LỚP 12 DE DA HSG TOAN 12 LAN 2 đáp án hsg toan 12

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 LẦN 2, NĂM HỌC 2017-2018 (Hướng dẫn chấm có 06 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày a) Cho hàm số 2x y x Điểm có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồthị (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy hai điểm phân biệt A, B ( khác gốc tọa độ O) 10 AB 3O A thoả mãn OB 2,5 b) Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị y x H 31 0; 4mx 4m , có cực trị 3 hàm số đỉnh tam giác nhậnđiểm làm trực tâm a 1,25 TXĐ: R\ Tam giác OAB vuông O nên 10 AB 3O A (O A OB 2 10 AB OB ) 9O A AB 9O A O A, O B Hệ số góc tiếp tuyến k M ( x0 ; y0 ) ta có (C ) Từ (1) (2) ta tìm Với Với x0 M (5; 3) OA OB ( x0 x0 x0 OA 2) OB 2 Ta có OB (O A 0,25 3O B ) 0,25 (2) 0,25 suy phương trình tiếp tuyến là: y TXĐ: y' 1,25 Khi x x0 M ( 1;1) 3O B (1) suy phương trình tiếp tuyến là: 14 (T/m) y (T/m) b OA OB k O A O B O A O B Vì O,A, B phân biệt suy Gọi x 0,25 , 0,25  4x x m 0,25 2m y' có nghiệm, nên hàm số có cực trị Khi m y' nên hàm số có A 0; m , B Vì tam giác H có cực trị 2m ; 4m ABC nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm đó, 4m , C cân trực tâm tam giác Ta có:  BH 2m ; 4m A B,C ABC 2m ; 4m 31 4m 4m đối xứng qua Oy   B H A C AH BC BH AC  , AC 0,25 0,25 2m ; 4m Khi 2m 4m 2 4m 31 4m hay 8m 8m 31 Phương trình có nghiệm m thỏa mãn m s in x m , 0,25 cos2x 0,25 s in x + co sx + + a) Giải phương trình cos x b) Có bao nhiêusố tự nhiên gồm chữ số khác hai chữ số 2,0 kề khơng số lẻ? a 1,0 Điều kiện: cos x PT có dạng: s in x c o s x s in x cos2x + s in x s in x co sx + + cos x s in x + = s in x = 2 s in x 0,25 c o s x + s in x 0,25 = s in x x k2 x k2 ; k 0,25 Z x k2 So sánh với đk, kết luận nghiệm pt là: x k2 , k 0,25  b 1,0 Gọi số A a1a a a a a số lẻ TH1: A có chữ số lẻ +) a lẻ: Số số A +) a1 C P5 chẵn: Có cách chọn Từ giả thiết suy A có hoặc chữ 0,25 600 a1 Số số A 4 ( C C ) P5 2400 Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số số A có chữ số lẻ TH2: A có chữ số lẻ +) a lẻ: Có cách chọn Vậy số số A +) a1 a1 5 ( C C ) P4 chẵn: Có cách chọn hai số lẻ Có cách chọn a1 a2 a3 a4 a5 a6 chẵn a2 9600 Có cách chọn hai vị trí khơng kề Vậy số số A ( C P2 ) A 0,25 11520 Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số số A TH3: A có chữ số lẻ +) a lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn khơng kề hai số lẻ 2 5 ( C P2 ) A +) a1 Có cách chọn hai vị trí a a a a Vậy số số A 10800 chẵn: Có cách chọn số lẻ a2 a2 a3 a4 a5 a6 a1 Có cách chọn vị trí khơng kề Vậy số số A ( C P3 ) A 0,25 2880 Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số số A Vậy có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số số A 0,25 a)Một người vay ngân hàng 0 0 0 0 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng tháng Lãi suất ngân hàng cố định , % / tháng Mỗi tháng người phải trả (lần phải trả tháng sau vay) số tiền gốc số tiền vay ban đầu chia cho số tiền lãi sinh từ số tiền gốc nợ ngân hàng Tổng số tiền lãi người trả tồn q trình nợ bao nhiêu? b)Tính a 1,0 lo g theo a,b , biết lo g a , lo g b 2,0 Để thuận tiện trình bày, tất số tiền tính theo đơn vị triệu đồng 200 Số tiền phải trả tháng thứ 1: 0 , % 48 0,25 Số tiền phải trả tháng thứ 2: 200 200 200 48 200 , % 48 47 48 200 , % 48 Số tiền phải trả tháng thứ 3: 200 200 200 48 , % 48 200 46 48 200 , % 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 200 0,25 200 47 