Giáo trình hình họa

Bài giảng hình họa- đại học sư phạm kỹ thuật đà nẵng

I H C À N NG

TR NG I H C BÁCH KHOA KHOA S PH M K THU T

M U

A M C ÍCH VÀ YÊU C U 1) M c đích

− P : M t ph ng hình chi u

A’

AS

P

− S : Tâm chi u

chi u xuyên tâm v i tâm chi u S và m t ph ng hình

chi u P

Chú ý

a) Hình là m t t p h p đi m V y đ chi u m t hình ta chi u m t s đi m thành ph n c a hình

đ xác đ nh hình đó

1. Hình chi u xuyên tâm c a m t đ ng th ng không đi qua tâm chi u là m t đ ng th ng

2. Hình chi u xuyên tâm c a nh ng đ ng th ng song song nói chung là nh ng đ ng th ng

đ ng qui

Gi s cho a // b nên các mp(S,a) và mp(S,b) s giao v i mp(P) cho các giao tuy n a’, b’ c t

B'A’

II PHÉP CHI U SONG SONG

ph ng hình chi u P (hình 4)

2) Tính ch t

c a phép chi u xuyên tâm Ngoài ra phép chi u song song có nh ng tính ch t sau:

1 Hình chi u song song c a nh ng đ ng th ng không song song v i ph ng chi u là nh ng

đ ng th ng song song

ss

a'b'

ba

C'B'

A'

CB

' '

B C

A C CB

III PHÉP CHI U VUÔNG GÓC

1) Cách xây d ng

Phép chi u vuông góc là tr ng h p đ c bi t c a phép chiêu

song song khi ph ng chi u s vuông góc v i m t ph ng hình

hình bi u di n đ m b o tính ph n chuy n đ c g i là đ th c

========================

Bài 1 I M

I.1 H th ng hai m t ph ng hình chi u vuông góc

a) Cách xây d ng

P2

P2 Vì mp (A A1 A2) ⊥ P1 và P2 nên s vuông góc v i tr c x t i đi m AX Do đó sau khi

c a nó

+ M t ph ng phân giác 2 Là m t ph ng phân giác c a P1 và P2 đi qua góc ph n t th 2 và góc

ph n t th 4

Nh ng đi m thu c m t ph ng phân giác 2 có đ th c là m t c p đi m hình chi u đ ng và hình chi u b ng trùng nhau

(Hình 1.3) là hình không gian bi u di n m t ph ng phân giác 1, m t ph ng phân giác 2 và các

P2

A2

P1x

A1

x

P1

A1 , A2, A3

z, m t ph n tr c y’ theo mp P3 đ n trùng v i tr c x Sau khi quay ta nh n đ c hình bi u di n

II Quan h gi a to đ các và đ th c c a m t đi m trong không gian

Hãy v đ th c c a các đi m sau:

_ i m C thu c m t ph ng Phân giác 1

_ i m D thu c m t ph ng Phân giác 2

_ i m E thu c tr c hình chi u x

Gi i

F1, G1, H1 ti p theo là m i tên đi qua hình chi u đ ng F2, G2, H2 Ta s xác đ nh đ c các hình chi u c nh F3, G3, H3 ; (Hình 1.11)

================

Bài 2 NG TH NG

Hai đi m A1, B1 xác đ nh hình chi u b ng d1 c a đ ng th ng d

Chú ý

_ Nh ng đ ng th ng thu c m t ph ng phân giác1 có hình chi u đ ng và hình chi u b ng d i

x ng nhau qua tr c hình chi u x

_ Nh ng đ ng th ng thu c m t ph ng phân giác 2 có hình chi u đ ng và hình chi u b ng trùng nhau

• Hình chi u b ng c a m t đo n th ng thu c đ ng b ng, b ng chính nó

C1

f1

f2 f

• Hình chi u đ ng và hình chi u b ng c a đ ng c nh, trùng nhau và vuông góc v i tr c x:

