ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH- KÉ TỐN QUY TẮC L’HOPITAL ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG UHÔPITAL RULE AND SOME APPLICATIONS Ngày nhận : ThS Nguyễn Tấn Bình Trường Đại học Tài - Kê tốn 25.1.2022 ĩí kr_quả phản biện • °^-2°ỉỉ Ngày duyệt đăng : 28.4.2022 TĨM TẮT Trong viết này, tác giả không viết quy tắc L ’Hôpital mà học mơn giải tích nhằm ứng dụng để tính giới hạn hàm số có dạng vơ định — vẩn đề tác giả đề cập , , , X , fix') ọ, °° - f ix') liên quan đên tính xét dơn điệu tỉ sơ dạng dựa vào tính đcm điệu tỉ sơ J ,.x L , ,, , g(y) X g(x) phát biêu định lý L ’Hôpital đơn điệu Sau đó, tác giả đưa sơ ví dụ minh họa cho việc ắp dụng quy tắc Từ khóa: Tính đơn điệu, định lý Lagrange, quy tắc L ’Hôpital đơn điệu ABSTRACT In this article, the author does not write about the L ’Hôpital rule that we have learned in the analysis subject to apply to calculate the limit ofafunction ofindeterminateform Theproblem the author mentioned here related to the monotony oftheform ratio is based on the monotony ofthe ratio stated in the L ’Hôpital Monotone theorem Then, the author gives some examples to illustrate the application of this rule Key words: Monotonicity, Lagrange theorem, L ’Hôpital rule Đặt vấn đề Trong chương trình phổ thơng, biết hàm số y = f(x) liên tục /'(x) > 0, Vxe (a,ố) hàm số đồng biến (a,b) -xm-l Với hàm số /(x) = —-—, (m > n > ;x > 1) (*) ' (m-~n)x",+"-l-mxm-'+nx"-' „s_ _ X , ,, , , suy f '(x) - - -— Việc xét dâu tử sô biêu thức khơng đơn giản Do đó, ta cần sử dụng định lý có tên L’Hopital đơn điệu Định lý (quy tắc L’Hopital đơn điệu [3]): Cho /, g: [ữ,&] —> R hàm số liên tục có đạo hàm khoảng (ứ,ố) với g' Vx e (a, b) Khi đó, — đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a,b) —ỉiỀl va0 X ~.g' , , X X , z * g(x)-g(b) g(x)-g(a) đông biên nghịch biên khoảng (a, b) Chứng minh Trước chứng minh định lý này, ta nhắc lại định lý Lagrange Định lý Nếu hàm số f(x) liên tục [a, b] khả vi (ư,ố) tồn điểm ce (ư,ố) 105 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KÉ TOÁN cho /'(c) = ^-^—-X- a-b Chứng minh Xem [4] fix) , ,, , Giả sử, g '(x) > - ) ;■ đồng biến khoảng (ứ, b) Khi đó, theo định lý Lagrange, Vx G (a, b) ° ' #'(/) tồn Vc e (0 g'(x)(g(x)-g(a)) Vì g '(x) > 0, V X G (ữ, b) nên g(x) - g(a) > Suy ra, f '(*)(g(x) - g(«)) - g '(x)(/(x) - /(ư)) > / '(x) (g(x) - g(ư)) - g '(x) (/(x) - /(a)) (g(*)-g(a))2 Hay = f ’(x) (g(x)- g(g)) - g '(*) (/(x) - /(g)) (gơ)-g(a))2 lg(x)-g(a)J /’/ X -T í Vậy ta chứng minh đồng biến khoảng (ứ, b) g(x)-g(a) đồng biến khoảng (a,b) Tương tự, ta chứng minh g(x)-g(è) Áp dụng quy tắc L’Hopital 3.1 Áp dụng quy tắc ƯHôpital khảo sát hàm số , xm -1 Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm sô f (x) = —n—ỹ, (m>n> Giải Đặt /(x) = xm -1 g(x) = x" -1 Xét hàm số H(x) = • gơ) m — , X=1 n -r„ f (x) m m-n đồng biến (1;+°°) m > n > (vi f\x) = —(w-H)x'"-"-1 >0) n g'(x) g(x) n /(*)-/(!) đồng biến (1; 4-00) Hay H(x) = đồng biến Theo định lý L’honital đơn điệu, thi g(x)-g(l) g(x) Ví dụ Với a> b>c> d >0 Chứng minh: f (x) = —— cx — d Chứng minh hàm đồng biến với X Chia tử mẫu f (x) cho dx, khơng tính tổng qt, ta giả sử d = 1, 106 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KÉ TỐN f (x) = a b Đặt y = cx , Inồ Ta có ax = cx'108'a = c lnc = yp Z-tofc*’ _ cx'ta7 _ y p(y) = A ’7 = /7jA‘ - aya~x g(y) Ta có lim T(y) - /ỉ - a, khơng tính tổng quát, giả sử p > a ^->1 p(ý) = P(P~ ^)yp'2 - a(ữ -l)/-2 p(y) y ự^-1) với điều kiện /?(/?- l)cr(cr -1) > Trường hợp 1: < yổ < Vì ơ(a - ị) > 0; /?