200 48 , % 200 48 48 200 48 , % Suy tổng số tiền lãi 200 , % 48 200 200 , % 48 , % 47 200 48 48 48 , % 0 , % 0,25 200 48 48 , % 39, 48 0,25 Vậy tổng số tiền lãi phải trả 0 0 đồng b Ta có: lo g 1,0 a lo g lo g lo g lo g 3x với y lo g lo g , y lo g x lo g lo g y x y lo g 0,25 lo g b lo g lo g 2 lo g lo g 2 lo g Suy x 2b lo g 4 4b SB M , N a ab b 2a Cho hình chóp SA b SC 2ab c 2b lo g 2x MN y lo g 2b a ab 0,25 , có đáy A B C D hình chữ nhật Gọi K hình chiếu vng góc trung điểm đoạn thẳng 0,25 2y 0,25 cách hai đường thẳng BM x S A B C D SD , y SA BK AK , CD AB a, BC xuống B AC b , Tính khoảng Chứng minh đường thẳng 1,5 vng góc S H N D C K M A O B I Theo giả thiết ta được: BK ABCD 0,25 BK AC SO BK SA ABCD SAC + Gọi H hình chiếu K xuống S A HK S A H K H K đoạn vng góc chung S A SAC ) ( H K Suy được: + Do ABC BH SA vuông đỉnh A HBK nên: vuông BK K , Mà ABCD AB BK 2 BK BC BK a b a 2 b 0,25 + SAB cân đỉnh S , BH đường cao nên c SI A B HB vuông HBK K nên: HK HB BK (4c + + + (4c 2 a 2 b )a a HK 2 (4c 2 a 0,25 a )a 2 a b a 2 b 2 b ) 4c (a b ) 2c (a b )    ( M trung điểm A K ) 2BM BA BK         MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2    MN KB BC                B M M N (BA B K ) ( K B B C ) = B A K B B A B C B K K B B K B C           = B A K B B K K B B K B C = K B ( B A BK B C )             = K B ( B A B C BK B C ) = K B ( C A C K ) K B C A K B C K Vậy: a c 4c HK SA + Do a BK MN 0,25 0,25 0,25 Cho hình chóp S A B C D có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm S C , mặt phẳng qua A P cắt hai cạnh S D S B M N Gọi V thể tích khối chóp S A M P N Tìm giá trị nhỏ V1 V 1,0 ? S M P G D A 0,25 N O B Gọi O C tâm hình bình hành Ta có M ,G, N V S ADC V S ABC V S AM P SM V S ADC SD thẳng hàng Do V S ABCD SC V S ANP SN V S ABC SB V S ABCD V S ANP SP SC ABCD G trọng tâm tam giác SAC hình bình hành nên V S AM P SP ABCD V S ABCD SM V S AM P SM SD V S ABCD SD SN V S ANP SN SB V S ABCD SB 0,25 V S AM P V S ANP SM SN V S AM NP SM SN V S ABCD V S ABCD SD SB V S ABCD SD SB S M G E N D O B F Hay V1 SM SN V SD SB 0,25 Ta chứng minh Thậy vậy, qua SB SM SN kẻ đường song song với B, D cắt MN SO E,F SD SF SM SG ; SD Đặt SB SE SD SB SN SG SM SN SB x; SM V1 V Vậy V1 V y SN Mặt khác SD SF SG SD SB 2SO SM SN SG 3 Ta có SM SE SN SD SB nhỏ x x y y xy xy x y 0,25 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b c abc abc 3 ab bc ca a b x y z xy yz zx ab bc 1,0 c Áp dụng bất đẳng thức: x, y, z  ta có: ab bc ca 3abc a b c 9abc ca abc a b c abc a, b, c 0,25 Thật vậy: a b c a Khi đó: 3 abc t a, b, c c abc t , bc ca abc 3 abc abc abc ab abc VT Đặt: b abc abc abc 0,25 abc abc t Vì nên abc a b c t Xét hàm số f (t ) t t t t , t 6 0; 0,25 2t t f ' t Do hàm số đồng biến t 0; t t nên f t t 0; t f abc P abc 3 =’ xảy ab a bc b ca c a b c ……………………….HẾT……………………… 0,25 ... tháng thứ 3: 20 0 20 0 20 0 48 , % 48 20 0 46 48 20 0 , % 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 20 0 0 ,25 20 0 47 20 0 48 , % 20 0 48 48 20 0 48 , % Suy tổng số tiền lãi 20 0 , % 48 20 0 20 0 , % 48 , % 47 20 0... lo g b 2, 0 Để thuận tiện trình bày, tất số tiền tính theo đơn vị triệu đồng 20 0 Số tiền phải trả tháng thứ 1: 0 , % 48 0 ,25 Số tiền phải trả tháng thứ 2: 20 0 20 0 20 0 48 20 0 , % 48 47 48 20 0 ,... BK BC BK a b a 2 b 0 ,25 + SAB cân đỉnh S , BH đường cao nên c SI A B HB vuông HBK K nên: HK HB BK (4c + + + (4c 2 a 2 b )a a HK 2 (4c 2 a 0 ,25 a )a 2 a b a 2 b 2 b ) 4c (a b ) 2c (a b ) 