• Hình chi u c nh c a m t đo n th ng thu c đ ng c nh, b ng chính nó

Gi s E, F ∈ p ⇒ E3 F3 = EF (hình 2.5b)

II.2 Lo i đ ng th ng vuông góc v i m t m t ph ng hình chi u

(thì song song v i hai m t ph ng hình chi u còn l i )

B2

A1≡B1≡d1

A1≡B1≡d1B

P1

b) Tính ch t

• Hình chi u b ng c a đ ng th ng chi u b ng suy bi n thành m t đi m: d1 m t đi m

- Hình chi u đ ng c a đ ng th ng chi u b ng vuông góc v i tr c x:: d2 ⊥ x

- Hình chi u đ ng và hình chi u c nh c a đo n th ng thu c đ ng th ng chi u b ng, b ng nhau và b ng chính nó Gi s A, B ∈ d ⇒ A2 B2 = A3 B3 = AB ; (hình 2.6b)

C2≡ D2≡ k2

k1k

b) Tính ch t:

• Hình chi u đ ng c a đ ng th ng chi u đ ng suy bi n thành m t đi m: k2 m t đi m

- Hình chi u b ng c a đ ng th ng chi u đ ng vuông góc v i tr c x: : k1⊥ x

- Hình chi u b ng và hình chi u c nh c a đo n th ng thu c đ ng th ng chi u đ ng b ng nhau và b ng chính nó Gi s C, D ∈ k ⇒ C1 D1 = C3 D3 = CD (hình 2.7b)

- Hình chi u c nh c a đ ng th ng chi u c nh suy bi n thành m t đi m: l3 - m t đi m

1) i m thu c đ ng th ng th ng

nh lý

i u ki n c n và đ đ m t đi m thu c m t đ ng th ng th ng là các hình chi u cùng tên c a

đi m và đ ng th ng đó thu c nhau

Cho đi m A(A1, A2) và đ ng th ng d(d1, d2),

1 1

d A

d A d

Gi s có đo n th ng AB, chi u vuông góc nó xu ng P1 đ c A1B1; (hình 2.12)

K AC // A1B1

“V m t tam giác vuông có m t c nh góc vuông A 1 B 1 là hình chi u b ng c a đo n th ng AB,

c nh góc vuông còn l i B 1 B 0 b ng hi u đ cao hai đ u mút A, B; thì c nh huy n A 1 B 0 là đ dài

th t c a đo n th ng c n tìm và góc nghiêng α = (B 0 A 1 B 1 ) là góc c a đo n th ng AB h p v i

B

a) Bi t AB có đ dài l = 30 mm

b) Bi t AB h p v i P1 góc α < 900

c) Bi t AB h p v i P2 góc β < 900

Gi i a) V tam giác vuông A1A0B’ vuông t i A1 có m t c nh góc vuông A1A0 b ng hi u đ cao c a

B1

B1 B’

b) V tam giác vuông A1A0B’ vuông t i A1 có m t c nh góc vuông A1A0 b ng hi u đ cao c a

(Hình 2.15b)

c) V tam giác vuông A2B2B0 vuông t i B2 có m t c nh góc vuông A2B2 Vì (AB, P2 ) = β nên

_ Bài toán có 4 nghi m

tác gi )

=====================

Bài 3 V TRÍ T NG I GI A HAI

NG TH NG

1) Hai đ ng th ng th ng giao nhau

nh lý

i u ki n c n và đ đ hai đ ng th ng th ng giao nhau là các hình chi u cùng tên c a chúng

giao nhau t i các đi m n m trên m t đ ng gióng

I b a

I b

=

a

2 2 2 2 1

1 1

i u ki n c n và đ đ m t đ ng th ng th ng và m t đ ng c nh giao nhau là các hình chi u

cùng tên c a chúng giao nhau t i các đi m tho m n đ th c c a đi m thu c đ ng c nh đó

