương trình có nghiệm với điều kiện bất phương trình có nghiệm học sinh thường lấy < m ≤ 1+ chưa Bài Tìm m để bất phương trình ( x + 4) ( − x ) với x ∈ [ −4;6] Giải: Điều kiện xác định phương trình −4 ≤ x ≤ 19 ≤ x − x + m nghiệm Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Đặt t = ( x + 4) ( − x ) ⇒ x − x = −t + 24 Vì t hàm số theo x nên ta phải tìm điều kiện t cách sau Ta có t = ( x + 4) ( − x ) −x +1 ⇒ t '( x) = − x + x + 24 ; −4 < x < ; t '( x) = ⇔ x = Bảng biến thiên x −4 + t '( x ) − t ( x) 0 Vậy điều kiện t ≤ t ≤ Thay t = ( x + ) ( − x ) ; x − x = −t + 24 vào bất phương trình ta t − 24 + t ≤ m ⇔ m ≥ t + t − 24 (2) Xét hàm số f (t ) = t + t − 24; ∀t ∈ [ 0;5] có f '(t ) = 2t + > 0; ∀t ∈ [ 0;5] Bảng biến thiên t + f '(t ) f (t ) −24 Vậy bất phương trình nghiệm với x ∈ [ −4;6] bất phương trình (2) nghiệm với t ∈ [ 0;5] ⇔ m ≥ Bài Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm x3 + 3x − ≤ m ( x − x −1 ) Giải: Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với ( x3 + 3x − x − x −1 ) ≤ m ⇔ ( x + 3x − 1) ( ) x + x +1 ≤ m 20 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Xét hàm số f ( x) = ( x + 3x − 1) ( x + x +1 ) có f '( x) > ∀x ≥ Suy hàm số f ( x) đồng biến [ 1; +∞ ) Từ bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm [ 1; +∞ ) m ≥ f ( x) = f (1) = [ 1;+∞ ) Bất phương trình mũ logarit x x+2 Bài Tìm m để bất phương trình m.4 + ( m − 1) + m − > nghiệm với x ∈ R Giải: Đặt t = x ; t > Ta có mt + ( m − 1) t + m − > ⇔ m > 4t + ;(*) ( t + 4t + > 0; ∀t > ) t + 4t + −4t − 2t 4t + < ∀t > ; t > có f '(t ) = 2 Xét hàm số f (t ) = t + 4t + ( t + 4t + 1) Bảng biến thiên t − f '(t ) +∞ f (t ) Vậy bất phương trình cho có nghiệm với x ∈ ¡ bất f (t ) = f (0) = phương trình (*) nghiệm với t > ⇔ m ≥ max [ 0;+∞ ) Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x − m.2 x + m + ≤ Giải: 2 Đặt t = x ; t > ta có bất phương trình t − mt + m + ≤ ⇔ t + − ( t − 1) m ≤ t2 +  Trường hợp < t < ta có t + − ( t − 1) m ≤ ⇔ m ≤ t −1 t − 2t − t2 + < 0; ∀t ∈ ( 0;1) ; ∀t ∈ ( 0;1) có f '(t ) = Xét hàm số f (t ) = ( t − 1) t −1 21 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Suy hàm số nghịch biến ( 0;1) Bảng biến thiên t − f '(t ) −3 f (t ) −∞ Suy bất phương trình cho có nghiêm bất phương trình m≤ t2 + ; ∀t ∈ ( 0;1) có nghiệm ⇔ m < −3 t −1  Trường hợp t > ta có t + − ( t − 1) m ≤ ⇔ m ≥ t2 + t −1 t − 2t − t2 + f '( t ) = ; f '(t ) = ⇔ t = 3;(t > 0) ; ∀t > có Xét hàm số f (t ) = ( t − 1) t −1 Bảng biến thiên t − f '(t ) + −3 +∞ +∞ f (t ) Suy bất phương trình cho có nghiêm bất phương trình m≥ t2 + f (t ) = f (3) = ; ∀t > có nghiệm ⇔ m ≥ ( 1;+∞ ) t −1 Vậy m < −3 m ≥ giá trị cần tìm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Tìm m để bất phương trình x − x − ≤ m có nghiệm Bài Tìm m để bất phương trình − ( − x ) ( x + 2) nghiệm với x ∈ [ −2;4] 22 ≤ x − x + m − 18 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Bài Tìm m để bất phương trình  ( x + 1) ( − x ) > m + x − x + thỏa  mãn với x ∈  − ;3 ÷   x x x Bài Tìm m để bất phương trình m.9 − ( 2m + 1) + m.4 ≤ nghiệm với x ∈ [ 0;1] PHẦN III KẾT LUẬN Học sinh trang bị thêm tư ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình chứa tham số sau học xong chương hàm số ứng dụng đạo hàm chương trình giáo khoa 12 Từ em có cách giải hợp lí q trình ơn tập luyện thi, biết cách chọn phướng án tối ưu để giải toán né tránh sai sót thiếu trường hợp biện luận khả tốn Trong phần tơi có bổ sung tập tương tự sưu tầm từ đề thi đại học nhiều năm trước nhằm giúp em tự rèn trình tự học ôn tập Sáng kiến kinh nghiệm trình bày có hiệu q trình giảng dạy cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Tư liệu kinh nghiệm tổng hợp giảng dạy nhỏ thân Đề xuất với nhà trường cho áp dụng toàn thể học sinh khối 12 Tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý chân thành từ đồng nghiệp để nhằm giúp tơi hồn thiện Tơi chân thành cảm ơn Bình Sơn, ngày 12 tháng 10 năm 2019 Tác giả Phạm Văn Phú TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao Sách tập giải tích 12 nâng cao Sách tham khảo “ tuyển chọn chuyên đề ĐẠI SỐ SƠ CẤP ” TS TRẦN XUÂN TIẾP – TS PHẠM HOÀNG Sách tham khảo “ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp” tác giả PHAN PHỤ HUY Báo toán học & tuổi trẻ Các đề thi đại học PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP 24 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 25 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_bất phương trình chứa tham số Với mục đích giúp học sinh ơn lại, nắm vững kiến thức cách hệ thống giúp học sinh hiểu sâu rộng thêm ứng dụng đạo hàm, nên phạm vi đề tài tơi xin trình bày ứng dụng đạo hàm việc nghiên cứu nghiệm phương trình, bất phương trình đại số có chứa tham số Xuất phát từ sở lý thuyết ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để từ giới hạn phạm vi giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu, nhiệm vụ toán ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu sách học sinh khối lớp 12, học sinh giỏi học sinh ôn thi đại học PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sưu tầm tài liệu từ nguồn tài liệu, sau tổng hợp nghiên cứu phân tích dàn ý đại cương, tiếp đến hệ thống tập vào dàn ý Tiếp tục phân tích logic, độ mịn ý lỗi mà học sinh thường gặp cuối xây dựng thành thể thống đề tài THỰC TRẠNG NGHIÊN CỨU Đối với giáo viên: Đối với học sinh: Bài tập sách giáo khoa chưa đủ khó để học sinh tiếp cận chưa đa dạng phong phú 26 ... CẤP 24 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_ bất phương trình chứa tham số MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 25 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_ bất phương trình chứa tham số Với... nghiệm bất phương trình chứa tham số Bất phương trình vơ tỉ 18 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_ bất phương trình chứa tham số Bài Tìm m để bất phương trình mx − x − ≤ m + có nghiệm Giải: Điều... chưa khai thác triệt để ứng dụng đạo hàm vào để giải tập nên học sinh lúng túng giải toán chứa tham số Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình_ bất phương trình chứa tham số trước tình hình đó,