(/? — 1) > nên với y > 0, p (y) < , y < y* Do đó, p(y) giảm tăng miền (0;+) (chẳng hạn, p(y) giảm (0;+°o) /7 = ) Vìvậy, T(y) giảm (0;+oo) Trường hợp 2: cr < < /7 < ( 0; p < Với y dương, p(y) , y < y* đó, p(y) tăng giảm miền (0;+°o) Vì vậy, T(y) tăng giảm (0;+oo) Trường họp 5: < a < p(ỳ) tăng (0;+oo) Theo định lý UHôpital đơn điệu tăng (0;+°°) Trường họp 6: p> a> Với y dương, p (ỳ) < , y < y* đó, p(y) giảm tăng (0;+°o) ( chẳng hạn, a = p(y) tăng miền (0;+°°)) Theo định lý UHôpital đơn điệu T(y) tăng (0;+°o) 3.2 Áp dụng quy tắc L’Hopital chứng minh bất đắng thức Ví dụ Chứng minh sin X tan X +-—>2 X J X 107 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KÉ TOÁN Chứng minh sinx„ \2 Xét hàm so H(x) - tanx + —— X X , x=0 Đặt /(x) = sin2x + xtanx g(x) = x2 Khiđó, f (x) = sin xcosx + tan X + x(l + tan2 x) ; g (x) = 2x Suy ra, /(0) = /(0) = ; g'(0) = g(0) = Ta có J ; = cos2x + (1 + tan2 x) (1 + X tan x) g (x) 4£Ì=(1) (2x tan2 X + tan x(l - COS4X Suy ra, g (x) J v V _ sin2x ' ) ~^sin2x cóh (x) = (1 + tan x) (4xtanx + l)-cos2x > Vì, /z(x) = x(l + tan2 X Ị lĩ ) nên h(x) đông biên 0;y suy ra/?(x) > /7(0) = Do đó, , ị ( đông biên 0; — J /"(x) Suy ra, //(x) >/í(0) = lim \2 sinx ì tanx ——- = đồng biến 0; g(x)-g(0) g(x) =2 Ví dụ Chứng minh với số thực t, ta có at -at e +e e' +e ' “-2“; Va >2 (*) Chứng minh Với t = 0, (*) Xét trường hợp t > ■2ữ-l Đặt X = e'; X > Bất đẳng thức trở thành Đặt /(x) = (x2+lj -x2“-l ; g(x) = x“, Ta có f (x) = 2ax(x2 +1) ’ -2axla-i ; g(x) = ax‘ /'(x) g(x) suy ra, 2x(x2+lf -2x2“"' ( 1Y’1 =2x1 X+— -2x' /'(x) , [g (x) ( 1Y”1 ’ = X+— 2a-2 -2ax‘ áp dụng bất đẳng thức Bernoulli (1 + aY > + Pa ; Vỡ > , p > 1, 108 to Theo định lý L’Hopital đơn điệu /T(x) = I g "(x) g (x) Theo định lý L’Hopital đơn điệu Y (x) / (0) _ / (x) đơng biên trèn f 0;4- • g'(x)-g'(0) g'(x) ( ’22? ■ ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KÉ TỐN c 1Y’*12 Ta có X+— X ơ-1 -Lĩ' ,ơ-l +(rz-l)x“-3 X2 Như vậy, X > 1, a > 7'(x) , g'(x) >2xa~' + 2(ơ-l)x' 2a-2\ a—T—r -lax X +1 2(q-l) (axa-ỵ + 2x“-3 -axa~3 X2 +1 -f ' ' 2(q-l) (cr-2)x“~3 Suy ra, T đông biên (1;+°°) x2+l g(x) I, _ _ fix) — ftn (x2 + lỴ ■2“-2“ + l Theo quy tăc L’Hopital đơn điệu T(x) = —y-2——2-2 = -— - đồng biên /•(x)-f(D 7, g(x)-g(l) (1;+°°) Suy ra, T(x) = y * >T(1) g(x)-g(l) ni) = limh^ = lim :2“-2"+l 2xa(x2+ỉ}‘ -2ax2a-' _2a-2 2(«-l) £ ■ (axa~' +2xa-3 -axa~3 Ml k(x)-g(i) Do đó, Z212—2112 > 3—3 - 2212 g(x)-g(l) g(l) —— = lim ——2-—-2 ax“~‘ Z(x) > /0) = 2ữ - Vậy bất đẳng thức chứng minh g(x) g(l) Trong trường hợp t < Ta thay t = -t thi bất đẳng thức không đổi Nhận xét: Chiều ngược lại định lý không đúng, chẳng hạn f (ill f (x) fix') ~ A /'(x) = XI + cos \ If, g(x) = X, ; không đơn điệu f vân đơn điệu Jo g(x) g(x) TÀI LỆU THAM KHẢO I.Pinelis, On L’Hospital-type rules for monotonicity, J Inequal Pure AppL Math Volume 7, Issue 2, Article 40,2006 Available at http://jipam.vu.edu.au I.Pinelis, On L ’Hospital-type rulesfor oscillation, with applications, J Inequal Pure Appl Math Volume 3,2006 https://lovetoan.wordpress.com Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Dĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập 2, Nhà xuất Giáo dục (2006) 109 ... í Vậy ta chứng minh đồng biến khoảng (ứ, b) g(x)-g(a) đồng biến khoảng (a,b) Tương tự, ta chứng minh g(x)-g(è) Áp dụng quy tắc L’Hopital 3.1 Áp dụng quy tắc ƯHôpital khảo sát hàm số , xm -1 Ví... đơn điệu T(y) tăng (0;+°o) 3.2 Áp dụng quy tắc L’Hopital chứng minh bất đắng thức Ví dụ Chứng minh sin X tan X +-—>2 X J X 107 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KÉ TỐN Chứng minh sinx„ \2 Xét hàm so H(x)... -2ax‘ áp dụng bất đẳng thức Bernoulli (1 + aY > + Pa ; Vỡ > , p > 1, 108 to Theo định lý L’Hopital đơn điệu /T(x) = I g "(x) g (x) Theo định lý L’Hopital đơn điệu Y (x) / (0) _ / (x) đơng biên