)

2 2 2 2

1 1 1 1

I B A I B A

I B A d

I B A d I AB d

Ví d

đ ng th ng d, bi t d đi qua đi m J và c t AB t i đi m I

Gi i

_ V tia A1 t b t k r i đ t lên đó các đo n A1I’ = A2I2 và I’B’ = I2B2

ng th ng qua I’ song song v i B’B1 c t A1B1 t i đi m I1; ta có:(A1B1I1 ) = (A2B2I2 )

⇒ I∈ AB V y d1 ≡ I1J1 (Hình 3.2)

II HAI NG TH NG SONG SONG

1) Hai đ ng th ng th ng song song

nh lý

i u ki n c n và đ đ hai đ ng th ng th ng song song nhau là các c p hình chi u cùng tên

c a chúng song song nhau

đ nh lý trên đ c vi t thành:

Hçnh 3.3

Ch ng minh

_ i u ki n c n: Gi s a // b nên các c p m t ph ng chi u qua a, b song song nhau, do đó

song song nhau, t c là a1 // b1 và a2 // b2

_ i u ki n đ : Gi s có hai đ ng th ng th ng a, b tho mãn a1 // b1 và a2 // b2 B ng cách

đ ng qua a2, b2 theo hai giao tuy n a, b song song nhau

3) Hai đ ng c nh song song

Ch ng minh

_ i u ki n c n: Gi s EF // GH, thì b n đi m E, F, G, H đ ng ph ng nên s có hai đ ng

_ i u ki n đ : Gi s có hai đ ng c nh EF, GH có các c p hình chi u cùng tên không trùng

đ ng ph ng nên hai đ ng c nh đó song song nhau, t c: EF // GH (Hình 3.4)

Chú ý

“ i u ki n c n và đ đ hai đ ng c nh song song nhau là hình chi u c nh c a chúng song song nhau “ (Hình 3.5)

1 1//

//

//

b a

b a b a

I GF EH GH

EF

//

//

Ví d

Gi i

IV HÌNH CHIÊÚ C A GÓC VUÔNG

nh lý

O

B1 B

_ i u ki n đ : Gi s AOB = 900 chi u vuông góc xu ng m t ph ng hình chi u b ng đ c

Ví d

C1x

Gi i

a) CD⊥ mp (P1); AB là đ ng th ng th ng

b) CD⊥ mp (P2); AB là đ ng c nh

c) CD⊥ mp (P3); AB là đ ng th ng th ng

Gi i a) G i MN là đo n vuông góc chung c a AB và CD, v i N ∈ AB, M ∈ CD

V l i MN ⊥AB ⇒ M1N1 ⊥A1B1 t i N1 T N1∈ A1B1⇒ N2∈ A2B2 ⇒ M2N2 // x; (Hình 3.13a)

b) G i MN là đo n vuông góc chung c a AB và CD, v i N ∈ AB, M ∈ CD

Bài 4 M T PH NG

_ Ba di m phân bi t không th ng hàng, mp(ABC); (Hình 4.1a)

_ Hình chi u đ ng c a đi m, đ ng th ng thu c m t ph ng chi u đ ng thì thu c đ ng th ng suy bi n c a m t ph ng chi u đ ng đó

II.2 Lo i m t ph ng song song v i m t m t ph ng hình chi u

(Thì vuông góc v i hai m t ph ng hình chi u còn l i)

mγ

l3≡(γ3)

C3 o

C2 x

⎢⎣

⎢

x n m

z n m

//

//

,

γ γ

γ γ

y’

y

D2 (δ2)

(Bài toán c b n trên m t ph ng)

Gi i

T K2 ∈ g2 ⇒ K1∈ g1 V y (K1, K2) là đ th c c a đi m K thu c mp(a,b) c n d ng

Ex

P1

P2

xδ

V M T VÀI VÍ D GI I S N

Ví d 1

Gi i a) V đ ng b ng h ⊥ d t i I ⇒ h1 ⊥ d1 t i I1 ⇒ mp(d,h) nh n đ ng th ng d làm đ ng d c

Bài 5 V TRÍ T NG I GI A

HAI M T PH NG

I HAI M T PH NG SONG SONG

nh lý

i u ki n c n và đ đ hai m t ph ng song song nhau là trong m t ph ng này ch a hai đ ng

th ng giao nhau l n l t song song v i hai đ ng th ng giao nhau thu c m t ph ng kia

II HAI M T PH NG GIAO NHAU

N i dung c a ph n này là v giao tuy n c a hai m t ph ng

1) Tr ng h p bi t m t hình chi u c a giao tuy n

a) N u c hai m t ph ng đã cho là m t ph ng chi u cùng tên, thì:

_ Ta bi t đ c m t hình chi u c a giao tuy n suy bi n thành m t đi m chính là giao đi m c a

hai đ ng th ng suy bi n c a hai m t ph ng chi u đó

_ Hình chi u còn l i c a giao tuy n đi qua đi m suy bi n đó và vuông góc v i tr c hình chi u

b) N u m t trong hai m t ph ng đã cho là m t ph ng chi u, thì:

_ Ta bi t đ c m t hình chi u c a giao tuy n trùng v i đ ng th ng suy bi n c a m t ph ng chi u đó

_ v hình chi u còn l i c a giao tuy n ta áp d ng bài toán đ ng th ng thu c m t ph ng

+ a’ = mpϕ’ ∩ mpα; Vì mpϕ’ ⊥ P2 nên a’2 ≡ (ϕ’2) ⇒ a’1 // a1

Hình 5.7

======================

1) Tr ng h p bi t m t hình chi u c a giao đi m

F2

E1 x

Bi u di n th y khu t trên hình chi u

_ M t ng i quan sát đ t trên P1, tr c P2 và đ t xa vô t n theo các h ng nhìn vuông góc v i hai m t ph ng hình chi u này

_ M t ph ng xem nh không trong su t (v t th đ c)

+ C p đi m n m trên đ ng th ng chi u b ng, đi m nào cao h n s th y hình chi u b ng

+ C p đi m n m trên đ ng th ng chi u đ ng, đi m nào xa h n s th y hình chi u đ ng

Tr l i ví d (hình 6.5)

Th y khu t hình chi u b ng: Xét c p đi m I, J v i I∈d, J ∈ BC sao cho I1 ≡ J1 Ta th y

Th y khu t hình chi u đ ng:Xét c p đi m E, K v i K∈ d, E ∈ AC sao cho E2 ≡ K2 Ta

1) i v i m t ph ng th ng

nh lý

i u ki n c n và đ đ đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng th ng là hình chi u b ng c a

đ ng th ng vuông góc v i hình chi u b ng c a đ ng b ng (v t b ng) c a m t ph ng và hình chi u đ ng c a đ ng th ng vuông góc v i hình chi u đ ng c a đ ng m t(v t đ ng) c a m t

) (

2 2

2

1 1

1

α α

α α

α

n d hay f d

m d hay h d mp

nh lý :

i u ki n c n và đ đ đ ng c nh vuông góc v i m t ph ng chi u c nh là hình chi u c nh c a

đ ng c nh vuông góc hình chi u c nh suy bi n c a m t ph ng chi u c nh

AB ⊥ mpγ ⇔ A3B3 ⊥ ( γ3)

IV M T VÀI VÍ D GI I S N

Ví d 1

Ch ng minh r ng :

a) M t ph ng có hai v t đ i x ng nhau qua tr c x thì vuông góc v i m t ph ng phân giác 1

b) M t ph ng có hai v t trùng nhau thì vuông góc v i m t ph ng phân giác 2

O1≡O2 x

c) Gi s cho mpβ có hai v t trùng nhau (nβ ≡ mβ)

d1≡ d2 x

mβ≡nβ Hçnh 6.9

Ví d 3

Gi i

trung đi m I c a nó), mpβ đ c v b ng v t nh sau:

_ G i O = nβ ∩ x thì v t b ng mβđi qua O và vuông góc A1B1 (hay mβ // h1β)

b) V giao tuy n g c a mpα và mpβ nh sau:

Gi i

V y MN = mpα ∩ mpβ ; (Hình 6.15)

=====================

Bài 7 CÁC PHÉP BI N I HÌNH CHI U

I KHÁI NI M

phép bi n đ i hình chi uđ bi n đ ng th ng, m t ph ng này v các v trí đ c bi t mà v trí

trí ban đ u

II.1 Thay đ i m t ph ng hình chi u đ ng

a) nh ngh a

Thay đ i m t ph ng hình chi u đ ng P 2 là dùng m t m t ph ng P’ 2 ⊥ P 1 làm m t ph ng hình chi u đ ng m i

G i tr c hình chi u m i là s : s = P’2 ∩ P1

P’2 ta nh n đ c các hình chi u là: A1, A2, A’2 (Hình 7.1a)

P1

P2

P2 ’A’2

_ Hình chi u b ng A1 c a đi m A trong h th ng m i và c không đ i

_ cao c a đi m A trong h th ng m i và c b ng nhau: A'2 As = A2 Ax (Hình 7.1a)

Qui c

Ví d 1

đ ng; hãy xác đ nh kho ng cách t đi m M đ n m t ph ng (ABC)

II.2 Thay đ i m t ph ng hình chi u b ng

Xét m t đi m B b t k Chi u vuông góc đi m B l n l t lên các m t ph ng hình chi u P1 , P2 ,

P’1 ta nh n đ c các hình chi u là: B1, B2, B’1 (Hình 7.4a)

b) Tính ch t

_ Hình chi u đ ng B2 không đ i trong h th ng m i và c

_ xa c a đi m B trong h th ng m i và c b ng nhau: B'1 Bs = B1 Bx ( Hình 7.4a)

Qui c

- Thay đ i m t ph ng hình chi u b ng đ mp (ABC) tr

thành m t ph ng b ng trong h th ng m i, ta ph i ch n

mp P’1 // (ABC) ⇒ s // A2C2

x

b ng m i c a tam giác là: A’1B’1C'1

C'1J’1 giao nhau t i O’1 - là tâm c a đ ng tròn n i ti p

tam giác A’1B’1C'1 Tr v hình chi u ban đ u ta có (O1,

3) Thay đ i liên ti p hai m t ph ng hình chi u

m t ph ng hình chi u m i phù h p v i bài toán , ch ng h n:

_ đ a đ ng th ng th ng v đ ng th ng chi u trong h th ng m i ta ph i thay đ i m t

đ ng đó v m t ph ng m t ho c m t ph ng b ng trong h th ng m i

P1 ’ H'2

B’2

M2A’2

_ Thay đ i P2 đ AB // P’2 ⇒ s // A1B1 Áp d ng đ cao m i b ng đ cao c ta v đ c A’2B’2

B’1

T H'2 ∈ A’2B’2 ⇒ H1 ∈ A1B1 và H2 ∈ A2B2 (Hình 7.8)

III PHÉP QUAY QUAH TR C

III.1 Phép quay quanh tr c chi u

1) Phép quay quanh tr c chi u b ng

a) nh ngh a

Phép quay quanh tr c chi u b ng t là m t phép bi n đ i hình chi u, sao cho :

_ M i đi m M t ng ng v i đi m M’, hai đi m này thu c m t ph ng b ng vuông góc tr c t _ Kho ng cách t M và M’ đ n tr c t b ng nhau g i là bán kính quay: OM = OM’

_ Góc quay (OM,OM’) = ϕ - có chi u cho tr c (Hình 7.9a)

Phép quay quanh tr c chi u đ ng t là m t phép bi n đ i hình chi u, sao cho :

_ M i đi m N t ng ng v i đi m N’, hai đi m này thu c m t ph ng m t vuông góc tr c t _ Kho ng cách t N và N’ đ n tr c t b ng nhau g i là bán kính quay: ON = ON’

_ Góc quay (ON,ON’) = ϕ - có h ng cho tr c (Hình 7.10a)

x

t1

t2 ≡ O2 N’2

N2

N1N’1

h p v i bài toán

Ví d 1

Cho đo n th ng AB; (Hình 7.11) B ng phép quay quanh tr c chi u, hãy xác đ nh đ dài th t

Gi i

A’B’ // P2, ⇒ A’1 ≡ A1 ≡ t1; A’2 ≡ A2 và A’1B’1 // x ⇒ B’2

K t lu n : A’2B’2 = AB và góc (A’2B’2 , x) = α = (AB, P1) ; (Hình 7.11)

M1

M2

t2

Ví d 2

Gi i

mpα, hα cùng đ cao v i M Lúc này M’1∈ h1α và M1t1 = M’1t1 i u này xãy ra khi ta ch n tr c

t ⊥ P1 tho mãn : M1t1 ≥ t1H1 (v i H1 là chân đ ng vuông góc k t t1đ n h1α)

T M’1∈ h1α⇒ M’2∈ h2α ; (Hình 7.12)

Chú ý

đi m tu ý trên đ ng th ng d đ n v trí m i thu c m t ph ng α (tr v ví d 2 trên)

III.2 Phép quay quanh đ ng b ng

a) nh ngh a

Phép quay quanh đ ng b ng là m t phép quay quanh tr c mà tr c đây là đ ng b ng

h1

h2 x

+ Ta có B’1 ≡ B1 và D’1≡D1 (Các đi m thu c tr c quay)

+ Vì C∈AD ⇒ C1∈A1D1 và C'1∈A’1D’1 (v i C1C'1 ⊥A1D1)

K t lu n: ∆ A’1B’1 C'1 = ∆ ABC

III.3 Phép quay quanh đ ng m t

b ng mαđ n v trí m i N’ thu c P1

(Hình 7.14a) c ng cho th y r ng A’1∈ M’1N’1 là hình g p c a A∈ MN ∈ mpα

Gi i

chi u b ng m i c a chúng song song nhau

Vì AB // mp (CDE) ⇒ A’1B’1 // C’1D’1; (Hình 7.17)

Ví d 3

a) Hình chi u đ ng m i và hình chi u b ng c a đo n th ng AB song song nhau

b) Hình chi u đ ng m i và hình chi u b ng c a đo n th ng AB đ i x ng nhau qua tr c hình chi u m i s

Gi i

tuy n ngoài c a hai vòng tròn v a v là tr c hình chi u m i c n d ng; (Hình 7.18a)

Ví d 4

Gi i

a) Câu a); Hình 7.19a

các đ ng th ng (α2’) và (β’2) đi qua đi m suy bi n đó

giác c a [(α2’) , (β’2)] ⇒ mγ // g1 ; và nγđi qua N2 ; (Hình 7.19a)

b) Câub); Hình 7.19b

_ V giao tuy n MN ≡ mpα ∩ mpβ

trong h th ng m i Lúc này mpγ phân giác c a hai m t ph ng mpα, mpβ có hình chi u b ng

m i suy bi n thành đ ng th ng (γ1’) phân giác c a [(α1’) , (β’1)]

ti p xúc v i đ ng tròn tâm t1 bán kính R=Kt1 và đi qua A1 ⇒ A2∈ h2’α ≡ h2α i u này xãy

h1α) V t b ng mα c ng quay đ n v m i mα’ // h1’α

v i tr c x; (Hình 7.20)